第20講 圖形的相似（原卷）初中數(shù)學(xué)

第二十講一一圖形的相似

考向一比例線段及其性質(zhì)

典例引領(lǐng)

1.（2020?甘肅金昌市?中考真題）生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設(shè)計人體雕像時，使雕像的腰部

以下。與全身b的高度比值接近0.618,可以增加視覺美感，若圖中力為2米，則”約為（）

C.1.42米D.1.62米

2.（2020?四川瀘州市?中考真題）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末

比”問題:點(diǎn)G將一線段MN分為兩線段MG,GN,使得其中較長的一段是全長MN與較短的段GN

的比例中項，即滿足些=空=造二1,后人把避二1這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段

MNMG22

的“黃金分割”點(diǎn).如圖，在AABC中，己知AB=AC=3,BC=4,若。，E是邊5c的兩個“黃

金分割”點(diǎn)，則的面積為（)

C5-275

A.10-475B.375-5D.20-875

2

1

變式拓展

1.（2020?湖南婁底市?中考真題）若2=4=_L（aHc）,則2二4=

ac2a-c

2.（2020?湖南湘潭市?中考真題）若則2二』=.

x7x

考向二平行線分線段成比例

典例引領(lǐng)

1二.（2020?遼寧營口市?中考真題）如圖，在△ABC中，DE//AB,且則C*的值為（）

BD2CA

"D

3243

A.-B.-C.一D.-

5352

2.（2020?四川成都市?中考真題）如圖，直線1川川3,直線AC和?？诒恍?2,4所截，AB=5,BC=6,

EF=4,則。E的長為（）

10

A.2B.3C.4D.—

2

變式拓展

1.（2020?山東臨沂市?中考真題）如圖，在AASC中，D,E為邊AB的三等分點(diǎn)，EF//DG//AC,H

為A尸與OG的交點(diǎn).若AC=6,則?！?.

AC1

2.（2020?吉林中考真題）如圖，ABHCDHEF.若——=-,BD=5,則。E=

CE2

考向三相似多邊形

典例引領(lǐng)

1.（2020?山西中考模擬）寬與長的比是1二?。s0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的

2

美學(xué)價值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感.我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形A8CZ）,分別取

A。、BC的中點(diǎn)E、F,連接EF：以點(diǎn)尸為圓心，以尸。為半徑畫弧，交BC的延長線于點(diǎn)G：作GALA。，

交的延長線于點(diǎn)H,則圖中下列矩形是黃金矩形的是（）

A.矩形ABFEB.矩形EFCDC.矩形EFGHD.矩形OCGH

3

2.（2020?海南中考模擬）如圖所示，在長為8cm,寬為6cm的矩形中，截去一個矩形（圖中陰影部分）,

如果剩下的矩形與原矩形相似，那么剩下矩形的面積是（）

A.28cm2B.27cm2C.21cm2D.20cm2

變式拓展

1.（2020?福建莆田市?中考模擬）下列四組圖形中，一定相似的是（）

A.正方形與矩形B.正方形與菱形C.菱形與菱形D.正五邊形與正五邊形

2.（2020?貴州六盤水市?中考模擬）矩形的兩邊長分別為a,b,下列數(shù)據(jù)能構(gòu)成黃金矩形的是（）

A.a=4,b=y/5+2B.a=4,b=y/5-2C.a=2,b=6+1D.a=2,b=>/5-1

考向四相似三角形性質(zhì)與判定

典例引領(lǐng)

1.（2020?浙江紹興市?中考模擬）如圖，已知NZM3=NC4E,那么添加下列一個條件后，仍然無法判定

△ABCS/XADE的是（）

4

A

D

ABACABBC

B.------------C.ZB=ZDD.Z.C=ZAED

ADAEADDE

2.（2020?四川遂寧市?中考真題）如圖，在平行四邊形ABC。中，N48C的平分線交AC于點(diǎn)E,交于

BE

點(diǎn)F,交C。的延長線于點(diǎn)G,若AF=2FD,則=的值為（）

3.（2020?湖南長沙市?中考真題）在矩形ABCD中，E為DC上的一點(diǎn)，把AADE沿AE翻折，使點(diǎn)D恰

好落在BC邊上的點(diǎn)F.（1）求證：MBF:\FCE（2）若A8=2月,AO=4,求EC的長；

（3）若A￡-QE=2EC,記ZR4/7=a,NE4E=尸，求tana+tan/?的值.

變式拓展

1.（2020?廣西貴港市?中考真題）如圖，在6c中，點(diǎn)。在邊上，若3C=3,3。=2,且ZBCD=NA,

則線段AD的長為（）

5

9

C.3D.

2

2.（2020?四川眉山市?中考真題）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)口是BC邊上一點(diǎn)，連接AP,以A尸為對

角線作正方形的G,邊FG與正方形ABCD的對角線AC相交于點(diǎn)”，連接。G.以下四個結(jié)論：①

Z￡4B=ZG4Z＞；②△AFCs/viGZ）；?2AE2=AHAC;?DG±AC.其中正確的個數(shù)為（）

C.3個D.4個

3.（2020?上海中考真題）已知：如圖，在菱形ABCZ）中，點(diǎn)E、尸分別在邊AB、AO上，BE=DF,CE的延

長線交DA的延長線于點(diǎn)G,C/的延長線交BA的延長線于點(diǎn)H.

(1)求證：△BECsgCH；(2)如果BE2=AB?AE,求證：AG=DF.

考向五相似比相關(guān)問題

6

典例引領(lǐng)

1.（2020?云南中考真題）如圖，平行四邊形ABC。的對角線4C,BD相交于點(diǎn)。，E是。。的中點(diǎn),

則△DEO與△BCD的面積的比等于（）

1111

C

A.2-B.4-6-D.8-

2.（2020?廣西中考真題）如圖，在△A6C中，8c=120,高AT>=6（）,正方形一邊在3c上,

點(diǎn)分別在AB,AC上，4。交￡戶于點(diǎn)N,則4V的長為（）

C.25D.30

變式拓展

1.（2020?吉林中考真題）如圖，在AABC中，D，E分別是邊A3,AC的中點(diǎn).若AADE的面積為g.則

四邊形DBCE的面積為.

2.（2020?遼寧錦州市?中考真題）如圖，在AABC中，D是AB中點(diǎn)，DEHBC,若AADE的周長為6,

則AASC的周長為.

7

C

E

考向六相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（2020?四川涼山彝族自治州?中考真題）如圖，△A8C是一塊銳角三角形的材料，邊8c=120〃必，高AO

=80〃"〃，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在A3、AC上，這個正

方形零件的邊長是多少〃皿.

2.（2020?甘肅天水市?中考真題）如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用標(biāo)桿踮測量建筑物的高度，已知標(biāo)桿3E

高1.5加，測得A6=1.2m,8C=12.8〃?，則建筑物C￡＞的高是（）

C.16.5mD.18/n

變式拓展

1.（2020?廣西玉林市?中考真題）一個三角形支架三條邊長分別是75cm,100cm,120cm,現(xiàn)要再做一個與

8

其相似的三角形木架，而只有長為60cm,120cm的兩根木條，要求以其中一根為一邊，從另一根上截下兩

段作為另兩邊（允許有余料），則不同的截法有（）

A.一種B.兩種C.三種D.四種

2.（2020?湖北省直轄縣級行政單位?中考真題）在平行四邊形ABCO中，E為AD的中點(diǎn)，請僅用無刻度的

直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡.

（1）如圖1,在上找出一點(diǎn)M,使點(diǎn)M是8c的中點(diǎn):

（2）如圖2,在BO上找出一點(diǎn)N,使點(diǎn)N是8D的一個三等分點(diǎn).

考向七位似

典例引領(lǐng)

1.（2020?河北中考真題）在如圖所示的網(wǎng)格中，以點(diǎn)。為位似中心，四邊形ABCO的位似圖形是（）

9

A.四邊形NPMQB.四邊形NPMRC.四邊形NHMQD.四邊形NHMR

2.(2020?遼寧丹東市?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格的每個小方格都是邊長為1個單位長度

的正方形，點(diǎn)A，B,C的坐標(biāo)分別為A(l,2),3(3,1),C(2,3),先以原點(diǎn)。為位似中心在第三象限內(nèi)

畫一個AA與G，使它與AABC位似，且相似比為2：1,然后再把AA6C繞原點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到

AA2B2C2.(1)畫出A44G，并直接寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)；(2)畫出AA*2c2,直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)A

到點(diǎn)4所經(jīng)過的路徑長.

變式拓展

1.(2020?浙江嘉興市?中考真題)如圖，在直角坐標(biāo)系中，△043的頂點(diǎn)為。(0,0),4(4,3),8(3,0).以

10

點(diǎn)0為位似中心，在第三象限內(nèi)作與AOAB的位似比為L的位似圖形△0C。，則點(diǎn)C坐標(biāo)()

3

、44

A.(-1,-1)B.(-一，-1)C.(-1,--)D.(-2,-1)

33

2.(2020?重慶)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(l,2),8(1,1),C(3,l),以原點(diǎn)

為位似中心，在原點(diǎn)的同側(cè)畫△/)￡/,使△。所與AABC成位似圖形，且相似比為2：1,則線段力尸的

C.4D.275

11

、考點(diǎn)沖關(guān)）

1.（2020?山西中考真題）泰勒斯是古希臘時期的思想家，科學(xué)家，哲學(xué)家，他最早提出了命題的證明.泰

勒斯曾通過測量同一時刻標(biāo)桿的影長，標(biāo)桿的高度。金字塔的影長，推算出金字塔的高度。這種測量原理，

就是我們所學(xué)的（）

A.圖形的平移B.圖形的旋轉(zhuǎn)C.圖形的軸對稱D.圖形的相似

2.（2020?貴州銅仁市?中考真題）已知AFHBsaEAD,它們的周長分別為30和15,且FH=6,則EA的長

為（）

A.3B.2C.4D.5

3.（2020?河北邢臺市?九年級期末）如圖，P是A4BC的A3邊上的一點(diǎn)，下列條件不可能是AACQSAABC

的是（）

--------

A.ZACP=NBB.APBC=ACPCC.ZAPC=ZACBD.AC2=APAB

4.（2020?重慶中考真題）如圖，ZVIBC與△力所位似，點(diǎn)。為位似中心.已知04：。。=1：2,則AABC

與△￡>￡尸的面積比為（）

B.1：3C.1：4D.1：5

12

5.（2020?浙江紹興市?中考真題）如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2：5,

且三角板的一邊長為8cm.則投影三角板的對應(yīng)邊長為（）

C.8cmD.3.2cm

6.（2020?新疆中考真題）如圖，在AABC中，NA=90。，D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作BC的平行線，交AC

于點(diǎn)E,作BC的垂線交BC于點(diǎn)F,若AB=CE,且ADFE的面積為1,則BC的長為（）

A.275B.5C.4小D.10

7.（2020?廣東廣州市?中考真題）如圖，矩形ABCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)O,AB=6,BC=8,過

點(diǎn)。作交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作石垂足為F,則QE+石戶的值為（）

2412

C.—D.

5T

13

8.（2019?廣西賀州市?中考真題）如圖，在AA8C中，2E分別是AB,AC邊上的點(diǎn)，DEHBC,若

AD=2,Ag=3,DE=4,則BC等于（）

9.（2019?四川涼山彝族自治州?中考真題）如圖,在A4BC中,D在AC邊上，AD：DC=1：2,O是BD

的中點(diǎn)，連接AO并延長交BC于E,則8E：EC=（）

A.1：2B.1：3C.1：4D.2：3

10.（2020?新疆中考真題）如圖，在AABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=2,若D是BC邊上的動點(diǎn)，則2AD+DC

的最小值為.

A

BD

14

H.（2020?四川宜賓市?中考真題）在直角三角形ABC中，NAC3=90°,￡＞是AB的中點(diǎn)，BE平分NA6C

交AC于點(diǎn)E連接CD交BE于點(diǎn)O,若AC=8,5C=6,則OE的長是

12.（2020?廣東深圳市?中考真題）如圖，已知四邊形ABC。，4C與8。相交于點(diǎn)O,NABC=/D4C=90。,

則沁

tanZACB=-,—

2OD31?D

13.（2020?四川眉山市?中考真題）如圖，等腰AA6c中，AB=AC=10,邊AC的垂直平分線交8C于

點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E.若的周長為26,則DE的長為.

14.（2020?山東東營市）如圖，P為平行四邊形ABCZ）邊上一點(diǎn)，E、夕分別為姑、叨上的點(diǎn)，且

PA=3PE,PD=3PF,APEFQPDCQPAB的面積分別記為S、5,,S2.若S=2,則S,+S2=

15

15.（2020?江蘇蘇州市?中考真題）如圖，在矩形A3CD中，七是的中點(diǎn)，DF±AE，垂足為

（1）求證：AABEs^DFA：（2）若A6=6,BC=4,求。尸的長.

16

16.(2020?浙江杭州市?中考真題)如圖，在AABC中，點(diǎn)￡),E,F分別在AB,BC,AC邊上，DE//AC,

AF?

EF//AB.(1)求證：ABDEsAEFC.(2)設(shè)一=一，①若BC=12,求線段BE的長；②若的面

FC2

積是20,求△ABC的面積.

17

17.(2020?遼寧朝陽市?中考真題)如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為

A(-3,2),5(-l,3),C(-l,l),請按如下要求畫圖：

(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到"46,請畫出△44G；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)。為位似中心，在x軸下方，畫出△A6C的位似圖形△A為G，使它與AAbC的位似比

為2:1.

AZ)A'D'

18.(2020?江蘇南京市?)如圖，在△ABC和中，D、以分別是AB、A'B'上一點(diǎn)，——

ABA'B'

CDACAB

(1)當(dāng)丁「二丁工二下工時，求證：AABC?△A'3'C'證明的途徑可以用如框圖表示，請?zhí)顚懫渲械?/p>

LJACLJ

空格￡

(2)當(dāng)=7=＞二==時，判斷△43C與VAEC'是否相似，并說明理由

CD'AC'B'C

18

19.（2020?湖南湘潭市?中考真題）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，這個交點(diǎn)稱為三角形的重心.

（1）特例感知：如圖（一），已知邊長為2的等邊△A8C的重心為點(diǎn)。，求AOBC與△A8C的面積.

ODSOBC

（2）性質(zhì)探究：如圖（二），已知AASC的重心為點(diǎn)O,請判斷一、《巫是否都為定值？如果是,

OA3.AKC

分別求出這兩個定值：如果不是，請說明理由.

（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖（三），在正方形ABC￡＞中，點(diǎn)E是8的中點(diǎn)，連接交對角線AC于點(diǎn)M.

①若正方形ABC。的邊長為4,求的長度;

②若S.CME=1＞求正方形A3CD的面積.

19

20.（2020?江蘇宿遷市?中考真題）（感知）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，NC=ND=90°,點(diǎn)E在邊CD

AEDE

上，ZAEB=900,求證:

~EB~~CB

（探究）（2）如圖②，在四邊形ABCD中，ZC=ZADC=90°,點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊AD的延長線上,

EFAE

ZFEG=ZAEB=90°,且——=—,連接BG交CD于點(diǎn)H.求證：BH=GH.

EGEB

APDF

（拓展）（3）如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，ZAEB+ZDEC=180°,且生=匕，過E作EF交AD

EBEC

于點(diǎn)F,若NEFA=ZAEB,延長FE交BC于點(diǎn)G.求證：BG=CG.

圖①圖②圖③

20

直通中考”

、*_一/一

o2a+h

L（2020?貴州畢節(jié)市?中考真題）已知e=—,則匚的值為（）

b5b

2327

A.-B.-C.-D.一

5535

A￡2

2.（2020,湖南永州市?中考真題）如圖，在△A6C中，EF//BC,——=-,四邊形3CEE的面積為21,則

EB3

A.—B.25C.35D.63

3

3.（2020?山東德州市?九年級月考）如圖，點(diǎn)D、E分別在^ABC的AB、AC邊上，下列條件中：①NADE

ADAE

③——=—.使AADE與AACB一定相似的是()

ACAB

A.①②B.②③C.①③D.①②③

4.（2020?黑龍江哈爾濱市?中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，連接AD,點(diǎn)E在AC上，過點(diǎn)

E作EF//BC,交AD于點(diǎn)F,過點(diǎn)E作EG//A3,交BC于點(diǎn)G,則下列式子一定正確的是（）

EGEFCGAF

B.C處=也D.------------

ECCD~AB~~CDFDGCBCAD

21

5.（2019?甘肅慶陽市?中考真題）如圖，將圖形用放大鏡放大，應(yīng)該屬于（）.

A.平移變換B.相似變換C.旋轉(zhuǎn)變換D.對稱變換

6.（2020?海南中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,點(diǎn)￡、E在49邊上，5尸和CE交

)

D.40

7.（2020?海南中考真題）如圖，在口A3CO中，43=10,4。=15,/區(qū)4。的平分線交3。于點(diǎn)旦交。。

的延長線于點(diǎn)居8G_LAE于點(diǎn)G,若BG=8,則△CEF的周長為（）

A.16B.17C.24D.25

22

8.（2020?云南昆明市?中考真題）在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形

叫做格點(diǎn)三角形.如圖，△4BC是格點(diǎn)三角形，在圖中的6x6正方形網(wǎng)格中作出格點(diǎn)三角形△ADE（不含

△ABC）,使得△AOEs/vlBC（同一位置的格點(diǎn)三角形△AOE只算一個），這樣的格點(diǎn)三角形一共有（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

9.（2020?浙江溫州市?中考真題）如圖，在RtZiABC中，ZACB=90°,以其三邊為邊向外作正方形，過點(diǎn)

C作CRLFG于點(diǎn)R,再過點(diǎn)C作PQ_LCR分別交邊DE,BH于點(diǎn)P,Q.若QH=2PE,PQ=15,貝CR

的長為（）

A.14B.15C.8百D.675

10.（2020?湖北孝感市?中考真題）如圖，點(diǎn)E在正方形ABC。的邊CD上,將AADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90。

到AA5廠的位置，連接反，過點(diǎn)A作族的垂線，垂足為點(diǎn)”，與8C交于點(diǎn)G.若5G=3,CG=2,

則CE的長為（）

23

11.（2020?黑龍江大慶市?中考真題）己知兩個直角三角形的三邊長分別為3,4,俄和6,8,n,且這兩個

直角三角形不相似，則機(jī)+〃的值為（）

A.10+療或5+2?B.15C.10+77D.15+3V7

12.（2020?江蘇南通市?中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,AABC和△OEF

C.

的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上.設(shè)△ABC的周長為G,/XOEF的周長為C2,則才的值等于.

13.（2020?山東蒲澤市?中考真題）如圖，矩形A5CO中，AB=5,AZ>=12，點(diǎn)尸在對角線5。上，且

BP=BA,連接AP并延長，交OC的延長線于點(diǎn)Q，連接6Q,則8Q的長為

14.（2020?遼寧盤錦市?中考真題）如圖，△403三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4（5,0）,0（0,0）,仇3,6）,以點(diǎn)。為

2

位似中心，相似比為一，將AAOB縮小，則點(diǎn)5的對應(yīng)點(diǎn)8'的坐標(biāo)是.

3

24

15.（2020?遼寧鞍山市?中考真題）如圖，在口ABC。中，點(diǎn)E是CO的中點(diǎn)，AE,3c的延長線交于點(diǎn)F.若

△ECF的面積為1,則四邊形ABCE的面積為.

16.（2020?山西中考真題）如圖，在WAA6C中，ZACB=90°，AC=3,BC=4,CDLAB,垂足

為D,E為BC的中點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)、F,則。尸的長為.

17.（2020?四川樂山市?中考真題）把兩個含30。角的直角三角板按如圖所示拼接在一起，點(diǎn)E為AO的中

點(diǎn)，連結(jié)無交4C于點(diǎn)尸.則%=_________.

18.（2020?遼寧大連市?中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,點(diǎn)E在邊AO上，CE與BD

相交于點(diǎn)足設(shè)。E=x,BF=y,當(dāng)噴上80寸，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為.

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19.(2020?四川攀枝花市?中考真題)三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個點(diǎn)叫三角形的重心.如圖G是

△A6c的重心.求證：AD^3GD.

20.(2020?廣西中考真題)如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中/C4B

=30°,ND4B=45°,點(diǎn)O為斜邊的中點(diǎn)，連接8交AB于點(diǎn)E.(1)求證：4,B,C,O四個點(diǎn)

在以點(diǎn)。為圓心的同一個圓上；(2)求證：CD平分NAC8；(3)過點(diǎn)力作。尸〃BC交AB于點(diǎn)凡求證：

B()