第41課兩條直線的平行與垂直

仙城中學(xué)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備課手冊(cè)第41課兩條直線的平行與垂直第41課兩條直線的平行與垂直一、考綱要求1．掌握用斜率判定兩條直線平行或垂直，感受用代數(shù)的方法研究幾何圖形性質(zhì)的思想。2．掌握平面上兩點(diǎn)之間的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單問題。3．通過分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、辯證性。二、知識(shí)梳理回顧要求1.兩條直線分別為，，則的充要條件是；的充要條件是。2.兩條直線分別為，，其中不全為0，也不全為0，則的充要條件是；的充要條件是。如果已知,兩條直線的位置關(guān)系又如何？3.掌握平面上兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、兩平行線間距離公式。4.完成課本104頁例3，從中體會(huì)如何合理建立坐標(biāo)系。建立坐標(biāo)系是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的基礎(chǔ)。要點(diǎn)解析1．兩條直線平行等價(jià)于它們的傾斜角相等，但用代數(shù)的方法研究?jī)蓷l直線平行和垂直時(shí)，運(yùn)用斜率比運(yùn)用傾斜角方便。2．在判斷兩條直線平行的位置關(guān)系時(shí)，要注意兩條直線斜率均不存在的情況；在判斷兩條直線垂直的位置關(guān)系時(shí)，也不能忽略一條直線斜率不存在而另一條直線斜率等于零的情況。3．求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，需先把直線方程化為一般式再求解。使用兩平行線間距離時(shí)要注意首先將兩直線方程中的的系數(shù)化為相同的。三、診斷練習(xí)：1、教學(xué)處理：課前由學(xué)生自主完成4道小題，并要求將解題過程扼要地寫在學(xué)習(xí)筆記欄。課前抽查批閱部分同學(xué)的解答，了解學(xué)生的思路及主要錯(cuò)誤，進(jìn)行有針對(duì)性地點(diǎn)評(píng)。2、診斷練習(xí)點(diǎn)評(píng)：1、若直線和直線平行，則?！痉治雠c點(diǎn)評(píng)】根據(jù)兩條直線平行的充要條件得。值得注意的是：由于直線的斜率是存在的，故無須對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行討論，注意解題的簡(jiǎn)潔性。2、原點(diǎn)在直線上的射影為，則直線的方程為?！痉治雠c點(diǎn)評(píng)】由于原點(diǎn)與在直線上的射影的連線與直線垂直，由線線垂直的充要條件知直線的斜率為，則直線的方程為。3、已知過原點(diǎn)，且點(diǎn)（2,1）到直線的距離為2，則的方程為【分析與點(diǎn)評(píng)】設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程時(shí)注意討論斜率是否存在的問題，然后把點(diǎn)斜式化為一般式?！敬鸢浮?、過點(diǎn)引直線，使到它的距離相等，則直線的方程為?！敬鸢浮炕??！痉治雠c點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生是否能靈活、有效地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)。（1）要求學(xué)生畫出圖形，根據(jù)圖形分析直線的位置特征后，再進(jìn)行求解，要做到“小題小做，小題簡(jiǎn)做，小題不做”。（2）滿足條件的直線會(huì)有幾條？它的位置與兩點(diǎn)的位置是否存在著某種特殊的關(guān)系？（與平行或過中點(diǎn)）（3）你是如何來解決本題的？比較你的方法與應(yīng)用分析（2）中的方法，你有什么收獲？（數(shù)形結(jié)合法是解題思路的源泉，是分析問題的突破口）3、要點(diǎn)歸納：（1）正確地識(shí)記有關(guān)的公理、定理、公式、法則等是學(xué)習(xí)的第一步，本課時(shí)，首先得記住兩條直線平行、垂直的充要條件以及三組距離公式；（2）嚴(yán)密地思維是科學(xué)解題的第二步，本課時(shí)，要注意“斜率”的“叛逆性”，要樹立“斜率存在”優(yōu)先意識(shí)；（3）科學(xué)的方法、觀念、思想是優(yōu)化解題的必要保證，解析幾何是數(shù)與形結(jié)合的一門學(xué)科，“數(shù)形結(jié)合”意識(shí)要牢記，并加以應(yīng)用。四、范例導(dǎo)析：例1、已知直線的方程為，求直線的方程：且過點(diǎn)（-1，3）；（2）且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4；是繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°而得到的直線?！窘虒W(xué)處理】由學(xué)生板演，針對(duì)學(xué)生板演所出現(xiàn)的問題或錯(cuò)誤，師生進(jìn)行針對(duì)性點(diǎn)評(píng)。【引導(dǎo)分析與精講建議】提出下列問題請(qǐng)學(xué)生思考：?jiǎn)栴}1：研究直線的位置關(guān)系通常通過研究什么量的關(guān)系來處理？問題2：在應(yīng)用上述的量進(jìn)行研究時(shí)，要注意什么？提醒學(xué)生記住：確定直線位置的幾何元素是直線的“方向”――斜率、傾斜角，因此，研究直線的位置關(guān)系必須抓住“方向”這一特征，將直線方程轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式來解決。（1）方法一：顯然直線斜率存在。設(shè)所求直線方程為，由可得故所求直線方程為：。方法二：因?yàn)?，所以可設(shè)直線的方程為，又該直線過點(diǎn)（-1，3），可求得C=-9故所求直線方程為：。答案：或是繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而得到的直線，所以與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。任取點(diǎn)在上，則在上的對(duì)稱點(diǎn)為滿足：，則。所以：。例2、已知正方形的中心為（-1，0），正方形一邊所在的直線方程為，求正方形其它三邊所在的直線方程。【教學(xué)處理】要求學(xué)生由題意畫出簡(jiǎn)圖，獨(dú)立求解后，由學(xué)生口答，老師板書，點(diǎn)評(píng)?！疽龑?dǎo)分析與精講建議】問題1：選擇所求直線方程的表達(dá)形式。正方形的其它三條邊有一條邊是與已知邊平行，有兩條邊與已知邊垂直，所以可設(shè)直線方程為：?jiǎn)栴}2：正方形的中心與正方形的四條邊存在怎樣的關(guān)系？正方形的中心到正方形的四條邊距離相等。根據(jù)已知條件可求得此距離為：所以有：，解得：或；或。所求方程為，【備用】直線過點(diǎn)被兩平行直線與所截得的線段的中點(diǎn)在直線上，求直線的方程?！疽龑?dǎo)分析與精講建議】教學(xué)中，教師可通過下列問題來啟迪學(xué)生的思維：?jiǎn)栴}1：你準(zhǔn)備如何來求直線的方程？（一是用點(diǎn)斜式，二是用兩點(diǎn)式）問題2：用點(diǎn)斜式求直線的思路是什么？（設(shè)直線的方程為，將分別與及聯(lián)立求出，則中點(diǎn)，代入得，從而得到的方程。這里面還要注意討論不存在的情況是不是滿足條件。）問題3：用兩點(diǎn)式求直線的方程時(shí)，另一點(diǎn)選擇哪點(diǎn)？（點(diǎn)）點(diǎn)滿足什么條件？（在直線上）還能找到一個(gè)條件嗎？（在直線上），由此得，進(jìn)而得的方程。問題4：除了上述兩種解法，你還有其它解法嗎？或者你還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？（點(diǎn)在直線上）沿著這一特點(diǎn)，你還能有其它解法嗎？（求點(diǎn)坐標(biāo)）點(diǎn)滿足什么條件？（在上）還能利用什么條件？（中點(diǎn)在上）至此，問題可迎刃而解了?！净仡櫋壳笾本€的方程設(shè)點(diǎn)斜式方程是一種常規(guī)想法，但此方法通常在計(jì)算上會(huì)有一定的難度。有些問題通過設(shè)點(diǎn)的方法，往往能起到化繁為簡(jiǎn)的作用，能起到一“點(diǎn)”就“中”的效果。例3、已知三點(diǎn)，求的坐標(biāo)，使四邊形為等腰梯形。【教學(xué)處理】要求學(xué)生畫出圖形幫助思考，尋找解題途徑，請(qǐng)學(xué)生口答，教師板書，師生共同點(diǎn)評(píng)?！疽龑?dǎo)分析與精講建議】教學(xué)中可設(shè)計(jì)下列問題，引導(dǎo)學(xué)生：?jiǎn)栴}1：等腰梯形需要滿足幾個(gè)條件？（三個(gè)：兩底平行，兩腰相等，兩底不等。）問題2：在上述三個(gè)條件中，先考慮哪個(gè)條件比較容易？（兩底平行）本題中的四邊形，可能平行的對(duì)邊是什么？（或）問題3：若當(dāng)時(shí)，四邊形構(gòu)成梯形要滿足什么條件？（、且，若設(shè)，則，即）問題4：若當(dāng)，可同理解得?！净仡櫋勘绢}的關(guān)鍵有兩個(gè)，一是確定哪兩條邊是底邊，可以用圖形判斷之；二是忽視兩底不等的條件。五、當(dāng)堂反饋：，是分別經(jīng)過兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)間距離最大時(shí)，直線的方程是?！痉治雠c點(diǎn)評(píng)】當(dāng)直線與垂直時(shí)，直線間距離最大，則，則直線的方程為：2、若點(diǎn)到直線的距離為，則的最大值是?！痉治雠c點(diǎn)評(píng)】由題意得，故的最大值為。3、使三條直線，不能圍成三角形的實(shí)數(shù)的值是【分析與點(diǎn)評(píng)】圍成三角形不能三線共點(diǎn)，并且三條直線中不能有兩條互相平行。所以不能圍城三角形只要三線中有兩條互相平行，或三線共點(diǎn)就可以了。答案：的值是。4、已知直線與，使得、與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有一個(gè)外接圓，此時(shí)k的值為?！痉治雠c點(diǎn)評(píng)】四邊形有外接圓，而這個(gè)四邊形其中有兩條邊是由兩條坐標(biāo)軸圍成的，這兩條坐標(biāo)軸互相垂直，所以可得與也必須互相垂直，即由，得到，故六、解題反思：1、研究直線間的位置關(guān)系要注意兩點(diǎn)：一是識(shí)記好各自的充要條件；二是注重轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，將直線方程轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式方程，同時(shí)，在轉(zhuǎn)化的過程中，要注意分類討論思想的應(yīng)用.2、解題過程中，要注意充分利用圖形的價(jià)值，借助于圖形來幫助思考，進(jìn)行分析，從而易于找到問題的突破口。同時(shí)，在解決解析幾何問題時(shí)，要注意幾何性質(zhì)的應(yīng)用。

沿著這一特點(diǎn)，你還能有其它解法嗎？（求點(diǎn)坐標(biāo)）點(diǎn)滿足什么條件？（在上）還能利用什么條件？（中點(diǎn)在上）至此，問題可迎刃而解了?！净仡櫋壳笾本€的方程設(shè)點(diǎn)斜式方程是一種常規(guī)想法，但此方法通常在計(jì)算上會(huì)有一定的難度。有些問題通過設(shè)點(diǎn)的方法，往往能起到化繁為簡(jiǎn)的作用，能起到一“點(diǎn)”就“中”的效果。例3、已知三點(diǎn)，求的坐標(biāo)，使四邊形為等腰梯形。【教學(xué)處理】要求學(xué)生畫出圖形幫助思考，尋找解題途徑，請(qǐng)學(xué)生口答，教師板書，師生共同點(diǎn)評(píng)?！疽龑?dǎo)分析與精講建議】教學(xué)中可設(shè)計(jì)下列問題，引導(dǎo)學(xué)生：?jiǎn)栴}1：等腰梯形需要滿足幾個(gè)條件？（三個(gè)：兩底平行，兩腰相等，兩底不等。）問題2：在上述三個(gè)條件中，先考慮哪個(gè)條件比較容易？（兩底平行）本題中的四邊形，可能平行的對(duì)邊是什么？（或）問題3：若當(dāng)時(shí)，四邊形構(gòu)成梯形要滿足什么條件？（、且，若設(shè)，則，即）問題4：若當(dāng)，可同理解得。【回顧】本題的關(guān)鍵有兩個(gè)，一是確定哪兩條邊是底邊，可以用圖形判斷之；二是忽視兩底不等的條件。五、當(dāng)堂反饋：，是分別經(jīng)過兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)間距離最大時(shí)，直線的方程是?！痉治雠c點(diǎn)評(píng)】當(dāng)直線與垂直時(shí)，直線間距離最大，則，則直線的方程為：2、若點(diǎn)到直線的距離為，則的最大值是。【分析與點(diǎn)評(píng)】由題意得，故的最大值為。3、使三條直線，不能圍成三角形的實(shí)數(shù)的值是【分析與點(diǎn)評(píng)】圍成三角形不能三線共點(diǎn)，并且三條直線中不能有兩條互相平行。所以不能圍城三角形只要三線中有兩條互相平行，或三線共點(diǎn)就可以了。答案：的值是。4、已知直線與，使得、與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有一個(gè)外接圓，此時(shí)k的值為。【分析與點(diǎn)評(píng)】四邊形有外接圓，而這個(gè)四邊形其中有兩