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文檔簡介
湖北省武漢市漢南區(qū)職教中心2024屆高三下學期第5周考試數(shù)學試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知向量,且,則等于()A.4 B.3 C.2 D.12.已知復數(shù),為的共軛復數(shù),則()A. B. C. D.3.若函數(shù)的圖象如圖所示,則的解析式可能是()A. B. C. D.4.已知集合,則=()A. B. C. D.5.已知直線:與圓:交于,兩點,與平行的直線與圓交于,兩點,且與的面積相等,給出下列直線:①,②,③,④.其中滿足條件的所有直線的編號有()A.①② B.①④ C.②③ D.①②④6.已知在中,角的對邊分別為,若函數(shù)存在極值,則角的取值范圍是()A. B. C. D.7.一個封閉的棱長為2的正方體容器,當水平放置時,如圖,水面的高度正好為棱長的一半.若將該正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),則容器里水面的最大高度為()A. B. C. D.8.已知點(m,8)在冪函數(shù)的圖象上,設,則()A.b<a<c B.a(chǎn)<b<c C.b<c<a D.a(chǎn)<c<b9.為得到函數(shù)的圖像,只需將函數(shù)的圖像()A.向右平移個長度單位 B.向右平移個長度單位C.向左平移個長度單位 D.向左平移個長度單位10.已知拋物線的焦點為,是拋物線上兩個不同的點,若,則線段的中點到軸的距離為()A.5 B.3 C. D.211.將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像,則的最小值為()A. B. C. D.12.已知集合,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知不等式組所表示的平面區(qū)域為,則區(qū)域的外接圓的面積為______.14.已知數(shù)列的各項均為正數(shù),記為的前n項和,若,,則________.15.觀察下列式子,,,,……,根據(jù)上述規(guī)律,第個不等式應該為__________.16.若,則________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在邊長為的正方形,分別為的中點,分別為的中點,現(xiàn)沿折疊,使三點重合,構成一個三棱錐.(1)判別與平面的位置關系,并給出證明;(2)求多面體的體積.18.(12分)某商場舉行優(yōu)惠促銷活動,顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.方案一:每滿100元減20元;方案二:滿100元可抽獎一次.具體規(guī)則是從裝有2個紅球、2個白球的箱子隨機取出3個球(逐個有放回地抽?。媒Y果和享受的優(yōu)惠如下表:(注:所有小球僅顏色有區(qū)別)紅球個數(shù)3210實際付款7折8折9折原價(1)該商場某顧客購物金額超過100元,若該顧客選擇方案二,求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率;(2)若某顧客購物金額為180元,選擇哪種方案更劃算?19.(12分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的檢測數(shù)據(jù),結果統(tǒng)計如表:AQI空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0,50],(50,100]的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關系式為,假設該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對應的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.(i)記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失為X元,求X的分布列;(ii)試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望是否會超過2.88萬元?說明你的理由.20.(12分)如圖所示,在四棱錐中,∥,,點分別為的中點.(1)證明:∥面;(2)若,且,面面,求二面角的余弦值.21.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)曲線在點處的切線斜率為.(i)求;(ii)若,求整數(shù)的最大值.22.(10分)已知橢圓,點為半圓上一動點,若過作橢圓的兩切線分別交軸于、兩點.(1)求證:;(2)當時,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】
由已知結合向量垂直的坐標表示即可求解.【題目詳解】因為,且,,則.故選:.【題目點撥】本題主要考查了向量垂直的坐標表示,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎題.2、C【解題分析】
求出,直接由復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算化簡復數(shù).【題目詳解】.故選:C【題目點撥】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的四則運算,共軛復數(shù),屬于基礎題.3、A【解題分析】
由函數(shù)性質(zhì),結合特殊值驗證,通過排除法求得結果.【題目詳解】對于選項B,為奇函數(shù)可判斷B錯誤;對于選項C,當時,,可判斷C錯誤;對于選項D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無增區(qū)間,故D錯誤;故選:A.【題目點撥】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問題,通過函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關鍵,難度一般.4、D【解題分析】
先求出集合A,B,再求集合B的補集,然后求【題目詳解】,所以.故選:D【題目點撥】此題考查的是集合的并集、補集運算,屬于基礎題.5、D【解題分析】
求出圓心到直線的距離為:,得出,根據(jù)條件得出到直線的距離或時滿足條件,即可得出答案.【題目詳解】解:由已知可得:圓:的圓心為(0,0),半徑為2,則圓心到直線的距離為:,∴,而,與的面積相等,∴或,即到直線的距離或時滿足條件,根據(jù)點到直線距離可知,①②④滿足條件.故選:D.【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關系的應用,涉及點到直線的距離公式.6、C【解題分析】
求出導函數(shù),由有不等的兩實根,即可得不等關系,然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結論.【題目詳解】,.若存在極值,則,又.又.故選:C.【題目點撥】本題考查導數(shù)與極值,考查余弦定理.掌握極值存在的條件是解題關鍵.7、B【解題分析】
根據(jù)已知可知水面的最大高度為正方體面對角線長的一半,由此得到結論.【題目詳解】正方體的面對角線長為,又水的體積是正方體體積的一半,且正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),所以容器里水面的最大高度為面對角線長的一半,即最大水面高度為,故選B.【題目點撥】本題考查了正方體的幾何特征,考查了空間想象能力,屬于基礎題.8、B【解題分析】
先利用冪函數(shù)的定義求出m的值,得到冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,再利用冪函數(shù)f(x)的單調(diào)性,即可得到a,b,c的大小關系.【題目詳解】由冪函數(shù)的定義可知,m﹣1=1,∴m=2,∴點(2,8)在冪函數(shù)f(x)=xn上,∴2n=8,∴n=3,∴冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,∵,1<lnπ<3,n=3,∴,∴a<b<c,故選:B.【題目點撥】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì),以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小,屬于中檔題.9、D【解題分析】,所以要的函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個長度單位得到,故選D10、D【解題分析】
由拋物線方程可得焦點坐標及準線方程,由拋物線的定義可知,繼而可求出,從而可求出的中點的橫坐標,即為中點到軸的距離.【題目詳解】解:由拋物線方程可知,,即,.設則,即,所以.所以線段的中點到軸的距離為.故選:D.【題目點撥】本題考查了拋物線的定義,考查了拋物線的方程.本題的關鍵是由拋物線的定義求得兩點橫坐標的和.11、B【解題分析】
根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式,結合三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【題目詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到,此時與函數(shù)的圖象重合,則,即,,當時,取得最小值為,故選:.【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角函數(shù)的平移關系求出解析式是解決本題的關鍵.12、B【解題分析】
計算,再計算交集得到答案【題目詳解】,表示偶數(shù),故.故選:.【題目點撥】本題考查了集合的交集,意在考查學生的計算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
先作可行域,根據(jù)解三角形得外接圓半徑,最后根據(jù)圓面積公式得結果.【題目詳解】由題意作出區(qū)域,如圖中陰影部分所示,易知,故,又,設的外接圓的半徑為,則由正弦定理得,即,故所求外接圓的面積為.【題目點撥】線性規(guī)劃問題,首先明確可行域?qū)氖欠忾]區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線,其次確定目標函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離、可行域面積、可行域外接圓等等,最后結合圖形確定目標函數(shù)最值取法、值域范圍.14、127【解題分析】
已知條件化簡可化為,等式兩邊同時除以,則有,通過求解方程可解得,即證得數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)已知即可解得所求.【題目詳解】由..故答案為:.【題目點撥】本題考查通過遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列,考查了等比的求和公式,考查學生分析問題的能力,難度較易.15、【解題分析】
根據(jù)題意,依次分析不等式的變化規(guī)律,綜合可得答案.【題目詳解】解:根據(jù)題意,對于第一個不等式,,則有,對于第二個不等式,,則有,對于第三個不等式,,則有,依此類推:第個不等式為:,故答案為.【題目點撥】本題考查歸納推理的應用,分析不等式的變化規(guī)律.16、13【解題分析】
由導函數(shù)的應用得:設,,所以,,又,所以,即,由二項式定理:令得:,再由,求出,從而得到的值;【題目詳解】解:設,,所以,,又,所以,即,取得:,又,所以,故,故答案為:13【題目點撥】本題考查了導函數(shù)的應用、二項式定理,屬于中檔題三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)平行,證明見解析;(2).【解題分析】
(1)由題意及圖形的翻折規(guī)律可知應是的一條中位線,利用線面平行的判定定理即可求證;(2)利用條件及線面垂直的判定定理可知,,則平面,在利用錐體的體積公式即可.【題目詳解】(1)證明:因翻折后、、重合,∴應是的一條中位線,∴,∵平面,平面,∴平面;(2)解:∵,,∴面且,,,又,.【題目點撥】本題主要考查線面平行的判定定理,線面垂直的判定定理及錐體的體積公式,屬于基礎題.18、(1)(2)選擇方案二更為劃算【解題分析】
(1)計算顧客獲得7折優(yōu)惠的概率,獲得8折優(yōu)惠的概率,相加得到答案.(2)選擇方案二,記付款金額為元,則可取的值為126,144,162,180.,計算概率得到數(shù)學期望,比較大小得到答案.【題目詳解】(1)該顧客獲得7折優(yōu)惠的概率,該顧客獲得8折優(yōu)惠的概率,故該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率.(2)若選擇方案一,則付款金額為.若選擇方案二,記付款金額為元,則可取的值為126,144,162,180.,,則.因為,所以選擇方案二更為劃算.【題目點撥】本題考查了概率的計算,數(shù)學期望,意在考查學生的計算能力和應用能力.19、(1);(2)(i)詳見解析;(ii)會超過;詳見解析【解題分析】
(1)利用組合進行計算以及概率表示,可得結果.(2)(i)寫出X所有可能取值,并計算相對應的概率,列出表格可得結果.(ii)由(i)的條件結合7月與8月空氣質(zhì)量所對應的概率,可得7月與8月經(jīng)濟損失的期望和,最后7月、8月、9月經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望與2.88萬元比較,可得結果.【題目詳解】(1)設ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù),則P(ξ=2),P(ξ=3),則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為;(2)(i),,,X的分布列如下:X02201480P(ii)由(i)可得:E(X)=02201480302(元),故該企業(yè)9月的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望為30E(X),即30E(X)=9060元,設7月、8月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失為Y元,可得:,,,E(Y)=02201480320(元),所以該企業(yè)7月、8月這兩個月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望為320×(31+31)=19840(元),由19840+9060=28900>28800,即7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望會超過2.88萬元.【題目點撥】本題考查概率中的分布列以及數(shù)學期望,屬基礎題。20、(1)證明見解析(2)【解題分析】
(1)根據(jù)題意,連接交于,連接,利用三角形全等得,進而可得結論;(2)建立空間直角坐標系,利用向量求得平面的法向量,進而可得二面角的余弦值.【題目詳解】(1)證明:連接交于,連接,,≌,且,面面,面,(2)取中點,連,.由,面面面,又由,以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系,設,則,,,,,,為面的一個法向量,設面的法向量為,依題意,即,令,解得,所以,平面的法向量,,又因二面角為銳角,故二面角的余弦值為.【題目點撥】本題考查直線與平面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時要認真審題,注意中位線和向量法的合理運用,屬于基礎題.21、(1)在上增;在上減;(2)(i);(ii)2【解題分析】
(1)求導求出,對分類討論,求出的解,即可得
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