函數(shù)逼近的插值法

分段線性插值前面我們根據(jù)區(qū)間[a,b]上給出的節(jié)點做插值多項式Ln(x)近似表示f(x)。一般總以為Ln(x)的次數(shù)越高，逼近f(x)的精度越好，但實際并非如此，次數(shù)越高，計算量越大，也不一定收斂。因此高次插值一般要慎用，實際上較多采用分段低次插值。1分段插值分段線性插值分段線性插值分段線性插值缺點：I(x)連續(xù)，但不光滑，精度較低,僅在分段三次Hermite插值上述分段線性插值曲線是折線，光滑性差，如果交通工具用這樣的外形，則勢必加大摩擦系數(shù)，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。分段三次Hermite插值分段三次Hermite插值算法2三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值例題例2.4.1已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)表如下表所示。

求滿足邊界條件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529解做差商由于是等距離節(jié)點,由第二類邊界條件得解方程得將Mi代（*）式得由于故

MATLAB實現(xiàn)x=0:0.15:0.60;y=[1,0.97800,0.91743,0.83160,0.73529];y1=interp1(x,y,0.2,'spline')y1=0.9615對離散數(shù)據(jù)的曲線擬合最小二乘法曲線擬合問題對于f(x)插值問題,要想提高精度,就要增加節(jié)點,因此多項式的次數(shù)也就太高,計算量過大,而節(jié)點少,多項式的次數(shù)低,但誤差精度不能保證,為了消除誤差干擾,取多一些節(jié)點利用最小二乘法確定低次多項式近似表示f(x),這就是曲線擬合問題.直線擬合曲線擬合在科學(xué)實驗中,得到函數(shù)y=f(x)的一組實驗數(shù)據(jù):,求曲線與實驗數(shù)據(jù)誤差在某種度量意義下最小.設(shè)是[a,b]上一組線性無關(guān)的連續(xù)函數(shù),令記誤差.為尋求我們常以誤差加權(quán)平方和最小為度量標準,即達到極小值,這里是[a,b]上的權(quán)函數(shù).有多元函數(shù)極值必要條件有特例例題例1設(shè)函數(shù)y=f(x)的離散數(shù)據(jù)如下表所示試用二次多項式擬和上述數(shù)據(jù),并求平方誤差.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718解由式(*)可得解方程組得所以擬合二次函數(shù)為平方誤差為MATLAB實現(xiàn)x=[0:0.2:1];y=[1.000,1.221,1.492,1.822,2.226,2.718];[p,s]=polyfit(x,y,2);y1=polyval(p,x);plot(x,y1,'b:',x,y,'r^')例2地球溫室效應(yīng)問題下表統(tǒng)計了近100年內(nèi)地球大氣氣溫上升的數(shù)據(jù).試根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立一數(shù)學(xué)模型即擬和曲線,并根據(jù)這一模型,預(yù)報地球氣溫何年會比1860年的平均溫度高年份N1860年后地球氣溫增加值年份N1860年后地球氣溫增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08解為簡化數(shù)據(jù),從1880年起年份記N,其變換n=(N-1870)/10.將地球氣溫增加值改記為t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是將原氣溫增加值擴大100倍,根據(jù)新數(shù)據(jù)繪制圖如下從上圖可以看出,氣溫t與變換n大致服從指數(shù)函數(shù)增長過程,因此,可以假設(shè)t與n滿足指數(shù)函數(shù)關(guān)系為決定參數(shù)α,β將上式改寫成記則有這是已知數(shù)據(jù)相應(yīng)地變?yōu)槿缦卤硭緉1234567891011ln1ln2ln3ln4ln6ln8ln10ln13ln19ln24ln32由（*）式取n=1,m=10,并將上表已知數(shù)據(jù)帶入得解方程組得:相應(yīng)的t與n的指數(shù)型擬合曲線關(guān)系為就是所求