2022年新高考數(shù)學(xué)：計(jì)數(shù)原理

@專屬教育

考試復(fù)習(xí)專用

考試參考習(xí)題一系統(tǒng)復(fù)習(xí)

備考題庫訓(xùn)練一習(xí)題強(qiáng)化

考前模擬測(cè)試一模擬演練

通關(guān)寶典梳理一真題體驗(yàn)

技巧提升沖刺一技能技巧

注：文本內(nèi)容應(yīng)以實(shí)際為準(zhǔn)，下載前需仔細(xì)預(yù)覽

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2022新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)計(jì)數(shù)原理及答案

精研考綱M納核心題海訓(xùn)練歸納總結(jié)體驗(yàn)實(shí)戰(zhàn)梳理復(fù)習(xí)

2022新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)11計(jì)數(shù)原理及答案

從新高考考查情況來看，排列組合與二項(xiàng)式定理是新高考命題的熱點(diǎn)，主耍考查分類、

分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，排列與組合的綜合應(yīng)用，分組分配問題等，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)、二項(xiàng)

式系數(shù)、特定項(xiàng)的系數(shù)、系數(shù)和問題、最值問題、參數(shù)問題等，一般以選擇題和填空題的形

式出現(xiàn)，難度中等.主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論思想，數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等

核心素養(yǎng).

J那分技巧］

1、求二項(xiàng)式系數(shù)和或各項(xiàng)的系數(shù)和的解題技巧：

(1)形如(or+b)",(a*+6x+c)"，(a,b,cGR)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦

值法，只需令x=l即可.

(2)對(duì)形如(or+〃y)"(a,R)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x=y=l即可.

(3)若危尸的+叩+的?+...+即巴則段)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為川),

奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為的+檢+3+…=,⑴+"7)，

2

偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為"+0+。5+…=/⑴一"一).

2

2、解決排列問題的常見方法：

⑴“在”與“不在”的有限制條件的排列問題,既可以從元素入手,也可以從位置入手,原

則是誰“特殊”誰優(yōu)先.不管是從元素考慮還是從位置考慮，都耍貫徹到底，不能既考慮元素

又考慮位置.

(2)解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，即把相鄰元素看作?個(gè)整體和其他元素?起排列，

同時(shí)要注意捆綁元素的內(nèi)部排列.

(3)解決不相鄰問題的方法是“插空法”，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的

元素插在前面元素排列的空當(dāng)中.

(4)對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.

(5)若某些問題從止面考慮比較復(fù)雜，可從其反面入手，即采用“間接法

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3、解決組合問題的常見方法：

組合問題的限制條件主要體現(xiàn)在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答時(shí)“J'用直

接法，也可用間接法Jijr［接法求解時(shí)，要注意合理地分類或分步：用間接法求解時(shí)，要注

意題目中“至少至多'’等關(guān)鍵詞的含義，做到不重不漏。

熱點(diǎn)解讀）

熱點(diǎn)i.以實(shí)際情景為背景的排列組合問題

主要以接近生活的實(shí)際情況為主，多以選擇或填空為主。主要考查分類、分步計(jì)數(shù)原理

的應(yīng)用，突出分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用，問題情景的設(shè)置越來越接近生活，能否

將實(shí)際問題合理、正確地轉(zhuǎn)化成排列組合問題，是解決這類試題的關(guān)鍵。

熱點(diǎn)2.二項(xiàng)式定理及相關(guān)運(yùn)用

二項(xiàng)式定理是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，高考中二項(xiàng)式定理是考點(diǎn)之一，二項(xiàng)式定理的

應(yīng)用在高考中?般以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度不大。

限時(shí)檢測(cè)

A卷（建議用時(shí)60分鐘）

一、單選題

1.（2021?河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在2020中俄高加索聯(lián)合軍演的某一項(xiàng)演練中，中方參加

演習(xí)的有5艘軍艦，4架￡機(jī)；俄方有3艘軍艦，6架匕機(jī).若從中、俄兩方中各選出2個(gè)

單位（1架飛機(jī)或一艘軍艦都作為一個(gè)單位，所有的軍艦兩兩不同，所有的飛機(jī)兩兩不同），

且選出的四個(gè)單位中恰有一架飛機(jī)的不同選法共有（）

A.51種B.224種C.240種D.336種

2.（2021?湖北?模擬預(yù)測(cè)）某校的6名高二學(xué)生打算參加學(xué)校組織的“籃球隊(duì)”“微電影社

團(tuán)”“棋藝社”“美術(shù)社”“合唱團(tuán)”5個(gè)社團(tuán)，若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán)，每個(gè)社

團(tuán)至多2人參加，則這6人中至多有1人參加“微電影社團(tuán)”的不同參加方法種數(shù)為（）

A.1140B.3600C.5040D.6840

3.（2021?江蘇?南京市中華中學(xué)高三期中）已知（l-2x）”的二項(xiàng)展開式中第3項(xiàng)與第10項(xiàng)的

二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中含x*12的3系數(shù)為（）

A.-312B.31C.-220D.220

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4.（2021?江蘇常州?高三期中）己知（1-2人）的=4+平+…+a202rp%則

"+與+，+???+第k（）

22?220"

A.-2B.-1C.0D.2

5.（2021?江蘇?南京師大附中高三期中）2021年初，某市因新冠疫情面臨醫(yī)務(wù)人員不足和醫(yī)

療物資緊缺等諸多困難，全國(guó)各地志愿者紛紛馳援.現(xiàn)有5名醫(yī)生志愿者需要分配到兩家醫(yī)

院（每人去一家醫(yī)院，每家醫(yī)院至少去1人），則共有（）

A.12種B.30種C.18種D.15種

6.（2021?江蘇海安?高三期中）"冰墩墩'’是2022年北京冬奧會(huì)吉祥物，在冬奧特許商品中，

己知一款“冰墩墩”盲盒外包裝上標(biāo)注隱藏款抽中的概率為!，出廠時(shí)每箱裝有6個(gè)盲盒.小

O

明買了一箱該款盲盒，他抽中A（0=K6,&CN）個(gè)隱藏款的概率最大，則A的值為（）

A.0B.1C.2D.3

7.（2021?山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)高三期中）已知正整數(shù)〃28,若（x-3（l-x）"的展開

X

式中不含f的項(xiàng)，則〃的值為（）

A.8B.9C.10D.II

8.（2021?福建?莆田二中高三期中）現(xiàn)某校數(shù)學(xué)興趣小組給一個(gè)底面邊長(zhǎng)互不相等的直四棱

柱容器的側(cè)面和下底面染色，提出如下的“四色問題”：要求相鄰兩個(gè)面不得使用同一種顏色,

現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的染色方案有（）

A.18種B.36種C.48種D.72種

9.（2021?浙江?慈溪中學(xué)高三期中）用數(shù)字1、2、3組成五位數(shù)，且數(shù)字1、2、3至少都

出現(xiàn)一次，這樣的五位數(shù)共有（）個(gè)

A.120B.150C.210D.240

10.（2021?河北?唐山市第十中學(xué)高三期中）若

152222U12

（l+x）+（l+x）'+（l+x）+L+（l+x）"'=an+alx+a2x+L+a20l2x,則由等于（）

A.C；oi2B.C.D.

11.（2021?湖南?模擬預(yù)測(cè)）某體育彩票規(guī)定：從01至36共36個(gè)號(hào)中選出7個(gè)作為一注,

每注2元.某人想從01至10中選3個(gè)連續(xù)的號(hào)，從II至20中選2個(gè)連續(xù)的號(hào)，從21至

30中選I個(gè)號(hào)，從31至36中選1個(gè)號(hào)組成一注，若這人想把滿足這種特殊要求的號(hào)買全，

則他要花的錢數(shù)為（）

A.3360B.6720元C.4320元D.8640元

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12.（2022?上海?高三專題練習(xí)）算籌是在珠算發(fā)明以前我國(guó)獨(dú)創(chuàng)并且有效的計(jì)算工具，為

我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了很大貢獻(xiàn).在算籌計(jì)數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)

字，如圖：

123456789

縱式1IIIII1111IIIIITTUT>

橫式—三=三111

表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，「位用橫式，以此類推，遇零則置

空，如圖；

1TT=￥6728

IT￥6708

如果把5根算籌以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰?，那么可以表示的三位?shù)的個(gè)數(shù)為

（）

A.46B.44C.42D.40

13.（2021?重慶市楊家坪中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在二項(xiàng)式（x-2y）6的展開式中，設(shè)二項(xiàng)式系數(shù)和

為A,各項(xiàng)系數(shù)和為5,4的奇次嘉項(xiàng)的系數(shù)和為C,則色=（）

16n16-91r91

A.--B.—C.------D.—

91911616

二、多選題

14.（2021?遼寧丹東?高三期末）對(duì)于二項(xiàng)式以下判斷正確的有（）

X

A.存在〃eN'，展開式中有常數(shù)項(xiàng)B.對(duì)任意〃eN，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)

C.對(duì)任意〃eN*，展開式中沒有x的一次項(xiàng)D.存在〃eN*,展開式中有x的一次項(xiàng)

15.（2021?湖北襄陽?高三期末）若（1-2刈酸°=/+平+生+…+o2raoxW°（xwR）,

則（）

2020_]

A?%=lB.t7]+4-----F/oi9=---------

32020+1%aa3%2o1

c-%+%+%+…+"2020=-2-D-T+2r2+?+"+255F=-

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16.（2021?山西大附中模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于多項(xiàng)式的展開式，下列結(jié)論正確的是（）

A.各項(xiàng)系數(shù)之和為1B.各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為2”

C.存在常數(shù)項(xiàng)D.f的系數(shù)為40

17.（2021?海南?三模）從1,2,3,4,5,6中任取三個(gè)不同的數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，則在

所有組成的數(shù)中（）

A.奇數(shù)有60個(gè)B.包含數(shù)字6的數(shù)有30個(gè)

C.個(gè)位和百位數(shù)字之和為6的數(shù)有24個(gè)D.能被3整除的數(shù)有48個(gè)

三、填空題

18.（2021?浙江?臺(tái)州一中高三期中）已知（丁_力（2》-*）的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為-1,

則。=,該展開式中常數(shù)項(xiàng)為.

19.（2022?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知多項(xiàng)式

562346

（2.r-l）-（x+1）=a0+atx+^x+a3x+a4x+a6x,則q=,

4+4+36+5a4+1la5+2la6=.

20.（2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)）有3個(gè)少數(shù)民族地區(qū)，每個(gè)地區(qū)需要?各支醫(yī)醫(yī)生和兩名

支教教師，現(xiàn)將3名支醫(yī)醫(yī)生（1男2女）和6名支教教師（3男3女）分配到這3地區(qū)去

工作，

（1）要求每個(gè)地區(qū)至少有一名男性，則共有種不同分配方案；

（2）要求每個(gè)地區(qū)至少有一名女性，則共有種不同分配方案.

21.（2021?河北邯鄲?高三期末）2021年7月下旬河南省多地遭遇了暴雨洪澇災(zāi)害，社會(huì)各

界眾志成城支援河南，邯鄲市某單位組織4輛救援車隨機(jī)前往河南省的A,B,C三個(gè)城市

運(yùn)送物資，則每個(gè)城市.都至少安排一輛救援車的概率為.

22.（2021?浙江?模擬預(yù)測(cè)）我們想把9張寫著1~9的卜片放入三個(gè)不同盒子中，滿足每個(gè)

盒子中都有3張卡片，且存在兩個(gè)盒子中卡片的數(shù)字之和相等，則不同的放法有

種.

23.（2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)體育彩票堅(jiān)持“公益體彩樂善人生”公益理念，為支持中國(guó)

體育事業(yè)發(fā)展做出了貢獻(xiàn)，其中“大樂透''是群眾特別喜歡購(gòu)買的一種體育彩票，其規(guī)則是從

前區(qū)1到35的號(hào)碼中選5個(gè)，后區(qū)1到12的號(hào)碼中選2個(gè)組成一注彩票.其中復(fù)式玩法允

許從前區(qū)選5個(gè)以上，后區(qū)選2個(gè)以上號(hào)碼，那么從前區(qū)1到35的號(hào)碼中選7個(gè)號(hào)碼，從

后區(qū)1到12的號(hào)碼中選3個(gè)，組成的彩票注數(shù)為.

24.（2021?重慶市楊家坪中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）2020年初，我國(guó)突發(fā)新冠肺炎疫情.面時(shí)“突發(fā)災(zāi)

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難”，舉國(guó)上下一心，克服困難積極復(fù)工，復(fù)產(chǎn)，復(fù)學(xué).復(fù)學(xué)后，通過心理問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)

某校高三年級(jí)有6位學(xué)生心理問題凸顯，需要心理老師干預(yù).已知該校高三年級(jí)有三位心理

老師，每位心理老師至少安排一位學(xué)生，至多安排三位學(xué)生，問共有種心理輔導(dǎo)

安排方法.

25.（2021?廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）（l+x+：，展開式的項(xiàng)數(shù)為.

四、解答題

26.（2021?江蘇如東?高三期中）已知（丁+言）的展開式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)

的系數(shù)之比為《?

（1）求展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和：

（2）將展開式中所有項(xiàng)重新排列，求有理項(xiàng)不相鄰的概率.

B卷（建議用時(shí)90分鐘）

一、單選題

1.（2021?福建?廈門外國(guó)語學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）武漢疫情爆發(fā)后，某醫(yī)院抽調(diào)3名醫(yī)生，5名護(hù)

士支援武漢的三家醫(yī)院，規(guī)定每家醫(yī)院醫(yī)生一名，護(hù)士至少一名，則不同的安排方案有（）

A.900種B.1200種C.1460種D.1820種

2.（2021?山東荷澤?二模）已知正整數(shù)應(yīng)7,若（x-U（l-x）"的展開式中不含*5的項(xiàng)，則〃

X

的值為（）

A.7B.8C.9D.10

3.（2021?廣東?模擬預(yù)測(cè)）某單位在春節(jié)七天的假期間要安排值班表，該單位有值班領(lǐng)導(dǎo)3

人，值班員工4人，要求每位值班領(lǐng)導(dǎo)至少值兩天班，每位值班員工至少值一天班，每天要

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安排一位值班領(lǐng)導(dǎo)和一位值班員工一起值班，且一人值多天班時(shí)要相鄰的安排方案有（）

A.249種B.498種C.1052種D.8640種

4.（2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)）四色定理（Fam，/”加。。，皿）又稱四色猜想，是世界近代三大

數(shù)學(xué)難題之一.它是于1852年由畢業(yè)于倫敦大學(xué)的格斯里“加〃,e）提出來的，其內(nèi)容

是“任何?張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色”四色問題的證

明進(jìn)程緩慢，直到1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家運(yùn)用電子計(jì)算機(jī)證明了四色定理.某校數(shù)學(xué)興趣小組

在研究給四棱錐尸-ABCD的各個(gè)面涂顏色時(shí)，提出如下的“四色問題”：要求相鄰面（含公

共棱的平面）不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，那么不同的涂法有（）

A.36種B.72種C.48種D.24種

5.（2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)）英因數(shù)學(xué)家泰勒（B.Th.1685-1731）以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰

勒級(jí)數(shù)聞名于世.由泰勒公式，我們能得到e=l+[+!+]+L+4+工「（其中e為自然對(duì)

1!2!3!n\（/?+1）!

數(shù)的底數(shù)，〃!=〃（〃—1）x（〃—2）xLx2xl）,其拉格朗日余項(xiàng)是/?”=戶二.可以

2

看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的-的近似值也就越精確.若麗不近似地表示e的泰勒

2

公式的拉格朗日余項(xiàng)（，R“不超過言;時(shí)，正整數(shù)〃的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

6.（2021?吉林松原?高三階段練習(xí)）“五一”小長(zhǎng)假期間，某學(xué)生會(huì)組織看望留守老人活動(dòng)，

現(xiàn)安排A,B,C,D,E,F,G,，共8名學(xué)生的小組去看望甲，乙，丙，丁四位留守

老人，小組決定兩名學(xué)生看望一位老人，考慮到學(xué)生與老人住址距離問題，學(xué)生A不安排看

望老人甲，學(xué)生8不安排看望老人乙，則安排方法共有（）

A.1260種B.2520種C.1440種D.1890種

二、多選題

7.（2021?江蘇如皋?高三期末）已知的二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則

下列結(jié)論正確的是（）

A.二項(xiàng)展開式中無常數(shù)項(xiàng)B.二項(xiàng)展開式中倒數(shù)第5項(xiàng)為90.一

C.二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為3，D.二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為

3

160/

8.（2021?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）十七世紀(jì)至十八世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上第一個(gè)

提出二進(jìn)制記數(shù)法的人，用二進(jìn)制記數(shù)只需數(shù)字。和1,對(duì)于整數(shù)可理解為逢二進(jìn)，例如：

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2022新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)計(jì)數(shù)原理及答案

精研考綱?。?納核心題海訓(xùn)練歸納總結(jié)體驗(yàn)實(shí)戰(zhàn)梳理復(fù)習(xí)

自然數(shù)1在二進(jìn)制中就表示為1,2表示為10,3表示為II,7表示為111,即“eN.,

n=?0-2*+a,-2**,+L+,-2'+ak,其中%=1,a；=0或1（，=1,2,L,k）,記/（〃）為上述表

示中0的個(gè)數(shù)，如?2）=1,/（7）=0.則下列說法中正確的是（）.

A./（12）</（18）B./（2*_2）_/（2-1）=1（h2，&22）

C./（24）=/（2?+2*GN.）D.1到127這些自然數(shù)的二進(jìn)制表示中/（〃）=2的自然數(shù)有

35個(gè)

9.（2021?湖南?模擬預(yù)測(cè)）在12+*+1）；/+一）的展開式中，下列說法正確的是（）

A.X，的系數(shù)為16B.各項(xiàng)系數(shù)和為108C.無金項(xiàng)D.」的系數(shù)為8

2021

10.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知+a2（（2lx,下列命題中,

正確的是（）

咨+[

A.展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為2歷:B.展開式中所有奇次項(xiàng)系數(shù)的和為」

32021-1

c.展開式中所有"偶次項(xiàng)系數(shù)的和為D.義+2+4+…等=-1

22222^

11.（2021?江蘇如皋?高三期中）已知（1一2428'=4+中+出*2+1+%02口3，則（）

A.展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為-1B.展開式中二項(xiàng)系數(shù)最大項(xiàng)為第1010項(xiàng)

C.,+方+爭(zhēng)+L+霜=一1D.q+為2+36+L+2021/⑼=2021

12.（2021?江蘇南京?一模）設(shè)"eN'，下列恒等式正確的為（）

A.C[+C；+L+C；=2"'B.1C>2C；+L+nC：=n-2,-1

C.I2C\+22C｝+L+n2C；=n（n+1）2"-2D.13C>23C^+L+n3C；=（4n-3）2"-,

13.（2021?江蘇泰州?模擬預(yù)測(cè)）已知

23,,2

（2X+1）（2X+1）（2X+1）L（2x+l）=a0+?lx+o2x+L+a“x"下列說法正確的是（）

,2/?+2o

A.設(shè)a=4,則數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)的和為S“=2-2-2〃-4B.%=j——2"+2-|

C.?！?|=2亨一〃（〃eD.,4rL-1wM）為等比

數(shù)列

14.（2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)）甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,共比賽2〃（〃eN*）局，且每局甲

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獲勝的概率和乙獲勝的概率均為如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽.記甲

贏得比賽的概率為P（〃），則（）

A.P⑵=1B.P（3）=—

832

15.（2021?河北承德?二模）同余關(guān)系是數(shù)論中的重要概念，在我國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫

子算經(jīng)》中就對(duì)同余除法有了較深的研究.設(shè)a,b,6為正整數(shù)，若。和。被根除得的余數(shù)

相同，則稱“和。對(duì)模，"同余，記為。三"mod,”）.則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.若|“-勿=切1,kwN”,則。三僅mod,"）

B.2,s=563（mod3）

C.若a三。"+1）（mod，”），力三Q〃+2）（mod，〃），則“〃三（，〃+3）（mod，〃）

D.若am伙mod/n）,則a"三。"（modm）,nwN*

16.（2021?江蘇?金陵中學(xué)高三開學(xué)考試）傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓

柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.這是因?yàn)榘⒒椎抡J(rèn)為這個(gè)

“圓柱容球''是他最為得意的發(fā)現(xiàn)，于是留下遺言：他死后，墓碑上.要刻上一個(gè)“圓柱容球”

的幾何圖形.設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為，”，圓柱的表面積與球的表面積之比為〃，若

/（*）=（竺工：1_!）,則（）

A./（x）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是56B./（x）的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為

0

C./（x）的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大值是70D./（/）=-16,其中i為虛數(shù)單位

17.（2021?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）某中學(xué)為提升學(xué)生勞動(dòng)意識(shí)和社會(huì)實(shí)踐能力，利用周末進(jìn)社區(qū)

義務(wù)勞動(dòng)，高三一共6個(gè)班，其中只有1班有2個(gè)勞動(dòng)模范，本次義務(wù)勞動(dòng)-共20個(gè)名額，

勞動(dòng)模范必須參加并不占名額，每個(gè)班都必須有人參加，則下列說法正確的是（）

A.若1班不再分配名額，則共有種分配方法

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B.若1班有除勞動(dòng)模范之外學(xué)生參加，則共有Cl種分配方法

C.若每個(gè)班至少3人參加，則共有90種分配方法

D.若每個(gè)班至少3人參加，則共有126種分配方法

18.（2021?江蘇鹽城?二模）已知“eN”,〃22,p+『L設(shè)〃其中

kwN,k&2n,則（）

A.￡f（k）=lB.￡呼⑻=2npq

A=0k=0

C.若叩=4,則〃左）448）

￡=0ZJt=l

三、填空題

19.（2021?湖南?長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）算盤是中國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)算工具，其形長(zhǎng)方，周為木框，

內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一.算珠

梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位檔撥上一顆上珠和兩顆下珠，個(gè)位檔撥上

四顆下珠，則表示數(shù)字74,若在個(gè)、十、百、千位檔中隨機(jī)選擇一檔撥上一顆下珠，再隨機(jī)選

擇兩個(gè)不同檔位各撥一顆上珠，則所表示的數(shù)字大于300的概率為

千百十個(gè)

倉(cāng)位在倉(cāng)

OTRWH

7

20.（2021?湖北?漢陽一中模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙、丁、戊5個(gè)人分到A,B,C三個(gè)班，

要求每班至少一人，則甲不在A班的分法種數(shù)有.

21.（2021?浙江?模擬預(yù)測(cè)〉設(shè)（a+bx+f,=a+2/?x+c%2+加+*4（/?#0）,則（=.3

的最小值是一.

22.（2021?重慶?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)、=上，則（1+x戶的展開式中第項(xiàng)最大.

23.（2022?上海?高三專題練習(xí)）考查等式：—M'+L+C&h*）,其中

〃，九reN",〈〃且rV〃-，〃.某同學(xué)用概率論方法證明等式（*）如下：設(shè)?批產(chǎn)品共有“

件，其中，”件是次品，其余為正品.現(xiàn)從中隨機(jī)取出廠件產(chǎn)品，記事件A*=（取到的，?件產(chǎn)品

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1〃T”

中恰有％件次品｝,則（）k=O,I,2,...?r.顯然4，A，…，A.為互斥

P4=~cT

事件，且（必然事件），因此

I=P（C）=P（4）+P（A）+L+p⑷=C%+cq_,；+L+仁圖,所以

c”

CCL+Cc:+L+c：C.m=c：,即等式（*）成立.對(duì)此，有的同學(xué)認(rèn)為上述證明是正確的，

體現(xiàn)了偶然性與必然性的統(tǒng)一；但有的同學(xué)對(duì)上述證明方法的科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性提出質(zhì)疑.現(xiàn)

有以下四個(gè)判斷：①等式（*）成立，②等式（*）不成立，③證明正確，④證明不正確，試寫出

所有正確判斷的序號(hào).

24.（2021?安徽?亳州二中高二期末）如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F,

G,”八個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段上的點(diǎn)顏色不同，則不同的涂

色方法有種.

25.（2021?福建?模擬預(yù)測(cè)）班級(jí)里共有〃（〃23）名學(xué)生，其中有A,B,C.已知A,B,

C中任意兩人均為朋友，且三人中每人均與班級(jí)里中超過一半的學(xué)生為朋友.若對(duì)于某三個(gè)

人，他們當(dāng)中任意兩人均為朋友，則稱他們組成?個(gè)“朋友圈（1）求班級(jí)里朋友圈個(gè)數(shù)的

最大值尸（〃）.（2）求班級(jí)里朋友圈個(gè)數(shù)的最小值G（〃）.

26.（2021?湖北?襄陽四中一模）楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.中國(guó)

南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)了楊輝三角.在歐洲，帕斯卡在

1654年也發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律，所以這個(gè)表又叫做帕斯卡三角形.楊輝三角是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的杰

出研究成果之一，它把二項(xiàng)式系數(shù)圖形化，把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地從圖形中體

現(xiàn)出來，是一種離散型的數(shù)與形的結(jié)合.

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第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第6行1615201561

（1）記楊輝三角的前“行所有數(shù)之和為1,，求｛。｝的通項(xiàng)公式；

（2）在楊輝三角中是否存在某一行，且該行中三個(gè)相鄰的數(shù)之比為3:4:5?若存在，試求

出是第幾行；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）已知"、『為正整數(shù)，且〃2r+3.求證：任何四

個(gè)相鄰的組合數(shù)C：、C：”不能構(gòu)成等差數(shù)列

27.（2020?江蘇?濱海縣八灘中學(xué)二模）已知力（x）=C>x"-C：（x-1）"+L+（—1）'C：（x-?）"+

L+（T）“C；（x-〃）"，其中xeR，nGN\keN,k<n.

（1）試求工（x）,人（x）,力（x）的值；（2）試猜測(cè)￡（x）關(guān)于〃的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論.

28.（2021?江蘇?揚(yáng)州市江都區(qū)大橋高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)尸（〃，，"）=￡（T）'C-4，

〃1+k

Q（〃，〃?）=*其中〃?，（1）當(dāng)帆=1時(shí)，求P（〃，1）Q（〃，D的值；（2）對(duì)\/〃作葉，證

明：P（n,m）Q（m6）恒為定值.

29.（2021?江蘇?泰州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）（1）已知：C；L+M=C,；及-C'：=C；I（〃22,〃wN*,

n

求工；y（結(jié)果用加，〃表示）（2）已知/（〃）=；《一;C：+；C；—L+（-1）〃七黑，

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猜想的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

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熱點(diǎn)11計(jì)數(shù)原理

命題趨勢(shì)）

從新高考考查情況來看，排列組合與二項(xiàng)式定理是新高考命題的熱點(diǎn)，主要考查分類、

分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，排列與組合的綜合應(yīng)用，分組分配問題等，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)、二項(xiàng)

式系數(shù)、特定項(xiàng)的系數(shù)、系數(shù)和問題、最值問題、參數(shù)問題等，?般以選擇題和填空題的形

式出現(xiàn)，難度中等.主?？疾閷W(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論思想，數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等

核心素養(yǎng).

，滿分技才）

1、求二項(xiàng)式系數(shù)和或各項(xiàng)的系數(shù)和的解題技巧：

（1）形如（奴+3”，（av2+fev+c）m（a,方，cER）的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦

值法，只需令x=l即可.

（2）對(duì)形如（以+分）"3,6GR）的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x=y=l即可.

（3）若式、）=。0+。武+3*+…+。,X"，則y（x）展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為犬1）,

奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為即+。2+痣+…=-I,

2

偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為0+的+的+…=/⑴一"T）.

2

2,解決排列問題的常見方法：

⑴“在”與“不在”的有限制條件的排列問題,既可以從元素入手，也可以從位置入手，原

則是誰“特殊”誰優(yōu)先.不管是從元素考慮還是從位置考慮，都要貫徹到底，不能既考慮元素

乂考慮位置.

（2）解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，即把相鄰元素看作一個(gè)整體和其他元素一起排列，

同時(shí)要注意捆綁元素的內(nèi)部排列.

（3）解決不相鄰問題的方法是“插空法”，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的

元素插在前面元素排列的空當(dāng)中.

（4）對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.

（5）若某些問題從正面考慮比較復(fù)雜，可從其反面入手，即采用“間接法”.

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3、解決組合問題的常見方法:

組合問題的限制條件主要體現(xiàn)在取出的元素中“含''或”不含”某些元素，在解答時(shí)可用直

接法，也可用間接法.用宜接法求解時(shí)，要注意合理地分類或分步；用間接法求解時(shí)，要注

意題目中“至少至多''等關(guān)鍵詞的含義，做到不重不漏。

1要點(diǎn)解讀）

熱點(diǎn)1.以實(shí)際情景為背景的排列組合問題

主要以接近生活的實(shí)際情況為主，多以選擇或填空為主。主要考查分類、分步計(jì)數(shù)原理

的應(yīng)用，突出分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用，問題情景的設(shè)置越來越接近生活，能否

將實(shí)際問題合理、正確地轉(zhuǎn)化成排列組合問題，是解決這類試題的關(guān)鍵。

熱點(diǎn)2.二項(xiàng)式定理及相關(guān)運(yùn)用

二項(xiàng)式定理是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，高考中二項(xiàng)式定理是考點(diǎn)之一，二項(xiàng)式定理的

應(yīng)用在高考中?般以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度不大。

A卷（建議用時(shí)60分鐘）

一、單選題

1.（2021?河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在2020中俄高加索聯(lián)合軍演的某一項(xiàng)演練中，中方參加

演習(xí)的有5艘軍艦，4架七機(jī)；俄方有3艘軍艦，6架匕機(jī).若從中、俄兩方中各選出2個(gè)

單位（1架飛機(jī)或一艘軍艦都作為一個(gè)單位，所有的軍艦兩兩不同，所有的飛機(jī)兩兩不同），

且選出的四個(gè)單位中恰有一架飛機(jī)的不同選法共有（）

A.51種B.224種C.240種D.336種

【答案】C

【分析】按中方選一架飛機(jī)或俄方選一架飛機(jī)分類討論，每類再分步選擇即可得.

（詳解］不同的選法有：C；C：C；C：+CCJCC,=5X4X3X1+10X1X3X6=60+180=24。

（種）.故選：C.

2.（2021?湖北?模擬預(yù)測(cè)）某校的6名高二學(xué)生打算參加學(xué)校組織的“籃球隊(duì)”“微電影社

團(tuán),,“棋藝社,“，美術(shù)社,，“合唱團(tuán),,5個(gè)社團(tuán)，若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán)，每個(gè)社

團(tuán)至多2人參加，則這6人中至多有1人參加“微電影社團(tuán)”的不同參加方法種數(shù)為（）

A.1140B,3600C.5040D.6840

【答案】C

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【分析】分兩類：一類是有1人參加“微電影社團(tuán)”，則從6人中選I人參加該社團(tuán)，其余5

人參加剩下4個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排有1,1,1,2和0,1,2,2兩種情況;一類是無人參加“微電影社團(tuán)”,

則6人參加剩下4個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排有1,1,2,2和0,2,2,2兩種情況，進(jìn)向結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

即可求出結(jié)果.

【詳解】可分兩類：第一類，若有I人參加“微電影社團(tuán)“，則從6人中選1人參加該社團(tuán)，

其余5人參加剩下4個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排有覃,1,2和0,1,2,2兩種情況，所以不同的參加方法

種數(shù)為C：=3600；第:類，若無人參加“微電影社團(tuán)”，則6人參加

剩下4個(gè)社團(tuán),人數(shù)安排有1,1,2,2和0,2,2,2兩種情況,所以不同的參加方法種數(shù)為

C2c2

―二A：+C：C：C；=1440.故不同的參加方法種數(shù)為3600+1440=5040.

A；

故選：C.

3.（2021?江蘇?南京市中華中學(xué)高三期中）已知（l-2x）"的二項(xiàng)展開式中笫3項(xiàng)與第1（）項(xiàng)的

二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中含/的系數(shù)為（）

A.-312B.31C.-220D.220

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得”=11，求出展開式即可得出.

【詳解】（1一2?！恼归_式的通項(xiàng)為=C；T，（一2x）r=（—2丫,

由題可得第3項(xiàng)與第10項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則C；=C，所以〃=11，

則展開式中含/的系數(shù)為（-2）七；=220.故選：D.

4.（2021?江蘇常州?高三期中）己知（l-2x產(chǎn)=/+平+…+則

5+級(jí)+m+…+萍-（）

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，分別令x=0和x=g,代入計(jì)算即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，令x=O,得％=（1-0產(chǎn)|=1,令得

因此彳+/+墨+…+黑==T.故選：B.

5.（2021?江蘇?南京師大附中高三期中）2021年初，某市因新冠疫情面臨醫(yī)務(wù)人員不足和醫(yī)

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療物資緊缺等諸多困難，全國(guó)各地志愿者紛紛馳援.現(xiàn)有5名醫(yī)生志愿者需要分配到兩家醫(yī)

院（每人去一家醫(yī)院，每家醫(yī)院至少去1人），則共有（）

A.12種B.30種C.18種D.15種

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，先將5名醫(yī)生志愿者分為兩組，再將分成的兩組，安排的兩家不用的醫(yī)

院，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.

【詳解】由題意，現(xiàn)有5名醫(yī)生志愿者需要分配到兩家醫(yī)院（每人去一家醫(yī)院，每家醫(yī)院至

少去1人），

可按兩步分析：（1）可先將5名醫(yī)生志愿者分為2組，由兩種可能的分法：

①一組4人，一組I人，共有C；C：種不同的分組方法；

②一組3人，一組2人，共有種不同的分組方法，

（2）再將分成的兩組，安排兩家醫(yī)院，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，共有（0，+瑪/）雷=30種不

同的安排方式.故選：B.

6.（2021?江蘇海安?高三期中）“冰墩墩”是2022年北京冬奧會(huì)吉祥物，在冬奧特許商品中，

已知一款“冰墩墩”盲盒外包裝上標(biāo)注隱臧款抽中的概率為出廠時(shí)每箱裝有6個(gè)盲盒.小

明買了一箱該款盲盒，他抽中k（08W6,AGM個(gè)隱藏款的概率最大，則女的值為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】由題意可行小明抽中&個(gè)隱藏款的概率為=?！?進(jìn)而可得

ck.56-A>.一

,金打>小寸，解不等式組即可求出結(jié)果?

【詳解】由題意可得小明抽中k個(gè)隱藏款的概率為軍二，其中

0<k<6,keN,

15

rkF-A（r*.s6-*>rk~'-57~*T27TT

要使得三J最大，只需要最大，貝”即51，則

又因?yàn)閯tk=l,故選：B.

7.（2021?山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)高三期中）已知正整數(shù)〃28,若（x-3（l-x）"的展開

X

式中不含V的項(xiàng)，則〃的值為（）