高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何初步 第4節(jié) 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)教師用書 文 試題

第四節(jié)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)————————————————————————————————[考綱傳真]1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題．1．直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件a∩α＝?a?α，b?α，a∥ba∥αa∥α，a?β，α∩β＝b結(jié)論a∥αb∥αa∩α＝?a∥b2.面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件α∩β＝?a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a?β，結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α3.與垂直相關(guān)的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α?a∥b.(2)a⊥α，a⊥β?α∥β.1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．()(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條．()(3)若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．()(4)若兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改編)下列命題中，正確的是()A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．若直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥bD．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥αD[根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知，選D.]3．(2015·北京高考)設(shè)α，β是兩個不同的平面，m是直線且m?α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件B[當(dāng)m∥β時，過m的平面α與β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；當(dāng)α∥β時，α內(nèi)任一直線與β平行，因為m?α，所以m∥β.綜上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分條件．]4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系是________．【導(dǎo)學(xué)號：31222254】平行[如圖所示，連接BD交AC于F，連接EF，則EF是△BDD1的中位線，∴EF∥BD1，又EF?平面ACE，BD1?平面ACE，∴BD1∥平面ACE.]5．(2017·河北石家莊質(zhì)檢)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題：①若m?α，n∥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β.其中是真命題的是________(填上序號)．②[①，m∥n或m，n異面，故①錯誤；易知②正確；③，m∥β或m?β，故③錯誤；④，α∥β或α與β相交，故④錯誤．]與線、面平行相關(guān)命題真假的判斷(2015·安徽高考)已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題正確的是()A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面D[A項，α，β可能相交，故錯誤；B項，直線m，n的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯誤；C項，若m?α，α∩β＝n，m∥n，則m∥β，故錯誤；D項，假設(shè)m，n垂直于同一平面，則必有m∥n，所以原命題正確，故D項正確．][規(guī)律方法]1.判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個定義、定理，無論是單項選擇還是含選擇項的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項先確定或排除，再逐步判斷其余選項．2．(1)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷．(2)特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情形，通過舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確．[變式訓(xùn)練1](2017·唐山模擬)若m，n表示不同的直線，α，β表示不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是()A．若m∥α，m∥n，則n∥αB．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥βC．若α⊥β，m∥α，n∥β，則m∥nD．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，則n∥βD[在A中，若m∥α，m∥n，則n∥α或n?α，故A錯誤．在B中，若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α與β相交或平行，故B錯誤．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，則m與n相交、平行或異面，故C錯誤．在D中，若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，則由線面平行的判定定理得n∥β，故D正確．]直線與平面平行的判定與性質(zhì)(2016·南通模擬)如圖7-4-1所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C1上的點．(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．圖7-4-1[解](1)如圖所示，取D1為線段A1C1的中點，此時eq\f(A1D1,D1C1)＝1.2分連接A1B，交AB1于點O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)知，四邊形A1ABB1為平行四邊形，∴點O為A1B的中點．在△A1BC1中，點O，D1分別為A1B，A1C1的中點，∴OD1∥BC1.4分又∵OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時，BC1∥平面AB1D1.6分(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得BC1∥D1O，8分∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，又由題(1)可知eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，eq\f(A1O,OB)＝1，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.12分[規(guī)律方法]1.判斷或證明線面平行的常用方法有：(1)利用反證法(線面平行的定義)；(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．2．利用判定定理判定線面平行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線．常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線．[變式訓(xùn)練2](2014·全國卷Ⅱ)如圖7-4-2，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．(1)證明：PB∥平面AEC；(2)設(shè)AP＝1，AD＝eq\r(3)，三棱錐P-ABD的體積V＝eq\f(\r(3),4)，求A到平面PBC的距離．圖7-4-2[解](1)證明：設(shè)BD與AC的交點為O，連接EO.因為四邊形ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點，又E為PD的中點，所以EO∥PB.3分因為EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC.5分(2)由V＝eq\f(1,6)PA·AB·AD＝eq\f(\r(3),6)AB，又V＝eq\f(\r(3),4)，可得AB＝eq\f(3,2).作AH⊥PB交PB于點H.7分由題設(shè)知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC.在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝eq\f(\r(13),2)，所以AH＝eq\f(PA·AB,PB)＝eq\f(3\r(13),13).所以A到平面PBC的距離為eq\f(3\r(13),13).12分平面與平面平行的判定與性質(zhì)如圖7-4-3所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：圖7-4-3(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[證明](1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點，∴GH是△A1B1C1的中位線，GH∥B1C1.2分又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面.5分(2)在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.7分∵A1G綊EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，則A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.10分∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.12分[遷移探究]在本例條件下，若點D為BC1的中點，求證：HD∥平面A1B1BA.[證明]如圖所示，連接HD，A1B，∵D為BC1的中點，H為A1C1的中點，∴HD∥A1B.5分又HD?平面A1B1BA，A1B?平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.12分[規(guī)律方法]1.判定面面平行的主要方法：(1)面面平行的判定定理．(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行)．2．面面平行的性質(zhì)定理的作用：(1)判定線面平行；(2)判斷線線平行，線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的問題的指導(dǎo)思想．解題時要看清題目的具體條件，選擇正確的轉(zhuǎn)化方向．易錯警示：利用面面平行的判定定理證明兩平面平行時，需要說明是一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行．[變式訓(xùn)練3](2016·山東高考)在如圖7-4-4所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB.圖7-4-4(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求證：AC⊥FB；(2)已知G，H分別是EC和FB的中點，求證：GH∥平面ABC.[證明](1)因為EF∥DB，所以EF與DB確定平面BDEF.2分如圖①，連接DE.①因為AE＝EC，D為AC的中點，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.4分因為FB?平面BDEF，所以AC⊥FB.5分(2)如圖②，設(shè)FC的中點為I，連接GI，HI.②在△CEF中，因為G是CE的中點，所以GI∥EF.8分又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因為H是FB的中點，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因為GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC.12分[思想與方法]1．線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化其中線面平行是核心，線線平行是基礎(chǔ)，要注意它們之間的靈活轉(zhuǎn)化．2．直線與平面平行的主要判定方法(1)定義法；(2)判定定理；(3)面與面平行的性質(zhì)．3．平面與平面平行的主要判定方法(1)定義法；(2)判定定理；(3)推論；(4)a⊥α，a⊥β?α∥β.[易錯與防范]1．在推證線面平行時，一定要強調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則會出現(xiàn)錯誤．2．(1)在面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條相交直線”這一條件．(2)如要一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，易誤認(rèn)為這兩個平面平行，實質(zhì)上也可以相交．3．在應(yīng)用性質(zhì)定理時，要遵從由“高維”到“低維”，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過于“模式化”，另外要注意符號語言的規(guī)范應(yīng)用．課時分層訓(xùn)練(四十一)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)A組基礎(chǔ)達標(biāo)(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．設(shè)m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，且m，n?α，則“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()【導(dǎo)學(xué)號：31222255】A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[若m，n?α，α∥β，則m∥β且n∥β；反之若m，n?α，m∥β，且n∥β，則α與β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要條件．]2．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是()圖7-4-5A．①③ B．②③C．①④ D．②④C[對于圖形①，平面MNP與AB所在的對角面平行，即可得到AB∥平面MNP；對于圖形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；圖形②③無論用定義還是判定定理都無法證明線面平行．]3．(2017·山東濟南模擬)如圖7-4-6所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是()圖7-4-6A．異面 B．平行C．相交 D．以上均有可能B[在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1.∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵過A1B1的平面與平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.]4．已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m⊥α，n?α，則m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，則n∥αD．若m∥α，m⊥n，則n⊥αB[若m∥α，n∥α，則m，n平行、相交或異面，A錯；若m⊥α，n?α，則m⊥n，因為直線與平面垂直時，它垂直于平面內(nèi)任一直線，B正確；若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，C錯；若m∥α，m⊥n，則n與α可能相交，可能平行，也可能n?α，D錯．]5．給出下列關(guān)于互不相同的直線l，m，n和平面α，β，γ的三個命題：①若l與m為異面直線，l?α，m?β，則α∥β；②若α∥β，l?α，m?β，則l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.其中真命題的個數(shù)為()【導(dǎo)學(xué)號：31222256】A．3 B．2C．1 D．0C[①中，當(dāng)α與β不平行時，也可能存在符合題意的l，m；②中，l與m也可能異面；③中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l∥γ，,l?α，,α∩γ＝n))?l∥n，同理，l∥m，則m∥n，正確．]二、填空題6．設(shè)α，β，γ為三個不同的平面，a，b為直線，給出下列條件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的條件是________(填上所有正確的序號).【導(dǎo)學(xué)號：31222257】②④[在條件①或條件③中，α∥β或α與β相交．由α∥γ，β∥γ?α∥β，條件②滿足．在④中，a⊥α，a∥b?b⊥α，從而α∥β，④滿足．]7．如圖7-4-7所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________．圖7-4-7eq\r(2)[在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2eq\r(2).又E為AD中點，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F為DC中點，∴EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).]8．(2016·衡水模擬)如圖7-4-8，在四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是________．圖7-4-8平面ABC，平面ABD[連接AM并延長交CD于E，則E為CD的中點．由于N為△BCD的重心，所以B，N，E三點共線，且eq\f(EM,MA)＝eq\f(EN,NB)＝eq\f(1,2)，所以MN∥AB.于是MN∥平面ABD且MN∥平面ABC.]三、解答題9．一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖7-4-9所示．(1)請將字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點處(不需說明理由)；(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．圖7-4-9[解](1)點F，G，H的位置如圖所示.5分(2)平面BEG∥平面ACH，證明如下：因為ABCD-EFGH為正方體，所以BC∥FG，BC＝FG.7分又FG∥EH，F(xiàn)G＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四邊形BCHE為平行四邊形，所以BE∥CH.9分又CH?平面ACH，BE?平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.12分10．(2017·西安質(zhì)檢)如圖7-4-10，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，設(shè)AB1的中點為D，B1C∩BC1＝E.圖7-4-10求證：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.[證明](1)由題意知，E為B1C的中點，又D為AB1的中點，因此DE∥AC.2分又因為DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.5分(2)因為棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因為AC?平面ABC，所以AC⊥CC1.7分因為AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因為BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.10分因為BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因為AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因為AB1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1.12分B組能力提升(建議用時：15分鐘)1.在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列結(jié)論中，錯誤的是()【導(dǎo)學(xué)號：31222258】A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．異面直線