2023屆河南省上蔡一高高考數(shù)學試題命題比賽模擬試卷

2023屆河南省上蔡一高高考數(shù)學試題命題比賽模擬試卷（19）

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想，

設計兩種乘車方案.方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐

第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P”P2,則（）

115

A.Pi?P2=-B.P（=P2=-C.Pi+P2=-D.Pi<P2

436

2.下列幾何體的三視圖中，恰好有兩個視圖相同的幾何體是（）

A.正方體B.球體

C.圓錐D.長寬高互不相等的長方體

3.《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已

知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機取一點，則此點取自

內(nèi)切圓的概率是（）

717tR式

A.—B.—C.—D.一

12369

4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在（0,1）上是增函數(shù)的是（）.

A./（x）=xlnxB.f（x）=ex-e~x

C./（%）=sin2xD.f（x）=x3-x

5.已知ae（0,;r）,且tana=2,貝！Jcos2a+cosa=（）

A275-3RV5-3「V5+3八2石+3

5555

6.以下四個命題：①兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近1；②在回歸分析中，可用相關指數(shù)

R2的值判斷擬合效果，店越小，模型的擬合效果越好；③若數(shù)據(jù)王,工2/3，，%的方差為1，則

2%+1,2々+1,2玉+1,,2x.+l的方差為4；④已知一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)（不y）,（占,%）,，（%，%），其線

性回歸方程夕=良+4,則“（毛,%）滿足線性回歸方程歹=法+4”是“/=4+”-+之。，%="”

的充要條件；其中真命題的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

7.據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2019年11月全國CH（居民消費價格指數(shù)），同比上漲4.5%,CP/上漲的主要因素是

豬肉價格的上漲，豬肉加上其他畜肉影響CP/上漲3.27個百分點.下圖是2019年11月CP/一籃子商品權重，根據(jù)該

圖，下列結論錯誤的是（）

敦行文化刖

娛樂8.5*

A.CP/一籃子商品中所占權重最大的是居住

B.CP1一籃子商品中吃穿住所占權重超過50%

C.豬肉在CP7一籃子商品中所占權重約為2.5%

D.豬肉與其他畜肉在CP/一籃子商品中所占權重約為0.18%

z—i

8.設復數(shù)二滿足——=i,貝！|z=（）

z+i

A.1B.-1C.i-zD.1+z

9.設非零向量a,b，c,滿足|6|=2,|a|=l,且b與。的夾角為。，則力一為=J?’是"。=（”的（）.

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.已知點A&,y）,網(wǎng)々,%）是函數(shù)/（x）=a6+法2的函數(shù)圖像上的任意兩點，且y=/（x）在點

北?。┨幍那芯€與直線A3平行，貝U（）

A.a=0,5為任意非零實數(shù)B.b=0,a為任意非零實數(shù)

C.a、b均為任意實數(shù)D.不存在滿足條件的實數(shù)a,b

11.趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家，大約公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，

又稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的，如圖（D）,

類比“趙爽弦圖”，可類似地構造如圖（2）所示的圖形，它是由6個全等的三角形與中間的一個小正六邊形組成的一個

大正六邊形，設4'產(chǎn)'=2產(chǎn)幺，若在大正六邊形中隨機取一點，則此點取自小正六邊形的概率為（）

D

12.已知a,b是兩條不同的直線，a,/?是兩個不同的平面，且au￡,a0=b,貝是“a/e”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.四面體A—88中，AB_L底面BCD,AB=BD=O，CB=CD=\,則四面體A-BCD的外接球的表面積為

14.若點N為點M在平面a上的正投影，則記N=A（M）.如圖，在棱長為1的正方體ABC?！狝4G2中，記平

面A8Q為夕，平面A3CD為/,點P是線段CC上一動點，。="力（P）］,Q=%［加P）］.給出下列四個結論:

①①為AgA的重心;

②QQ_L6。；

4

③當CP=g時，P。”平面￡；

④當三棱錐2-APB］的體積最大時，三棱錐D「APg外接球的表面積為2冗.

其中，所有正確結論的序號是.

15.已知函數(shù)“X）是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關于直線1=1對稱，當xe（O,l］時，/（力=一*（其中e是自

然對數(shù)的底數(shù)，若/（2020-ln2）=8,則實數(shù)。的值為.

16.在ABC中，角ARC的對邊分別為。也c,且抄cos6=acosC+ccosA,若ABC外接圓的半徑為空，

3

則A6C面積的最大值是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知等差數(shù)列｛%｝的前n項和為Sn，等比數(shù)列出｝的前n項和為1,且q=4=1,%=S3，4+d=15.

(1)求數(shù)列｛%｝與也｝的通項公式；

(2)求數(shù)列的前〃項和.

18.(12分)如圖，在四棱錐尸一A3CD中，底面ABCD是矩形，M是Q4的中點，叨，平面ABC。，且

PD=CD=4>AD—2.

(1)求AP與平面CM3所成角的正弦.

(2)求二面角M——P的余弦值.

19.(12分)為提供市民的健身素質，某市把A8,C,。四個籃球館全部轉為免費民用

(1)在一次全民健身活動中，四個籃球館的使用場數(shù)如圖，用分層抽樣的方法從A8,。,。四場館的使用場數(shù)中依次

抽?。?4,%，區(qū)共25場，在4，%，。3，%中隨機取兩數(shù)，求這兩數(shù)和4的分布列和數(shù)學期望；

〃場數(shù)

32

MABCDi檢$

(2)設四個籃球館一個月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為X,其相應維修費用為丁元，根據(jù)統(tǒng)計，得到如下表的數(shù)據(jù):

X10152025303540

y10000117611301013980147711544016020

y

Z=0.1/343+22.993.494.054.504.995.495.99

①用最小二乘法求Z與X的回歸直線方程；

②_2_叫做籃球館月惠值，根據(jù)①的結論，試估計這四個籃球館月惠值最大時X的值

x+40

77Z(X,7)(Z,.一Z)

3

參考數(shù)據(jù)和公式：z=4.5,Z(x,-x)2=700,-x)(z：-z)=70,e=20b=上、-----------,a='z-bx

iIZa-萬

i=l

20.(12分)將棱長為2的正方體ABC。-A4G。截去三棱錐R-AC。后得到如圖所示幾何體，。為AG的中點.

(1)求證：OB〃平面AC"；

(2)求二面角C-A"-G的正弦值.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x-2|,g(x)=a|x|-l.

(1)若不等式g(x—3)2—3的解集為[2,4],求"的值.

(2)若當xeR時，/(x)Ng(x),求。的取值范圍.

22.(10分)如圖，已知四棱錐P—ABCD,B4_L平面ABCD,底面A8CZ)為矩形，AB=3,AP=4,E為PD的

中點，AE1PC.

(1)求線段AO的長.

(2)若M為線段BC上一點，且8例=1，求二面角的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.

【詳解】

三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321

3

方案一坐車可能：132、213、231,所以，Pi=-；

6

2

方案二坐車可能：312、321,所以，Pi=-;

6

所以Pl+P2=—

6

故選C.

【點睛】

本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數(shù)，屬于基礎題.

2、C

【解析】

根據(jù)基本幾何體的三視圖確定.

【詳解】

正方體的三個三視圖都是相等的正方形，球的三個三視圖都是相等的圓，圓錐的三個三視圖有一個是圓，另外兩個是

全等的等腰三角形，長寬高互不相等的長方體的三視圖是三個兩兩不全等的矩形.

故選：C.

【點睛】

本題考查基本幾何體的三視圖，掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵.

3、C

【解析】

利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關系求出半徑，再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積，根據(jù)幾何概型的概率計算公

式，即可求解.

【詳解】

由題意，直角三角形的斜邊長為,82+62=10,

利用等面積法，可得其內(nèi)切圓的半徑為「=—3—=2,

6+8+10

TCr_K

所以向次三角形內(nèi)投擲豆子，則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為1=%.

—x6x8

2

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題，其中解答中熟練應用直角三角形的性質，求得其內(nèi)切圓的半徑

是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.

4,B

【解析】

奇函數(shù)滿足定義域關于原點對稱且/(x)+/(-x)=0,在(0,1)上/(x)>0即可.

【詳解】

A：因為/(x)=xlnx定義域為x>(),所以不可能時奇函數(shù)，錯誤；

B：/(*)=/一e-'定義域關于原點對稱，且/(x)+/(—x)=e*—e-x+er—爐=0

滿足奇函數(shù)，又尸(x)=e'+er>0,所以在(0數(shù)上/'(x)NO,正確；

C：/(X)=sin2x定義域關于原點對稱，且/(x)+/(—x)=sin2x+sin—2x=0

滿足奇函數(shù)，尸(x)=2cos2x,在(0,1)上，因為尸(0)尸(1)=2X2COS2<0,所以在(0,1)上不是增函數(shù)，錯誤；

D:/(X)=/—x定義域關于原點對稱，且/(x)+/(-x)=x3-%+(-X3+,=0,

滿足奇函數(shù)，,尸(x)=3f-l在(0,1)上很明顯存在變號零點，所以在(0,1)上不是增函數(shù)，錯誤；

故選：B

【點睛】

此題考查判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，注意奇偶性的前提定義域關于原點對稱，屬于簡單題目.

5、B

【解析】

分析：首先利用同角三角函數(shù)關系式，結合題中所給的角的范圍，求得cosa的值，之后借助于倍角公式，將待求的

式子轉化為關于cosa的式子，代入從而求得結果.

詳解：根據(jù)題中的條件，可得a為銳角，

根據(jù)tancr=2,可求得cosa=如，

5

2_3

而cos2a+cosa=2cos2a+cosa-l=—+——1=-----，故選B.

555

點睛：該題考查的是有關同角三角函數(shù)關系式以及倍角公式的應用，在解題的過程中，需要對已知真切求余弦的方法

要明確，可以應用同角三角函數(shù)關系式求解，也可以結合三角函數(shù)的定義式求解.

6、C

【解析】

①根據(jù)線性相關性與r的關系進行判斷，

②根據(jù)相關指數(shù)依的值的性質進行判斷，

③根據(jù)方差關系進行判斷，

④根據(jù)點(%,%)滿足回歸直線方程，但點(事,及))不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點，而回歸直線必過樣本中心點，

可進行判斷.

【詳解】

①若兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數(shù)r的絕對值越接近于1,故①正確；

②用相關指數(shù)R2的值判斷模型的擬合效果,R2越大,模型的擬合效果越好，故②錯誤；

③若統(tǒng)計數(shù)據(jù)冊/3，，天的方差為1,貝112%+1,2々+1,2工+1,,2x?+l的方差為2?=4,故③正確；

④因為點(%,%)滿足回歸直線方程，但點(%,%)不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點，即+%?,

%二%+)；；_‘地不一定成立，而回歸直線必過樣本中心點，所以當二二五土上［_+如2,%=也

時,點(通,%)必滿足線性回歸方程y=bx+at因此“(%,%)滿足線性回歸方程9=%+是

"%二百+\+內(nèi)。,%=小七一皿"必要不充分條件.故④錯誤;所以正確的命題有①③.

故選：C.

【點睛】

本題考查兩個隨機變量的相關性，擬合性檢驗，兩個線性相關的變量間的方差的關系，以及兩個變量的線性回歸方程,

注意理解每一個量的定義，屬于基礎題.

7、D

【解析】

A.從第一個圖觀察居住占23%,與其他比較即可.B.CP1一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判斷.C.

食品占19.9%,再看第二個圖，分清2.5%是在CP/一籃子商品中，還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在CP/

一籃子商品中所占權重約為2.1%+2.5%=4.6%.

【詳解】

A.CP/一籃子商品中居住占23%,所占權重最大的，故正確.

B.C77一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,權重超過50%,故正確.

C.食品占中19.9%,分解后后可知豬肉是占在C"一籃子商品中所占權重約為2.5%,故正確.

D.豬肉與其他畜肉在CP/一籃子商品中所占權重約為2.1%+2.5%=4.6%,故錯誤.

故選：D

【點睛】

本題主要考查統(tǒng)計圖的識別與應用，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.

8^B

【解析】

利用復數(shù)的四則運算即可求解.

【詳解】

由-~~-=i=>z—i=i(z+z)=>(1—Z)z=i—1=>z=-1.

z+i

故選：B

【點睛】

本題考查了復數(shù)的四則運算，需掌握復數(shù)的運算法則，屬于基礎題.

9、C

【解析】

利用數(shù)量積的定義可得即可判斷出結論.

【詳解】

解：|b—5|=6，b2+a2-2a?b=3,22+1-2x2x1xcos0=3>

1Jr

解得cos0=—,6e[0,如，解得。=一，

23

???是“。=?”的充分必要條件.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查平面向量數(shù)量積的應用，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題.

10、A

【解析】

求得/(x)的導函數(shù)，結合兩點斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，化簡可得。=0,匕為任意非零實數(shù).

【詳解】

依題意f(x)=52+2bx,y=/(x)在點］土產(chǎn)，/［當±處的切線與直線A3平行，即有

aay/x^+叱--bx；

+/?(%+x2)

由于對任意5,w上式都成立，可得。=0，〃為非

=-J+3+沙所以也(\)=惠+石

零實數(shù).

故選：A

【點睛】

本題考查導數(shù)的運用，求切線的斜率，考查兩點的斜率公式，以及化簡運算能力，屬于中檔題.

11、D

【解析】

設AF=a,則AN'=2a,小正六邊形的邊長為A'E'=〃，利用余弦定理可得大正六邊形的邊長為AB=J7a,再

利用面積之比可得結論.

【詳解】

由題意，設AF=a,則A'戶'=為，即小正六邊形的邊長為A'尸'=2a,

TT

所以，F(xiàn)F'=3a,ZAF'F=-,在AA尸戶中，

3

由余弦定理得AF2=AF'2+FF'2-2AF'-FF''cosZAF'F，

即4尸-=4-+(3。)—2a-3cz-cos—,解得AF=■'J^a，

所以，大正六邊形的邊長為AF=J7a，

所以,小正六邊形的面積為§=—x2ax2ax

12

大正六邊形的面積為S?=；x。x缶xgx2+缶x伍==叵/,

S.4

所以，此點取自小正六邊形的概率？n=亍=亍.

ij2/

故選：D.

【點睛】

本題考查概率的求法，考查余弦定理、幾何概型等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題.

12、C

【解析】

根據(jù)線面平行的性質定理和判定定理判斷alia與a/lb的關系即可得到答案.

【詳解】

若alia,根據(jù)線面平行的性質定理，可得a〃b；

若“〃》，根據(jù)線面平行的判定定理，可得?！╝.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了線面平行的性質定理和判定定理，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、4萬

【解析】

由題意畫出圖形，補形為長方體，求其對角線長，可得四面體外接球的半徑，則表面積可求.

【詳解】

解：如圖，在四面體A-3CD中，底面BCD,AB=BD=41，CB=CD=\,

可得/BCD=90。,補形為長方體，則過一個頂點的三條棱長分別為1,1,J5,

則長方體的對角線長為正元互丁=2,則三棱錐A-38的外接球的半徑為1.

其表面積為4;rxF=4萬.

故答案為：4萬.

【點睛】

本題考查多面體外接球表面積的求法，補形是關鍵，屬于中檔題.

14、（D?③

【解析】

①點P在平面ABC。內(nèi)的正投影為點C,而正方體的體對角線與和它不相交的的面對角線垂直，所以直線垂直于

平面Agp,而乙442為正三角形，可得。2為正三角形A44。的重心，所以①是正確的；

②取的中點￡,連接則點P在平面AAR的正投影在上，記為。，而如，平面ACGA.Qr&e平

面AC￡A，所以所以②正確；

4

③若設AEQCC^M,則由PQtAE可得RtAAMC^RtAMPg,然后對應邊成比例，可解CP=<所以③正確;

④由于%「”用=匕>一物4，而A4BQ的面積是定值，所以當點P到平面A8Q的距離最大時，三棱錐，-AP用的

體積最大，而當點尸與點。重合時，點P到平面AgA的距離最大，此時P-為棱長為貶的正四面體，其外

接球半徑/?=且，則S球=3%,所以④錯誤.

2

【詳解】

因為力（P）=C,連接CA，則有C4,-L平面ABQ.CAc平面ABQ=Q2，C4=C4=C〃，為正三角形，

所以a為正三角形AA4。的中心，也是AA42的重心，所以①正確；

由CA，平面ABQ,可知平面AC&A，平面A3Q,記力（P）=Q,

由Br>J.AC,8D_LCG，可得3O_L平面ACC|4，G，Qe平面ACGA，則QQ^B。，所以②正確

2-t

若PQi平面/，則AE,設CP=r(W1),AEcCG=M由Rt_MACsRt_〃pQ得尸。=易得

石

t_2

Q\C=琮Q-t),由世AE,則NPQ]C=NMAC,由tan/PQ]C=tanNM4C得,V2y/29解得

T(2-/)

當P與。重合時，=%TBQ,最大，2-43|。為棱長為0的正四面體，其外接球半徑R=等，則s球=3萬,

所以④錯誤.

故答案為：①②③

【點睛】

此題考查立體幾何中的垂直、平行關系，求幾何體的體積，考查空間想象能力和推理能力，屬于難題.

15、3

【解析】

先推導出函數(shù)y=/(x)的周期為4,可得出/(2020—ln2)=/(—In2)=—〃ln2)=8,代值計算，即可求出實數(shù)。

的值.

【詳解】

由于函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則/(-%)=—/(力,

又該函數(shù)的圖象關于直線x=l對稱，則/(l-x)=/(l+x),

所以，.y(2+x)=/[l—(l+x)]=〃—x)=—〃x),貝!|〃4+x)=—/(x+2)=/(x),

所以，函數(shù)y=/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

所以/(2020—In2)=/(―In2)=-/(In2)=ea,n2=(eln2)"=2"=8,解得a=3.

故答案為：3.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)的對稱性計算函數(shù)值，解題的關鍵就是結合函數(shù)的奇偶性與對稱軸推導出函數(shù)的周期，考查推理能

力與計算能力，屬于中等題.

16、6

【解析】

由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式，結合范圍Be(0,萬)可求B的值，利用正弦定理可求〃的值，

進而根據(jù)余弦定理，基本不等式可求ac的最大值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】

解：2Z?cosB=acosC+ccosA,

/.由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C),

A+B+C=7T,

/.sin(A+C)=sin3,

1JI

又86(0,萬)，.F出臺。。，...2cos3=l,即cosB=-,可得：B=—，

23

■：^ABC外接圓的半徑為空,

3

.b\2一

一.乃一x3,解得8=2,由余弦定理="+/-2accos3，可得a?+c?一4=4,又

sin—

2

/.4=a2+c2-ac..2ac-ac=ac(當且僅當。=c時取等號)，即4c最大值為4,

：.^ABC面積的最大值為；x4sin8=6.

故答案為：百.

【點睛】

本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應

用，考查了轉化思想，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

，1

17、(1)=hn=2"(2)2

【解析】

3x2

⑴設數(shù)列｛??｝的公差為4由%=S3可得,q+4d=3q+-yd,由4=4=1即可解得d=2,故％=2〃-1油

%+%=15，即可解得q=2，進而求得a=2"-'.

(2)由(1)得，S，七="O''利用分組求和及錯位相減法即可求得結果.

nn

【詳解】

(1)設數(shù)列｛%｝的公差為乙數(shù)列也｝的公比為g,

3x2,

由％=$3可得,q+4d=3q+-----a

整理得2q=d,即d=2,

故4=2〃-1,

由%+2=15可得％=8,則如3=8,即4=2,

故—

(2)由⑴得，S“=〃2,C=2"-l,

+1,8-Tn2(2"-1)

n

故出土=_!-----L=n.2-n>

nn

所以，數(shù)列的前〃項和為(ixT+2x2?++〃x2")—(l+2++n),

設匕=1x2+2x2?+.-1)X2"T+〃X2"①,

則2月=1x22+2*23+..+(〃-1)X2"+〃X2"+I②，

(2)-0#/^,=?X2,,+'-(2+22+23+.+2,,)=(n-l)x2H+l+2,

綜上，數(shù)列｛號的前”項和為(〃—1)x2e_〃(；1)+2.

【點睛】

本題考查求等差等比的通項公式，考試分組求和及錯位相減法求數(shù)列的和，考查學生的計算能力，難度一般.

4

18、（1）

5

⑵酒.

10

【解析】

分析：（1）直接建立空間直角坐標系，然后求出面的法向量和已知線的向量，再結合向量的夾角公式求解即可；（2）

先分別得出兩個面的法向量，然后根據(jù)向量交角公式求解即可.

詳解:

（I）VABC。是矩形，

:.ADLCD,

APD±AD,PDLCD,即PD,AD,CO兩兩垂直，

二以。為原點，DA,DC,。尸分別為％軸，＞軸，z軸建立如圖空間直角坐標系，

由PD=C￡＞=4,AD=2,得4（2,0,0）,8（2,4,0）,C（0,4,0）,￡＞（0,0,0）,尸（0,0,4）,A/（1,0,2）,

則AP=(-2,0,4),fiC=(-2,0,0),MS=(1,4,-2),

設平面CMS的一個法向量為勺=（X],y,zJ,

BCn,=0—2%=0

則即,令x=1,得玉=0,4=2,

MB?%=0'%+4y]-2Z[=0

**?%=（0,1,2）,

???8S（AP，*贏=尋南高

4

故AP與平面CMB所成角的正弦值為y.

（2）由（1）可得PC=（O,4,T）,

設平面PBC的一個法向量為%=(x2,y2,z2),

BCn=0—2X=0

則〈2即《2令%=1，得/=。，22=1>

PCn2=Q4y2-4Z2=0

:.建2=(0,1,1),

.?.36用=3=亞,

'/V5-x/210

故二面角M-CB-P的余弦值為上叵.

10

點睛：考查空間立體幾何的線面角，二面角問題，一般直接建立坐標系，結合向量夾角公式求解即可，但要注意坐標

的正確性，坐標錯則結果必錯，務必細心，屬于中檔題.

19、(1)見解析，12.5(2)①3=0.支+2②20

【解析】

(1)運用分層抽樣，結合總場次為100,可求得4，%，。3，。4的值，再運用古典概型的概率計算公式可求解果;

7_7__

(2)①由公式可計算Z(七一%)2,2(七一工)(4-2)的值，進而可求z與X的回歸直線方程;

/=|1=\

②求出g(x),再對函數(shù)求導，結合單調(diào)性，可估計這四個籃球館月惠值最大時X的值.

【詳解】

251

解：(1)抽樣比為益=a，所以。|，。2，。3，。4分別是，6,7,8,5

所以兩數(shù)之和所有可能取值是：10,12,13,15

P(4=10)=g，P(4=12)=；,p(J=13)=；,p(4=15)=:

所以分布列為

*910121315

I

P

136

期望為E(^)=10x1+12x1+13x1+15x1=12.5

6336

7_7__

(2)因為Z(七一%)2=700,Z(x,—x)(z,.-z)=70,

/=1f=l

7__

E(Xj—x)(z,.—z)

701

所以-----=————=——，〃=4.5-0.1x25=2,

￡(Xj—x)270010

/=1

z=0.1x+2；

②z=0.1善+2=。卜+2,

,40,

1+-----Inx

43431nx

設g(x)y,g'(x)=4343x_____

x+40x+40(x+40)2

所以當xe[0,20],g'(x)>0,g(x)遞增，當xe[20,+s),g'(x)<0,g(x)遞減

所以約惠值最大值時的x值為20

【點睛】

本題考查直方圖的實際應用，涉及求概率，平均數(shù)、擬合直線和導數(shù)等問題，關鍵是要讀懂題意，屬于中檔題.

20、(1)見解析；(2)昱.

3

【解析】

(1)取AC的中點加，連接BM、DtM,連接4A，證明出四邊形M80A為平行四邊形，可得出，然

后利用線面平行的判定定理可證得結論；

(2)以點A為坐標原點，AA、4耳、4A所在直線分別為X、丁、z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可

求得二面角c-AA-G的余弦值，進而可求得其正弦值.

【詳解】

(1)取AC中點”，連接MO、BM、RM,

441〃(7。|且411=。。1,，四邊形想。|。為平行四邊形，二4?！?。|且4。=4。1，

O、M分別為4G、AC中點，???A例〃4。且AM=4。，

則四邊形AA.OM為平行四邊形，二OM//AA,且OV=,

A4,//BBf且蝴=BB、,：.OMHBB、且OM=BBt,

所以，四邊形為平行四邊形，且6M=。。，

四邊形MBOB、為平行四邊形，.1OB//D.M,

"Au平面AC",08.平面AC。，.?.08〃平面AC"

（2）以點a為坐標原點，49、44、4A所在直線分別為X、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系4一孫z,

則C（2,2,2）、A（0,0,2）、C,（2,2,0）,D,（2,0,0）,

AD,=（2,0,-2）,AC=（2,2,0）,=（0,2,0）,

設平面ACD,的法向量為,zJ,

m-AC=02%j+2y=0

由13八'得、ct，取$=1,則％^=1,=

m?A。=0[2xl-2z1=0

設平面AQG的法向量為〃=（超,%;2）,

n?D￡=02y2二0八

由<,得ccZ取工2=1，則22=1,H=（1,0,1）,

77?02X2—2Z9=0

m-n2yJ6t--------------------

cos</n-n>=p-^=-^--/==—,...sm<九〃>=Jl-cos?<也〃>=與,

因此，二面角。一AQ-G的正弦值為

3

【點睛】

本題考查線面平行的證明，同時也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.

21、(1)a——2；(2)(—co,—]

2

【解析】

試題分析：(1)求得g(x-3)2-3的解集，根據(jù)集合相等，列出方程組，即可求解4的值;

(2)①當X=O時，k一2|2。|乂一1恒成立，②當XHO時，