云南省德宏州2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（含解析）

德宏州2022—2023年度高三年級(jí)秋季學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分注意事項(xiàng)：

1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合交集、補(bǔ)集運(yùn)算，求解.【詳解】，則.故選：C.2.若復(fù)數(shù)純虛數(shù)，則等于（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則及純虛數(shù)定義可得，利用模長(zhǎng)公式即可得.【詳解】由為純虛數(shù)，可得，即，所以.故選：B3.在中，若為邊上的中線，點(diǎn)在上，且，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角形法則和平行四邊形法則表示向量.【詳解】如圖所示，在中，因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以為的中點(diǎn)，所以由平行四邊形法則有：，又點(diǎn)在上，且所以，所以，故選：A.4.如下圖所示，在正方體中，如果點(diǎn)E是的中點(diǎn)，那么過(guò)點(diǎn)、B、E的截面圖形為（）A.三角形 B.矩形 C.正方形 D.菱形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意作出截面圖形，然后利用正方體的性質(zhì)求解即可.【詳解】分別取的中點(diǎn)，連接，如圖即為過(guò)點(diǎn)、B、E截正方體所得的截面圖形，由題意可知：且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)榍遥?，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所?所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，又因?yàn)椋云叫兴倪呅螢榱庑?，故選：.5.直線是曲線y＝lnx（x>0）的一條切線，則實(shí)數(shù)b等于（）A.－1＋ln2 B.1 C.ln2 D.1＋ln2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)直線與曲線y＝lnx相切于點(diǎn)，由y＝lnx可得，于是有：，故選：A6.已知函數(shù)的周期為2，當(dāng)時(shí)，．如果，那么的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.3 B.4C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】先將問(wèn)題的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的交點(diǎn)，分析出的值域，由此判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，．又函數(shù)的周期為2，所以．當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，作函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的圖象，觀察圖象可得兩函數(shù)圖象有5個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.故選：C.7.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B．如果，2，成等差數(shù)列，那么k等于（）A. B.2C. D.【答案】D【解析】【分析】聯(lián)立直線與拋物線，根據(jù)韋達(dá)定理以及等差中項(xiàng)和拋物線的性質(zhì)計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)，聯(lián)立方程組，整理可得，，解得：，且，由，，又，2，成等差數(shù)列，所以，則，所以，解得：或，因?yàn)椋?，故選：D.8.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，它的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線．若，且，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由判斷在單調(diào)遞增，再根據(jù)的奇偶性判斷的奇偶性，將函數(shù)的不等式關(guān)系轉(zhuǎn)換為，最后求解即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以是定義在R上的偶函數(shù)函數(shù)，由題意可知在單調(diào)遞增，則在單調(diào)遞減，設(shè)，所以，展開絕對(duì)值得，解得.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9.在整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，，則下列結(jié)論正確的為（）A. B.C. D.整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”【答案】BCD【解析】【分析】理解“類”的定義，容易判斷AB選項(xiàng)的正誤；而C，則由被4除所得的余數(shù)只有四種情況理解辨析即可；而D，則需要互為條件結(jié)果各證一次，進(jìn)而得以判斷.【詳解】對(duì)于A，由得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由得，故B正確；對(duì)于C，所有整數(shù)被4除所得的余數(shù)只有四種情況，即剛好分成共4類，故，故C正確.對(duì)于D，若整數(shù)屬于同一“類”，則，故，所以；反之，不妨設(shè)，則，若，則，即，所以整數(shù)屬于同一“類”；故整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”，即D正確.故選：BCD.10.下述四個(gè)結(jié)論正確的是（）A.過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程為B.直線與圓相交的充分不必要條件是C.直線表示過(guò)點(diǎn)的所有直線D.過(guò)點(diǎn)且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是【答案】AB【解析】【分析】A選項(xiàng)設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓的切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出直線的斜率即可，選項(xiàng)B利用充分不必要條件進(jìn)行判斷即可,選項(xiàng)C利用反例即可驗(yàn)證，選項(xiàng)D分截距為0，或不為0的情況討論求出即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程為：，由題設(shè)得：，即，解得，所以過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程為，故A正確，選項(xiàng)B，若直線與圓相交，則，所以是直線與圓相交的充分不必要條件，故B正確，選項(xiàng)C，點(diǎn)在軸上，但是無(wú)論取何值，直線不能表示軸上的直線，故C不正確，選項(xiàng)D，若截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入得：，所以方程為：，若截距不為0時(shí)，設(shè)在坐標(biāo)軸上的截距為，則設(shè)直線方程為：，將點(diǎn)代入得：，所以所求方程為：.故選項(xiàng)D不正確，故選：AB.11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.的值域是B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.當(dāng)時(shí)，有D.方程有四個(gè)不同的根【答案】CD【解析】【分析】作出函數(shù)與的圖像，根據(jù)圖像對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】函數(shù)與如下：對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)圖像可得的值域是或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：根據(jù)圖像可得的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：根據(jù)圖像可得當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：根據(jù)與的圖像可得，兩圖像有四個(gè)交點(diǎn)，即方程有四個(gè)不同的根，故D正確；故選：CD.12.已知函數(shù)，則（）A.是的一個(gè)周期B.的對(duì)稱軸方程為C.在上單調(diào)遞減D.的最小值是3【答案】AD【解析】【分析】利用周期函數(shù)的定義判斷選項(xiàng)A；利用對(duì)稱軸的性質(zhì)判斷選項(xiàng)B；利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，利用整體法確定單調(diào)性判斷選項(xiàng)C；利用周期性，將函數(shù)化為分段函數(shù)研究最值，即可判斷選項(xiàng)D．【詳解】函數(shù)，對(duì)于選項(xiàng)A，，所以是函數(shù)的一個(gè)周期，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋值闹芷跒?，所以，即，故直線為函數(shù)的對(duì)稱軸方程，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，時(shí)，，其中，則，故，所以在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)榈闹芷跒椋环寥∫粋€(gè)周期,進(jìn)行分析，則，當(dāng)時(shí)，，其中，故，則，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以最小值是3；當(dāng)時(shí)，，其中，，則，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值是3；綜上所述，函數(shù)的最小值為3，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.高三某位同學(xué)準(zhǔn)備參加物理、化學(xué)、政治科目的等級(jí)考．已知這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)的概率分別為、、，假定這三門科目考試成績(jī)的結(jié)果互不影響，那么這位同學(xué)恰好得個(gè)的概率是_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)的事件分別為，則，，，這位考生至少得2個(gè)的概率：．【詳解】設(shè)這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)的事件分別為，以為這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)的概率分別為、、，所以，，，這三門科目考試成績(jī)的結(jié)果互不影響，則這位考生至少得2個(gè)的概率：．故答案為：．14.二項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)為____________．【答案】【解析】【分析】先確定的展開式的通項(xiàng)公式，再由求解即可.【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，而，令，得；令，得，舍去.所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：15.已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)E為棱上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為棱上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則三棱錐體積取最大值時(shí)，則三棱錐外接球的體積為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可知進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得到外接球的球心為EF的中點(diǎn)O，從而得到球的半徑，利用球的體積公式即得.【詳解】取EF的中點(diǎn)O，連接，由正方體的性質(zhì)可得平面，又∵，∴，即，同理，∴由直角三角形的性質(zhì)可得，∴O為的外接球的球心，為外接球的直徑，∵，∴的外接球的半徑恒為1，∴三棱錐外接球的體積恒為，故答案為：.16.已知橢圓C：，，為橢圓的左右焦點(diǎn)．若點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），則的范圍為_____．【答案】【解析】【分析】利用橢圓定義可得，再根據(jù)三角形三邊長(zhǎng)的關(guān)系可知，當(dāng)共線時(shí)即可取得最值.【詳解】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知，又點(diǎn)P在橢圓上，根據(jù)橢圓定義可得，所以所以易知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立；又，所以；即的范圍為.故答案為：四、解答題：本題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知，．如果定義．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c．若，且，求．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再由整體法求單調(diào)遞增區(qū)間；（2）分別由余弦定理、正弦定理及和差公式，可建立三個(gè)角間的方程，進(jìn)而解得.【小問(wèn)1詳解】∵，，，∴，由得的單調(diào)遞增區(qū)間是，．【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，，解得．∵，由余弦定理得：，由正弦定理得：，∴，∴，在△ABC中，解得：或，∵，，∴，∴．18.如下圖所示，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）如果，PC與底面ABCD所成角的正弦值為，求平面PAE與平面AED夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）．【解析】【分析】（1）由線面垂直證，再依次證平面、平面；（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由向量法求面面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】∵底面，平面，∴、，又∵，且，平面，∴平面，又∵，∴平面．【小問(wèn)2詳解】由底面，得與底面所成角即為，，，則，，，以A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，以AP所在直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，．則∴，令，則，．∵，平面，∴平面，而，則平面的一個(gè)法向量，則，由圖可知平面與平面夾角為鈍二面角，所以平面與平面AED夾角的余弦值為．19.2021年9月3日，中華人民共和國(guó)教育部召開第五場(chǎng)金秋新聞發(fā)布會(huì)，會(huì)上發(fā)布了第八次全國(guó)學(xué)生體質(zhì)與健康調(diào)研結(jié)果．調(diào)研結(jié)果數(shù)據(jù)顯示，我國(guó)大中小學(xué)的學(xué)生健康情況有了明顯改善，學(xué)生總體身高水平也有所增加；但同時(shí)在超重和肥胖率上，中小學(xué)生卻有一定程度上升，大學(xué)生整體身體素質(zhì)也有所下滑．某市為調(diào)研本市學(xué)生體質(zhì)情況，采用按性別分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查，得到體質(zhì)測(cè)試樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：人）如下表：優(yōu)秀良好及格不及格男生5010039060女生6010026060（1）根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，完成下面列聯(lián)表：達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)合計(jì)男生女生合計(jì)并據(jù)此判斷：依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該市學(xué)生體質(zhì)測(cè)試是否達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)？（注：體質(zhì)測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀、良好或及格則體質(zhì)達(dá)標(biāo)，否則不達(dá)標(biāo)）（2）體質(zhì)測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀或良好則稱體質(zhì)測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)良，以樣本數(shù)據(jù)中男、女生體質(zhì)測(cè)試成績(jī)優(yōu)良的頻率視為該市男、女生體質(zhì)測(cè)試成績(jī)優(yōu)良的概率．在該市學(xué)生中隨機(jī)選取2名男生，2名女生，設(shè)所選4人中體質(zhì)測(cè)試成績(jī)優(yōu)良人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：①；②a0.0500.0100.001xa3.8416.63510.828【答案】（1）表格見(jiàn)解析，可以認(rèn)為該市學(xué)生體質(zhì)測(cè)試達(dá)標(biāo)與性別無(wú)關(guān)（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】(1)根據(jù)題中的數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，根據(jù)公式計(jì)算，再根據(jù)臨界值表中數(shù)據(jù)比較大小，即可判斷；(2)首先由題意得到男生體質(zhì)測(cè)試優(yōu)良率，女生體質(zhì)測(cè)試優(yōu)良率，寫出的可能取值，利用獨(dú)立事件概率的計(jì)算公式求出概率，并寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得，列聯(lián)表為：達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)合計(jì)男生54060600女生42060480合計(jì)9601201080假設(shè)：該市學(xué)生體質(zhì)達(dá)標(biāo)與性別無(wú)關(guān)．∵根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分的證據(jù)推斷不成立，所以，可以認(rèn)為該市學(xué)生體質(zhì)測(cè)試達(dá)標(biāo)與性別無(wú)關(guān).【小問(wèn)2詳解】由題意知，男生體質(zhì)測(cè)試優(yōu)良率，女生體質(zhì)測(cè)試優(yōu)良率.的所有可能取值為0，1，2，3，4.；；；；；所以，分布列為：所以，．20.如果數(shù)列滿足：，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)通過(guò)累加法即可求；(2)借助進(jìn)行放縮，從而裂項(xiàng)相消求和，最終得證.【小問(wèn)1詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，，，…，，∴，，∴，顯然，滿足上式.所以．【小問(wèn)2詳解】由(1)知，．∵，∴，又，則，所以，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)沒(méi)辦法常規(guī)求和時(shí)，又是證明前項(xiàng)和有關(guān)的不等式，可以考慮放縮求和，比如這道題的第(2)問(wèn)，借助進(jìn)行放縮，從而裂項(xiàng)相消求和.21.已知雙曲線：的焦點(diǎn)到漸近線的距離為．如果雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)分別是橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別是、，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線（不過(guò)點(diǎn)）交橢圓于點(diǎn)，連接延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，連接．試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)，如果過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）直線恒過(guò)定點(diǎn)．【解析】【分析】(1)設(shè)出橢圓方程，根據(jù)題意得到，然后根據(jù)漸近線方程得到，進(jìn)而求解即可；(2)根據(jù)題意，設(shè)直線方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到，然后求出直線：，將韋達(dá)定理代入整理即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓方程為，由焦點(diǎn)為到漸近線的距離為，得：，又雙曲線的漸近線方程為：，解得：，在橢圓中，，，，所以，橢圓的方程為：．【小問(wèn)2詳解】直線過(guò)定點(diǎn)．理由如下：設(shè)，，．因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以可設(shè)直線方程為．聯(lián)立方程組：，得：，∴，，，．∵，∴直線：，∵，，∴