2023-2024學年江蘇省常州市教育會數(shù)學九上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

2023-2024學年江蘇省常州市教育會數(shù)學九上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．下列關系式中，是反比例函數(shù)的是（）A． B． C． D．2．如圖，將△ABC繞點B順時針旋轉60°得△DBE，點C的對應點E恰好落在AB延長線上，連接AD．下列結論一定正確的是（）A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C C．AD∥BC D．AD＝BC3．如圖，點P（8，6）在△ABC的邊AC上，以原點O為位似中心，在第一象限內將△ABC縮小到原來的，得到△A′B′C′，點P在A′C′上的對應點P′的的坐標為（）A．（4，3） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，4）4．如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在直徑AB一側的圓上（異于A，B兩點），點E在直徑AB另一側的圓上，若∠E＝42°，∠A＝60°，則∠B＝（）A．62° B．70° C．72° D．74°5．某工廠生產的某種產品按質量分為10個檔次，第1檔次（最低檔次）的產品一天能生產95件，每件利潤6元，每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產量減少5件．若生產的產品一天的總利潤為1120元，且同一天所生產的產品為同一檔次，則該產品的質量檔次是（）A．6 B．8 C．10 D．126．如圖，點、分別在的邊、上，且與不平行．下列條件中，能判定與相似的是（）A． B． C． D．7．如圖，在邊長為的小正方形網格中，點都在這些小正方形的頂點上，相交于點，則()A． B． C． D．8．在開展“愛心捐助”的活動中，某團支部8名團員捐款的數(shù)額（單位：元）分別為3，5，6，5，6，5，5，10，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．3元 B．5元 C．5.5元 D．6元9．如圖，在中，點，，分別在邊，，上，且，，若，則的值為（）A． B． C． D．10．已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍值是（）A． B． C．且 D．且二、填空題(每小題3分,共24分)11．定義：在平面直角坐標系中，我們將函數(shù)的圖象繞原點逆時針旋轉后得到的新曲線稱為“逆旋拋物線”.（1）如圖①，己知點，在函數(shù)的圖象上，拋物線的頂點為，若上三點、、是、、旋轉后的對應點，連結，、，則__________；（2）如圖②，逆旋拋物線與直線相交于點、，則__________．12．有五張分別印有等邊三角形、正方形、正五邊形、矩形、正六邊形圖案的卡片（這些卡片除圖案不同外，其余均相同）．現(xiàn)將有圖案的一面朝下任意擺放，從中任意抽取一張，抽到卡片的圖案既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的概率為_____．13．如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點，若EF=2，則菱形ABCD的周長是__．14．某農場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長），中間用一道墻隔開，并在如圖所示的三處各留1m寬的門．已知計劃中的材料可建墻體（不包括門）總長為27m，則能建成的飼養(yǎng)室面積最大為________

m2．15．如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)，以原點為位似中心，將△ABC縮小，使變換得到的△DEF與△ABC對應邊的比為1∶2，則線段AC的中點P變換后對應點的坐標為____．16．如圖，在中，是斜邊的垂直平分線，分別交于點，若，則______．17．如圖，在四邊形中，，，，.若，則______.18．如圖，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，連接AC，以對角線AC為邊，按逆時針方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再連接AC1，以對角線AC1為邊作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1,......，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則矩形AB2019C2019C2018的面積為_____．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點P從點C出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿著CD在C點到D點間運動（當達D點后則停止運動），同時點Q從點D出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿著DA在D點到A點間運動（當達到A點后則停止運動）．設運動時間為t秒，則按下列要求解決有關的時間t．（1）△PQD的面積為5時，求出相應的時間t；（2）△PQD與△ABC可否相似，如能相似求出相應的時間t，如不能說明理由；（3）△PQD的面積可否為10，說明理由．20．（6分）如圖，AB是⊙O的直徑，BM切⊙O于點B，點P是⊙O上的一個動點(點P不與A，B兩點重合)，連接AP，過點O作OQ∥AP交BM于點Q，過點P作PE⊥AB于點C，交QO的延長線于點E，連接PQ，OP．(1)求證：△BOQ≌△POQ；(2)若直徑AB的長為1．①當PE＝時，四邊形BOPQ為正方形；②當PE＝時，四邊形AEOP為菱形．21．（6分）如圖，斜坡的坡度是1：2.2（坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度），這個斜坡的水平寬度是22米，在坡頂處的同一水平面上（）有一座古塔．在坡底處看塔頂?shù)难鼋鞘?5°，在坡頂處看塔頂?shù)难鼋鞘?0°，求塔高的長．（結果保留根號）22．（8分）解方程（1）x2﹣4x+2＝0（2）（x﹣3）2＝2x﹣623．（8分）閱讀下面內容，并按要求解決問題：問題：“在平面內，已知分別有個點，個點，個點，5個點，…，n個點，其中任意三個點都不在同一條直線上.經過每兩點畫一條直線，它們可以分別畫多少條直線？”探究：為了解決這個問題，希望小組的同學們設計了如下表格進行探究：（為了方便研究問題，圖中每條線段表示過線段兩端點的一條直線）請解答下列問題：（1）請幫助希望小組歸納，并直接寫出結論：當平面內有個點時，直線條數(shù)為；（2）若某同學按照本題中的方法，共畫了條直線，求該平面內有多少個已知點.24．（8分）爸爸有一張“山西大劇院”的演出門票，計劃通過“擲籌碼”的游戲將門票獎勵給哥哥或者弟弟，游戲規(guī)則如下：準備兩個質量均勻的籌碼，在第一個籌碼的一面畫上“×”，另一面畫上“○”；在第二個籌碼的一面畫上“○”，另一面畫上“△”．隨機擲出兩個籌碼，當籌碼落地后，若朝上的一面都是“○”，則哥哥獲得門票；否則，弟弟獲得門票．你認為這個游戲公平嗎？說明理由．25．（10分）如圖，已知拋物線與y軸相交于點A（0，3），與x正半軸相交于點B，對稱軸是直線x=1．（1）求此拋物線的解析式以及點B的坐標．（2）動點M從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向運動，同時動點N從點O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿y軸正方向運動，當N點到達A點時，M、N同時停止運動．過動點M作x軸的垂線交線段AB于點Q，交拋物線于點P，設運動的時間為t秒．①當t為何值時，四邊形OMPN為矩形．②當t＞0時，△BOQ能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．26．（10分）在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共50個，這些球除顏色外其余完全相同．王穎做摸球試驗，攪勻后，她從盒子里隨機摸出一個球記下顏色后，再把球放回盒子中，不斷重復上述過程，如表是試驗中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n10020030050080010003000摸到白球的次數(shù)m651241783024806001800摸到白球的頻率0.650.620.5930.6040.60.60.6（1）請估計：當n很大時，摸到白球的頻率將會接近；（精確到0.1）（2）若從盒子里隨機摸出一個球，則摸到白球的概率的估計值為；（3）試估算盒子里黑、白兩種顏色的球各有多少個？

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【解析】根據(jù)反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義可得答案．【詳解】解：y=2x-1是一次函數(shù)，故A錯誤；是反比例函數(shù)，故B正確；

y=x2是二次函數(shù)，故C錯誤；是一次函數(shù)，故D錯誤；

故選：B．【點睛】此題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義，解題關鍵在于理解和掌握反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的意義．2、C【解析】根據(jù)旋轉的性質得，∠ABD＝∠CBE=60°,∠E＝∠C,則△ABD為等邊三角形，即AD＝AB=BD,得∠ADB=60°因為∠ABD＝∠CBE=60°，則∠CBD=60°,所以，∠ADB=∠CBD，得AD∥BC.故選C.3、A【分析】直接利用在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或?k，進而結合已知得出答案．【詳解】∵點P（8，6）在△ABC的邊AC上，以原點O為位似中心，在第一象限內將△ABC縮小到原來的，得到△A′B′C′，∴點P在A′C′上的對應點P′的的坐標為：（4，3）．故選：A．【點睛】此題主要考查了位似變換，正確得出位似比是解題關鍵．4、C【分析】連接AC．根據(jù)圓周角定理求出∠CAB即可解決問題．【詳解】解：連接AC．∵∠DAB＝60°，∠DAC＝∠E＝42°，∴∠CAB＝60°﹣42°＝18°，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣18°＝72°，故選：C．【點睛】本題主要考察圓周角定理，解題關鍵是連接AC．利用圓周角定理求出∠CAB.5、A【分析】設該產品的質量檔次是x檔，則每天的產量為[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利潤是[6+2（x﹣1）]元，根據(jù)總利潤＝單件利潤×銷售數(shù)量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其小于等于10的值即可得出結論．【詳解】設該產品的質量檔次是x檔，則每天的產量為[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利潤是[6+2（x﹣1）]元，根據(jù)題意得：[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]＝1120，整理得：x2﹣18x+72＝0，解得：x1＝6，x2＝12（舍去）．故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．6、A【分析】根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可求解．【詳解】解:在與中，∵，且，∴．故選:A．【點睛】此題考查了相似三角形的判定:（1）平行線法:平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法:三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；（3）兩邊及其夾角法:兩組對應邊的比相等且夾角相等的兩個三角形相似；（4）兩角法:有兩組角對應相等的兩個三角形相似．7、B【分析】通過添加輔助線構造出后，將問題轉化為求的值，再利用勾股定理、銳角三角函數(shù)解即可．【詳解】解：連接、，如圖：∵由圖可知：∴，∴∵小正方形的邊長為∴在中，，∴∴．故選：B【點睛】本題考查了正方形的性質、直角三角形的判定、勾股定理以及銳角三角函數(shù)．此題難度適中，解題的關鍵準確作出輔助線，注意轉化思想與數(shù)形結合思想的應用．8、B【分析】將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列，最中間兩個位置的數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)．【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列3，5，5，5，5，6，6，10，最中間兩個位置的數(shù)是5和5，所以中位數(shù)為（5+5）÷2=5（元），故選：B．【點睛】本題考查中位數(shù)，熟練掌握中位數(shù)的求法是解答的關鍵．9、A【分析】根據(jù)，得到AC=3EC，則AE=2EC，再根據(jù)，得到△ADE∽△EFC，再根據(jù)面積之比等于相似比的平方即可求解.【詳解】∵，∴AB：BD=AC：EC，又∵∴AC=3EC，∴AE=2EC，∵，∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B=∠EFC，∴△ADE∽△EFC又AE=2EC∴=（2：1）2=4:1故選A.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．10、C【分析】根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式的值大于0列出關于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍．【詳解】根據(jù)題意得：△＝b2?4ac＝4?8（k?1）＝12?8k＞0，且k?1≠0，解得：且k≠1．故選：C．【點睛】此題考查了根的判別式，以及一元二次方程的定義，弄清題意是解本題的關鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、3；【分析】（1）求出點A、B的坐標，再根據(jù)割補法求△ABC的面積即可得到；

（2）將旋轉后的MN和拋物線旋轉到之前的狀態(tài)，求出直線解析式及交點坐標，利用割補法求面積即可．【詳解】解：（1）在上，令x=0，解得y=2，所以C（0，2），OC=2，將，代入，解得a=3，b=2，∴，，設，的直線解析式為，則，解得，直線AB解析式為，令x=0，解得，y=4，即OD=4，∴，∴（2）如圖，由旋轉知，，，∴，，直線，令，得∴∴∴【點睛】此題考查了二次函數(shù)與幾何問題相結合的問題，將三角形的面積轉化為解題關鍵．12、【解析】判斷出即是中心對稱，又是軸對稱圖形的個數(shù)，然后結合概率計算公式，計算，即可．【詳解】解：等邊三角形、正方形、正五邊形、矩形、正六邊形圖案中既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形是：正方形、矩形、正六邊形共3種，故從中任意抽取一張，抽到卡片的圖案既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的概率為：．故答案為．【點睛】考查中心對稱圖形和軸對稱圖形的判定，考查概率計算公式，難度中等．13、1【解析】試題分析：先利用三角形中位線性質得到AB=4，然后根據(jù)菱形的性質計算菱形ABCD的周長．∵E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點，∴EF為△ABD的中位線，∴AB=2EF=4，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC=CD=DA=4，∴菱形ABCD的周長=4×4=1．考點：（1）菱形的性質；（2）三角形中位線定理．14、75【解析】試題分析：首先設垂直于墻面的長度為x，則根據(jù)題意可得：平行于墻面的長度為（30－3x），則S=x（30－3x）=－3+75，,則當x=5時，y有最大值，最大值為75，即飼養(yǎng)室的最大面積為75平方米.考點：一元二次方程的應用.15、(1，)或(－1，－)【分析】位似變換中對應點的坐標的變化規(guī)律：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或?k．本題中k＝1或?1．【詳解】解：∵兩個圖形的位似比是1：（?）或1：，AC的中點是（4，3），∴對應點是（1，）或（?1，?）．【點睛】本題主要考查位似變換中對應點的坐標的變化規(guī)律．16、2【分析】連接BF，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AF=BF，再根據(jù)等邊對等角的性質求出∠ABF=∠A，然后根據(jù)三角形的內角和定理求出∠CBF，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出CF．【詳解】如圖，連接BF，

∵EF是AB的垂直平分線，

∴AF=BF，

∴，，在△BCF中，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，三角函數(shù)的定義，熟記性質并作出輔助線是解題的關鍵．17、【分析】首先在△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)值計算出AC的長，然后根據(jù)正切定義可算出．【詳解】∵,，∴，∵AB=2，∴AC=6，∵AC⊥CD，∴，∴故答案為：.【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握正弦，正切的定義是解題的關鍵.18、【分析】利用勾股定理可求得AC的長，根據(jù)面積比等于相似比的平方可得矩形AB1C1C的面積，同理可求出矩形AB2C2C1、AB3C3C2，……的面積，從而可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可求得第2019個矩形的面積，即可得答案.【詳解】∵在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，∴AC==，∵矩形ABCD與矩形AB1C1C相似，∴矩形AB1C1C與矩形ABCD的相似比為，∴矩形AB1C1C與矩形ABCD的面積比為，∵矩形ABCD的面積為1×2=2，∴矩形AB1C1C的面積為2×=，同理：矩形AB2C2C1的面積為×==，矩形AB3C3C2的面積為×==，……∴矩形ABnCnCn-1面積為，∴矩形AB2019C2019C2018的面積為=，故答案為：【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，相似多邊形的性質，根據(jù)求出的結果得出規(guī)律并熟記相似圖形的面積比等于相似比的平方是解題關鍵.．三、解答題(共66分)19、（1）t=1;（2）t=2.4或;（3）△PQD的面積不能為1，理由見解析．【分析】（1）△PQD的兩直角邊分別用含t的代數(shù)式表示，由△PQD的面積為5得到關于t的方程，由此可解得t的值；（2）設△PQD與相似△ABC，由圖形形狀考慮可知有兩種可能性，對兩種可能性分別給予討論可以求得答案；（3）與（1）類似，可以用含t的表達式表示△PQD的面積，令其等于1，由所得方程解的情況可以作出判斷．【詳解】因為四邊形ABCD是矩形，所以AB=CD=6，BC=AD=8，（1）S△PQD=解得：t1=1t2=5(舍去）（2）①當時△PDQ~△ABC即得t=2.4②當時△PQD?~△CBA即得;（3）△PQD的面積為1時，,此方程無實數(shù)根，即△PQD的面積不能為1．【點睛】本題綜合考查三角形相似、面積計算與動點幾何問題，利用方程的思想方法解題是關鍵所在．20、（1）見解析；（2）①6，②6．【分析】(1)根據(jù)切線的性質得∠OBQ＝90°，再根據(jù)平行線的性質得∠APO＝∠POQ，∠OAP＝∠BOQ，加上∠OPA＝∠OAP，則∠POQ＝∠BOQ，于是根據(jù)“SAS”可判斷△BOQ≌△POQ；(2)①利用△BOQ≌△POQ得到∠OPQ＝∠OBQ＝90°，由于OB＝OP，所以當∠BOP＝90°，四邊形OPQB為正方形，此時點C、點E與點O重合，于是PE＝PO＝6；②根據(jù)菱形的判定，當OC＝AC，PC＝EC，四邊形AEOP為菱形，則OC＝OA＝3，然后利用勾股定理計算出PC，從而得到PE的長．【詳解】(1)證明：∵BM切⊙O于點B，∴OB⊥BQ，∴∠OBQ＝90°，∵PA∥OQ，∴∠APO＝∠POQ，∠OAP＝∠BOQ，而OA＝OP，∴∠OPA＝∠OAP，∴∠POQ＝∠BOQ，在△BOQ和△POQ中，∴△BOQ≌△POQ；(2)解：①∵△BOQ≌△POQ，∴∠OPQ＝∠OBQ＝90°，當∠BOP＝90°，四邊形OPQB為矩形，而OB＝OP，則四邊形OPQB為正方形，此時點C、點E與點O重合，PE＝PO＝AB＝6；②∵PE⊥AB，∴當OC＝AC，PC＝EC，四邊形AEOP為菱形，∵OC＝OA＝3，∴PC＝，∴PE＝2PC＝6．故答案為6，6．【點睛】本題考查了切線的性質、全等三角形的判定與性質和菱形、正方形的判定方法；綜合應用所學知識是解答本題的關鍵．21、米【分析】分別過點和作的垂線，垂足為和，設AD=x，根據(jù)坡度求出DQ，根據(jù)正切定義用x表示出PQ，再由等腰直角三角形的性質列出x的方程，解之即可解答．【詳解】解：分別過點和作的垂線，垂足為和，設的長是米∵中，∴∵的坡比是1：1．1，水平長度11米∴∴在中，∴，即：∴答：的長是米【點睛】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關鍵．22、（1）x＝2；（2）x＝3或x＝1．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【詳解】（1）∵x2﹣4x＝﹣2，∴x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，解得x﹣2＝，則x＝2；（2）∵（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x﹣1）＝0，則x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得x＝3或x＝1．【點睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學轉化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．23、（1）；（2）8.【分析】（1）根據(jù)過兩點的直線有1條，過不在同一直線上的三點的直線有3條，過任何三點都不在一條直線上四點的直線有6條，按此規(guī)律，由特殊到一般，總結出公式：；（2）將28代入公式求n即可.【詳解】解：（1）當平面內有2個點時，可以畫條直線；當平面內有3個點時，可以畫條直線；當平面內有4個點時，可以畫條直線；…當平面內有n（n≥2）個點時，可以畫條直線；設該平面內有個已知點.由題意，得解得（舍）答：該平面內有個已知點【點睛】此題是探求規(guī)律題并考查解一元二次方程，讀懂題意，找出規(guī)律是解題的關鍵，解題時候能夠進行知識的遷移是一種重要的解題能力．24、游戲不公平，理由見解析．【分析】首先根據(jù)題意列表，然后由表格求得所有等可能的結果，由當概率相等時，這個游戲是否公平，即可求得答案．【詳解】解：游戲不公平，理由如下：隨機投擲兩個籌碼的結果列表如下：一二○△×（×，○）（×，△）○（○，○）（○，△）由上表可知，投擲籌碼的結果共有4種，每種結果出現(xiàn)的可能性相同，其中，籌碼朝上的一面都是“○”的結果有1種，其他結果有3種．即哥哥獲得門票的概率為，弟弟獲得門票的概率為．∵，∴游戲不公平．【點睛】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．25、（1），