2024屆廣東省廣州市番禺區(qū)禺山高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期第三次聯(lián)合考試（期末）數(shù)學(xué)試題（文理）

2024屆廣東省廣州市番禺區(qū)禺山高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期第三次聯(lián)合考試（期末）數(shù)學(xué)試題（文理）注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．第七屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年10月18日至27日在中國武漢舉行，中國隊(duì)以133金64銀42銅位居金牌榜和獎(jiǎng)牌榜的首位.運(yùn)動(dòng)會(huì)期間有甲、乙等五名志愿者被分配到射擊、田徑、籃球、游泳四個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地提供服務(wù)，要求每個(gè)人都要被派出去提供服務(wù)，且每個(gè)場(chǎng)地都要有志愿者服務(wù)，則甲和乙恰好在同一組的概率是（）A． B． C． D．2．如圖，拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若直線與以為圓心，線段（為坐標(biāo)原點(diǎn)）長(zhǎng)為半徑的圓交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于值的說法正確的是（）A．等于4 B．大于4 C．小于4 D．不確定3．已知集合，，，則的子集共有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)4．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．正的邊長(zhǎng)為2，將它沿邊上的高翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，此時(shí)四面體的外接球表面積為（）A． B． C． D．6．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P橢圓上，且，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．7．某幾何體的三視圖如圖所示，若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則該幾何體的體積為A． B． C． D．8．已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個(gè)小三角形全等，則（）A．PA，PB，PC兩兩垂直 B．三棱錐P-ABC的體積為C． D．三棱錐P-ABC的側(cè)面積為9．已知是球的球面上兩點(diǎn),,為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（）A． B． C． D．10．已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值為（）A．2 B． C．1 D．011．阿波羅尼斯（約公元前262~190年）證明過這樣的命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)與，的距離之比為，當(dāng)，，不共線時(shí)，的面積的最大值是（）A． B． C． D．12．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)是的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，以為直徑的圓過且交的左支于兩點(diǎn)，若，的面積為8，則的漸近線方程為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中，若的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則________．14．在數(shù)列中，，，曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④數(shù)列是等比數(shù)列；其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是______.15．若變量，滿足約束條件則的最大值為________.16．函數(shù)的圖象在處的切線與直線互相垂直,則_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2019年是中華人民共和國成立70周年．為了讓人民了解建國70周年的風(fēng)雨歷程，某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，…，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）現(xiàn)從年齡在，，內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行座談，用表示年齡在）內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若用樣本的頻率代替概率，用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為．當(dāng)最大時(shí)，求的值．18．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)，試討論的單調(diào)性；（2）若，，求的取值范圍.19．（12分）函數(shù)（1）證明：；（2）若存在，且，使得成立，求取值范圍.20．（12分）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且向量與向量共線.（1）求B；（2）若，，且，求BD的長(zhǎng)度.21．（12分）已知橢圓C:（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（－，0）、F2（，0）.點(diǎn)M（1，0）與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直.（1）求橢圓C的方程；（2）已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n）（m≠3）.過點(diǎn)M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3，若k1＋k3＝2k2，試求m，n滿足的關(guān)系式.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）已知為曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)到直線的最大距離．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)題意，五人分成四組，先求出兩人組成一組的所有可能的分組種數(shù)，再將甲乙組成一組的情況，即可求出概率.【題目詳解】五人分成四組，先選出兩人組成一組，剩下的人各自成一組，所有可能的分組共有種，甲和乙分在同一組，則其余三人各自成一組，只有一種分法，與場(chǎng)地?zé)o關(guān)，故甲和乙恰好在同一組的概率是.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查組合的應(yīng)用和概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】

利用的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，然后聯(lián)立方程得，最后利用韋達(dá)定理求解即可【題目詳解】據(jù)題意，得點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，.討論：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，據(jù)，得，所以，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與拋物線的相交問題，解題核心在于聯(lián)立直線與拋物線的方程，屬于基礎(chǔ)題3、B【解題分析】

根據(jù)集合中的元素，可得集合，然后根據(jù)交集的概念，可得，最后根據(jù)子集的概念，利用計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以集合則所以的子集共有故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的運(yùn)算以及集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算，當(dāng)集合中有元素時(shí)，集合子集的個(gè)數(shù)為，真子集個(gè)數(shù)為，非空子集為，非空真子集為，屬基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可整理得到，由此得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定所處象限.【題目詳解】由得：，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，的外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，連接，利用正弦定理可得，利用球心的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，最后利用勾股定理可求外接球的半徑，從而可得外接球的表面積.【題目詳解】如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，連接，則平面，.因?yàn)?，故，因?yàn)椋?由正弦定理可得，故，又因?yàn)椋?因?yàn)?，故平面，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，故，故，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，故外接球的半徑為，外接球的表面積為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計(jì)算，還考查正弦定理和余弦定理，折疊問題注意翻折前后的變量與不變量，外接球問題注意先確定外接球的球心的位置，然后把半徑放置在可解的直角三角形中來計(jì)算，本題有一定的難度.6、C【解題分析】

不妨設(shè)在第一象限，故，根據(jù)得到，解得答案.【題目詳解】不妨設(shè)在第一象限，故，，即，即，解得，（舍去）.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7、C【解題分析】

由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，三棱錐的高為，所以該幾何體的體積，故選C．8、C【解題分析】

根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖，然后再計(jì)算可得.【題目詳解】解：根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示，其中D為AB的中點(diǎn)，底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為，，，，，、不可能垂直，即不可能兩兩垂直，，.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為.故正確的為C.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計(jì)算問題，屬于中檔題.9、C【解題分析】

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，故，則球的表面積為，故選C．考點(diǎn)：外接球表面積和椎體的體積．10、B【解題分析】

作出可行域，平移目標(biāo)直線即可求解.【題目詳解】解：作出可行域：由得，由圖形知，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，其截距最大，此時(shí)最大得，當(dāng)時(shí)，故選：B【題目點(diǎn)撥】考查線性規(guī)劃，是基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】

根據(jù)平面內(nèi)兩定點(diǎn)，間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)與，的距離之比為，利用直接法求得軌跡，然后利用數(shù)形結(jié)合求解.【題目詳解】如圖所示：設(shè)，，，則，化簡(jiǎn)得，當(dāng)點(diǎn)到（軸）距離最大時(shí)，的面積最大，∴面積的最大值是.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查軌跡的求法和圓的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.12、B【解題分析】

由雙曲線的對(duì)稱性可得即，又，從而可得的漸近線方程.【題目詳解】設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為，由雙曲線的對(duì)稱性，四邊形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，，所以，的漸近線方程為.故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想與計(jì)算能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：由已知得，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為，，，，，其系數(shù)之和為，解得．考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理．14、①③④【解題分析】

先利用導(dǎo)數(shù)求得曲線在點(diǎn)處的切線方程，由此求得與的遞推關(guān)系式，進(jìn)而證得數(shù)列是等比數(shù)列，由此判斷出四個(gè)結(jié)論中正確的結(jié)論編號(hào).【題目詳解】∵，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則.∵，∴，則是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，從而，，.故所有正確結(jié)論的編號(hào)是①③④.故答案為：①③④【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查曲線的切線方程的求法，考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.15、7【解題分析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合，即可容易求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【題目詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖陰影部分所示.觀察可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，有最大值，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃，主要考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬基礎(chǔ)題.16、1.【解題分析】

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線垂直的直線斜率的關(guān)系建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．【題目詳解】函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直,函數(shù)的圖象在的切線斜率本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線垂直的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分布列見解析,（1）【解題分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖及抽取總?cè)藬?shù)，結(jié)合各組頻率值即可求得各組抽取的人數(shù)；的可能取值為0，1，1，由離散型隨機(jī)變量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由數(shù)學(xué)期望公式即可求得其數(shù)學(xué)期望.（1）先求得年齡在內(nèi)的頻率，視為概率.結(jié)合二項(xiàng)分布的性質(zhì)，表示出，令，化簡(jiǎn)后可證明其單調(diào)性及取得最大值時(shí)的值．【題目詳解】（1）按分層抽樣的方法拉取的8人中，年齡在的人數(shù)為人，年齡在內(nèi)的人數(shù)為人．年齡在內(nèi)的人數(shù)為人．所以的可能取值為0，1，1．所以，，，所以的分市列為011．（1）設(shè)在抽取的10名市民中，年齡在內(nèi)的人數(shù)為，服從二項(xiàng)分布．由頻率分布直方圖可知，年齡在內(nèi)的頻率為，所以，所以．設(shè)，若，則，；若，則，．所以當(dāng)時(shí)，最大，即當(dāng)最大時(shí)，．【題目點(diǎn)撥】本題考差了離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.18、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解題分析】

（1）由于函數(shù)，得出，分類討論當(dāng)和時(shí)，的正負(fù)，進(jìn)而得出的單調(diào)性；（2）求出，令，得，設(shè)，通過導(dǎo)函數(shù)，可得出在上的單調(diào)性和值域，再分類討論和時(shí)，的單調(diào)性，再結(jié)合，恒成立，即可求出的取值范圍.【題目詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，①?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時(shí)，令，則；令，則，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)?，可知，，令，?設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以在上的值域是，即.當(dāng)時(shí)，沒有實(shí)根，且，在上單調(diào)遞減，，符合題意.當(dāng)時(shí)，，所以有唯一實(shí)根，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，不符合題意.綜上，，即的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和根據(jù)恒成立問題求參數(shù)范圍，還運(yùn)用了構(gòu)造函數(shù)法，還考查分類討論思想和計(jì)算能力，屬于難題.19、（1）證明見詳解；（2）或或【解題分析】

（1）（2）首先用基本不等式得到，然后解出不等式即可【題目詳解】（1）因?yàn)樗裕?）當(dāng)時(shí)所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立因?yàn)榇嬖?，且，使得成立所以所以或解得：或或【題目點(diǎn)撥】1.要熟練掌握絕對(duì)值的三角不等式，即2.應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)要滿足“一正二定三相等”.20、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)共線得到，利用正弦定理化簡(jiǎn)得到答案.（2）根據(jù)余弦定理得到，，再利用余弦定理計(jì)算得到答案.【題目詳解】（1）∵與共線，∴.即，∴即，∵，∴，∵，∴.（2），，，在中，由余弦定理得：，∴.則或（舍去）.∴，∵∴.在中，由余弦定理得：，∴.【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量共線，正弦定理，余弦定理，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.21、（1）；（2）m－n－1＝0【解題分析】試題分析：（1）利用M與短軸端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三