甘肅省天水市秦安縣2024屆高三下學(xué)期第一次質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)試題試卷

甘肅省天水市秦安縣2024屆高三下學(xué)期第一次質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若，則的最小值為（）參考數(shù)據(jù)：A． B． C． D．2．一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側(cè)視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，該幾何體的表面積是（）A．B．C．D．3．記個(gè)兩兩無交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間，設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（）A．2階區(qū)間 B．3階區(qū)間 C．4階區(qū)間 D．5階區(qū)間4．已知函數(shù)（e為自然對數(shù)底數(shù)），若關(guān)于x的不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的最大值為（）A． B． C． D．5．拋物線方程為，一直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為（）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，若點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．27．若θ是第二象限角且sinθ=，則=A． B． C． D．8．學(xué)業(yè)水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為、、、、五個(gè)等級．某班共有名學(xué)生且全部選考物理、化學(xué)兩科，這兩科的學(xué)業(yè)水平測試成績?nèi)鐖D所示．該班學(xué)生中，這兩科等級均為的學(xué)生有人，這兩科中僅有一科等級為的學(xué)生，其另外一科等級為，則該班（）A．物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至多有人B．物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至少有人C．這兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生至多有人D．這兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生至少有人9．已知若在定義域上恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()A． B． C． D．11．已知復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（）A． B． C． D．12．函數(shù)的部分圖象如圖所示，已知，函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個(gè)單位長度而得到，則函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校高三年級共有名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測驗(yàn)（滿分分），已知這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績均不低于分，將這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分組如下：，，，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法中正確的是________（填序號）．①；②這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在分以下的人數(shù)為；③這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)約為；④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為．14．函數(shù)的定義域是__________．15．函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在上有1515個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍為___________.16．已知若存在，使得成立的最大正整數(shù)為6，則的取值范圍為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且長度單位相同.（1）求圓的極坐標(biāo)方程；（2）若直線：（為參數(shù)）被圓截得的弦長為，求直線的傾斜角.19．（12分）數(shù)列滿足，是與的等差中項(xiàng).（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線、曲線在第一象限交于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的面積.21．（12分）以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，已知曲線，曲線（為參數(shù)），求曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo).22．（10分）為了解甲、乙兩個(gè)快遞公司的工作狀況，假設(shè)同一個(gè)公司快遞員的工作狀況基本相同，現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機(jī)抽取一名快遞員，并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù)，整理如下：甲公司員工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司員工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費(fèi)情況如下：甲公司規(guī)定每件0.65元，乙公司規(guī)定每天350件以內(nèi)(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個(gè)數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）為了解乙公司員工每天所得勞務(wù)費(fèi)的情況，從這10天中隨機(jī)抽取1天，他所得的勞務(wù)費(fèi)記為(單位：元)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

首先的單調(diào)性，由此判斷出，由求得的關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由此求得的最小值.【題目詳解】由于函數(shù)，所以在上遞減，在上遞增.由于，，令，解得，所以，且，化簡得，所以，構(gòu)造函數(shù)，.構(gòu)造函數(shù)，，所以在區(qū)間上遞減，而，，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.而，所以在區(qū)間上的最小值為，也即的最小值為，所以的最小值為.故選：A【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.2、D【解題分析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個(gè)圓錐，表面積為,故選D．3、D【解題分析】

可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，先討論當(dāng)且時(shí)的導(dǎo)數(shù)情況，再畫出函數(shù)大致圖形，將所求區(qū)間端點(diǎn)值分別看作對應(yīng)常函數(shù)，再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【題目詳解】當(dāng)且時(shí)，.令得.可得和的變化情況如下表：令，則原不等式變?yōu)?，由圖像知的解集為，再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成，所以解集為5階區(qū)間.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性求解對應(yīng)自變量范圍，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題4、A【解題分析】

若不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解，則的圖象在圖象的上方只有一個(gè)正整數(shù)值，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，分別畫出與的圖象，結(jié)合圖象可得.【題目詳解】解：，∴，設(shè)，∴，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，函數(shù)恒過點(diǎn)，分別畫出與的圖象，如圖所示，，若不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解，則的圖象在圖象的上方只有一個(gè)正整數(shù)值，∴且，即，且∴，故實(shí)數(shù)m的最大值為，故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查考查了不等式恒有一正整數(shù)解問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.5、A【解題分析】

設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，所以直線的斜率為2，又過點(diǎn)，再利用點(diǎn)斜式即可得到直線的方程.【題目詳解】解：設(shè)，∴，又，兩式相減得：，∴，∴，∴直線的斜率為2，又∴過點(diǎn)，∴直線的方程為：，即，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與拋物線相交的中點(diǎn)弦問題，解題方法是“點(diǎn)差法”，即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程相減后可把弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)建立關(guān)系．6、A【解題分析】

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入橢圓方程可得，然后分別求出點(diǎn)到兩條漸近線的距離，由距離之積為，并結(jié)合，可得到的齊次方程，進(jìn)而可求出離心率的值.【題目詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，有，得.雙曲線的兩條漸近線方程為和，則點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，所以，則，即，故，即，所以.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的離心率，構(gòu)造的齊次方程是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.7、B【解題分析】由θ是第二象限角且sinθ=知：，．所以．8、D【解題分析】

根據(jù)題意分別計(jì)算出物理等級為，化學(xué)等級為的學(xué)生人數(shù)以及物理等級為，化學(xué)等級為的學(xué)生人數(shù)，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可得出合適的選項(xiàng).【題目詳解】根據(jù)題意可知，名學(xué)生減去名全和一科為另一科為的學(xué)生人（其中物理化學(xué)的有人，物理化學(xué)的有人），表格變?yōu)椋何锢砘瘜W(xué)對于A選項(xiàng)，物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至多有人，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，當(dāng)物理和，化學(xué)都是時(shí)，或化學(xué)和，物理都是時(shí)，物理、化學(xué)都是的人數(shù)最少，至少為（人），B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，在表格中，除去物理化學(xué)都是的學(xué)生，剩下的都是一科為且最高等級為的學(xué)生，因?yàn)槎际堑膶W(xué)生最少人，所以一科為且最高等級為的學(xué)生最多為（人），C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，物理化學(xué)都是的最多人，所以兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生最少（人），D選項(xiàng)正確.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.9、C【解題分析】

先解不等式，可得出，求出函數(shù)的值域，由題意可知，不等式在定義域上恒成立，可得出關(guān)于的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】，先解不等式.①當(dāng)時(shí)，由，得，解得，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，由，得.所以，不等式的解集為.下面來求函數(shù)的值域.當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí).綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋捎谠诙x域上恒成立，則不等式在定義域上恒成立，所以，，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，同時(shí)也考查了分段函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.10、B【解題分析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為，高為，則，故由題設(shè)可得，所以四棱錐的體積，應(yīng)選答案B．11、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡z,復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為利用模長公式即得解.【題目詳解】由題意知復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，模長公式和幾何意義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】

由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對稱性可得，利用周期公式可得，再根據(jù)圖像過，即可求出，再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.【題目詳解】由圖像可知，即，所以，解得，又，所以，由，所以或，又，所以，，所以，，即，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象由圖象向右平移個(gè)單位長度而得到，所以.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換，需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②③【解題分析】

由頻率分布直方圖可知，解得，故①不正確；這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在分以下的人數(shù)為，故②正確；設(shè)這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為，則，解得，故③正確；④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為，故④不正確．綜上，說法正確的序號是②③．14、【解題分析】由，得，所以，所以原函數(shù)定義域?yàn)椋蚀鸢笧?15、【解題分析】

由已知，在上有3個(gè)根，分，，，四種情況討論的單調(diào)性、最值即可得到答案.【題目詳解】由已知，的周期為4，且至多在上有4個(gè)根，而含505個(gè)周期，所以在上有3個(gè)根，設(shè)，，易知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，又，.若時(shí)，在上無根，在必有3個(gè)根，則，即，此時(shí)；若時(shí)，在上有1個(gè)根，注意到，此時(shí)在不可能有2個(gè)根，故不滿足；若時(shí)，要使在有2個(gè)根，只需，解得；若時(shí)，在上單調(diào)遞增，最多只有1個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；綜上，實(shí)數(shù)的范圍為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，涉及到函數(shù)的周期性、分類討論函數(shù)的零點(diǎn)，是一道中檔題.16、【解題分析】

由題意得，分類討論作出函數(shù)圖象，求得最值解不等式組即可.【題目詳解】原問題等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；綜上，滿足條件的取值范圍為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的最值求解，存在性問題的求解等，考查了分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸的思想.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解題分析】

分析：(1)先構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式;(2)研究零點(diǎn)，等價(jià)研究的零點(diǎn)，先求導(dǎo)數(shù)：，這里產(chǎn)生兩個(gè)討論點(diǎn)，一個(gè)是a與零，一個(gè)是x與2，當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，先減后增，從而確定只有一個(gè)零點(diǎn)的必要條件，再利用零點(diǎn)存在定理確定條件的充分性，即得a的值.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于．設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減．而，故當(dāng)時(shí)，，即．（2）設(shè)函數(shù)．在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)．（i）當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒有零點(diǎn)；②若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)；③若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以．故在有一個(gè)零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.18、（1）；（2）或【解題分析】

（1）消去參數(shù)可得圓的直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)，，即可得極坐標(biāo)方程；（2）寫出直線的極坐標(biāo)方程為，代入圓的極坐標(biāo)方程，根據(jù)極坐標(biāo)的意義列出等式解出即可.【題目詳解】（1）圓：，消去參數(shù)得：，即：，∵，，.∴，.（2）∵直線：的極坐標(biāo)方程為，當(dāng)時(shí).即：，∴或.∴或，∴直線的傾斜角為或.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方程，直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程以及極坐標(biāo)的幾何意義，屬于中檔題.19、（1）見解析，（2）【解題分析】

（1）根據(jù)等差中項(xiàng)的定義得，然后構(gòu)造新等比數(shù)列，寫出的通項(xiàng)即可求（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，分組求和即可【題目詳解】解：（1）由已知可得，即，可化為，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.即有，所以.（2）由（1）知，數(shù)列的通項(xiàng)為：，故.【題目點(diǎn)撥】考查等差中項(xiàng)的定義和分組求和的方法；中檔題.20、（1）的極坐標(biāo)方程為，的直角坐標(biāo)方程為（2）【解題分析】

（1）先把曲線的參數(shù)方程消參后，轉(zhuǎn)化為普通方程，再利用求得極坐標(biāo)方程.將，化為，再利用求得曲線的普通方程.（2）設(shè)直線的極角，代入，得，將代入，得，由，得，即，從而求得，，從而求得，再利用求解.【題目詳解】（1）依題意，曲線，即，故，即.因?yàn)椋剩?，?（2）將代入，得，將代入，得，