2023高考數(shù)學(xué)難點突破訓(xùn)練五：立體幾何 (參考答案)

2023高考數(shù)學(xué)難點突破專題訓(xùn)練（5）

立體幾何

1.（廣東省深圳市高級中學(xué)（集團）2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題）

如圖，棱長為4的正方體ABCO-ABCR,點A在平面a內(nèi)，平面與平面e所成的二面角為30。,

則頂點G到平面。的距離的最大值是（）

A.2(2+72)B.2(5/3+A/2)C.2(6+1)D.2(>/2+1)

【解答】解：如圖所示，過G作C0，a,垂足為￡,

則GE為所求，/4OE=30。，

由題意，設(shè)CO=x,則AO=4夜-x,

C,O=V16+x2,OE=-OA=2y/2--x,

22

;.C\E=V16+X2+2&-gx,

令y=716+X2+2叵-；x，

4

則y，=.“一)=0,可得x-—尸，

-2石

4r-r-

:,%=忑,頂點C,到平面a的距離的最大值是2（73+V2）.

故選：B.

T

2.（江蘇省常州高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題）

（多選題）如圖，點O是正四面體心8c底面ABC的中心，過點。且平行于平面抬8的直線分別交AC,

BC于點、M,N,S是棱PC上的點，平面SMN與棱抬的延長線相交于點Q,與棱尸8的延長線相交于點

R,則（）

A.若MM〃平面PA8,則AB〃RQ

B.存在點S與直線MN,使尸S?（PQ+PR）=O

C.存在點S與直線MN,使PC，平面SR。

11I3

D。pQ廣網(wǎng)+同一網(wǎng)

ACD

【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可判斷A；由空間向量數(shù)量積可判斷B；當(dāng)直線平行于直線A8,

SC=：PC時，通過線面垂直的判定定理可判斷C,由共面向量定理可判斷D.

【解析】對于A,MN〃平面PR,平面SMN與棱序的延長線相交于點Q,與棱PB的延長線相交于點

R,

■.平面SMNc平面PAB=RQ,

又MNu平面SMN,MN//平面PAB,MNIIRQ,

?.點。在面ABC上，過點0的直線交4C,BC于點M,N,，MNu平面ABC,

2

又MN//平面PAB,平面ABCn平面PAB=AB,■■MNIIAB,

：.AB//RQ,故A正確；

對于B,設(shè)正四面體P—ABC的棱長為=

=網(wǎng)?糜卜os60°+網(wǎng)?網(wǎng)cos60°=a2>0,故B錯誤；

對于C,當(dāng)直線MN平行于直線AB,S為線段PC上靠近C的三等分點，即SC=^PC,此時PC±平面SRQ,

以下給出證明：在正四面體P-ABC中，設(shè)各棱長為。，

.?「ABC,△PBC,△PAC,均為正三角形，

.點。為工ABC的中心，MN//AB,

2

???由正三角形中的性質(zhì)，易得CN=CM=qa,

2171

在..C7VS中，CN=-a,SC=-a/SCN=一,

33f3

由余弦定理得，SN=.1(-)+f—Y-2---—cos-=—a,

Y⑴(3)3333

SC2+SN2=^a2=CN2,則SN_LPC,

同理，SMVPC,又SMSN=S,SMu平面SR。，SNu平面SR。，

??.PC_L平面SRQ,.?.存在點S與直線MM使PC_L平面SRQ,故C正確；

221

對于D,設(shè)。為3c的中點，PO=PA+AO=PA+-AD=PA+-(PD-PA)=-(PA+PB+PC),

又???？，A,。三點共線，PA=——PQ「：P,B,R三點共線，...尸8=—PR,-：P,S,C三點

共線,PC=PS,設(shè)卜。卜x,

3x3y3z

川\PB\\PC\

Q,R，S四點共面，；------1--------1-------=1,又：網(wǎng)=網(wǎng)=|叫,?虧+豆+武網(wǎng)，

3x3y3z

?一+—+—=?}—r

ryzPA

1113

附廣網(wǎng)+網(wǎng)一網(wǎng)故D正確.

故選：ACD.

【注意】關(guān)鍵點注意：本題考查了線面平行的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理，考查了空間向量數(shù)量積和

共面向量定理，解題的關(guān)鍵是熟悉利用空間向量的共面定理，考查了轉(zhuǎn)化能力與探究能力，屬于難題.

3.(江蘇省蘇北四市(徐州、淮安、宿遷、連云港)2022-2023學(xué)年度高三年級第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題)

如圖，在四棱錐S-A8C。中，側(cè)面底面ABC。，S4_LA￡>,且四邊形ABC。為平行四邊形，AB

兀

=1,BC=2,Z.ABC=ySA=3.

(1)求二面角S-CD-A的大小；

(2)點P在線段SO上且滿足益=2籍，試確定4的值，使得直線BP與面PC。所成角最大.

19.(1)連接XC,在△ABC,AB=\,BC=2,

jrjr

448c=§,由余弦定理得/C=G，所以=1..................................2分

因為側(cè)面S4)_L底面/8CD,面S4Dn底曲L45a>4。，SAJ.AD,

所以&4_L面4BCD,所以S4_L4C......................................................................4分

法1：以力為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則5(1,0,0),C(0,73,0),S(0,0,3),0(-1,6,0),CD=(-1,0,0),SC=(0,73,-3).

設(shè)平面SCD的法向量為〃=(x,y,z),

,fn?CD=0,\x=0__

由<----，得.>可取"=(0,6,1).

n-SC=0lV3y_3z=O

易知m=(0,0,1)為面ABCD的法向量...............6分

s、，nmm11

所以8so=麗=亦=5.

因為-面角S-CD-A為銳角，

所以。=].即二面角S-C。-/的大小為g............................

4

法2：因為“_L而/BCD,所以W_LCD.

因為四邊形N88為平行四邊形，所以NC_LCD,

又以cNC=N,所以CZ）_L而S4C,所以C￡>_LSC.

又面，CZ）c面SCQ=CD,所以4cs為二面角S-CD-A的平面角.........6分

因為12!!乙405=白=6,二面角$_8-4為銳角，所以e=g.

即二面角S-CD-力的大小為T..................................8分

（2）設(shè)「（XQ”Z1）,SP=ASD.得（占,必，4-3）=/1（-1,6,-3）,

x,=-A,y,=&,Z|=3-32,所以尸（一人&,3-3/1）,所以而=3-3/1）.

..............................................10分

由（1）知平面PCZ）的法向量為7=（0,6,1）.

BP>n32+3-323

因為cosa=―?_=—/—=—

18Pmi2?。?1）2+（&y+（3-32）22V1322-162+10'

QQ

所以當(dāng)2=1時，cosa值最大，即當(dāng)4=點時，8尸與平面尸C。所成角最大.

..............................................12分

4.（江蘇省常州高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題）

如圖，空間幾何體ADE-3b中，四邊形ABC。是梯形，AB//CD,四邊形CDEF是矩形，且平面A8C￡>，

平面COE￡ADA.DC,AB=AD=DE=2,EF=4,M是線段AE上的動點.

（1）試確定點M的位置，使AC//平面并說明理由；（7分）

（2）在（1）的條件下，平面尸將幾何體4）￡-3b分成兩部分，求空間幾何體V-DM與空間幾何

體AOM-BCF的體積的比值.（7分）

5

(1)當(dāng)M是線段AE的中點時，AC〃平面理由見解析；(2)

4

【分析】(1)由線面平行的性質(zhì)定理確定M是線段AE的中點，然后根據(jù)線面平行的判定定理證明.

(2)將幾何體ADE-8CF補成三棱柱，由三棱柱和三棱錐體積得幾何體AB-CDE尸的體積，再求得三棱

錐尸-血癥的體積后可得所求比值.

【解析】(1)當(dāng)M是線段AE的中點時，AC〃平面MDE.

證明如下：連接CE交OF于點N,連接MN,如圖，由于N分別是AE、CE的中點，

所以MN//AC,又MV在平面明萬內(nèi)，且AC不在平面例外'內(nèi)，所以AC〃平面

(2):四邊形C￡>"是矩形，CD_L￡>￡又C￡>_LAD,且4)c3E=3,

C0J_平面4DE.

平面ABCD上平面CDEF,平面43coe平面8EE=CD,A￡>u平面ABC。，ADVCD,所以ADJL平

面CDEF,又0Eu平面COEF,所以

將幾何體4)E-8b補成三棱柱4)E-B'CF,

三棱柱AQE—B'CF的體積V=SAOE-CO=JX2X2X4=8,

則幾何體ADE-3c/的體積匕=丫一匕5CF=8-gx(；x2x2)x(4-2)=T，

又三棱錐尸一。EM的體積匕=；x(gx2x2xg)x4=g.

4f204、1

?,?空間兒何體”一。七五與空間幾何體AOM-BCF的體積的比為^［與一耳)二］.

★高考引領(lǐng)

~6

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷文科第19題

【試題】

小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個

封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示：底面48co一^

是邊長為8（單位：cm）的正方形，△EAB，

△FBC,△GCO,均為正三角形，且它八/X/A

們所在的平面都與平面ABCI）垂直./3c

（1）證明：EF〃平面ABCD；\^/\[/

（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的"'

厚度度

【試題分析】

考查目標(biāo)試題的情境源于生活中的求喜糖包裝盒容積的問題，依

據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)要求，將其設(shè)計為求“不規(guī)則”幾何體的體積計算問題.試

題考查棱錐、直四棱柱等空間幾何體的基本概念，考查不規(guī)則幾何體的

割補方法，考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

等基礎(chǔ)知識和基本方法.試題重點考查考生的空間想象能力、邏輯推理

能力和運算求解能力，以及應(yīng)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.

解題思路求解不規(guī)則幾何體的體積時，如果幾何體是組合體,一

般將其分解為若干個“球、柱、錐、臺”的體積的和或差，從而將不規(guī)

則幾何體轉(zhuǎn)化為常見的簡單幾何體的形式，再運用常見幾何體的體積公

式就能求出結(jié)果.

（】）設(shè)48,8C的中點分別為￡，，可得￡￡'_L平面48C。，F(xiàn)F'工

平面A8C。，且EE'=FF',從而為矩形，所以EF〃E'F,因此

7

“〃平面48CD

(2)思路1點E,F,C,H到平面48GD的距離都為4&，且平面

EFGH〃平面ABCD.故該包裝盒可由底面邊長為8,高為4右的正四棱柱

ABCD-A,B,C,D,截去四個體積相等的三棱錐4-4即，B-B.EF,

C-C.FG,。-得到，且MF,G,〃分別為正四棱柱上底面各棱的

中點.

思路2設(shè)48,BC,CD,的中點分別為廣，C,點

E,F,6,，到平面A8C0的距離都為4吁，且平面EFCH〃平面48s

故該包裝盒可由底面邊長為4&,高為4吁的正四棱柱HEFG

和四個體積相等的四棱錐4-HEEW,B-EFF'E',C-FGG'F',D-

GH/TG，組合得到.

試題亮點試題落實立德樹人根本任務(wù)，從引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全

面發(fā)展的角度，以勞動實踐中的實際問題出發(fā)，以考生熟悉的正四棱柱

和棱錐的組合體為載體，設(shè)計了空間直線與平面的位置關(guān)系和平面與平

面的位置關(guān)系的證明問題及計算問題?考生對試題中的空間圖形會有似

曾相識的感覺，貼近廣大考生的學(xué)習(xí)實際?試題給出的信息量是多樣的，

給不同基礎(chǔ)的考生提供了想象的空間和多維度的思維平臺，同時為考生

分析問題和解決問題提供了發(fā)揮能力水平的空間.試題在全面考杳考生

對立體幾何基礎(chǔ)知識理解與掌握的同時，著重考查了考生的化歸與轉(zhuǎn)化

思想.試題重基礎(chǔ)、重應(yīng)用、重能力，體現(xiàn)出較好的區(qū)分度和選拔功能，

對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有積極的引導(dǎo)作用和很好的指導(dǎo)意義.

8

【參考答案】

(1)設(shè)48,8c的中點分別為E',F',連結(jié)￡E',FF',E'F',由題

設(shè)可知EE'J.平面ABC。，F(xiàn)F'_L平面48C0,且EE'=FF'=4#,故

EE'F'F為矩形，所以EF〃E'F',因此E尸〃平面48C0.

(2)解法1由題設(shè)和(1)可知，點E,F,

G,H到平面48CZ)的距離都為4吁，且平面

EFGH〃平面ABCD.故該包裝盒可由底面邊長

為8,高為4。的正四棱柱4BCD-4與G?截

去四個體積相等的三棱錐B-B.EF,

C-C.FG,O-QG”得到，且E,F,%，分

別為正四棱柱上底面各棱的中點，如圖所示.

正四棱柱ABC。-44Gd的體積匕=8x8x4。=2564.

三棱錐A-A,EH的體積匕=gx；x4x4x46=^^色.

因此該包裝盒的容積為%-4匕=包磐(cm?).

解法2設(shè)48,BC,CD,以的中點分別

為EtF',C,H二由題設(shè)和(I)可知，點

E,F,G,，到平面48C0的距離都為4力，且

平面以、G〃〃平面￡N，C7T.故該包裝盒可由底

面邊長為4々，高為4耳的正四棱柱〃￡/C-

和四個體積相等的四棱錐A-HEE'H',

B-EFF'E',C-FGG'F',。-CH//'C'組合得到.

正四棱柱HEFG-〃'￡FC'的體積%=4&x4&x4$=128萬.

四棱錐A-的體積匕=：X44X4&X2&=竺四.

33

因此該包裝盒的容積為K)+4F|=—y—(cn?).

9

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科第18題

【試題】

在四棱錐中。T8CO,底面AO=O（；=C8=

48=2,DP

（1）證明：BD1PA；

（2）求PD與平面P4B所成的角的正弦值?

【試題分析】

考查目標(biāo)試題以底面為等腰梯形的四棱錐為載體，通過確定兩直

線的位置關(guān)系和計算宜線與平面所成用的正弦值,號杳號生的空間想象

能力'邏輯推理能力.運算求解能力，以及綜合應(yīng)用知鞏分析問題解決

問題的能力.試題第（I）問難度不大，考生具備一定的空間想象能力和

邏輯推理能力即可得證.證明的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)△48〃是自用三角形試題

第（2）問設(shè)計為求宜線與平面所成角的正弦值該問題的求解方法基礎(chǔ)

且多樣，既可以通過向量法求解，也可以通過綜合法求解，為不同思維

水平的考生提供了充分展示的空間?

解題思路（1）根據(jù)已知條件可得BO,PR注意到四邊形48co是

等腰梯形，容易得到乙加§=6?！?利用余弦定理和勾股定理，發(fā)現(xiàn)

△4BD是直角三角形，從而得到由此可得平面以。，于

是BOJ.PA.

（2）思路］用向量法求解.由題設(shè)及第（1）問得直線04，OP

兩兩垂直，因此自然以。為坐標(biāo)原點，以方的方向為“軸正方向，建

立空間直角坐標(biāo)系O.xyz,于是OP=（0,0,4）,運用向量法求P。與

平面PAB所成角的正弦值，只需要求出平面PAB的一個法向量即可?

思路2用綜合法求解.求PD與平面PAB所成角的正弦值，關(guān)鍵是

求出。到平面PAB的距離.由題設(shè)及第（1）問可得三棱錐P-ABD的體

積為;，利用等體積法，問題轉(zhuǎn)化為求△PAB的面積?

10

思路3用綜合法求解.求P0與平面P48所成的角的正弦值，只需

找出過。點且與平面P4B垂直的直線即可?作垂足為E,連

接PE,作。尸JME,垂足為凡得到。F_L平面尸48,則乙ZJP尸即為P0

與平面P4B所成的角.

試題亮點試題以底面為等腰梯形的四棱錐為載體，通過四棱錐的

各頂點設(shè)計空間兩條直線之間位置關(guān)系的證明問題和直線與平面所成角

的計算問題.試題簡潔清晰，解題思路多樣，給不同基礎(chǔ)的考生提供了

廣闊的想象空間和分析問題解決問題的多維度平臺.試題在全面考查立

體幾何基礎(chǔ)知識的同時，著重考查了考生對化歸與轉(zhuǎn)化思想方法的理解

與掌握?試題準(zhǔn)確把握教材要求，將向量運算以及直線與平面所成角的

構(gòu)建等知識進行了很好的融合，使考生的空間想象能力、邏輯推理能力

得到了有效考查.試題重基礎(chǔ)、重能力，符合廣大考生的學(xué)習(xí)實際.

【參考答案】

(1)由題設(shè)得乙。4^二60。-在△48。中?由余弦定理得=又

因為48=2,AD=\,從而AB?"。'"。：.故8DL4D.

因為尸〃1底面48C。，所以80_LP。，故80J.

平面因為P4U平面尸4。，所以8OJLP.4.

(2)解法1由題設(shè)及第(1)問得04.DB,DP

兩兩垂直.以。為坐標(biāo)原點,畝的方向為x軸正

方向，建立如圖所示的空間在角坐標(biāo)系。-XR,則

1)(0,0,0),4(1,0,0).B(0,73.0).

P(0.0,百。P4=(1,0,-⑸,河=(0,73,

TT

設(shè)平面PA8的法向量”=(x.>,z),則

r??M=o,k-y5z=o,

一即可取

n-PB=O,［歷_后=0,

n=(V3,I.I).

—??DPv5

因為cos〈n,DP>=-n-C.=v>所以

Ini?IDPI5

PD與平面PAB所成角的正弦值為T.

解法2由題設(shè)及第（1）問得三棱錐P-480的體積為V=yxlxlx

又AB=2,PA=y/DA2+DP1=2,PB=jDB、D產(chǎn)=R、所以

…AB2+PA2-PB21715

cosLPAB=---；—?—=—,sinLPAB=——

2X/IBXP444

設(shè)點D到平面PAB的距離為d,則2小小位

,1,VT5

由得d=v

因此PI）與平面P4B所成角的正弦值為&=g

解法3如圖所示.作0E_M8,垂足為E,連接PE.因為尸01底

面4BCD,所以PCL4B.故.481平面P0￡.

作。FJ.PE,垂足為t因為4BJ.平面P￡>&OFU平面POE,所以

DF1AB.

因為A8nPE=a所以O(shè)F_L平面P48因此

乙OPF即為PD與平面PAB所成的角.

因為;x.48xOE=；xO.4xOB,所以。犬=4,

222

故PE=/DE2+DP2=—.

y2

因此PD與平面PAR所成角的正弦值為空=叵.

PE5

12

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷文科第12題

【試題】

已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為。，底面的四個頂點均在球。

的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為

【試題分析】

考查目標(biāo)球與四棱錐是學(xué)生比較熟悉的幾何體，試題巧妙地將兩

者結(jié)合在一起，考查球和四棱錐的基本概念、四棱錐體積的計算等基礎(chǔ)

知識.試題的解決，首先要求考生具有較強的空間想象能力，在此基礎(chǔ)

上，將四棱錐的體積表示為高的函數(shù).解題的關(guān)鍵在于，考生能想到四

棱錐的體積最大時的棱錐一定是正四棱錐，這就對考生的化歸與轉(zhuǎn)化、

邏輯推理等方面的能力提出了較高的要求.試題有效地考查考生的理性

思維、數(shù)學(xué)探索等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，考查考生的空間想象、運算求解、邏

輯思維等方面的關(guān)鍵能力.考生在得到了正四棱錐體積的表達式后，可

利用導(dǎo)數(shù)得到結(jié)果.

解題思路

思路1四棱錐底面與球面所截得的小圓的圓心記為其半徑記

為，，球心。到四棱錐底面的距離記為上則

r2+h2=1.

由于四棱錐底面是圓Oi內(nèi)接四邊形，因此若給定的半徑為r,則

底面為正方形時其面積最大，最大值為2/,此時四棱錐的體積為

19

§?2r2?A=y(l-h2)h.

13

由于A”)=，(”3*),當(dāng)0“〈空時，r(A)>0；釁“<1時,

r(/o<o,所以當(dāng)人=?時，義句取得最大值，故當(dāng)該四棱錐的體積達

到最大時,其高為*即正確選項為C.

也可以利用均值不等式得到結(jié)論：

2(14)石=(1心(1牙).2問i申丁巧.3,

當(dāng)且僅當(dāng)好=1時，等號成立，故人=日時，M/t)取得最大值.

思路2在給定小圓a的半徑r時,當(dāng)四棱錐的底面為正方形時，

其面積達到最大，最大值為2r2,此時四棱錐的體積為

〃(/!)="?2/?h=yr271-r2=y/r4-r6.

令/(「)=/-/,則/'(,)=2『(2-3/)，易得r=，時，/(r)取得最大

值，此時/i=g,故當(dāng)此四棱錐的體積達到最大時，其高為小,即正確

。J

選項為C.

試題亮點試題考杳的是球和四棱錐方面的基礎(chǔ)知識，題目設(shè)計簡

潔，可以有效考查考生諸多方面的學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)健能力，具有一定的創(chuàng)

新性.

(1)試題設(shè)計的情境是考生熟悉的，問題設(shè)計自然、合理，是在實

際應(yīng)用中考生常遇到的問題.這一方面體現(xiàn)「數(shù)學(xué)之美，具有較好的關(guān)

育價值；另一方面體現(xiàn)r數(shù)學(xué)之用，仃效地號在r號生的數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)界

和關(guān)鍵能力?試題對高號在:加強數(shù)學(xué)銜接、體現(xiàn)德鉀體美勞全面發(fā)展等

方面進行了有益的之試.

(2)試題探究的問題是四棱錐的體枳何時達到最大求幾何體的體

14

積及討論體積的最大值是數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的問題.但試題要求考生先要

將求四棱錐體積的最大值問題轉(zhuǎn)化為求正四棱錐體積的最大值問題，這

就要求考生能分析、提煉及轉(zhuǎn)化問題，并善于尋找合理的解題思路.上

述解題過程對考生的邏輯推理能力提出了較高要求.試題具有一定的創(chuàng)

新性和開放性，達到了通過增加思維強度來選拔拔尖創(chuàng)新人才的目的.

(3)試題的解決需要用到導(dǎo)數(shù)或不等式等多方面的知識，但問題解

決過程中所用知識和方法又很基礎(chǔ)，充分體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用

性、創(chuàng)新性的考查要求.試題是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模鉀Q方法是靈活的，既體現(xiàn)r

高考的選拔功能，又能夠很好地引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)改革，真正實現(xiàn)了

高考“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能?

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷文科第18題

【試題】如圖,四面體中，AD1

CD,AD=CD,JLADB=乙BDC,￡為4c的

中點.

(1)證明：平面平面

(2)設(shè).48=80=2,4"8=60。，點F在

8。上,當(dāng)△AFC的面積最小時，求三棱錐尸-48C的體積?

【試題分析】

考查目標(biāo)試題以考生熟悉的四面體為載體，考查空間平面與平面

的位置關(guān)系、三棱錐的體積等立體幾何的基本知識和基本思想方法.試

題重點考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力、運算求解能力以及綜

合運用所學(xué)知識分析問題解決問題的能力.

解題思路(1)證明兩個平面垂直的關(guān)鍵是證明一個平面中的一條

直線垂直于另一個平面.觀察試題所給的圖形發(fā)現(xiàn)，可以嘗試證明

平面BEO或證明平面4CZZ由40=e和￡為/10的中點可得。后工

.4C,從而可以嘗試證明4C_L平面月磯Z由此發(fā)現(xiàn)，僅需繼續(xù)證明8￡J_

AC,其等價于BC=BA.此時利用已知條件容易得到結(jié)論.

15

（2）第（2）問的解題難點在于確定動點尸的位置，使得△AFC的面

積最小?在△4/C中，只有邊4。是固定的，所以可以考慮AC邊上高的

最小值?由兩個途徑可以得到4。邊上的高為產(chǎn)￡一是由乙408=

Z.BDC,AD=CD,DF=DF,得△尸D4/因此￡4=/C,于是FE

UC；二是由（1）知4CJ.平面故FE14c,即尸￡為尸C的高.

當(dāng)口380時，△.C的面積最小.此時產(chǎn)的位置確定，接下來只需在

靜態(tài)的圖形中計算△4/C的面積.要求三棱錐48c的體積，需要找

到一個底面以及相應(yīng)的高，有以下兩種思路.’

思路1由（1）知4c，平面出”所以4C_LH〃，乂￡7U8O故

8O_L平面AFC,從而平面外匕故可以把求三校錐尸-48c的體積

轉(zhuǎn)化為求A/IFC的面積和8工

由題設(shè)及（1）得4C=BC=45=2,0￡=]C=1,DE2+BE2=DB2?所

以DELBE,從而可得Er=日?又BF=JBE2-EF2=,,故三棱錐尸一

ABC的體積

1173373

%雨=%〃c=1X彳x2x彳、彳=了.

思路2由題設(shè)及（1）得4m，DE=^AC=\,DE2+BE2=

DB2,所以。E_LBE,從而發(fā)現(xiàn)。平面48c于是，平面°E8_L平面

ABC.過點/作BE的垂線，垂足為K,則必是三棱錐產(chǎn)-48。的再

故可以把求三棱錐F-ABC的體積轉(zhuǎn)化為求△/4〃C的面積和高犬K.由

EF=~,BF=jB匹評=三、可得內(nèi)=/i乙以M=?.故三棱錐?

ABC的體積

j：="x；x2xyjx.=g.

16

試題亮點空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系，直線與平面所成

的角、平面與平面所成的二面角等內(nèi)容是立體幾何的重要內(nèi)容，也是高

中數(shù)學(xué)的必備知識.試題以四面體為載體，利用棱的中點構(gòu)造新的平面，

這些都是考生熟悉的情境，很容易上手，也有利于考生正常發(fā)揮?試題

的第（1）問“平易近人”，沒有設(shè)置過多的思維障礙，基本功較好的考生

都能輕松解答.試題的第（2）問設(shè)計精巧又不落俗套，通過設(shè)置動點孔

讓圖形產(chǎn)生變化.條件“△4尸C的面積最小”設(shè)置新穎，讓考生感覺既

熟悉又陌生，該問和理科卷要求不同，體現(xiàn)了文理科的差異性?解題時

考生可通過建立空間直角坐標(biāo)系，運用空間向量的基本方法求得0尸與

平面48。所成角的正弦值.合理建立空間直角坐標(biāo)系，以及正確運用空

間向量求二面角正弦值的思想方法是對第（2）問考查的基本要求?第（2）

問還給思維能力強的學(xué)生預(yù)留了快捷的解題通道，即完全可以不建立空

間直角坐標(biāo)系，通過直接作垂線輕松解決.試題讓不同水平的考生都能

在學(xué)有所得的同時，通過不同解法對其思維層次進行有效的區(qū)分.

試題貼近廣大考生的學(xué)習(xí)實際，給不同基礎(chǔ)的考生提供了想象的空間

和多維度的解題思路，同時考查了考生分析問題和解決問題的能力.試題

在全面考查考生立體幾何基礎(chǔ)知識的同時，著重考查了考生對化歸與轉(zhuǎn)化

思想方法的理解與掌握，考查了思維的創(chuàng)新性.試題準(zhǔn)確把握課程標(biāo)準(zhǔn)，

把直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)較好地融入試題的

第（1）問和第（2）問中?試題具有較好的選拔功能，突出對考生綜合、靈活

運用知識來解決問題的能力的考查，對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有積極的引導(dǎo)作用.

17

【參考答案】

(1)由題設(shè)知，LADR=/_BDC,AD=CD,BD=BD,故

△BDC,因此B4=8C.于是BE14C.

又由題設(shè)知OEJMC,故4C_L平面BE。，所以平面BEO_L平面4CO.

（2）解法1由題設(shè)及（1）得4c=BC=48=

2,DE=^-AC=1,DE2+BE2=DB1,所以。￡

工BE.

連結(jié)E/.由（1）得4C_LEF,故△4W：的

面積為:x4CxEF.當(dāng)△4/C的面積最小時，EF1BD,此時E尸=孚?

_______3

由（1）得4C_LBO,所以破_L平面4CE又BF=jBE2-EF=彳,故

三棱錐F-48c的體積

,,?1173373

VlBC=^-HC=jXjX2XyXy=y

所以當(dāng)?shù)拿娣e最小時，三棱錐F-ABC的體積匕".

解法2由題設(shè)及(1)得4C=BC=48=2,D￡=y4C=l,DE、BE?=

4

DB2,所以DEJ.BE.從而OEJ.平面718c.于是平面_L平面48c.

過點尸作BE的垂線，垂足為K,則心是三棱錐/-48C的高線.

由￡5=當(dāng)，BF=\/Bl-EF=(,可得/K=gsin乙=3.故三棱

2224

^F-ABC的體積

匕=yxlx2x/3C=與.

3244

18

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科第18題

【試題】

如圖，四面體.48C。中,AD1CD,AD=CD,D

乙ADBMBDC,￡為AC的中點.

(1)證明：平面8E0_L平面4C0；

(2)設(shè),4B=8。=2,Z.ACB=60°,點/在BD

上，當(dāng)△,"(?的面積最小時,求C/與平面48。所成的角的正弦值.

【試題分析】

考查目標(biāo)試題以考生熟悉的四面體為載體，考查與空間直線與平

面、平面與平面的位置關(guān)系有關(guān)的基礎(chǔ)知識和基本方法?試題重點考查

考生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力，以及綜合運用所

學(xué)知識分析問題解決問題的能力.

解題思路

(1)證明兩個平面垂直的關(guān)鍵是證明一個平面中的一條直線垂直于

另一個平面.觀察試題所給圖形發(fā)現(xiàn)，可以嘗試證明AC，平面或

證明8EJ.平面4CD由4。=。。和￡為4C的中點，可得〃￡"L4C,，從而

可以嘗試證明4C_L平面8磯).由此發(fā)現(xiàn)僅需繼續(xù)證明B￡_L4C,其等價

于BC=BA.此時利用已知條件可以得到結(jié)論.

(2)解答第(2)問的難點在于確定動點尸的位置，使得△4"?的面

積最小?A4FC中只有邊4c是固定的，所以可以考慮邊4C上高的最小

值?有兩個途徑可以得到邊4C上的高為產(chǎn)￡.一是由乙

4O=CD,DF=DF,得/因此￡4=/C.于是有FE,4c.

二是由(1)知4CJ.平面BED,故FE1AC,即股:為△?!”的高，從而當(dāng)

￡產(chǎn),80時，的面積最小.此時尸的位置確定，接下來只需在靜

態(tài)的圖形中進行計算?要求C/與平面48。所成的角的正弦值，有以下

兩種思路.

19

?II

思路1采用建立空間直角坐標(biāo)系的方

法,求向量）與平面48。的法向量的夾角.

而建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是找到垂直關(guān)

系，由（1）知，4。_1平面8￡”,所以可以聯(lián)

想0E和8E是否垂直，利用題設(shè)中給出的條

件，很容易得到?！阓LB￡于是以￡為原點,

成的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系￡-町Z,則

4(1,0,0),B(0,0),C(-i,0,0),D(0,0,1),

《0,y,|j.麗=(0,S,1),D4=(l,0,-1),叫i,冬斗

可取“=(3,G,3)為平面480的一個法向量，從而計算得尸與平面

48。所成的角的正弦值為竽.

思路2不建立空間直角坐標(biāo)系，找到一個過點C且和平面.BO垂

直的平面，從而過點C作該平面和平面48。交線的垂線，可得。尸與平

面A8O所成的角.由（1）知4C_L平面所以AC18O,又EF二D

故8O_L平面AFC,從而平面平面4FC.過點C作4/的垂線垂

足為K,則乙CFK是C尸與平面48。所成的角.''事

在ZUFC中，昨“當(dāng)42,從而很容易計算得“與平面

ABD所成的角的正弦值為〒?

20

試題亮點直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，直線與平面所成

的角，平面與平面所成的二面角等都是立體幾何的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容.試題

以四面體為載體,利用中點構(gòu)造新的平面，這些都是考生熟悉的情境，

有利于考生發(fā)揮自己的水平?

試題第（1）問沒有設(shè)置過多的思維障礙，基本功較好的考生都能輕

松解答.試題第（2）問的設(shè)計精巧又不落俗套，通過設(shè)置動點凡讓圖形

產(chǎn)生變化.其中，條件的面積最小”設(shè)置新穎，讓考生產(chǎn)生既

熟悉又陌生的感覺.該問可通過建立空間直角坐標(biāo)系，運用空間向址的

方法求得CF與平面ABD所成的角的正弦值?合理建立空間直角坐標(biāo)系，

以及正確運用空間向量求二面角正弦值的思想方法是對第（2）問考查的

基本要求.第（2）問還為思維能力強的考生預(yù)留了快捷的解題通道?考

生完全可以不建立空間直角坐標(biāo)系，直接通過作垂線即可輕松求解。試

題在讓不同水平的考生都能學(xué)有所得的同時，通過建立空間直角坐標(biāo)和

不建立空間直角坐標(biāo)系的解法對考生的思維層次進行了有效的區(qū)分?

試題貼近廣大考生的學(xué)習(xí)實際，和中學(xué)教學(xué)有很好的銜接，給不同

基礎(chǔ)的考生提供了想象的空間和多維度的思維平臺?試題在全面考查立

體幾何基礎(chǔ)知識的同時，著重考查了考生對化歸與轉(zhuǎn)化思想的掌握，考

查了考生思維的創(chuàng)新性，以及綜合、靈活運用知識來解決問題能力?試

題具有較好的選拔功能，對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有積極的引導(dǎo)作用和很好的指

導(dǎo)意義.

【參考答案】

（1）由題設(shè)知AADB=乙BDC,AD=CD,BD=BD,故"DA/

△8CC,因此84=8C.于是8EUC.

又由題設(shè)知"￡_L4C,故4C_L平面8EO,所以平面BED平面ACO.

（2）解法1由題設(shè)及（1）得4c=BC=48=2,OE=（lC=1,o爐+

BE2=DB2,所以DEBE.

以￡為坐標(biāo)原點，瓦（的方向為工軸正方向，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系E-甘則4（1,0,0）,8（0,73,0）,c（-l,0,0）,

0（0,0,1）,80=（0,-y/3,1）,2/4=（1,o,_］）,

連結(jié)EE由（1）得R_L釬，故△*（；的面積為^^門芯式.當(dāng)?shù)?/p>

面積出時,EFLBD,則防喙｛0,%方,叫］@3\

21

4/

取〃=（3,4,3）.

一、n-CF473

所以cos",CF〉=-------=^--

Ini?\CF\7

46

因此CF與平面ABD所成的角的正弦值為手?

解法2由題設(shè)及（1）得4c=8C=48=2,DE=

-AC=\,DE2+BE2=DB2,所以DE1.BE.

連結(jié)ER由（1）得故的面積

Ityj

為LXACXEF.當(dāng)?shù)拿娣e最小時，EFLBD,此時敏=彳?

2z

由（1）知4C_L8D,又EFLBD,故80J.平面4FC,從而平面48〃J.

平面4FC過點。作4尸的垂線，垂足為K,則乙CUK是C尸與平面480

所成的角.

在△?1尸C'中，F(xiàn)A=FC=^~,AC=2,可得sin4所以CF

4a

與平面48。所成的角的正弦值為一?

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國［卷第&題

【試題】

已知正四棱錐的側(cè)棱氏為/,其各頂點都在同一球面

匕若該球的體

積為36%旦3Bw3Q,則該正四棱錐體枳的取值范|同是

A.B.

此7D.[18,27]

22

【試題分析】

考查目標(biāo)試題以考生熟悉的四棱錐和球為背景，固定球的體積，

讓球的內(nèi)接正四棱錐的側(cè)棱長在一定范圍內(nèi)變動，要求計算該正四棱錐

體積的取值范圍.試題考查四棱錐的基礎(chǔ)知識，考查考生的空間想象、

邏輯推理、運算求解等關(guān)鍵能力，考查考生理性思維、數(shù)學(xué)探索等數(shù)學(xué)

學(xué)科素養(yǎng)，符合基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性的考查要求?

解題思路設(shè)正四棱錐P-ABCD的頂點在球°的球面上?由題意

可得球。的半徑為3,頂點P在底面48co上的投影是該正方形的中心，

設(shè)為E.在P,4,。所在的大圓中，有PA2=PE.2PO=6PE,故P￡=

g從而

6

——，36-廣

AE=y/PA2-PE2r=七一.p

因此,48=襄AE=,四棱錐的彳左

3顯院衛(wèi)二

體積^/T

1,「(36--)、一'

一=”1*W￡=\I.

令/(x)=/(36r),xe[9,27],則了=%,f'(x)=3x(24-x).

當(dāng)9<x<24時，/'(工)>0,/(工)單調(diào)遞增；當(dāng)24<工<27時，/,(x)<0.

/(x)單調(diào)遞減.故/(x)a=/(24)=24?xl2,/(x)^.=min|/(9),

,y(*)m?i64/(x)SM27gj-pi

2

/(27)|=/(9)=9X27.TJiV1M1=-^-=y,乙-=了?所以

四棱錐P-48CO體積的取值范圍是信y|.故正確選項為C.

試題亮點棱錐和球是中學(xué)課程的必修內(nèi)容?試題的正確運算必須

基于空間想象，同時還必須依靠嚴(yán)密的邏輯推理，才能發(fā)現(xiàn)空間幾何體

中