2024屆廣東省、河南省名校高三一模考試數(shù)學試題試卷

2024屆廣東省、河南省名校高三一模考試數(shù)學試題試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知、分別為雙曲線：（，）的左、右焦點，過的直線交于、兩點，為坐標原點，若，，則的離心率為（）A．2 B． C． D．2．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．3．已知正項等比數(shù)列滿足，若存在兩項，，使得，則的最小值為（）.A．16 B． C．5 D．44．函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達式為（）A． B．C． D．5．已知為拋物線的準線，拋物線上的點到的距離為，點的坐標為，則的最小值是（）A． B．4 C．2 D．6．關于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．函數(shù)的定義域為B．函數(shù)一個遞增區(qū)間為C．函數(shù)的圖像關于直線對稱D．將函數(shù)圖像向左平移個單位可得函數(shù)的圖像7．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．240 B．264 C．274 D．2828．已知數(shù)列{an}滿足a1=3，且aA．22n-1+1 B．22n-1-19．設集合，則()A． B．C． D．10．在的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A．74 B．121 C． D．11．設為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且，則直線的斜率的最大值為（）A．1 B． C． D．12．運行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為99，則判斷框中可以填（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．近年來，新能源汽車技術不斷推陳出新，新產(chǎn)品不斷涌現(xiàn)，在汽車市場上影響力不斷增大.動力蓄電池技術作為新能源汽車的核心技術，它的不斷成熟也是推動新能源汽車發(fā)展的主要動力.假定現(xiàn)在市售的某款新能源汽車上，車載動力蓄電池充放電循環(huán)次數(shù)達到2000次的概率為85%，充放電循環(huán)次數(shù)達到2500次的概率為35%.若某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電，那么他的車能夠充電2500次的概率為______.14．拋物線的焦點到準線的距離為．15．（5分）在平面直角坐標系中，過點作傾斜角為的直線，已知直線與圓相交于兩點，則弦的長等于____________．16．如圖，直線平面，垂足為，三棱錐的底面邊長和側(cè)棱長都為4，在平面內(nèi)，是直線上的動點，則點到平面的距離為_______，點到直線的距離的最大值為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某公司打算引進一臺設備使用一年，現(xiàn)有甲、乙兩種設備可供選擇.甲設備每臺10000元，乙設備每臺9000元.此外設備使用期間還需維修，對于每臺設備，一年間三次及三次以內(nèi)免費維修，三次以外的維修費用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計了曾使用過的甲、乙各50臺設備在一年間的維修次數(shù)，得到下面的頻數(shù)分布表，以這兩種設備分別在50臺中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.維修次數(shù)23456甲設備5103050乙設備05151515（1）設甲、乙兩種設備每臺購買和一年間維修的花費總額分別為和，求和的分布列；（2）若以數(shù)學期望為決策依據(jù)，希望設備購買和一年間維修的花費總額盡量低，且維修次數(shù)盡量少，則需要購買哪種設備？請說明理由.18．（12分）已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．19．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）設，求不等式的解集；（2）已知，且的最小值等于，求實數(shù)的值.20．（12分）設，函數(shù).（1）當時，求在內(nèi)的極值；（2）設函數(shù)，當有兩個極值點時，總有，求實數(shù)的值.21．（12分）已知橢圓的離心率為，且以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知動直線l過右焦點F，且與橢圓C交于A、B兩點，已知Q點坐標為，求的值．22．（10分）已知橢圓，上、下頂點分別是、，上、下焦點分別是、，焦距為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上異于、的動點，過作與軸平行的直線，直線與交于點，直線與直線交于點，判斷是否為定值，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

作出圖象，取AB中點E，連接EF2，設F1A＝x，根據(jù)雙曲線定義可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，進而得到e的值【題目詳解】解：取AB中點E，連接EF2，則由已知可得BF1⊥EF2，F(xiàn)1A＝AE＝EB，設F1A＝x，則由雙曲線定義可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，所以x＝2a，則EF2＝2a，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，所以c2＝7a2，則e故選：D．【題目點撥】本題考查雙曲線定義的應用，考查離心率的求法，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．對于圓錐曲線中求離心率的問題，關鍵是列出含有中兩個量的方程，有時還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對方程進行整理，從而求出離心率.2、C【解題分析】

根據(jù)雙曲線的標準方程，即可寫出漸近線方程.【題目詳解】雙曲線,雙曲線的漸近線方程為，故選：C【題目點撥】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題.3、D【解題分析】

由，可得，由，可得，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【題目詳解】設等比數(shù)列公比為，由已知，，即，解得或（舍），又，所以，即，故，所以，當且僅當時，等號成立.故選：D.【題目點撥】本題考查利用基本不等式求式子和的最小值問題，涉及到等比數(shù)列的知識，是一道中檔題.4、A【解題分析】

根據(jù)圖像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊點求出，化簡即得所求.【題目詳解】由圖像知，，，解得，因為函數(shù)過點，所以，，即，解得，因為，所以，.故選：A【題目點撥】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式，三角函數(shù)誘導公式，屬于基礎題.5、B【解題分析】

設拋物線焦點為，由題意利用拋物線的定義可得，當共線時，取得最小值，由此求得答案.【題目詳解】解：拋物線焦點，準線，過作交于點，連接由拋物線定義，

，

當且僅當三點共線時，取“＝”號，∴的最小值為.

故選：B.【題目點撥】本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題.6、B【解題分析】

化簡到，根據(jù)定義域排除，計算單調(diào)性知正確，得到答案.【題目詳解】，故函數(shù)的定義域為，故錯誤；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故正確；當，關于的對稱的直線為不在定義域內(nèi)，故錯誤.平移得到的函數(shù)定義域為，故不可能為，錯誤.故選：.【題目點撥】本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，定義域，對稱，三角函數(shù)平移，意在考查學生的綜合應用能力.7、B【解題分析】

將三視圖還原成幾何體，然后分別求出各個面的面積，得到答案.【題目詳解】由三視圖可得，該幾何體的直觀圖如圖所示，延長交于點，其中，，，所以表面積.故選B項.【題目點撥】本題考查三視圖還原幾何體，求組合體的表面積，屬于中檔題8、D【解題分析】試題分析：因為an+1=4an+3，所以an+1+1=4(an+1)，即an+1+1an+1考點：數(shù)列的通項公式．9、B【解題分析】

直接進行集合的并集、交集的運算即可．【題目詳解】解：；∴．故選：B．【題目點撥】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運算，是基礎題.10、D【解題分析】

根據(jù)，利用通項公式得到含的項為：，進而得到其系數(shù)，【題目詳解】因為在，所以含的項為：，所以含的項的系數(shù)是的系數(shù)是，，故選：D【題目點撥】本題主要考查二項展開式及通項公式和項的系數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題，11、A【解題分析】

設，因為，得到，利用直線的斜率公式，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【題目詳解】由題意，拋物線的焦點坐標為，設，因為，即線段的中點，所以，所以直線的斜率，當且僅當，即時等號成立，所以直線的斜率的最大值為1.故選：A.【題目點撥】本題主要考查了拋物線的方程及其應用，直線的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.12、C【解題分析】

模擬執(zhí)行程序框圖，即可容易求得結(jié)果.【題目詳解】運行該程序：第一次，，；第二次，，；第三次，，，…；第九十八次，，；第九十九次，，，此時要輸出的值為99.此時.故選：C.【題目點撥】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想，涉及判斷條件的選擇，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

記“某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電”為事件A，“他的車能夠充電2500次”為事件B，即求條件概率：，由條件概率公式即得解.【題目詳解】記“某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電”為事件A，“他的車能夠充電2500次”為事件B，即求條件概率：故答案為：【題目點撥】本題考查了條件概率的應用，考查了學生概念理解，數(shù)學應用，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.14、【解題分析】試題分析：由題意得，因為拋物線，即，即焦點到準線的距離為.考點：拋物線的性質(zhì)．15、【解題分析】

方法一：依題意，知直線的方程為，代入圓的方程化簡得，解得或，從而得或，則．方法二：依題意，知直線的方程為，代入圓的方程化簡得，設，則，故.方法三：將圓的方程配方得,其半徑,圓心到直線的距離，則.16、【解題分析】

三棱錐的底面邊長和側(cè)棱長都為4，所以在平面的投影為的重心，利用解直角三角形，即可求出點到平面的距離；，可得點是以為直徑的球面上的點，所以到直線的距離為以為直徑的球面上的點到的距離，最大距離為分別過和的兩個平行平面間距離加半徑，即可求出結(jié)論.【題目詳解】邊長為，則中線長為，點到平面的距離為，點是以為直徑的球面上的點，所以到直線的距離為以為直徑的球面上的點到的距離，最大距離為分別過和的兩個平行平面間距離加半徑.又三棱錐的底面邊長和側(cè)棱長都為4，以下求過和的兩個平行平面間距離，分別取中點，連，則，同理，分別過做，直線確定平面，直線確定平面，則，同理，為所求，，，所以到直線最大距離為.故答案為:；.【題目點撥】本題考查空間中的距離、正四面體的結(jié)構特征，考查空間想象能力，屬于較難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分布列見解析，分布列見解析；（2）甲設備，理由見解析【解題分析】

（1）的可能取值為10000，11000，12000，的可能取值為9000，10000，11000，12000，計算概率得到分布列；（2）計算期望，得到，設甲、乙兩設備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為，，計算分布列，計算數(shù)學期望得到答案.【題目詳解】（1）的可能取值為10000，11000，12000，，因此的分布如下100001100012000的可能取值為9000，10000，11000，12000，，，因此的分布列為如下9000100001100012000（2）設甲、乙兩設備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為，的可能取值為2，3，4，5，，，則的分布列為2345的可能取值為3，4，5，6，，，則的分布列為3456由于，，因此需購買甲設備【題目點撥】本題考查了數(shù)學期望和分布列，意在考查學生的計算能力和應用能力.18、≤x≤【解題分析】由題知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值．∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，當且僅當(a＋b)·(a－b)≥0時取等號，∴的最小值等于2.∴x的范圍即為不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得≤x≤.19、(1)(2)【解題分析】

（1）把f（x）去絕對值寫成分段函數(shù)的形式，分類討論，分別求得解集，綜合可得結(jié)論．（2）把f（x）去絕對值寫成分段函數(shù)，畫出f（x）的圖像，找出利用條件求得a的值．【題目詳解】（1）時，.當時，即為，解得.當時，，解得.當時，，解得.綜上，的解集為.（2）.，由的圖象知，，.【題目點撥】本題主要考查含絕對值不等式的解法及含絕對值的函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題20、（1）極大值是，無極小值；（2）【解題分析】

（1）當時，可求得，令，利用導數(shù)可判斷的單調(diào)性并得其零點，從而可得原函數(shù)的極值點及極大值；（2）表示出，并求得，由題意，得方程有兩個不同的實根，，從而可得△及，由，得．則可化為對任意的恒成立，按照、、三種情況分類討論，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值可解決；【題目詳解】（1）當時，.令，則，顯然在上單調(diào)遞減，又因為，故時，總有，所以在上單調(diào)遞減.由于，所以當時，；當時，.當變化時，的變化情況如下表：+-增極大減所以在上的極大值是，無極小值.（2）由于，則.由題意，方程有兩個不等實根，則，解得，且，又，所以.由，，可得又.將其代入上式得：.整理得，即當時，不等式恒成立，即.當時，恒成立，即，令，易證是上的減函數(shù).因此，當時，，故.當時，恒成立，即，因此，當時，所以.綜上所述，.【題目點撥】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的極值等知識，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，該題綜合性強，難度大，對能力要求較高．21、（1）；（2）．【解題分析】

（1）根據(jù)橢圓的離心