導(dǎo)數(shù)中恒成立問題(最值問題)

導(dǎo)數(shù)中恒成立問題〔最值問題〕恒成立問題是高考函數(shù)題中的重點(diǎn)問題，也是高中數(shù)學(xué)非常重要的一個(gè)模塊，不管是小題，還是大題，常常以壓軸題的形式出現(xiàn)。知識(shí)儲(chǔ)藏〔我個(gè)人喜歡將參數(shù)放左邊，函數(shù)放右邊〕先來簡單的〔也是最本質(zhì)的〕如別離變量后，恒成立，那么有恒成立，那么有〔假設(shè)是存在性問題，那么最大變最小，最小變最大〕對(duì)于單變量的恒成立問題如：化簡后我們分析得到，對(duì)，恒成立，那么只需，使得，那么只需對(duì)于雙變量的恒成立問題如：化簡后我們分析得到，對(duì)，，那么只需如：化簡后我們分析得到，對(duì)，使，那么只需如：化簡后我們分析得到，，使，那么只需還有一些情況了，這里不一一列舉，總之一句話〔雙變量的存在性與恒成立問題，都是先處理一個(gè)變量，再處理另一個(gè)變量〕對(duì)于帶絕對(duì)值的恒成立問題，我們往往先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，去掉絕對(duì)值，再轉(zhuǎn)變成恒成立問題〔2023.03蘇錫常鎮(zhèn)一模那題特別典型〕今天呢，我會(huì)花很多時(shí)間來講解一道二次函數(shù)，因?yàn)槎魏瘮?shù)是最本質(zhì)的，〔甚至我提出這樣一個(gè)觀點(diǎn)，所有導(dǎo)數(shù)的題目95%歸根結(jié)底就是帶參數(shù)二次函數(shù)在定義域上根的討論，3%是與這種形式根的討論，2%是觀察法得到零點(diǎn)，零點(diǎn)通常是之類〕，所以如果我們真正弄清楚了二次函數(shù)，那么對(duì)于千變?nèi)f化的導(dǎo)數(shù)題，我們還會(huì)畏懼嗎。那么我們先從一道練習(xí)題說起一．二次函數(shù)型〔通常方法是討論對(duì)稱軸，根據(jù)圖像求最值〕例題.定義域?yàn)?，求的取值范圍思考?1\*GB3①引入定義域〔非〕=2\*GB3②參數(shù)在二次項(xiàng)，就需考慮是否為=3\*GB3③引入高次〔次，次，，，等等〕=4\*GB3④引入，等項(xiàng)〔導(dǎo)致不能別離變量〕方法：.一次函數(shù)，二次函數(shù)直接根據(jù)圖像討論最值(二次函數(shù)也可以別離變量).對(duì)于高次或者特殊函數(shù)，一般別離變量求最值〔別離變量后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況，確定單調(diào)性，從而確定在定義域上的最值〕.對(duì)于不能別離變量的，只能直接求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)討論，從而確定單調(diào)性，確定最值變式：=1\*GB3①，假設(shè)對(duì)任意的，均有，求的取值范圍=2\*GB3②，假設(shè)對(duì)任意的，均有，求的取值范圍=3\*GB3③，假設(shè)對(duì)任意的，均有，求的取值范圍=4\*GB3④，假設(shè)對(duì)任意的，均有求的取值范圍=5\*GB3⑤，假設(shè)對(duì)任意的，均有求的取值范圍例題2.〔改編〕函數(shù)在上的最大值為，最小值為，又函數(shù)，〔1〕求的表達(dá)式；〔2〕指出的單調(diào)區(qū)間，并求出的最小值答案：根據(jù)對(duì)是否為以及對(duì)稱軸的討論，易知，所以易知所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值點(diǎn)評(píng)：此題考察的主要是二次函數(shù)帶參數(shù)在定義域上的最值問題的討論變式：1.對(duì)稱軸不動(dòng)〔=1\*GB3①定義域不動(dòng)=2\*GB3②定義域動(dòng)〔含參數(shù)〕〕2.對(duì)稱軸動(dòng)〔含參〕，定義域不動(dòng)〔考試最喜歡考〕3.對(duì)稱軸動(dòng)〔含參〕，定義域動(dòng)〔含參〕但是參數(shù)還是同一個(gè)參數(shù)方法：找出對(duì)稱軸與定義域邊界及定義域中值的臨界點(diǎn)討論即可4.對(duì)稱軸動(dòng)〔含參〕，定義域動(dòng)〔含參〕=1\*GB3①參數(shù)不一樣，那么或許可以看看題目中參數(shù)的范圍，是否可以直接根據(jù)單調(diào)性求=2\*GB3②參數(shù)不一樣，參數(shù)也沒范圍，那么真不能做了〔13江蘇〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)A(a，a)，P是函數(shù)(x＞0)圖象上一動(dòng)點(diǎn)．假設(shè)點(diǎn)P，A之間的最短距離為，那么滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為__________．解：設(shè)那么令那么對(duì)稱軸1.時(shí)，，〔舍去〕2.時(shí)，，〔舍去〕綜上或點(diǎn)評(píng)：此題綜合性較高，考查了帶參數(shù)的二次函數(shù)在定義域上的最值問題〔高一下學(xué)期必須學(xué)會(huì)〕，同時(shí)考查了換元思想，分類討論的思想是一道非常漂亮的題目二．三次函數(shù)及特殊函數(shù)型〔通常是求導(dǎo)后對(duì)二次函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行討論，從而求最值〕先來幾個(gè)比擬特殊的題目，平時(shí)稍微長點(diǎn)心眼，多記記，就記住了1.〔原創(chuàng)〕函數(shù)且，對(duì)所有滿足條件的函數(shù)，始終有成立，求的取值范圍答案：由題可知時(shí)，與題目矛盾，所以顯然有所以由條件易知單調(diào)遞增，由題可知始終成立，即恒成立，因?yàn)閱握{(diào)遞增，又是滿足條件的所有函數(shù)，所以的最小值總大于1，所以有，知的范圍是或點(diǎn)評(píng)：對(duì)于某些題中既有又有的這種題型，我們不妨去聯(lián)想它的原函數(shù)2.〔原創(chuàng)〕函數(shù)；假設(shè)對(duì)于任意，總存在，使得不等式成立，那么的取值范圍是_____________________答案：分析知單增，又分析知在時(shí)取最大值，所以的最大值為，所以有恒成立，別離變量易知假設(shè)對(duì)任意，在上恒成立，求范圍解答：先看成是的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，所以最大值不是在處就是在處，所以有對(duì)恒成立，易知點(diǎn)評(píng)：對(duì)于一些雙變量的函數(shù)最值問題，我們難以處理時(shí)，往往可以去看看本身的定義域，從而確定原函數(shù)的單調(diào)性，確定最值4.對(duì)滿足所有實(shí)數(shù)，求使不等式恒成立的的取值范圍解答：看成是的一次函數(shù)點(diǎn)評(píng)：對(duì)哪個(gè)參數(shù)恒成立，就看成是哪個(gè)參數(shù)的函數(shù)5.對(duì)恒成立，求的取值范圍解答：法1:看成乘積小于恒成立，轉(zhuǎn)變成二次函數(shù)恒成立法2:必須有一正一負(fù)恒成立變式：對(duì)恒成立，求的取值范圍解答：如果看成是的函數(shù)，乘積后就變成關(guān)于的三次函數(shù)，所以我們可以轉(zhuǎn)變思維，轉(zhuǎn)變成兩個(gè)式子同正或同負(fù)6.假設(shè)對(duì)于滿足的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，那么的取值范圍為．解答：分解因式易知所以必須有同正或同負(fù)恒成立點(diǎn)評(píng)：通過這幾個(gè)題目的比照，所以我們發(fā)現(xiàn)雖然我們常說對(duì)哪個(gè)參數(shù)恒成立就看成是哪個(gè)參數(shù)的函數(shù)，但是有時(shí)候也需要轉(zhuǎn)變思維，不能太死板7.，假設(shè)對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍類題：〔10.江蘇〕.將邊長為正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,那么S的最小值是.點(diǎn)評(píng)：二次比二次型的值域問題，一定要熟練掌握，先別離常數(shù)，轉(zhuǎn)變成一次比二次，設(shè)一次為，轉(zhuǎn)變成關(guān)于的對(duì)勾函數(shù)，解決值域另外一次比一次型的其實(shí)只是對(duì)稱中心改變而已，可以直接畫圖，建議跟學(xué)生講明白的最大值是，最小值是，求與的值解答：整理成關(guān)于的二次函數(shù)，由題意知二次函數(shù)一定有解，所以有恒成立，轉(zhuǎn)變成關(guān)于的一個(gè)二次函數(shù)恒成立，易知和是它的兩個(gè)根，容易把求出來點(diǎn)評(píng)：此題比擬特殊，只要講過，那么以后碰到這類題，就不再那么無從下手了9.〔08江蘇〕對(duì)于總有成立，那么=解：法1：別離變量，求最值法2：直接求導(dǎo)10.假設(shè)不等式||≥1對(duì)任意都成立，那么實(shí)數(shù)取值范圍是．解析：顯然時(shí)，有。令①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，在上遞減，，此時(shí)，||的最小值為0，不適合題意。②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，的最小值為≥1，解得：。故所求。點(diǎn)評(píng)：當(dāng)遇到恒成立問題，有參數(shù)時(shí)，或許可以看看定義域，先適當(dāng)?shù)膲嚎s一下范圍，或許可以防止一些不必要的討論11.設(shè)常數(shù)，函數(shù).〔=1\*ROMANI〕令，求的最小值，并比擬的最小值與零的大??；〔=2\*ROMANII〕求證：當(dāng)時(shí)，恒有．解〔Ⅰ〕∵，∴，∴，∴，令，得，易知在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增∴在處取得極小值，即的最小值為．，∵，∴，又，∴．證明〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，的最小值是正數(shù)，∴對(duì)一切，恒有，從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在上是增函數(shù)．∴當(dāng)時(shí)，，∴，即，∴故當(dāng)時(shí)，恒有．點(diǎn)評(píng)：此題又是有那么一點(diǎn)點(diǎn)特殊，當(dāng)我們難以處理導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況時(shí)，我們或許可以想想是什么導(dǎo)致了我們難以處理，是否可以通過判斷的正負(fù)來確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，但是此題由于題目一步步的提示你怎么做，所以就缺少了應(yīng)有的美感12.，對(duì)，恒成立，求的取值范圍解答：化簡易得點(diǎn)評(píng)：別離變量時(shí)不一定要?jiǎng)e離成單個(gè)變量，要知道整體別離也是一樣的，不能太死板當(dāng)然此題也可以轉(zhuǎn)變成二次函數(shù)帶參數(shù)在定義域上的最值討論13.，，假設(shè)恒成立，求的范圍解答：法一：易知這題為：系數(shù)之積為正，肯定是對(duì)勾函數(shù)，系數(shù)之積為負(fù)，直接單調(diào)所以只需對(duì)的臨界點(diǎn)進(jìn)行討論即可法二：求導(dǎo)，轉(zhuǎn)變成二次函數(shù)根的討論14.，，假設(shè)對(duì)，總存在，使得成立，求正整數(shù)的最小值解答：分析題目易知值域?yàn)橹涤虻淖蛹?，轉(zhuǎn)變成求的最值15.函數(shù)，不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解析：，即，點(diǎn)評(píng)：此題需要使用觀察法，容易發(fā)現(xiàn)是零點(diǎn)，然后討論單調(diào)性類題：〔徐州、淮安、宿遷市2023屆高三期末〕函數(shù)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；假設(shè)存在，使得是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)〕，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解答：容易發(fā)現(xiàn)是零點(diǎn)，然后對(duì)范圍，范圍討論點(diǎn)評(píng)：通過這兩題我們發(fā)現(xiàn)，有時(shí)候難以處理導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況時(shí)，我們需要使用觀察法去尋找它的零點(diǎn)，從而進(jìn)行討論，看是否能確定單調(diào)性〔零點(diǎn)通常是〕等等16.函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；解析：由得＞0且．當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，那么在上是增函數(shù);當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，那么.17.函數(shù)在[1，＋∞〕上為增函數(shù)，且，，m∈R．〔1〕假設(shè)在[1，＋∞〕上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；〔2〕設(shè)，假設(shè)在[1，e]上至少存在一個(gè)，使成立，求的取值范圍．解析：〔1〕．．∵在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，∴或者在[1，＋∞〕恒成立．等價(jià)于，即，而，〔〕max=1，∴．等價(jià)于，即在[1，＋∞〕恒成立，而∈〔0，1]，．綜上，m的取值范圍是．〔2〕構(gòu)造，．當(dāng)時(shí)，，，，所以在[1，e]上不存在一個(gè)，使得成立．當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以，，所以在恒成立．故在上單調(diào)遞增，，只要，解得．故的取值范圍是．18.〔2023.03蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào)〕函數(shù)，其中m，a均為實(shí)數(shù)．〔1〕求的極值；〔2〕設(shè)，假設(shè)對(duì)任意的，恒成立，求的最小值；〔3〕設(shè)，假設(shè)對(duì)任意給定的，在區(qū)間上總存在，使得成立，求的取值范圍．解析：令易得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，有極大值，極大值為無極小值時(shí)，易證單增，單減不妨設(shè)所以有恒成立即恒成立由題易知必須有單減求導(dǎo)整理得在恒成立易證右邊這個(gè)函數(shù)單調(diào)減所以有易知時(shí)，由題可知在上有兩根時(shí)，單調(diào)不合題意時(shí)，由易得所以函數(shù)在單減，在單增畫出簡圖如下由題要有兩個(gè)跟于是我們有容易得到時(shí)，所以顯然有綜上所述，19.設(shè)函數(shù),其中.(I)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;(II)求函數(shù)的極值點(diǎn);(III)證明對(duì)任意的正整數(shù),不等式都成立.解：(I)函數(shù)的定義域?yàn)?，令，那么在上遞增，在上遞減，.當(dāng)時(shí)，，在上恒成立.即當(dāng)時(shí),函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增?！睮I〕分以下幾種情形討論：〔1〕由〔I〕知當(dāng)時(shí)函數(shù)無極值點(diǎn).〔2〕當(dāng)時(shí)，，時(shí)，時(shí)，時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn)。〔3〕當(dāng)時(shí)，解得兩個(gè)不同解，.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)在上有唯一的極小值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在都大于0，在上小于0，此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).綜上可知，時(shí)，在上有唯一的極小值點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；時(shí)，函數(shù)在上無極