14.1整式的乘法（重難點(diǎn)突破）解析版

14.1整式的乘法（重難點(diǎn)）【知識(shí)點(diǎn)一、冪運(yùn)算】1.同底數(shù)冪的乘法：同底冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即：am·an=am+n，（m，n為正整數(shù)）拓展：①am·an·ap=am+n+p，（m，n，p為正整數(shù)；②(a+b)n(a+b)m=a+b)m+n（m，n為正整數(shù)）.同底數(shù)冪的乘法技巧①計(jì)算同底數(shù)冪時(shí)，要求底數(shù)必須完全一樣。當(dāng)?shù)讛?shù)不相同時(shí)，可以通過(guò)化異底為同底，然后計(jì)算；②逆用法則：am+n=am×an2.冪的乘方運(yùn)算法則冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即：(am)n=amn，其中m，n為正整數(shù)拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p為正整數(shù);

(am)n=amn=(an)m，其中m，n為正整數(shù).((a+b)m)n=(a+b)mn，其中m，n為正整數(shù).3.積的乘方運(yùn)算法則積的乘方，等于把積的每個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即：(ab)m=ambm，其中m為正整數(shù)。拓展：(abc)m=ambmcm，其中m為正整數(shù)?！局R(shí)點(diǎn)二、整式乘法】1.單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式:單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。注：①單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，結(jié)果仍為單項(xiàng)式；②單項(xiàng)式相乘時(shí)，注意不要漏掉無(wú)相同之母的項(xiàng)。2.單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式:根據(jù)乘法分配律，用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。即：p(a+b+c)=pa+pb+pc注：?jiǎn)雾?xiàng)式乘以多項(xiàng)式的積仍是一個(gè)多項(xiàng)式，積的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；如果式中含有乘方運(yùn)算，仍應(yīng)先算乘方，在算乘法。3.多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式:先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。注：運(yùn)算過(guò)程中，需要關(guān)注符號(hào)的變化（負(fù)負(fù)得正，正負(fù)為負(fù)）；乘法運(yùn)算的結(jié)果中，如果有同類(lèi)項(xiàng)，需要合并同類(lèi)項(xiàng)，化為最簡(jiǎn)形式?！局R(shí)點(diǎn)三、整式除法】1.同底數(shù)冪的除法運(yùn)算同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減（與冪的乘法為逆運(yùn)算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n為正整數(shù)）。2.a0與a零指數(shù)冪：a0=1(a≠0)；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a-p=1ap（注意：a≠0；當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)，即“底倒指反”，即a-p=1ap=1ap；在混合運(yùn)算中3.單項(xiàng)式除單項(xiàng)式通常分為三個(gè)步驟：（1）將它們的系數(shù)相除作為上的系數(shù)；（2）對(duì)于被除式和除式中都含有的字母，按同底冪的除法分別相除，作為商的因式；（3）被除式中獨(dú)有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的因式。4.多項(xiàng)式除單項(xiàng)式多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，然后再把所得的商相加。注：計(jì)算時(shí)，多項(xiàng)式各項(xiàng)要包含它前面的符號(hào)，結(jié)果所得商的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；當(dāng)被除式的某一項(xiàng)與除式相同時(shí)，商為1，注意不能漏除某一項(xiàng)?？键c(diǎn)1：同底數(shù)冪的乘法例1．計(jì)算-b3?-bA．-b4 B．b4 C．-b【答案】B【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則：底數(shù)不變，指數(shù)相加即可得到答案．【詳解】解：-b3故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，熟記同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1-1】．下列各式中能用同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算的是（

）．A．x-y2?x+yC．x+y2+x+y【答案】B【分析】同底數(shù)冪乘法法則：am【詳解】解：A．x-y2?B．-x-y2C．x+y2D．-x-y故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是同底數(shù)冪乘法法則．解題關(guān)鍵點(diǎn)：理解運(yùn)用同底數(shù)冪乘法法則計(jì)算時(shí)底數(shù)必須相同．【變式訓(xùn)練1-2】．下列算式中結(jié)果等于x?A．(-x)2·(-x)?7 B．-x【答案】B【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算法則求解即可求得答案．注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．【詳解】解：A、-x2B、-xC、-x2D、x2故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握符號(hào)的變化是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1-3】．下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（

）．A．bm?bC．-a3?【答案】B【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加可判斷A，C，D選項(xiàng)運(yùn)算正確；B選項(xiàng)不是同底數(shù)冪，所以無(wú)法運(yùn)算，故運(yùn)算錯(cuò)誤．【詳解】解：A．bmB．2mC．-aD．a(chǎn)-b2故選B．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，能熟練運(yùn)用公式，進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1-4】．下列計(jì)算結(jié)果正確的是（

）A．-x-x5=C．-9?-35【答案】A【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則求解．【詳解】解：A，-x-xB，x3C，-9?D，x?x故選A．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則．同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．考點(diǎn)2：比較大小例2．已知a、b、c分別為8131、2741、961，則a、b、c的大小關(guān)系是A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．a(chǎn)>c>b【答案】A【分析】把a(bǔ)、b、c的底數(shù)全部換成3，再比較大小即可得到答案．【詳解】解：∵a=8131，b=27∴a=3431=3∴a>b>c，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方的逆運(yùn)算和冪的乘方運(yùn)算，正確把a(bǔ)、b、c的底數(shù)全部換成3是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2-1】．已知a=8131,b=2741A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．a(chǎn)<b<c D．b>c>a【答案】A【分析】先把81，27，9轉(zhuǎn)化為底數(shù)為3的冪，再根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘化簡(jiǎn)．然后根據(jù)指數(shù)的大小即可比較大?。驹斀狻拷猓骸遖=81b=27c=9則a>b>c．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方，變形為同底數(shù)冪的形式，再比較大小，可使計(jì)算簡(jiǎn)便．【變式訓(xùn)練2-2】．已知a=255，b=344，c=533，則a、A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．c>b>a D．b>c>a【答案】C【分析】利用冪的乘方法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．【詳解】解：a=255=(2∵125>81>32，∴c>b>a，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方，掌握冪的乘方的法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2-3】．已知M=230，N=315，則M與A．M>N B．M<N C．M=N D．M≥N【答案】A【分析】把指數(shù)化成一樣，再比較底數(shù)的大小即可．【詳解】∵M(jìn)=230=∴M>N，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方的應(yīng)用，主要考查學(xué)生能否靈活運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算．【變式訓(xùn)練2-4】．已知a=3444,b=A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．b<a<c D．c<b<a【答案】D【分析】逆運(yùn)用冪的乘方法則，把a(bǔ)、b、c都寫(xiě)成一個(gè)數(shù)的111次方的形式，比較底數(shù)得結(jié)論．【詳解】解：a=3∵34∴c<b<a；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的運(yùn)算，掌握冪的乘方法則是解決本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：逆用冪的乘方例3．已知am=2,aA．24 B．31 C．108 D．6【答案】C【分析】根據(jù)冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵am∴a故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3-1】．已知3m=a,???3nA．2ab B．a(chǎn)2+b C．a(chǎn)【答案】C【分析】根據(jù)冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘法即可求解．【詳解】解：∵3m∴32m+n故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了逆用冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3-2】．已知：3m=2，3n=5，那么A．200 B．33 C．129 D．500【答案】A【分析】根據(jù)冪的乘方的逆用可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵3m=2，∴33m+2n故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查冪的乘方的逆用，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3-3】．已知3a=4，9b=2，則A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C【分析】根據(jù)3a+2b=【詳解】解：由題意知，3a+2b故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，冪的乘方的逆運(yùn)算．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式訓(xùn)練3-4】．已知10a=25，100b=400，則A．9 B．7 C．5 D．3【答案】B【分析】根據(jù)冪的乘方的逆運(yùn)算和同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算，求得a+2b=4，即可求解．【詳解】解：由100b=40010∴a+2b=4∴3a+6b-5=3故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了冪的乘方的逆運(yùn)算和同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)，正確求得a+2b=4．考點(diǎn)4：利用積的乘方運(yùn)算例4．計(jì)算(0.125)2022×(-8)A．8 B．0.125 C．-8 D．【答案】C【分析】根據(jù)積的乘方的運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：0.125=-=-=-1×8=-8故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方，解決本題的關(guān)鍵是掌握積的乘方的運(yùn)算法則．【變式訓(xùn)練4-1】．計(jì)算-5122023A．-125 B．-512 C．【答案】A【分析】逆用積的乘方和同底數(shù)冪的乘法法則解答即可.【詳解】解：-====-12故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方和同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握冪的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練4-2】．計(jì)算232021×A．-23 B．2 C．-3【答案】C【分析】利用積的乘方的逆用以及同底數(shù)冪乘方的逆用進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：2====1×=-故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方的逆用以及同底數(shù)冪乘方的逆用，熟練掌握它們的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4-3】．計(jì)算0.752022A．43 B．-43 C．0.75【答案】B【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算和積的乘方的逆運(yùn)算法則求解即可．【詳解】0.75===1×=-4故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算和積的乘方的逆運(yùn)算，正確將所求式子變形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4-4】．計(jì)算-0.252024×-4A．-4 B．4 C．-14 D【答案】C【分析】利用積的乘方和有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：-0.25=-=-=-=-1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方和有理數(shù)的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則，利用積的乘方的逆運(yùn)算法則簡(jiǎn)便運(yùn)算是解答的關(guān)鍵．考點(diǎn)5：?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式例5．計(jì)算：-3ab×4a2【答案】-12【分析】系數(shù)相乘結(jié)果作為積的系數(shù)，同底數(shù)冪相乘，所得結(jié)果作為積的因式，只有一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同字母的指數(shù)作為積的一個(gè)因式；據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式=-12a故答案：-12a【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，理解法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5-1】．計(jì)算：3a2【答案】3【分析】根據(jù)積的乘方和單項(xiàng)式的乘法計(jì)算即可．【詳解】解：3a故答案為：3【點(diǎn)睛】此題考查了積的乘方和單項(xiàng)式的乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5-2】．計(jì)算：2x?-xy2【答案】2x3【分析】根據(jù)積的乘方法則、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則計(jì)算即可．【詳解】解：2x?==2x故答案為：2x【點(diǎn)睛】本題考查了整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：正確熟練掌握積的乘方法則、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則．【變式訓(xùn)練5-3】．計(jì)算：4a2【答案】12a3【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：4a2故答案為：12a【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，熟練掌握單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5-4】．計(jì)算：2a2【答案】-48【分析】先計(jì)算積的乘方運(yùn)算，然后計(jì)算單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式即可．【詳解】解：2=8=-48a故答案為：-48a【點(diǎn)睛】本題主要考查積的乘方運(yùn)算、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)6：整體代人例6．已知x2-x-2=0，則代數(shù)式-x【答案】2019【分析】由已知的式子可得x2=x+2，【詳解】解：∵x2∴x2=x+2，∴-=-x=-==2+2017=2019；故答案為：2019．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值和整式的乘法運(yùn)算，正確降次、靈活應(yīng)用整體思想是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6-1】．若x2+3x-2=0，則2x(3x+2)-(2x+1)(2x-2)=【答案】6【分析】先根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，再由x2+3x-2=0，得【詳解】解：2x(3x+2)-(2x+1)(2x-2)，=6x=6x=2(x由x2+3x-2=0，得原式=2×2+2=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，以及整體代入方法，熟練掌握運(yùn)算法則及整體代入方法是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6-2】．若有理數(shù)x滿足x2+2x-1=0，則2x【答案】2028【分析】把x2+2x-1=0化為：x2【詳解】解：由x2+2x-1=0得：所以：2=2x(-2x+1)+7=3=3(=3×1+2025=2028．故答案為：2028．【點(diǎn)睛】本題考查的是代數(shù)式的求值，利用整體代入進(jìn)行降次是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6-3】．若x2-3x+2=0，則x【答案】2019【分析】由x2-3x+2=0，可得x2-3x=-2，【詳解】解：∵x2∴x2-3x=-2，∴2x∴x=3x=2x=-4+2023=2019．故答案為：2019【點(diǎn)睛】本題考查的是求解代數(shù)式的值，整式的乘法運(yùn)算，熟練的利用整體代入法求解代數(shù)式的值是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6-4】．已知x2+2x=-8，則代數(shù)式3+xx+2【答案】-5【分析】先用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開(kāi)3+xx+2【詳解】解：∵x2∴3+x=-8+3=-5故答案為：-5．考點(diǎn)7：?jiǎn)雾?xiàng)式乘多項(xiàng)式例7．計(jì)算：(-4xy)2【答案】12【分析】先計(jì)算積的乘方，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可．【詳解】解：(-4xy)＝16x＝12x【點(diǎn)睛】本題考查的是積的乘方運(yùn)算，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，合并同類(lèi)項(xiàng)，熟記各自的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練7-1】．計(jì)算：-【答案】-【分析】先計(jì)算積的乘法，再利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算即可．【詳解】解：-1=-=-=-9【點(diǎn)睛】本題考查整式的乘法，熟練掌握積的乘方和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練7-2】．計(jì)算：2ab【答案】b-3a【分析】根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加計(jì)算即可．【詳解】解：2ab=4=b-3ab【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，合并同類(lèi)項(xiàng)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練7-3】．計(jì)算：-9xy【答案】-18【分析】用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求解即可．【詳解】解：-9x=-9x=-18【點(diǎn)睛】本題主要考查單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練7-4】．計(jì)算：a2【答案】a【分析】單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加；積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘；單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．【詳解】解：原式=2a=2=a【點(diǎn)睛】本題考查單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，積的乘方，單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．考點(diǎn)8：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式化簡(jiǎn)求值例8．先化簡(jiǎn)，再求值：2aa2+a-1【答案】a2-a【分析】先計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可得到化簡(jiǎn)的結(jié)果，再把a(bǔ)=-2【詳解】解：2a==2=a當(dāng)a=-23時(shí)，原式=-【點(diǎn)睛】本題考查的是整式的乘法運(yùn)算中的化簡(jiǎn)求值，掌握整式的乘法運(yùn)算的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練8-1】．先化簡(jiǎn)