專題10.3 二項(xiàng)式定理（原卷版）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練寶典（新高考專用）

第十章概率專題10.3二項(xiàng)式定理能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題．考點(diǎn)一通項(xiàng)公式的應(yīng)用考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題考點(diǎn)三二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用1．二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示展開(kāi)式的第k＋1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．(2)增減性與最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)與相等，且同時(shí)取得最大值．(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.常用結(jié)論1．Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.2．Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n).題型一通項(xiàng)公式的應(yīng)用1．的展開(kāi)式中不含項(xiàng)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．2．若的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)3．二項(xiàng)式的展開(kāi)式為（

）A． B．C． D．4．二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第3項(xiàng)為（

）A． B． C． D．5．已知的二項(xiàng)式系數(shù)和為256，則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A．1120 B． C．70 D．題型二二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題6．設(shè)，已知的展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為256，則中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．7．已知，，若，則該展開(kāi)式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（

）A．81 B．64 C．27 D．328．已知展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A．270 B． C．330 D．9．在的展開(kāi)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則所有系數(shù)之和為（

）A．1 B． C．0 D．3210．若的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開(kāi)式中含的項(xiàng)是（）A． B． C． D．題型三二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用11．習(xí)近平總書記在“十九大”報(bào)告中指出：堅(jiān)定文化自信，推動(dòng)社會(huì)主義文化繁榮興盛．“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)．歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晩近四百年．“楊輝三角”是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學(xué)愛(ài)好者的探究欲望．如圖，由“楊輝三角”，下列敘述正確的是（

）A．B．第2023行中從左往右第1013個(gè)數(shù)與第1014個(gè)數(shù)相等C．記第n行的第個(gè)數(shù)為，則D．第20行中第8個(gè)數(shù)與第9個(gè)數(shù)之比為12．設(shè)，則被除的余數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．813．已知，則下列描述正確的是

（

）A． B．除以5所得的余數(shù)是1C． D．14．二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓提出．二項(xiàng)式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次冪，即廣義二項(xiàng)式定理：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，當(dāng)比較小的時(shí)候，取廣義二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式的前兩項(xiàng)可得：，并且的值越小，所得結(jié)果就越接近真實(shí)數(shù)據(jù)．用這個(gè)方法計(jì)算的近似值，可以這樣操作：，用這樣的方法，估計(jì)的近似值約為（

）15．中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究．設(shè)a，b，為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余，記為．若，，則b的值可以是（

）A．2004 B．2005 C．2025 D．2026一、單選題1．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)是（

）A． B．462 C．792 D．2．已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中僅有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則為（

）A． B． C． D．3．在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B．20 C． D．154．若的展開(kāi)式中的系數(shù)為40，則（

）A．2 B． C．4 D．5．若的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，則的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．6 B．8 C．28 D．566．在的展開(kāi)式中，所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和為（

）A．84 B．85 C．127 D．1287．的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A．200 B．40 C．120 D．808．若，則下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．二、多選題9．關(guān)于二項(xiàng)式的展開(kāi)式，下列結(jié)論正確的是（

）A．展開(kāi)式所有項(xiàng)的系數(shù)和為 B．展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)和為C．展開(kāi)式中第5項(xiàng)為 D．展開(kāi)式中不含常數(shù)項(xiàng)10．已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題11．設(shè)，則.12．的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則的展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為.四、解答題13．已知，求下列各式的值：(1)；(2)；(3).14．閱讀材料，完成相應(yīng)任務(wù)：“賈憲三角”又稱“楊輝三角”，在歐洲則稱為“帕斯卡三角”如圖所示，它揭示了為非負(fù)數(shù)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律．根據(jù)上述規(guī)律，完成下列問(wèn)題：(1)直接寫出_____．(2)的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是_____．(3)利用上述規(guī)律求的值，寫出過(guò)程．15．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，________________．給出下列條件：①所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64；②若展開(kāi)式中第2項(xiàng)系數(shù)為12試在上面二個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，并且完成下列問(wèn)題：(1)求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)；(2)求的展開(kāi)式中的系數(shù)．16．中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)于2022年10月16日在北京召開(kāi)．中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)是在全黨全國(guó)各族人民邁上全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家新征程、向第二個(gè)百年奮斗目標(biāo)