三角形教材分析9

《解三角形》

內(nèi)容分析及教學(xué)建議北京市立新學(xué)校朱朋提綱整體思考教學(xué)片段經(jīng)典習(xí)題知識(shí)結(jié)構(gòu)近幾年北京高考試題情況：年份2013理科題號(hào)15文科題號(hào)5說(shuō)明文理差別較大20121111文理略不同201199文理略不同20101010文理題目題號(hào)都相同200912后一空、1513后一空文理題目相同，題號(hào)不同2008無(wú)4理無(wú)，文有20071112文理題目相同，題號(hào)不同20061213文理題目略不同，題號(hào)不同2005無(wú)12理無(wú)，文有把握考題題號(hào)位置和題目的難度，注意文理區(qū)別，題目相同時(shí)，文科填空設(shè)計(jì)臺(tái)階初、高中解三角形問(wèn)題對(duì)比：初中高中方式

構(gòu)造直角三角形直接計(jì)算范圍特殊性一般性工具內(nèi)角和勾股定理銳角三角函數(shù)內(nèi)角和正弦定理、余弦定理任意角三角函數(shù)方法幾何法代數(shù)法解三角形正、余弦定理主要問(wèn)題程序化交匯長(zhǎng)度角度面積整體定位兩個(gè)銜接：三角形全等、解直角三角形三個(gè)結(jié)合：三角函數(shù)、向量、解析法四個(gè)滲透：一般與特殊化思想、分類(lèi)討論思想、

數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想五個(gè)提升：4.研究對(duì)象從靜態(tài)圖形擴(kuò)展到動(dòng)態(tài)圖形；2.從幾何法到代數(shù)法；3.從定性分析到定量分析；1.從特殊到一般；5.由解題到實(shí)操.余弦定理教學(xué)片斷

三角形是最簡(jiǎn)單的平面圖形，也是認(rèn)識(shí)許多其他圖形的基礎(chǔ):××實(shí)際是三角形全等的判定定理問(wèn)題1：一般從哪些角度研究三角形問(wèn)題？問(wèn)題2：要確定一個(gè)三角形至少需要幾個(gè)要素？設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)拘褜W(xué)生的記憶，為一般情形做鋪墊ABCD方法1：ABCDABCABCDABCD設(shè)計(jì)意圖1.符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想：化斜為直；2.凸顯勾股定理是余弦定理的特殊情況；3.分類(lèi)討論，訓(xùn)練學(xué)生思維的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性.方法2(解析法）設(shè)計(jì)意圖1.溝通了三角函數(shù)與三角形的聯(lián)系，數(shù)與形完美統(tǒng)一；2.從定性分析提升到定量計(jì)算；3.用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的典范，解析法的初步嘗試.問(wèn)學(xué)生思考能否避免討論？ABC思考：解析法是如何避免討論的？方法3(向量法）設(shè)計(jì)意圖1.體現(xiàn)了向量的工具性作用；2.揭示了三角形、三角函數(shù)、向量的內(nèi)在統(tǒng)一性.

向量有兩個(gè)要素：一個(gè)是方向（角度），一個(gè)是模的大?。撮L(zhǎng)度），而三角形的邊角關(guān)系恰好涉及三角形的內(nèi)角及邊長(zhǎng)兩個(gè)量，能否用向量證明？ABC三角形的內(nèi)角可以看成兩個(gè)向量的夾角，邊長(zhǎng)可以看成向量的模.(2011陜西高考）敘述并證明余弦定理1、三角形問(wèn)題數(shù)與形緊密結(jié)合，解析法與向量法只是從不同的角度實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合;2、處理解三角形問(wèn)題時(shí)，多畫(huà)圖，解題后思考一下數(shù)據(jù)背后的幾何背景；3、不要就題論題，而是要將習(xí)題承載的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法形成高位理解,可以遷移到其它背景之中.余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.延伸：正弦定理教學(xué)片斷ABCDABC直角三角形銳角三角形鈍角三角形ABCD同理兩條思維主線(xiàn)1、特殊到一般2、化斜為直問(wèn)題1：在銳角三角形中，上述結(jié)論成立嗎？問(wèn)題2：在鈍角三角形中，上述結(jié)論成立嗎？方法2：(面積法)換個(gè)視角可得到三角形的面積公式：ABCABCDABCD上述結(jié)論說(shuō)明三角形任意一邊與對(duì)角的正弦之比為同一個(gè)常數(shù).反過(guò)來(lái)常數(shù)k由三角形一個(gè)內(nèi)角及其對(duì)邊即可確定.但滿(mǎn)足一個(gè)角及其對(duì)邊相等的三角形有無(wú)數(shù)多個(gè)，這無(wú)數(shù)個(gè)三角形有什么特殊關(guān)系？這個(gè)常數(shù)k具有什么特殊含義？上述結(jié)論說(shuō)明三角形任意一邊與對(duì)角的正弦之比為同一個(gè)常數(shù).反過(guò)來(lái)常數(shù)k由三角形一個(gè)內(nèi)角及其對(duì)邊即可確定.探求過(guò)程：特殊--一般--特殊上述求k的過(guò)程實(shí)際上提供了一種新的證明方法方法3：幾何法(設(shè)△ABC為銳角三角形,鈍角三角形用類(lèi)似的方法討論)：上述求k的過(guò)程實(shí)際上提供了一種新的證明方法方法3：幾何法(設(shè)△ABC為銳角三角形,鈍角三角形用類(lèi)似的方法討論)：上述求k的過(guò)程實(shí)際上提供了一種新的證明方法方法3：幾何法(設(shè)△ABC為銳角三角形,鈍角三角形用類(lèi)似的方法討論)：方法4:(向量法)建議不講1.不容易想到；2.證法比較繁瑣.例：判斷下列三角形是否有解，如果有做出解答策略一：運(yùn)用正弦定理難點(diǎn)：如何判斷解的個(gè)數(shù)？題型：已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，解三角形.

策略二：運(yùn)用余弦定理質(zhì)疑：是否會(huì)產(chǎn)生增根或丟根？具體實(shí)施：學(xué)生板演—小組討論—糾錯(cuò)—總結(jié)策略一：運(yùn)用正弦定理；難點(diǎn)：如何判斷解的個(gè)數(shù)？1.直接解答，然后檢驗(yàn)解的合理性；2.畫(huà)圖，預(yù)判解的個(gè)數(shù)；策略一：運(yùn)用正弦定理；難點(diǎn)：如何判斷解的個(gè)數(shù)？1.直接解答，然后檢驗(yàn)解的合理性；3.利用“大邊對(duì)大角”，預(yù)判解的個(gè)數(shù).2.畫(huà)圖，預(yù)判解的個(gè)數(shù)；A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式解個(gè)數(shù)一二一一策略一：運(yùn)用正弦定理策略二：運(yùn)用余弦定理思考：運(yùn)用余弦定理，是否會(huì)產(chǎn)生增根或丟根呢？

用余弦定理得到的一元二次方程的正根的個(gè)數(shù)就是三角形解的個(gè)數(shù)：

用余弦定理得到的一元二次方程的根的個(gè)數(shù)就是三角形解的個(gè)數(shù)：錯(cuò)因何在？想一想：修正2為什么不會(huì)產(chǎn)生增根？標(biāo)準(zhǔn)答案思考：以上四種解法哪個(gè)解法最簡(jiǎn)潔？評(píng)注：此題“看似平常，有點(diǎn)味道！”題后反思：4.

養(yǎng)成“數(shù)形結(jié)合”好習(xí)慣

2.要加強(qiáng)對(duì)題目條件的分析；3.“數(shù)”應(yīng)該反應(yīng)出“形”

；1.死記硬背有問(wèn)題；ABC反思：要加強(qiáng)課本習(xí)題的挖掘例題對(duì)應(yīng)的練習(xí)：解三角形問(wèn)題梳理

例2.如圖在△ABC中，∠A的平分線(xiàn)AD與邊BC相交于點(diǎn)D，求證：證明：在△ABD和△CAD中，由正弦定理，得DABC

例2.如圖在△ABC中，∠A的平分線(xiàn)AD與邊BC相交于點(diǎn)D，求證：證明：在△ABD和△CAD中，由正弦定理，得DABCE定量分析定性分析DABC應(yīng)用舉例教學(xué)片斷實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用模型

“解三角形應(yīng)用”解題流程：1.實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化；2.利用現(xiàn)有儀器設(shè)計(jì)解決方案；3.實(shí)際數(shù)據(jù)測(cè)量；4.數(shù)據(jù)處理計(jì)算.

先不考慮測(cè)角儀的高度ABCD

分析限制條件：2.可用儀器：測(cè)角儀，皮尺。1.地形限制：底部不可到達(dá)；常見(jiàn)測(cè)量模型例4、APAPQ東北

練習(xí)題P14練習(xí)A1,2,3P206俯角、仰角、方位角經(jīng)典習(xí)題