廣西百色市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2022年秋季學(xué)期百色市普通高中期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試高二數(shù)學(xué)（滿分：150分；考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線方程求直線的斜率，再求傾斜角.【詳解】直線的斜率，即，，所以傾斜角.故選：C2.若直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】計(jì)算得到結(jié)合線面位置關(guān)系即得解.【詳解】由題得，所以.所以或.故選：D3.已知等差數(shù)列，且，是方程的兩根，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.96 B. C. D.48【答案】D【解析】【分析】利用韋達(dá)定理可得，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，是方程的兩根，所?所以.故選：D.4.“”是“直線和直線平行”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由兩直線平行求得的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】若直線與直線平行，則有，解得或，而當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，舍去，所以，直線與直線平行，所以“”是“直線和直線平行”的充要條件.故選：A.5.已知A為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線焦點(diǎn)，，點(diǎn)A到軸的距離為6，則（）A.2 B.8 C.6 D.10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑公式列式計(jì)算，即得答案.【詳解】由題意A為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)A到軸的距離為6，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，故由可得，即，故選：B6.在正四面體中，，，，為中點(diǎn)，為靠近的三等分點(diǎn)，用向量，，表示（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量加法和減法和數(shù)乘的運(yùn)算，用表示出.【詳解】因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)闉榭拷娜确贮c(diǎn)，所以，所以，∴.故選：A.7.若雙曲線：的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】寫出一條漸近線方程，求出圓心到漸近線的距離，由圓的弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)后得的關(guān)系式，從而變形求得離心率．【詳解】雙曲線：的一條漸近線不妨為：，圓的圓心，半徑為：2，雙曲線：的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，可得圓心到直線的距離為：，所以，，，又，即.故選：D．8.人教A版選擇性必修二教材的封面圖案是斐波那契螺旋線，它被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵?鸚鵡螺等．斐波那契螺旋線的畫法是:以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…為邊長(zhǎng)的正方形拼成長(zhǎng)方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．下圖為該螺旋線在正方形邊長(zhǎng)為1，1，2，3，5，8的部分，如圖建立平面直角坐標(biāo)系（規(guī)定小方格的邊長(zhǎng)為1），則接下來的一段圓弧所在圓的方程為（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由于每一個(gè)圓弧為四分之一圓，從而可求出下一段圓弧所以圓的圓心，進(jìn)而可得其方程【詳解】解：由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由題意可知下一段圓弧過點(diǎn)，因?yàn)槊恳欢螆A弧的圓心角都為90°，所以下一段圓弧所在圓的圓心與點(diǎn)的連線平行于軸，因?yàn)橄乱欢螆A弧的半徑為13，所以所求圓的圓心為，所以所求圓的方程為，故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.三棱錐中，平面與平面的法向量分別為，若，則二面角的大小可能為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由二面角的大小與法向量夾角相等或互補(bǔ)即可求得結(jié)果.【詳解】二面角的大小與法向量的夾角相等或互補(bǔ)，二面角的大小可能為或.故選：BC.10.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.1【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合等差中項(xiàng)列方程求解.【詳解】由題意，，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，由于等比數(shù)列每一項(xiàng)都不是，故，即，解得或.故選：AD11.已知橢圓與雙曲線有共同的左右焦點(diǎn)，，設(shè)橢圓和雙曲線其中一個(gè)公共點(diǎn)為P，且滿足，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則關(guān)于和，下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】假設(shè)點(diǎn)P在第一象限，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)分別為，半焦距為c，根據(jù)定義可知，進(jìn)而解出，再由勾股定理得到間的關(guān)系，進(jìn)而求得答案.【詳解】根據(jù)橢圓和雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)分別為，根據(jù)題意，，聯(lián)立方程組解得：,而，則，于是，由基本不等式，易知，所以.故選：AC.12.《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”．如圖在塹堵中，，且．下列說法正確的是（）A.四棱錐為“陽馬”B.四面體為“鱉臑”C.四棱錐體積最大為D.過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)“陽馬”和“鱉臑”的定義，可判斷A，B的正誤；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四棱錐體積有最大值，求值可判斷C的正誤；根據(jù)題意可證平面，進(jìn)而判斷D的正誤.【詳解】底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，∴在塹堵中，，側(cè)棱平面，A選項(xiàng)，∴，又，且，則平面，∴四棱錐為“陽馬”，對(duì)；B選項(xiàng)，由，即，又且，∴平面，∴，則為直角三角形，又由平面，得為直角三角形，由“塹堵”的定義可得為直角三角形，為直角三角形．∴四面體為“鱉臑”，對(duì)；C選項(xiàng)，在底面有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，錯(cuò)；D選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，則，且，則平面，∴，又且，則平面，所以則，對(duì)；故選：ABD．三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線與圓相切，則實(shí)數(shù)a的值為_________．【答案】【解析】【分析】利用圓心到直線的距離等于半徑即可求解的值.【詳解】解：由題可得圓的圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，即，解得.故答案為：.14.已知直線過點(diǎn)且與以，為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】在坐標(biāo)系中標(biāo)出這三個(gè)點(diǎn)，然后根據(jù)直線和線段有公共點(diǎn)的臨界情況分析.【詳解】在同一坐標(biāo)系下標(biāo)出這三個(gè)點(diǎn)，連接，如圖當(dāng)直線恰好經(jīng)過時(shí)為臨界情況，又，當(dāng)直線從位置順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到位置時(shí)，由傾斜角和斜率的關(guān)系可知，.故答案為：15.已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且，若的面積為9，則b=______．【答案】3【解析】【分析】利用三角形的面積列方程，由此求得.【詳解】設(shè)，由于，所以，，所以.故答案為：16.在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則取到的項(xiàng)：第一次取1；第一次1第二次取2個(gè)連續(xù)的偶數(shù)2，4；第二次24第三次取3個(gè)連續(xù)的奇數(shù)5，7，9；第三次579第四次取4個(gè)連續(xù)的偶數(shù)10，12，14，16，……第四次10121416…………按此規(guī)律一直取下去，得到一個(gè)子數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，…，則在這個(gè)子數(shù)列中，第2020個(gè)數(shù)是___________.【答案】3976【解析】【分析】根據(jù)給定信息確定奇數(shù)行和偶數(shù)行的規(guī)律，再確定2020的位置即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，每次取出的各個(gè)數(shù)從小到大各排成一行，奇數(shù)次取數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，偶數(shù)次取數(shù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)，每一行數(shù)的個(gè)數(shù)與次數(shù)相同，每一行最后一個(gè)數(shù)依次為1，4，9，16，25，…，則第n行最后一個(gè)數(shù)為，前n行數(shù)的總個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，一共有個(gè)數(shù)，于是，第2020個(gè)數(shù)是第64行的第4個(gè)數(shù)，而第63行最后一個(gè)數(shù)為，則第2020個(gè)數(shù)是3976，所以2020個(gè)數(shù)是3976.故答案為：3976四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，首項(xiàng)，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，根據(jù)等比中項(xiàng)的概念即可求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出答案；（2）由（1）得，再根據(jù)分組求和法即可求出答案．【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由已知得，，即，解得或，又，∴，∴；（2）由（1）得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的分組求和法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18.在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)線面平行判定定理，即可證明結(jié)論成立；（2）由（1）可得：到平面的距離就等于點(diǎn)到平面的距離，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的方法求點(diǎn)到面的距離即可.【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，則點(diǎn)為中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）解：因?yàn)槠矫?，所以到平面的距離就等于點(diǎn)到平面的距離.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.設(shè)平面的法向量為，所以，即，即令，則所求距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查證明線面平行，以及求點(diǎn)到面的距離，熟記線面平行的判定定理，靈活運(yùn)用空間向量的方法求點(diǎn)到面的距離即可，屬于?？碱}型.19.圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）求圓與圓的公共弦的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)圓方程為，代入所過的點(diǎn)后可求，從而可求圓的方程.（2）利用兩圓的方程可求公共弦的方程，利用垂徑定理可求公共弦的弦長(zhǎng).【小問1詳解】設(shè)圓的方程為，，，所以圓的方程為；【小問2詳解】由圓的方程和圓的方程可得公共弦的方程為：，整理得到：，到公共弦的距離為，故公共弦的弦長(zhǎng)為：.20.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用求出，從而是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；（2）求出，利用錯(cuò)位相減法求和.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，又的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以；當(dāng)時(shí)，得，所以，又的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以；【小問2詳解】由（1）知，，所以，①，②①-②得：所以.21.三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，，．（1）求證：面面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)M，使得二面角為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AO、，在三角形中分別證明和，再利用勾股定理證明，結(jié)合線面垂直的判定定理可證明平面，再由面面垂直的判定定理即可證明結(jié)果.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)點(diǎn)M存在，設(shè)，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平面的法向量，利用空間向量的方法根據(jù)二面角的平面角為可求出的值.【詳解】（1）取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AO,,，為等腰直角三角形，所以，；側(cè)面為菱形，，所以三角形為為等邊三角形，所以，又，所以，又，滿足，所以；因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫嬷?，所以平面平?（2）由（1）問知：兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間之間坐標(biāo)系.則，，，，若存在點(diǎn)M，則點(diǎn)M在上，不妨設(shè)，則有，則，有，，設(shè)平面的法向量為，則解得：平面的法向量為則解得：或（舍）故存在點(diǎn)M，.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何探索是否存在的問題，屬于中檔題.方法點(diǎn)睛：（1）判斷是否存在的問題，一般先假設(shè)存在；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，作為已知條件，代入計(jì)算；（3）根據(jù)結(jié)果，判斷是否存在.22.已知拋物線C1：與橢圓C2：（）有公共的焦點(diǎn)，C2的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，該橢圓的離心率為.（1）求橢圓C2的方程；（2）如圖，若直線l與x軸，橢圓C2順次交于P，Q，R（P點(diǎn)在橢圓左頂點(diǎn)的左側(cè)），且∠PF1Q與∠PF1R互為補(bǔ)角，求△F1QR面積S的最大值.【答案】（1）（2）【解析】