邏輯學（第4版） 課件 第3-5章 命題邏輯、詞項邏輯、謂詞邏輯

第三章命題邏輯綱要第一節(jié)

聯(lián)結詞與復合命題第二節(jié)

真值形式與命題推理第三節(jié)真值函數(shù)第四節(jié)命題邏輯的公理化2第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題一、判斷、語句和命題判斷是對對象有所斷定的思維形式（1）鳥都是有羽毛的。（2）塑料不是導電的。（3）闖紅燈是犯罪行為。判斷有所斷定，都有真假。判斷通常由陳述句表達，而反問句也間接地表達了判斷。3第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題一、判斷、語句和命題判斷是對對象有所斷定的思維形式判斷有所斷定，都有真假。判斷通常由陳述句表達，而反問句也間接地表達了判斷一般疑問句，沒有做出斷定，沒有真假判斷與語句不是一一對應的同一判斷可以由不同語句表達；同一語句可以表達兩種判斷邏輯學，尤其是傳統(tǒng)邏輯，一般將表達判斷的語句稱為命題。命題都有真假。真假在邏輯上統(tǒng)稱為真值。4第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題二、聯(lián)結詞、原子命題和復合命題原子命題是不包含和自身不同命題的命題。任何一個復合命題總是由兩部分構成：聯(lián)結詞和聯(lián)結詞所聯(lián)結的成分。所聯(lián)結的成分必須是命題，因此，聯(lián)結詞又稱為命題聯(lián)結詞；其所聯(lián)結的命題稱為支命題。聯(lián)結詞屬于邏輯常項；支命題屬于變項，叫命題變項。一般使用p、q、r

等字母表示命題變項復合命題的形式結構類型是由聯(lián)結詞決定的5第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題二、聯(lián)結詞、原子命題和復合命題（1）小張下午喝了一杯咖啡。（2）小張晚上失眠了。（3）小張下午喝了一杯咖啡并且他晚上失眠了。（1）與（2）是原子命題；（3）是復合命題（1）與（2）是它的支命題，“并且”是它的聯(lián)結詞。6第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題二、聯(lián)結詞、原子命題和復合命題（1）小張下午喝了一杯咖啡。（2）小張晚上失眠了。（3）小張下午喝了一杯咖啡并且他晚上失眠了。（4）因為小張下午喝了一杯咖啡，所以他晚上失眠了。（3）與（4）是兩種不同類型的復合命題。真值聯(lián)結詞與非真值聯(lián)結詞：區(qū)別為，所構成的復合命題的真值是否僅由支命題的真值決定的7第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題二、聯(lián)結詞、原子命題和復合命題作為復合命題的支命題未必是原子命題（5）（小張下午喝了一杯咖啡并且他晚上失眠了），但是，并非他第二天上班遲到了。我們要求命題是有窮長的8第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題二、聯(lián)結詞、原子命題和復合命題有些推理的有效性僅依賴于命題聯(lián)結詞命題邏輯就是通過研究命題聯(lián)結詞的邏輯特性研究命題推理有效性常用的聯(lián)結詞有“并非”、“并且”、“或者”、“如果，那么”和“當且僅當”為結合自然語言分析，一般都增加“要么，要么”和“只有，才”9第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（一）負命題負命題就是否定某個命題的命題。負命題也叫否定命題被否定的命題叫否定支。表達否定的聯(lián)結詞中，典型的是“并非”并非所有的天鵝都是白的。并非只有高年級同學才能選修這門課負命題的一般形式是：并非p。其中“并非”是邏輯常項，“p”是命題變項，是支命題，叫否定支。現(xiàn)代邏輯：以﹁表示對“并非”的邏輯抽象；﹁p10第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（一）負命題負命題就是否定某個命題的命題。負命題也叫否定命題。負命題的真值表p﹁p真假假真11第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（二）聯(lián)言命題聯(lián)言命題就是斷定了幾種事物情況同時存在的命題生命不可能有兩次，但是許多人連一次也不善于度過。哲學家們只是用不同的方式解釋世界，而問題在于改變世界。聯(lián)言命題的一般形式是：p

并且

q。其中，“并且”是邏輯常項，p、q

稱為聯(lián)言支，是變項。12第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（二）聯(lián)言命題聯(lián)言命題就是斷定了幾種事物情況同時存在的命題聯(lián)言命題的一般形式是：p

并且q。其中，“并且”是邏輯常項，p、q稱為聯(lián)言支，是變項?！安坏玴，而且q”、“既p

，又q”、“雖然p

，但是q”、“不僅p，也q”路遙知馬力，日久見人心?，F(xiàn)代邏輯：以“∧”表示對“并且”的邏輯抽象；p∧q讀作“p合取q”13第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（二）聯(lián)言命題聯(lián)言命題就是斷定了幾種事物情況同時存在的命題聯(lián)言命題的真值表pqp∧q真真真真假假假真假假假假14第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（二）聯(lián)言命題聯(lián)言命題就是斷定了幾種事物情況同時存在的命題“并且”，合取符號∧，是個二元聯(lián)結詞。當一個聯(lián)言命題有三個支命題時，其自然語言表達往往寫成“p

并且q

并且r”，嚴格表達應為：

p并且(q并且r)

，或者（p并且q)

并且r

[以∧表示應為：p

∧(q∧r)或者(p

∧q)∧r]。但是，先左結合的結果，與先右結合的是一樣的15第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（二）聯(lián)言命題有關聯(lián)言命題如下兩種推理形式：1.分解式

p

并且q

p∧q

所以，p∴p

或者

p并且q

p∧q

所以，q∴q

16第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（二）聯(lián)言命題有關聯(lián)言命題如下兩種推理形式：2.合成式17第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（三）選言命題選言命題就是斷定了幾種事物情況至少有一種存在的復合命題。學習成績不好，或者是由于主觀不夠努力，或者是由于方法不得當。人固有一死，或重于泰山，或輕于鴻毛。選言命題的支命題稱為選言支。有的選言命題的選言支可以同時成立，有的則不能。第一個例子中的兩種情況可以同時存在第二個例子中的兩種情況是不能并存的18第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（三）選言命題1.相容選言命題相容選言命題是斷定了幾種事物情況至少有一種存在，而且可以同時存在的選言命題相容選言命題的一般形式是：p或者q，“或者”是邏輯常項現(xiàn)代邏輯以“∨”表示對“或者”的進一步邏輯抽象“p∨

q”叫做析取式，讀作“p析取q”，p、q叫做析取支。19第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（三）選言命題1.相容選言命題相容選言命題是斷定了幾種事物情況至少有一種存在，而且可以同時存在的選言命題pq

p∨

q真真真真假真假真真假假假20第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（三）選言命題1.相容選言命題（1）否定肯定式21第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（三）選言命題1.相容選言命題（2）析取引入律22第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題

23第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（三）選言命題2.不相容選言命題不相容選言命題是斷定了幾種事物情況有且只有一種存在的選言命題pq要么p，要么q真真假真假真假真假假假真24第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（三）選言命題2.不相容選言命題pqr要么p，要么q，要么r真真真假真真假假真假真假真假假真假真真假假真假真假假真真假假假假25第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（三）選言命題2.不相容選言命題不相容選言命題是斷定了幾種事物情況有且只有一種存在的選言命題“要么，要么”雖是邏輯常項，但不是通常意義上的函數(shù)二元真值聯(lián)結詞。因為將它看作二元真值聯(lián)結詞，26第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題

27第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題

28第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題

29第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題

30第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題1.條件關系與假言命題事物之間的條件關系包括充分條件關系和必要條件關系。A是B的充分條件指：有

A則有B。A是B的必要條件指：無A則無

B。因此，從充分與必要兩種條件關系考慮，事物之間的關系有四種：充分不必要；必要不充分；既充分又必要；既不充分又不必要。31第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題1.條件關系與假言命題事物之間的條件關系包括充分條件關系和必要條件關系?！按笥?”是“大于3”的充分條件，但不是必要條件“年滿18周歲”是“擁有選舉權”的必要條件，但不是充分條件“是等邊三角形”是“是等角三角形”的既充分又必要條件。這種條件關系也簡稱為充要條件“感染新冠病毒”既不是“咳嗽”的充分條件也不是“咳嗽”的必要條件。32第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題1.條件關系與假言命題33第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題1.條件關系與假言命題34第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題1.條件關系與假言命題假言命題是斷定兩種事物情況之間條件關系的復合命題。有兩個支命題，表示條件的支命題叫前件，表示依賴條件而成立的支命題叫后件。根據(jù)假言命題斷定前件是后件的何種條件，假言命題分為三種：充分條件假言命題、必要條件假言命題和充要條件假言命題。35第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題2.充分條件假言命題充分條件假言命題是斷定前件是后件的充分條件的假言命題。例如：如果法國隊贏得下一場比賽，它將成功晉級決賽。斷定了“法國隊贏得下一場比賽”是“法國隊成功晉級決賽”的充分條件36第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題2.充分條件假言命題充分條件假言命題是斷定前件是后件的充分條件的假言命題。pqp→q真真真真假假假真真假假真37第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題2.充分條件假言命題“p→q”與“如果p，那么q”的涵義不完全相同。后者更多時候被稱為（充分）條件句。前者是對條件句的一種抽象，僅考慮前件、后件與條件句三者之間在真假方面的關系，斷定：一個為真的（充分）條件句排除了前件真而后件假這種情況，而不考慮其他如因果、時空等涉及內容意義方面的因素。38第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題2.充分條件假言命題“p→q”與“如果p，那么q”的涵義不完全相同。人們會認為，“如果2+2=4，那么雪是白的”是一個病句，因為我們看不出前件與后件之間有什么內容上的關聯(lián)。另外，前件為假的充分條件假言命題的真值都為真，也與直覺不符。39第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題2.充分條件假言命題“p→q”與“如果p，那么q”的涵義不完全相同。例如，一名旅客因為晚到檢票口三分鐘而錯過列車，基于此，人們很自然會認為以下兩個語句的真值是不同的。如果這名旅客早5分鐘到檢票點，那么他能趕上他想坐的那趟列車。如果這名旅客早5分鐘到檢票點，那么他不能趕上他想坐的那趟列車。40第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題2.充分條件假言命題“p→q”與“如果p，那么q”的涵義不完全相同。然而，將“如果，那么”抽象成“→”，僅考慮真值，那么二者都為真。這也是為什么人們稱上述真值表所定義的這種蘊涵為實質蘊涵的一個原因?！皩嵸|”意為僅考慮最為本質的因素。對于探求知識而言，真是最本質關鍵的因素。相應地，人們稱這種背離直覺為實質蘊涵怪論。41第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題2.充分條件假言命題（1）肯定前件式42第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題2.充分條件假言命題（2）否定后件式

43第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題

44第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題3.必要條件假言命題必要條件假言命題是斷定前件是后件的必要條件的假言命題。pq真真真真假真假真假假假真45第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題

46第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題3.必要條件假言命題（2）肯定后件式

47第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題

48第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題4.充要條件假言命題充要條件假言命題是斷定前件是后件的充要條件的假言命題。49第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題4.充要條件假言命題（1）肯定前件式

50第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題4.充要條件假言命題（2）肯定后件式51第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題4.充要條件假言命題（3）否定前件式

52第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題三、基本復合命題及其推理形式（四）假言命題4.充要條件假言命題（4）否定后件式53第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題五、組合推理形式（一）二難推理如果我說的是真話，那么，你不應當任命我為法官。如果我撒謊，那么，你不應當任命我為法官?；蛘呶艺f真話，或者我撒謊。所以，你不應當任命我為法官。54第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題五、組合推理形式（一）二難推理二難推理是由兩個充分條件假言命題與一個選言命題構成的推理形式，也叫假言選言推理。如果他有勇氣，他就敢于同困難作斗爭。如果他有智慧，他就善于同困難作斗爭。他或者不敢同困難作斗爭，或者不善于同困難作斗爭。所以，他或者缺少勇氣，或者缺少智慧。55第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題五、組合推理形式（一）二難推理1.簡單構成式

56第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題五、組合推理形式（一）二難推理2.簡單破壞式57第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題五、組合推理形式（一）二難推理3.復雜構成式

58第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題五、組合推理形式（一）二難推理4.復雜破壞式59第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題五、組合推理形式（二）反三段論反三段論是由充分條件假言命題和聯(lián)言命題組合得到的一種常見的推理形式。如果你簽訂了合同，同時又履行了合同義務，那么你就不承擔違約責任。你簽訂了合同并且承擔了違約責任。所以，你沒有履行合同義務。60第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題五、組合推理形式（二）反三段論1.61第一節(jié)聯(lián)結詞與復合命題五、組合推理形式（二）反三段論2.62第二節(jié)真值形式與命題推理一、真值形式（一）真值形式與真值表1.真值形式真值形式是由命題變項與（命題）聯(lián)結詞合乎規(guī)則地構成的有窮長的符號表達式。它是在命題邏輯層次上解析命題得到的形式結構。特別地，我們規(guī)定單個命題變項也是真值形式。

63第二節(jié)真值形式與命題推理一、真值形式（一）真值形式與真值表1.真值形式真值形式是由命題變項與（命題）聯(lián)結詞合乎規(guī)則地構成的有窮長的符號表達式。所用聯(lián)結詞本身聯(lián)結多少個支命題必須是明確的。在表達式中出現(xiàn)的聯(lián)結詞作用在哪個或哪些支命題上是明確的。64第二節(jié)真值形式與命題推理一、真值形式（一）真值形式與真值表2.真值表如何畫真值形式的真值首先，分析由命題變項開始如何逐步得到完整的真值形式由的過程。65第二節(jié)真值形式與命題推理一、真值形式（一）真值形式與真值表2.真值表如何畫真值形式的真值首先，分析由命題變項開始如何逐步得到完整的真值形式由的過程。66第二節(jié)真值形式與命題推理一、真值形式（一）真值形式與真值表2.真值表其次，寫下所有命題變項的全部真值組合。67第二節(jié)真值形式與命題推理一、真值形式（一）真值形式與真值表最后，根據(jù)常用聯(lián)結詞的真值表表計算出每一種組合下每列真值形式的值。68第二節(jié)真值形式與命題推理一、真值形式（一）真值形式與真值表2.真值表一個真值形式的真值表列值，是指其真值表中，其所在之列對應的值。如上表中最右列即為真值形式69第二節(jié)真值形式與命題推理一、真值形式（一）真值形式與真值表2.真值表一個真值形式的真值表列值，是指其真值表中，其所在之列對應的值。一個真值形式的真值表列值如果都為真，我們稱該真值形式為重言式；如果都為假，我們稱其為矛盾式，介于二者之間者，即有真也有假者，為偶真式，或可真可假式。70第二節(jié)真值形式與命題推理一、真值形式（二）基本復合命題的負命題1.負命題的負命題“并非‘非P’”等值于“P”用符號表示即為：71第二節(jié)真值形式與命題推理一、真值形式（二）基本復合命題的負命題2.聯(lián)言命題的負命題“并非‘p并且q’”等值于“非p

，或者，非q”用符號表示即為：72第二節(jié)真值形式與命題推理一、真值形式（二）基本復合命題的負命題3.相容選言命題的負命題“并非‘p

或者q’”等值于“非p，并且，非q”用符號表示即為：73第二節(jié)真值形式與命題推理

真真假真假假假真真真真假真假假真假假假真假真真假真假假假假真假假假真真真真假真真74第二節(jié)真值形式與命題推理

75第二節(jié)真值形式與命題推理一、真值形式（二）基本復合命題的負命題7.充要條件假言命題的負命題76第二節(jié)真值形式與命題推理一、真值形式（三）重言式的判定方法1.歸謬賦值法簡化真值表方法。給定一個蘊涵式，為判定它是否為重言式，先假設它不是重言式，因而其前件真而后件假。接著由此分析其前件與后件所包含的支命題的取值，直至確定其中命題變項的取值。在此過程中如果出現(xiàn)要給同一個真值形式（通常是命題變項）既賦予真又賦予假這種矛盾情況，則說明所給的蘊涵式是重言式；否則，就不是重言式。理論上，它可用于判定任何一種真值形式是否為重言式。77第二節(jié)真值形式與命題推理一、真值形式（三）重言式的判定方法1.范式方法78第二節(jié)真值形式與命題推理一、真值形式（三）重言式的判定方法1.范式方法一個合取范式是重言式當且僅當其每個成員都是重言式。一個析取范式是矛盾式當且僅當其每個成員都是矛盾式79第二節(jié)真值形式與命題推理一、真值形式（三）重言式的判定方法1.范式方法命題3.3將一個真值形式中的某部分（或全部，即該真值形式本身）替換與之等值的真值形式，所得結果與原真值形式等值。這種替換叫等值置換。命題3.4任意一個真值形式總是等值于一個合取范式，也等值于一個析取范式。與其等值的合取范式（析取范式）稱為它的合取范式（析取范式）。80第二節(jié)真值形式與命題推理一、真值形式（三）重言式的判定方法上式是合取范式。它既不是重言式也不是矛盾式。81第二節(jié)真值形式與命題推理二、命題推理及其有效性判定（一）復合命題的真值形式例3.6寫出下列復合命題的真值形式。（1）哲學不消滅無產(chǎn)階級，就不能成為現(xiàn)實；無產(chǎn)階級不把哲學變成現(xiàn)實，就不可能消滅自己。82第二節(jié)真值形式與命題推理二、命題推理及其有效性判定（二）一般命題推理及其判定83第二節(jié)真值形式與命題推理二、命題推理及其有效性判定（二）一般命題推理及其判定例3.7

寫出下列命題推理的真值形式。（1）如果按前面所提到的多年教科書中對真理發(fā)展規(guī)律的表述，把意見的矛盾斗爭簡單化，認為真理與錯誤一開始便界限分明，相比較而存在，相斗爭而發(fā)展，那就必然會自居真理，把自己的意見當成真理，而把不同意自己的意見一律當作謬論，要進行批判、斗爭84第三節(jié)真值函數(shù)一、n元真值函數(shù)的總數(shù)一元真值函數(shù)的定義域就是真值集｛真、假｝。它有兩個元素。一元真值函數(shù)有4個，如下表所示：85第三節(jié)真值函數(shù)一、n元真值函數(shù)的總數(shù)86第三節(jié)真值函數(shù)二、真值函數(shù)集的完備性真值函數(shù)有無窮多個，常用的是前面討論的那五個。這五個常用的真值函數(shù)是否足夠？足夠是指僅用這五個就足以“表示”全部真值函數(shù)。答案是肯定的。下面先定義表示，然后對上述肯定答案作出詳細說明。87第三節(jié)真值函數(shù)二、真值函數(shù)集的完備性否則，它至少在一種情況下取真。以如下三元真值函數(shù)為例我們說明如何構造一個析取范式表示

。以下函數(shù)在三種情況下為取真，我們就分別構造三個簡單合取。88第三節(jié)真值函數(shù)二、真值函數(shù)集的完備性89第三節(jié)真值函數(shù)二、真值函數(shù)集的完備性90第三節(jié)真值函數(shù)二、真值函數(shù)集的完備性91第四節(jié)命題邏輯的公理化一、形式化與公理化傳統(tǒng)邏輯研究基本依賴自然語言。邏輯常項也都沿用自然語言，如前面學習的“并且”、“如果，那么”。而現(xiàn)代邏輯采用特制的符號表示研究對象，高度抽象，到后來漸趨嚴格，以至形式化。除形式化外，現(xiàn)代邏輯另一個重要特點是使用古希臘開創(chuàng)的演繹體系，將理論系統(tǒng)化，稱為公理化。這兩點是現(xiàn)代邏輯與傳統(tǒng)邏輯在研究方法上的主要區(qū)別。92第四節(jié)命題邏輯的公理化二、命題邏輯的形式公理系統(tǒng)（一）形式語言93第四節(jié)命題邏輯的公理化二、命題邏輯的形式公理系統(tǒng)（一）形式語言1．初始符號94第四節(jié)命題邏輯的公理化二、命題邏輯的形式公理系統(tǒng)（一）形式語言1．初始符號2.形成規(guī)則95第四節(jié)命題邏輯的公理化二、命題邏輯的形式公理系統(tǒng)（二）形式語義學96第四節(jié)命題邏輯的公理化

97第四節(jié)命題邏輯的公理化

98第四節(jié)命題邏輯的公理化二、命題邏輯的形式公理系統(tǒng)（三）命題邏輯的一個公理系統(tǒng)PP的公理與推理規(guī)則如下：1.公理（模式）公理是具有如下三種模式之一的公式99第四節(jié)命題邏輯的公理化二、命題邏輯的形式公理系統(tǒng)（三）命題邏輯的一個公理系統(tǒng)PP的公理與推理規(guī)則如下：1.公理（模式）2.推理規(guī)則100第四節(jié)命題邏輯的公理化二、命題邏輯的形式公理系統(tǒng)（三）命題邏輯的一個公理系統(tǒng)PP的公理與推理規(guī)則如下：101第四節(jié)命題邏輯的公理化二、命題邏輯的形式公理系統(tǒng)102第四節(jié)命題邏輯的公理化二、命題邏輯的形式公理系統(tǒng)103第四節(jié)命題邏輯的公理化二、命題邏輯的形式公理系統(tǒng)104補充材料關于命題邏輯，可以進一步閱讀以下著作：1.《數(shù)理邏輯基礎——一階邏輯與一階理論》，作者：陳慕澤，余俊偉，中國人民大學出版社2003年出版。2.數(shù)理邏輯：證明及其限度，作者：楊躍，郝兆寬，復旦大學2020年出版。3.AMathematicalIntroductiontoLogic,2nd,作者:[美]HerbertB.Enderton,人民郵電出版社2006年出版。105第四章詞項邏輯綱要第一節(jié)

直言命題第二節(jié)

直接推理第三節(jié)直言三段論107第一節(jié)直言命題一、直言命題的定義和結構直言命題是斷定對象具有或不具有某種性質的命題，亦稱性質命題。如：（1）所有哺乳動物是脊椎動物。（2）有動物不是胎生。108第一節(jié)直言命題一、直言命題的定義和結構直言命題由主項、謂項、聯(lián)項和量項四要素構成。主項表示所斷定的對象。如例（1）、（2）中的“哺乳動物”、“動物”。謂項表示所斷定的性質。如例（1）、（2）中的“脊椎動物”、“胎生”。主項和謂詞統(tǒng)稱詞項。通常用大寫字母S、P等表示詞項。109第一節(jié)直言命題一、直言命題的定義和結構直言命題由主項、謂項、聯(lián)項和量項四要素構成。聯(lián)項表示所作的斷定，即肯定或否定。表示肯定的聯(lián)項，稱為肯定聯(lián)項，一般用“是”表示。表示否定的聯(lián)項，稱為否定聯(lián)項，一般用“不是”表示。聯(lián)項表示主項和謂項肯定或否定的聯(lián)系。聯(lián)項刻畫直言命題的質。直言命題的質，指它是肯定命題或否定命題。如例（1）是肯定命題，例（2）是否定命題。110第一節(jié)直言命題一、直言命題的定義和結構直言命題由主項、謂項、聯(lián)項和量項四要素構成。量項表示主項外延被斷定的情況。量項有全稱和特稱的不同。全稱量項一般用“所有”、“任一”等表示。特稱量項一般用“有”、“有的”、“有些”等表示。111第一節(jié)直言命題二、直言命題的種類直言命題按質分為肯定和否定命題，按量分為全稱和特稱命題。直言命題可分為以下四種：全稱肯定命題的標準形式為：所有S是P，簡記為SAP。簡稱A命題。全稱否定命題的標準形式為：所有S不是P，簡記為SEP。簡稱E命題。特稱肯定命題的標準形式為：有S是P，簡記為SIP。簡稱I命題。特稱否定命題的標準形式為：有S不是P，簡記為SOP。簡稱O命題。需要說明：112第一節(jié)直言命題二、直言命題的種類第一，主項為單獨概念的直言命題，稱為單稱命題。如：（1）魯迅是中國文化革命的主將。（2）多瑙河不是歐洲最長的河流。第二，邏輯上的特稱量項“有”和日常語言中的“有”，含義不完全相同。在日常語言中，當斷定“有S是P”的時候，通常還包含著“有S不是P”的含義。但是，邏輯上的特稱量項“有”，并不包含這一含義。113第一節(jié)直言命題三、自然語言中直言命題的規(guī)范化自然語言中的直言命題，有些以標準形式表達，大量的以非標準形式表達。如：（1）沒有無因之果。（2）天鵝不都白。（3）魚目豈能混珠。（4）不少植物不是多年生。114第一節(jié)直言命題三、自然語言中直言命題的規(guī)范化自然語言中的直言命題，有些以標準形式表達，大量的以非標準形式表達。如：（1）沒有無因之果?！八薪Y果是有原因的”，是A命題（2）天鵝不都白?！坝刑禊Z不是白的”，是I命題（3）魚目豈能混珠?！八恤~目不是能混珠的”，是E命題（4）不少植物不是多年生。“有植物不是多年生”，是O命題115第一節(jié)直言命題三、自然語言中直言命題的規(guī)范化自然語言中的直言命題，有些以標準形式表達，大量的以非標準形式表達。對自然語言中的直言命題作規(guī)范化分析，需注意兩點：第一，不能改變命題的原義。例如，如果把命題（2）整理成“有些天鵝是白的”，就改變了原義。第二，同一命題，在不改變原義的前提下，可以整理成不同的規(guī)范形式。116第一節(jié)直言命題四、直言命題中詞項的周延性直言命題的詞項周延性，是在詞項邏輯中判定推理有效性的一個重要概念。直言命題的主項和謂項，統(tǒng)稱為詞項。在一個直言命題中，如果其主項或謂項的全部外延都被斷定，就稱該主項或謂項是周延的；否則，就稱為是不周延的。117第一節(jié)直言命題四、直言命題中詞項的周延性周延性的一般規(guī)則是：全稱命題主項周延；特稱命題主項不周延；肯定命題謂項不周延；否定命題謂項周延。118第一節(jié)直言命題五、主、謂項相同的四種直言命題間的真假關系直言命題的主、謂項相同，稱它們是同一素材。如：（1）所有困難是可以克服的。（2）所有困難不是可以克服的。（3）有困難是可以克服的。（4）有困難不是可以克服的。119第一節(jié)直言命題五、主、謂項相同的四種直言命題間的真假關系直言命題的主、謂項相同，稱它們是同一素材。同一素材的命題間，在真假方面存在著互相制約關系。若“所有癌癥都不是傳染的”真，則“有癌癥是傳染的”假。同一素材直言命題間的真假關系，稱為對當關系。120第一節(jié)直言命題五、主、謂項相同的四種直言命題間的真假關系直言命題的真假，與其主、謂項外延間的關系有確定聯(lián)系。主項S和謂項P外延間的關系，有且只有五種情況：S和P是全同關系；P和S是屬種關系（P真包含S）；S和P是屬種關系（S真包含P）；S和P是交叉關系；S和P是不相容關系。121第一節(jié)直言命題五、主、謂項相同的四種直言命題間的真假關系在上述五種關系下，SAP、SEP、SIP和SOP這四種同一素材的直言命題，都有惟一確定的真假。如下圖所示：122第一節(jié)直言命題五、主、謂項相同的四種直言命題間的真假關系由此得到同一素材的四種直言命題間的對當關系：矛盾關系。分別存在于A和O、E和I之間。具有矛盾關系的兩個命題，不能同真，也不能同假。反對關系。存在于A和E之間。具有反對關系的命題，不能同真，可以同假。下反對關系。存在于I和O之間。具有下反對關系的命題，可以同真，不能同假。從屬關系。分別存在于A和I、E和O之間。具有從屬關系的兩個命題，一個是全稱命題，另一個是特稱命題。全稱命題蘊涵特稱命題。123第一節(jié)直言命題五、主、謂項相同的四種直言命題間的真假關系124第一節(jié)直言命題五、主、謂項相同的四種直言命題間的真假關系例4.1已知：“所有公民要守法”真，求同一素材的其他命題的真假。解析：由條件，已知A命題真。由矛盾關系，由A真可推知O假，即“有公民不要守法”假；由從屬關系，由A真可推知I真，即“有公民要守法”真；由反對關系，由A真可推知E假，即“所有公民不要守法”假。125第一節(jié)直言命題五、主、謂項相同的四種直言命題間的真假關系需要說明：第一，對當關系的成立，是以直言命題的主項非空（即主項所斷定的對象是存在的）為條件。如果主項是空概念，即它所斷定的對象不存在，那么，對當關系就不普遍成立。126第一節(jié)直言命題五、主、謂項相同的四種直言命題間的真假關系127第一節(jié)直言命題五、主、謂項相同的四種直言命題間的真假關系需要說明：第二，在對當關系中，單稱命題不能作全稱命題處理。因為單稱肯定命題和單稱否定命題是矛盾關系，如果把它們分別處理為全稱肯定命題和全稱否定命題，就成為反對關系。例如，如果把單稱命題作全稱命題來處理，則“魯迅是文學家”和“魯迅不是文學家”就成為反對關系，不能設想，這兩個命題可以同假。128第二節(jié)直接推理一、對當關系直接推理（一）反對關系直接推理依據(jù)反對關系，可由A真推得E假，由E真推得A假。于是有下列推理形式：129第二節(jié)直接推理一、對當關系直接推理（三）矛盾關系直接推理130第二節(jié)直接推理一、對當關系直接推理（四）從屬關系直接推理131第二節(jié)直接推理二、命題變形直接推理命題變形直接推理有換質法和換位法。（一）換質法換質法是通過改變前提的質，即由肯定變否定，或由否定變肯定，從而推出結論的方法。要求如下：第一，結論和前提不同質，即如果前提是肯定命題，則結論是否定命題；如果前提是否定命題，則結論是肯定命題。第二，結論不改變前提的量，即如果前提是全稱命題，則結論是全稱命題；如果前提是特稱命題，則結論是特稱命題。第三，用與前提的謂項構成矛盾關系的概念，作為結論的謂項。結論謂項與前提謂項間的關系，必須是矛盾關系，不能是其他關系，如不能是反對關系。132第二節(jié)直接推理二、命題變形直接推理命題變形直接推理有換質法和換位法。（一）換質法133第二節(jié)直接推理二、命題變形直接推理（二）換位法換位法是通過改變前提主、謂項的位置，從而推出結論的方法。要求如下：第一，改變前提主、謂項的位置，即前提的主項作結論的謂項，前提的謂項作結論的主項。第二，保持前提的質不變，即如果前提是肯定命題，則結論是肯定命題；如果前提是否定命題，則結論是否定命題。第三，在前提中不周延的詞項，在結論中不得周延。134第二節(jié)直接推理二、命題變形直接推理（二）換位法換位法是通過改變前提主、謂項的位置，從而推出結論的方法。要求如下：第一，改變前提主、謂項的位置，即前提的主項作結論的謂項，前提的謂項作結論的主項。第二，保持前提的質不變，即如果前提是肯定命題，則結論是肯定命題；如果前提是否定命題，則結論是否定命題。第三，在前提中不周延的詞項，在結論中不得周延。對SOP不能進行換位。因為S在SOP中是不周延的，如果將SOP換位，則S在結論作為否定命題的謂項是周延的，違反規(guī)則。135第二節(jié)直接推理二、命題變形直接推理（三）換質法和換位法的綜合運用從一個給定的前提出發(fā)，可以按照兩條不同的路線，連續(xù)地進行命題變形的直接推理：第一，先換質，再換位，再連續(xù)交替地換質、換位，直至不能換位。這稱為換質位法。第二，先換位，再換質，再連續(xù)交替地換位、再質，直至不能換位。這稱為換位質法。136第二節(jié)直接推理二、命題變形直接推理（三）換質法和換位法的綜合運用四種直言命題連續(xù)變形推理的有效式如下：137第二節(jié)直接推理二、命題變形直接推理（三）換質法和換位法的綜合運用四種直言命題連續(xù)變形推理的有效式如下：SOP（不能先換位）138第三節(jié)直言三段論二、命題變形直接推理一、言三段論的定義和結構定義：直言三段論是由三個直言命題構成的推理形式。它滿足以下三個條件：第一，這三個直言命題，包含且只包含三個不同的詞項。第二，每個詞項，在任意一個命題中至多出現(xiàn)一次，但在這三個直言命題中共出現(xiàn)兩次。第三，以其中的兩個命題為前提，以第三個命題為結論。如：

所有整數(shù)是有理數(shù)。

所有自然數(shù)是整數(shù)。

所以，所有自然數(shù)是有理數(shù)。139第三節(jié)直言三段論二、命題變形直接推理一、言三段論的定義和結構結構：三個命題、三個項。中項：有且只有一個詞項，不在結論中出現(xiàn)，而只在前提中出現(xiàn)兩次，這個詞項稱為中項，用M表示。如上例中的“整數(shù)”。小項：結論的主項稱為小項，用S表示。如上例中的“自然數(shù)”。小前提：包含小項的前提，稱小前提。如上例中的“所有自然數(shù)是整數(shù)”。大項：結論的謂項稱為大項，用P表示。如上例中的“有理數(shù)”。大前提：包含大項的前提，叫大前提。如上例中的“所有整數(shù)是有理數(shù)”。上例可表示為如下形式： MAP SAM ∴SAP140第三節(jié)直言三段論二、命題變形直接推理二、直言三段論的公理直言三段論之所以能從兩個直言命題出發(fā)，得到一個新的直言命題，是基于以下公理：一類對象的全部，是什么或不是什么，那么，這類對象中的部分對象，也是什么或不是什么，或者說，當肯定或否定全部時，也就肯定或否定了部分。

所有整數(shù)都不是無理數(shù)。

自然數(shù)都是整數(shù)。

所以，自然數(shù)不是無理數(shù)141第三節(jié)直言三段論三、直言三段論的規(guī)則基本規(guī)則（一）中項在前提中至少周延一次。（二）前提中不周延的項，在結論中也不得周延。（三）兩個否定前提不能得結論。（四）兩個前提中有一個是否定的，結論也必然是否定的。（五）如果結論是否定的，前提之一必是否定的。142第三節(jié)直言三段論三、直言三段論的規(guī)則導出規(guī)則（六）兩個特稱前提不能得結論。（七）兩個前提中有一個特稱，結論也是特稱。143第三節(jié)直言三段論四、直言三段論的格與式（一）直言三段論的格直言三段論的格，指由于中項在兩個前提中位置不同所形成的三段論形式。直言三段論有四種格：第一格：中項是大前提主項、小前提謂項。144第三節(jié)直言三段論四、直言三段論的格與式（一）直言三段論的格第二格：中項是大、小前提謂項。145第三節(jié)直言三段論四、直言三段論的格與式（一）直言三段論的格第三格：中項是大、小前提主項。146第三節(jié)直言三段論四、直言三段論的格與式（一）直言三段論的格第四格：中項是大前提謂項、小前提主項。147第三節(jié)直言三段論四、直言三段論的格與式（一）直言三段論的格將三段論基本規(guī)則，運用于每個格，可得到每個格的特殊規(guī)則。第一格的特殊規(guī)則是：（1）小前提必須是肯定命題；（2）大前提必須全稱命題。（審判格或證明格）第二格的特殊規(guī)則是：（1）兩個前提中必須有一個是否定命題；（2）大前提必須全稱命題。（區(qū)別格）第三格的特殊規(guī)則是：（1）小前提必須是肯定命題；（2）結論必須是特稱命題。（反駁格）148第三節(jié)直言三段論四、直言三段論的格與式（二）直言三段論的式直言三段論的式，是前提、結論的質和量的不同，而形成的推理形式。三段論是由三個直言命題所組成，大、小前提和結論可分別是A、E、I、O四種命題的任一種。

所有物質是有重量的。

電子是物質

所以，電子是有重量的149第三節(jié)直言三段論四、直言三段論的格與式（二）直言三段論的式總共有24個有效式。各個格的有效式如下：第一格：AAA（AAI）、AII、EAE（EAO）、EIO第二格：AEE（AEO）、EAE（EAO）、EIO、AOO第三格：AII、AAI、EAO、EIO、IAI、OAO150第三節(jié)直言三段論五、直言三段論的省略式日常由于表達的簡明，或修辭的需要，常常省略三段論的某一前提或結論，這就構成直言三段論的省略式。省略三段論有三種情況：（1）省略大前提。你也是人，所以也會犯錯誤。（2）省略小前提。所有的人都會犯錯誤，你也不例外。（3）省略結論。所有的人都會犯錯誤，你也是人。151補充材料關于詞項邏輯，可以進一步閱讀以下著作1.《亞里士多德的三段論》，[波蘭]盧卡西維茨著,李真，李先焜譯，商務印書館1981年出版。2.《亞里士多德的邏輯學說》，王路著，中國社會科學出版社2005年出版。3.《解釋篇》作者：亞里士多德，秦典華譯，載《亞里士多德全集》第一卷，苗力田主編，中國人民大學出版社1990年出版。4.《范疇篇.解釋篇》,亞里士多德著，聶敏里譯，商務印書館2017年出版。5.《前分析篇》作者：亞里士多德，余紀元譯，載《亞里士多德全集》第一卷，苗力田主編，中國人民大學出版社1990年出版。152第五章謂詞邏輯綱要第一節(jié)簡單句與量詞第二節(jié)推理的謂詞表達第三節(jié)解釋方法第四節(jié)謂詞邏輯的形式公理系統(tǒng)154第一節(jié)簡單句和量詞一、謂詞和個體詞現(xiàn)代邏輯借鑒數(shù)學中有關函數(shù)的思想，解構原子命題，得到謂詞、個體詞以及量詞簡單句：魯迅是文學家；地球是行星對象位于概念之下是最基本的結構，對應到自然語言中，就是單稱句的邏輯結構。將表達概念與關系的語詞統(tǒng)稱為謂詞為區(qū)分元數(shù)，通常加注“幾元”，例如：“愛”、“朋友”是二元謂詞。155第一節(jié)簡單句和量詞一、謂詞和個體詞謂詞為區(qū)分元數(shù)，通常加注“幾元”“愛”、“朋友”是二元謂詞156第一節(jié)簡單句和量詞一、謂詞和個體詞個體詞：157第一節(jié)簡單句和量詞二、量詞與個體域“所有行星是天體”中，“行星”與“天體”同屬于謂詞，表達了概念，與“地球是行星”的結構有實質差別后者僅是簡單句，而前者表達的是兩個概念之間的一種關系。158第一節(jié)簡單句和量詞二、量詞與個體域“所有”為量詞，一般用符號

表示，意為：對（所討論范圍內的）所有對象，……。“所有行星是天體”斷定了所涉兩個概念之間有如下關系：凡是落在概念行星的外延中的對象，都落在概念天體的外延中。從現(xiàn)代邏輯的角度，就是：對（所討論范圍內的）所有對象，如果它位于概念行星之下，則它位于概念天體之下。159第一節(jié)簡單句和量詞二、量詞與個體域160第一節(jié)簡單句和量詞二、量詞與個體域161第一節(jié)簡單句和量詞二、量詞與個體域例5

符號化語句：有最小的自然數(shù)，但沒有最大的自然數(shù)。162第一節(jié)簡單句和量詞三、個體域上的函數(shù)“北京”指稱北京，摹狀詞“中華人民共和國的首都”也指稱北京。其中的“中華人民共和國”是專名；“……的首都”相當于一個函數(shù)。163第一節(jié)簡單句和量詞三、個體域上的函數(shù)例

按以下翻譯詞典翻譯如下語句。164第二節(jié)推理的謂詞表達式一、直言命題推理的符號化1.命題變形直接推理的符號化例

將以下?lián)Q位推理實例符號化。所有團員都是青年，所以，有些青年是團員。解析：翻譯詞典如下：165第二節(jié)推理的謂詞表達式一、直言命題推理的符號化1.命題變形直接推理的符號化例

將以下?lián)Q位推理實例符號化。166第二節(jié)推理的謂詞表達式一、直言命題推理的符號化2.