2023年湖南省邵陽市隆回縣高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2,請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系，

共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運共同體.自2015年以來，“一帶一路”建設(shè)成果顯著.如圖是2015—2019

年，我國對“一帶一路”沿線國家進(jìn)出口情況統(tǒng)計圖，下列描述錯誤的是()

c=teDB-iane---aa?ig一道口地通

A.這五年，出口總辨之和比進(jìn)口總辨々和大

B.這五年，2015年出口額最少

C.這五年，2019年進(jìn)口增速最快

D.這五年，出口增速前四年逐年下降

2.若集合M={1,3},N={1,3,5),則滿足MUX=N的集合X的個數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

1,x=2_

3.設(shè)函數(shù).f(x)=,.士、若函數(shù)g(x)=r(x)+/V)+c有三個零點和打不，則

xtx2+x2x3+xXx3=（）

A.12B.HC.6D.3

4.（2T）（2—2'）’的展開式中8,的項的系數(shù)為（）

A.120B.80C.60D.40

2-3z,

5.一=（）

1+z

15.n15.c15?n15?

A.----1C.一+-iD.—H—l

22222222

6.i是虛數(shù)單位，若j=Q+初（41￡尺），則乘積〃〃的值是（）

2-1

A.-15B.-3C.3D.15

92

/y,

---=l（a>0,b>0

7.已知雙曲線b'）,其右焦點尸的坐標(biāo)為點」是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點，。為坐標(biāo)

2

C

\OA\二一

原點，滿足a,線段交雙曲線于點M若卜為.4尸的中點，則雙曲線的離心率為（）

2小4

A.用B.2C.3D.3

8.中國古建筑借助柳卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫樺頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是

梯頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是

9.已知aeR力eR,貝!]“直線ar+2y-1=0與直線3+1）工-2到+1=0垂直”是“。=3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

x+y>2,

10.若實數(shù)X，）'滿足不等式組<3x-y<6,則3x+y的最小值等于（）

x-y>0,

A.4B.5C.6D.7

<i[a“+3,a”為奇數(shù)

11.已知數(shù)列｛4｝滿足：％=1，《向=+1,；為偶數(shù)，則“1=（）

A.16B.25C.28D.33

12.記S“為等差數(shù)列｛q｝的前幾項和.若％=—5,54=76,則％=（）

5B.3C.-12D.-13

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知非零向量”出的夾角為?，且W=l,|2￡一方|=百，則同=.

14.“六藝”源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動中開

展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩講座必須相鄰的

不同安排種數(shù)為.

15.（x-力（工7廠展開式中的系數(shù)為.（用數(shù)字做答）

,y>0

16.若實數(shù)滿足不等式組2x—y+3N0,貝!|z=2y—x的最小值是一

x+y-\<0

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在三棱柱ABC—A'5'C'中，N、E分別是AC、BC、AC的中點.

（1）證明：MN〃平面CFB'；

（2）若底面AB'C是正三角形，4。=1,C在底面的投影為F,求B'到平面/U'C'C的距離.

18.（12分）已知函數(shù)/（x）=（2-x）e*+izx.

（I）已知x=2是的一個極值點，求曲線/（力在（0,〃。））處的切線方程

（II）討論關(guān)于X的方程“X）=alnx（aGR）根的個數(shù).

19.（12分）如圖，在四棱柱ABC?！?g￡2中，底面ABC。是正方形，平面4。4_L平面ABC。，A￡>=1,

例=五.過頂點。，片的平面與棱BC,4。分別交于M，N兩點.

（I）求證：AD±DB］；

（n）求證：四邊形DMB、N是平行四邊形；

（ni）若4。，co,試判斷二面角。一加4一c的大小能否為45。？說明理由.

20.（12分）在如圖所示的多面體中，四邊形ABEG是矩形，梯形。G￡F為直角梯形，平面DGM_L平面43EG,

（1）求證：尸G,平面3EF.

（2）求二面角A-BE-E的大小.

21.（12分）如圖，在正四棱柱ABC。-A4CQ中，已知AB=1,84=2.

（1）求異面直線4C與直線AR所成的角的大??；

（2）求點。到平面的距離.

22.（10分）在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中，運城市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)

城知識問卷調(diào)查（一位市民只能參加一次），通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計結(jié)果如表所示：.

組別[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數(shù)212202524134

(1)由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分Z-N(M，198),〃似為這1()0人得分的平均值(同一組中的數(shù)

據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)，利用該正態(tài)分布，求P(38.2<ZW80.2)；

(2)在(1)的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：

①得分不低于〃的可以獲贈2次隨機(jī)話費，得分低于〃的可以獲贈1次隨機(jī)話費；

②每次獲贈的隨機(jī)話費和對應(yīng)的概率為：

贈送話費的金額(單位：元)2050

2]_

概率

44

現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記X(單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：參考數(shù)據(jù)與公式：V198?14,若X-N(從,/),則P(〃一b<xW〃+b)=0.6826,

—2b<X?4+2b)=0.9544,—3b<XW〃+3cr)=0.9974

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

根據(jù)統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)的含義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

對A項，由統(tǒng)計圖可得，2015年出口額和進(jìn)口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進(jìn)口額，則A正確;

對B項，由統(tǒng)計圖可得，2015年出口額最少，則B正確；

對C項，由統(tǒng)計圖可得，2019年進(jìn)口增速都超過其余年份，則C正確；

對D項，由統(tǒng)計圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯誤；

故選：D

【點睛】

本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖解決實際問題，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

X可以是{5},{1,5},{3,5},{1,3,5}共4個，選D.

3.B

【解析】

畫出函數(shù)/(x)的圖象，利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的零點個數(shù)，然后轉(zhuǎn)化求解，即可得出結(jié)果.

【詳解】

作出函數(shù)〃幻=|例小一4]+x=1,門22,?！?的圖象如圖所示,

令/(x)=t,

由圖可得關(guān)于X的方程/(X)=/的解有兩個或三個(f=l時有三個，t*1時有兩個)，

所以關(guān)于t的方程/+4+c=0只能有一個根t=1(若有兩個根，則關(guān)于X的方程f\x)+bf(x)+c=0有四個或五個

根),

由/(x)=l,可得玉,馬，馬的值分別為1,2,3,

貝（砧=

Jxix2+z%3+1x2+2x3+1x3=11

故選B.

【點睛】

本題考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于?？碱}型.

4.A

【解析】

化簡得至|（2*-1乂2-2）'=2匚（2-2,丫一（2—2）’,再利用二項式定理展開得到答案.

【詳解】

（2r-l）（2-T）'=2r-（2-2'）5-（2-2）

展開式中8'的項為2'C；23（一2'）2-C；22（—2'丫=120x8,.

故選：A

【點睛】

本題考查了二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力.

5.B

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.

【詳解】

2-3/（2-3z）（l-z）-1-5;15.

z=----=----------------=-----1

1+z（l+z）（l-z）222

故選B.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

l+7z（l+7z）（2+z）,....,々如。

---=----------=-l+3z,..a=—l,b=3,ab=—3,選B.

2-i5

7.C

【解析】

計算得到''㈤,代入雙曲線化簡得到答案.

【詳解】

bc2

y=~x\OA\=一

雙曲線的一條漸近線方程為。，力是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點，。，

/竺)三=]獨

故I叱忒c,0),故X1-21a),代入雙曲線化簡得到：4a2，故e0.5.

故選：c

【點睛】

本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.

8.A

【解析】

詳解：由題意知，題干中所給的是樟頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進(jìn)去的，即俯視圖中應(yīng)有

一不可見的長方形，

且俯視圖應(yīng)為對稱圖形

故俯視圖為

故選A.

點睛：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題。

9.B

【解析】

由兩直線垂直求得則。=0或a=3,再根據(jù)充要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】

由題意，“直線ax+2y-\=Q與直線(a+l)x-lay+1=0垂直”

則。(。+1)+2*(-2。)=0,解得a=0或a=3,

所以“直線ax+2y-\=0與直線(a+l)x-2ay+1=0垂直”是“。=3”的必要不充分條件，故選B.

【點睛】

本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系，及必要不充分條件的判定，其中解答中利用兩直線的位置關(guān)系求得。的值，同時

熟記充要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.A

【解析】

首先畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求工的最小值.

【詳解】

x+y>2

解：作出實數(shù)x,）'滿足不等式組3x-yW6表示的平面區(qū)域（如圖示：陰影部分）

x-y>0

x+y—2-0

由*得

x-y=0

由z=3x+y得y=_3x+z,平移y=-3x,

易知過點A時直線在>上截距最小,

所以z*=3xl+l=4.

【點睛】

本題考查了簡單線性規(guī)劃問題，求目標(biāo)函數(shù)的最值先畫出可行域，利用幾何意義求值，屬于中檔題.

11.C

【解析】

依次遞推求出牝得解.

【詳解】

n=l時，生=1+3=4,

n=2時，—2x4+1—9,

n=3時，%=9+3=12,

n=4時，4=2x12+1=25,

n=5時，4=25+3=28.

故選：C

【點睛】

本題主要考查遞推公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

12.B

【解析】

4x3

由題得4+4=-5,4囚+一廣〃=-16,解得q=-7,d=2,計算可得小.

【詳解】

4x3

a2=-5,S4=-16,:.ax+d--5,4qH——^"=-16,解得%=-7,d=2,

ab—q+5d—3.

故選：B

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，前〃項和公式，考查了學(xué)生運算求解能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

由已知條件得出4必一41萬||B|-cos〈萬,B〉+戶=3，可得2|詞2一|菊一i=o,解之可得答案.

【詳解】

向量G,5的夾角為名且|21-5|=百，向=1,可得:4不-4|萬川5|?cos<a,b>+后=3,

可得2|引2一⑺7=0,解得團(tuán)=1,

故答案為:1.

【點睛】

本題考查根據(jù)向量的數(shù)量積運算求向量的模，關(guān)鍵在于將所求的向量的模平方，利用向量的數(shù)量積化簡求解即可，屬

于基礎(chǔ)題.

14.24

【解析】

分步排課，首先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié)，然后，“射"和“御''捆綁一一起作為一個元素與其它兩個元素合起來全排列,

同時它們內(nèi)部也全排列.

【詳解】

第一步：先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié)，有A?2=2種不同的排法；第二步：將“射”和“御”兩節(jié)講座捆綁再和其他兩藝全

排有&A；=12種不同的排法，所以滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩節(jié)講座必須相鄰的不同安排種數(shù)

為否其用=24.

故答案為：L

【點睛】

本題考查排列的應(yīng)用，排列組合問題中，遵循特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮的原則，相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用

插入法.

15.210

【解析】

轉(zhuǎn)化（x-V）（x-y嚴(yán)尸-y2（x-y），只有、。一卜尸中含有丁,，即得解.

【詳解】

（X-9）（X一y）i。=M一y/-y2（X一y）io

只有（8一丫尸中含有xb6,

其中的系數(shù)為c「=210

故答案為：210

【點睛】

本題考查了二項式系數(shù)的求解，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.

16.-1

【解析】

由z=2y-x得y=Lx+《z,由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過A點時目標(biāo)函數(shù)取得最小值，A（1,0）

22

所以Zmin=?1

故答案為」

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析；(2)B

2

【解析】

(D連接AB,連接3C'、B'C交于點E,并連接EE,則點E為8C'的中點，利用中位線的性質(zhì)得出E/7/AB,

MN//A'B,利用空間平行線的傳遞性可得出EF//MV,然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；

(2)推導(dǎo)出平面A4'C'C,并計算出夕F,由此可得出8'到平面AA'C'C的距離為B'F,即可得解.

【詳解】

(D連接AB,連接8C'、B'C交于點E,并連接EF,則點E為BC'的中點，

?.?￡、/分別為BC'、AC的中點，則所〃AB,同理可得MN〃A'B,:.EF〃MN.

?;MNZ平面CFB',EFu平面CFB',因此，MN〃平面CFB'；

(2)由于C在底面A'B'C的投影為尸，.?.CF_L平面A'B'C,

B'Fu平面AB'C，二B'F±CF,

?.?△AB'C'為正三角形，且尸為A'C的中點，.?.5'F_LA'C'，

?.?CFnAC'=R,平面AA'C'C,且BN=A'B'-sin%=@,

32

因此，8'到平面AA'C'C的距離為且.

2

【點睛】

本題考查線面平行的證明，同時也考查了點到平面距離的計算，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.

18.(I)d+l卜-y+2=0；(II)見解析

【解析】

(I)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用x=2是"X)的一個極值點，得/⑵=0建立方程求出a的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求

解即可;

(II)利用參數(shù)法分離法得到。=刈0=仁江，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，利用數(shù)形

x-lnx

結(jié)合轉(zhuǎn)化為圖象交點個數(shù)進(jìn)行求解即可.

【詳解】

(I)因為f(x)=(2-力e*+奴,則/=+〃，

因為x=2是/(x)的一個極值點，所以,/(2)=0,即(1-2)/+a=0,

所以a=e2,

因為"0)=2,/'(O)=e2+l,

則直線方程為y-2=(e2+i)x,即(e2+l)x-y+2=0；

(II)因為/(x)=alnx,所以(x-2)e*+alnx—4zr=0,

所以(x_2)e*=_a(lnx—x),設(shè)g(x)=lnx_x(x>0),則g<x)=，-l(x>0),

所以g(x)在(0,1)上是增函數(shù)，在(1,討)上是減函數(shù)，

故g(x)<g⑴=T<0,

2?I1

設(shè)加(x)=x+——lnx-1,貝!]M(%)=1——7——=—(x-2)(x+l),

所以m（X）在（0,2）上是減函數(shù)，（2,一）上是增函數(shù)，

所以〃2（x）>/〃（2）=2—ln2>0,

所以當(dāng)0<x<l時，”（力<0,函數(shù)/z（x）在（0,1）是減函數(shù)，

當(dāng)x>l時，/?'（%）>0,函數(shù)〃（%）在（1,物）是增函數(shù)，

因為0cx<1時,/z（x）<0,〃（1）=-e,〃（2）=（）,

所以當(dāng)。〈一e時，方程無實數(shù)根，

當(dāng)-e<a<0時，方程有兩個不相等實數(shù)根，

當(dāng)。=-0或時，方程有1個實根.

【點睛】

本題考查函數(shù)中由極值點求參，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查了利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的個數(shù)問題，屬于難題.

19.（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）不能為45°.

【解析】

（1）由平面4。用_L平面ABC。，可得4），平面4。耳，從而證明耳；

（2）由平面ABC。與平面ABC。沒有交點，可得DW與N4不相交，又DM與NB1共面,所以DM//NB1,同理

可證DN//MB1,得證；（3）作CE1.M4交M用于點E,延長CE交BB〔于點F,連接OE,根據(jù)三垂線定理，

確定二面角。一股與一。的平面角NCE。，若NCEO=45°,CE=CD=1,由大角對大邊知b<3C=1,兩者矛

盾，故二面角。-加耳-。的大小不能為45°.

【詳解】

（1）由平面_L平面A3CD,平面4。耳n平面ABCD=CD,

且AO_LC￡）,所以4），平面4。耳，

又u平面AQBI,所以A。，DB1；

（2）依題意。，M,旦，N都在平面。耳上，

因此。平面。B-N耳7平面。B1,

又。M1平面ABCD,NB、c平面ABCD,

平面4BCD與平面ABCD平行，即兩個平面沒有交點,

則DM與NBI不相交，又DM與共面,

所以DM//NB一同理可證。N//M用，

所以四邊形DMBN是平行四邊形；

(3)不能.如圖，作CE_LMB1交MB1于點E,延長CE交8用于點尸，連接￡>￡,

由AQ_LC￡>,ADA.CD,AiDA.AD=D,

所以8,平面則平面BCC",又CE_LMB1,

根據(jù)三垂線定理，得到OELMA，所以NCED是二面角。-"旦-C的平面角，

若NCED=45。，則ACED是等腰直角三角形，CE=CD=\,

又NCFB=3EF+NFB[E=90+ZFB]E>90,

所以ACEB中，由大角對大邊知C〃<5C=1,

所以CE<CE<1,這與上面CE=CD=1相矛盾，

所以二面角D-MB「C的大小不能為45°.

【點睛】

本題考查了立體幾何中的線線平行和垂直的判定問題，和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推

理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，屬中檔題.

20.(1)見解析；(2)v

【解析】

(1)根據(jù)面面垂直性質(zhì)及線面垂直性質(zhì)，可證明BE_LFG；由所給線段關(guān)系，結(jié)合勾股定理逆定理,可證明FELFG,

進(jìn)而由線面垂直的判定定理證明FG工平面BEF.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個點的坐標(biāo)，并求得平面AFB和平面瓦3的法向量，由空間向量法求得兩個平面

夾角的余弦值，結(jié)合圖形即可求得二面角A-M-E的大小.

【詳解】

（1）證明：???平面平面ABEG,且BE上GE,

，8E1平面。GEF,

.,.BE1FG,

由題意可得尸G=FE=J5,

:.FG1+FE2=GE2,

VFE1FG,且FEcBE=E,

FG_L平面庇尸.

（2）如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1,O,O）,8（1,2,0）,￡（0,2,0）,尸（0,1,1）,麗=（1,-而=（1』,—1）,

麗=（0,1,-1）.

設(shè)平面AF3的法向量是“=(不，y,zj,

,FA-n=0(玉—一Z]=0=Z]

則＜_=＞〈=＞〈，

FBn=0[工]+y-Zj=0=0

令玉=1,“=(1,0,1),

由(1)可知平面EE6的法向量是五=芬=(0,1,1),

-----nm1_1

：.cos＜/i,m＞=,,,,

\n\-\m\夜x夜一5

由圖可知，二面角A—即—E為鈍二面角，所以二面角A-BE-E的大小為了.

【點睛】

本題考查了線面垂直的判定，面面垂直及線面垂直的性質(zhì)應(yīng)用，空間向量法求二面角的大小，屬于中檔題.

21.(1)arccos3°；(2)—.

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【解析】

(1)建立空間坐標(biāo)系，通過求向量常與向量碼的夾角，轉(zhuǎn)化為異面直線AC與直線A4所成的角的大小；(2)

先求出面AgA的一個法向量，再用點到面的距離公式算出即可.

【詳解】

以4為原點，A4,AAA所在直線分別為X,y,z軸建系，

設(shè)A(0,0,0),C(L1,2),A(0,0,2),D}(0,1,0)

所以而=(1,1,2),才瓦=(0,1,-2)

cos<ACAD>--lxl+2x(-2)

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所以異面直線AC與直線A。所成的角的余弦值為嚕，異面直線AC與直線AR所成的角的大小為arccos嚕.

(2)因為⑼=(0,1,—2),麗=(-1,1,0),設(shè)〃=(x,y,z)是面A4。的一個法向量,

n-AR=0y-2z=01-1

所以有,令x