北師大版2021-2022學(xué)年度九年級下冊數(shù)學(xué)期末檢測試題（含答案）

北師大版2021-2022學(xué)年度九年級下冊數(shù)學(xué)期末檢測試題

一、選一選（本大題共10小題,每小題3分，共30分.下列各題給出的四個選項中,

只有一項符合題目要求）

1.在RtZXABC中，ZC=90°,AC=5,AB=13,則sinA的值為（）

551213

A.—B.—C.—D.—

12131312

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)勾股定理求出BC得長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)正弦的定義解答即可.

【詳解】如圖，根據(jù)勾股定理得，BC=^AB--AC2=V132-52=12.

BC12

:.sinA=---=—

故選c.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理，熟知銳角三角函數(shù)正弦的定義是解決

問題的關(guān)鍵.

2.在RSABC中，ZC=90°,斜邊AB上的中線是3cm,sinA=§,則SAABC等于（）

A.々'em?B.2cm2C.35/2cm2D.4^2cm2

【答案】D

【解析】

【詳解】試題解析：???斜邊/B上的中線是3cm,.?./5=6cm.

,1

乂sinJ=—,

3

1

BC=ABs,mJ=6x—=2（cm）.

2222

由勾股定理，得AC=ylAB-BC=A/6-2=4五（cm）.

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11

**-S^ABC=—ACBC=-x4,2*2=4,2(cm2).

故選D.

11.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=]x02平移得到拋物線y=/x2-2x,其對稱軸與

兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積為

【解析】

【詳解】試題分析：過點(diǎn)C作CA_Ly軸于點(diǎn)A,根據(jù)拋物線的對稱性可知：OBD的面積等于

的面積，從而陰影部分的面積等于矩形ACBO的面積.

頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(2,—2).

對稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積為：2x2=4.

故選B.

4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，且。4=。。,則()

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OX

A.ac+l=bB.ab+\=cC.be+1=aD,以上都沒

有是

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知，本題考察二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，運(yùn)

用兩邊相等求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入坐標(biāo)進(jìn)行求解.

【詳解】U：OA=OC

???點(diǎn)A、C的坐標(biāo)為(?c,0),(0,c)

，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=ax2+6x+c得

ac2-6c+c=0

/.c(ac-Z>+1)=0

???cw0

ac-b+l=0

ac+1=/?

故選A

【點(diǎn)睛】本題考察二次函數(shù)圖像與系數(shù)關(guān)系，解題關(guān)鍵是根據(jù)圖像得出系數(shù)取值范圍，再代入

點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行解決.

5.函數(shù)y=。工2一。與y=3(々WO)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是().

x

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【答案】D

【解析】

【分析】本題可先由二次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與反比例函數(shù)的圖象相比較看是否

一，致，逐一排除.

【詳解】A、由二次函數(shù)開口方向，得“V0.當(dāng)時、反比例函數(shù)圖象在二、四象限，故A

錯誤；

B、由二次函數(shù)圖象開口方向，得a>0.當(dāng)a>0時，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方，故B

錯誤；

C、由二次函數(shù)圖象開口方向，得“<0.當(dāng)a<0時，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，故C

錯誤；

D、由拋物線的開口方向和拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，得。<0,反比例函數(shù)的圖象應(yīng)

在二、四象限，故D正確.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象，應(yīng)該識記反比例函數(shù)丫=0在沒有同情況

x

下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等.

6.如圖，Z^ABC內(nèi)接于00,AB是0O的直徑，ZB=30°,CE平分NACB交◎()于E,交

AB于點(diǎn)D,連接AE,則SAADE：SKDB的值等于()

A.1：^2B.1：招C.I：2D.2：3

【答案】D

【解析】

【分析】由AB是00的直徑，得到NACB=90。，根據(jù)已知條件得到江=@,根據(jù)三角形

BC3

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的角平分線定理得到生=絲=正，求出AD=工方AB,BD=」尸AB,過C作CELAB

BCBD33+V33+V3

于E,連接OE,由CE平分NACB交00于E,得到0ELAB,求出0E=?AB,CE=^AB,

24

根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】解：:AB是。0的直徑，

.,.ZACB=90°,

：NB=30。，

.AC也

??沃―石’

VCE平分/ACB交。0于E,

.ACADV3

??---=----=---,

BCBD3

V33

.?AD=------f=AB>BD=------7=AB,

3+V33+V3

過C作CEJ_AB于E,連接0E,

，OE=；AB,CE=@AB,

24

.".SAADE：SACDB=(|AD*OE)：(yBD?CE)

=(^x—^1—AB*VAB)：(yx—AB?立AB)

23+0223+V34

=2：3.

故選D

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【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：（1）圓周角定理；（2）三角形的角平分線定理；（3）三角形的面積的計算；（4）

直角三角形的性質(zhì).

7.已知二次函數(shù)歹=〃/+法+。+2的圖象如圖所示，頂點(diǎn)為（-1,0）,下列結(jié)論：①用c<0；

@4a-2b+c>0.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象可知：拋物線開口向上,

.40,

,對稱軸為x=-l

導(dǎo)一

?b=2a>0,

?拋物線與y軸交于正半軸,

.c+2>2,即c>0,

.ahc>0,故①錯誤;

.拋物線與x軸只有一個交點(diǎn),

.〃一4。（。+2）=0,所以②錯誤;

因為對稱軸為X=-I,所以-3=-1，所以b=2a，把點(diǎn)（-1,0）代入解析式得：a-b+c+2^0,

2a

所以a—2a+c+2=0,所以a=c+2>2,所以③正確；

根據(jù)拋物線的對稱性可得：當(dāng)％=-2時，y=4a—26+c+2>2,所以4a—2b+c>0,所以④

正確.

因此共有③④正確，

故選B.

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8.若正方形的邊長為6,則其外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的大小分別為

A.6,3亞B.3亞，3C.6,3D.6/，3拒

【答案】B

【解析】

【詳解】由正方形的邊長、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑正好組成一個直角三角形，從而求得它們

的長度：

如圖，

:正方形的邊長為6,，AB=3.

又,.?/AOB=45°,.，.OB=3.

/.AO=732+32=372-

故選B.

9.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心作交BC于點(diǎn)

M、N,OO與AB、AC相切，切點(diǎn)分別為D、E,則。O的半徑和/MND的度數(shù)分別為()

A.2,22.5°B.3,30°C.3,22.5°D.2,30°

【答案】A

【解析】

【詳解】解：連接OA,

?/AB與00相切，

AOD1AB,

:在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,()為BC的中點(diǎn),

AAOIBC,

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???OD〃AC,

?IO為BC的中點(diǎn)，

???OD=AC=2；

VZDOB=45°,

AZMND=ZDOB=22.5°,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)；等腰直角三角形.

10.如果一個扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形”，則半徑為2的“等邊扇形”

的面積為【】

2

A.nB.1C.2D.—TC

3

【答案】C

【解析】

【詳解】設(shè)扇形的半徑為r,則弧長也為r,根據(jù)扇形的面積公式得5=工1-工-2-2=2.故選C.

22

二、填空題(本大題共8小題,每小題3分，共24分)

11.在△Z8C中,sin8=cos(90O-C)=；,則ZU8C的形狀是_____.

【答案】等腰三角形

【解析】

【詳解】試題解析：/B=NC=30,

???/XABC的形狀是等腰三角形.

故答案為等腰三角形.

12.如圖，某登山運(yùn)動員從營地A沿坡角為30。的斜坡AB到達(dá)山頂B,如果AB=2000米，則

他實(shí)際上升了米.

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B

【答案】1000

【解析】

【分析】過點(diǎn)B作BC_L水平面于點(diǎn)C,在Rtz^ABC中，根據(jù)AB=200米，NA=30。，求出BC

的長度即可.

【詳解】過點(diǎn)B作BCL水平面于點(diǎn)C,

在RtZ\ABC中，?；AB=2000米，ZA=30°,

ABC=ABsin30°=2000xy=1000（米），

故答案為：1000.

【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，直角三角形30度角的性質(zhì).

13.二次函數(shù)y=-/+2x-3圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

【答案】（1,-2）.

【解析】

【詳解】試題分析：：y=—x2+2x—3=—（x—If—2,故頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,-2）.故答案為

（1,-2）.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì).

14.ZU8C中,48=10cm,/C=8cm,BC=6cm,以點(diǎn)8為圓心,6cm為半徑作。8,則邊4c所在的直

線與。8的位置關(guān)系是

【答案】相切

【解析】

【詳解】試題解析：中，AB=10cm,AC=8cm,BC=i>cm,

AB-=AC2+BC2,

ZACB=90\

則圓心到直線的距離即為BC的長6C7?,等于圓的半徑，則直線和圓相切.

故答案為相切.

15.如圖用12m長的木條，做一個有一條橫檔的矩形窗子，為使透進(jìn)的光線至多,選擇窗子的高

5

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ABB為：—.

【答案】3m

【解析】

12-2x

【詳解】試題解析：設(shè)長為x米，根據(jù)題意知橫檔的長為：------米，

3

故透光面積S=X?_x=--X2+4X=--(X-3)2+6,

333

?.---<0,

3

.?.當(dāng)尸3時，S取得值，值為6；

即窗子的高為3米時，透進(jìn)的光線至多為6平方米.

故答案為3m.

16.如圖,OO的直徑43=8/C=3C8,過點(diǎn)C作AB的垂線交。。于M,N兩點(diǎn)，連接"8,則NMBA

的余弦值為

【答案】y

【解析】

【詳解】試題分析：如圖，連接AM；

VAB=8,AC=3CB,

/.BC=-AB=2：

4

VAB為00的直徑，

.,.ZAMB=90°；

由射影定理得：

BM2=AB?CB,

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./BM1

..BM=4,cosZMBA=------=—

AB2

故答案為2.

2

考點(diǎn)：垂徑定理；解直角三角形.

17.如圖,已知點(diǎn)A從點(diǎn)(1,0)出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿著x軸的正方向運(yùn)動Js后，以CM

為頂點(diǎn)作菱形O/3C,使點(diǎn)B,C都在象限內(nèi)，且/4。。=60。,又以點(diǎn)尸(0,4)為圓心,PC為半徑的圓恰

好與04所在的直線相切，則/=.

【答案】4^-1

【解析】

【詳解】試題解析?：由題意可知，當(dāng)以點(diǎn)尸(0,4)為圓心,PC為半徑的圓恰好與OA所在的直線相切

時,如圖.

連接PC,作PD1.OC于點(diǎn)。，則ZPOC=90°-ZAOC=90°-60°=30°,

OD=—OP=—x4=2y/3.

22

：.OC=2OD=4y]3,

AOA=OC=46,則/=4百-1.

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故答案為4JJ-L

18.如圖，將一塊長為4cm,寬為3cm的長方形木板在桌面上做無滑動的翻滾（順時針方向），

木板上點(diǎn)4的位置變化為4一小一血，其中第二次翻滾被桌面上一小木塊擋住，使木板與桌面

成30°角，則點(diǎn)A翻滾到A2時共走過的路徑長為cm.（結(jié)果保留n）

【解析】

【分析】根據(jù)圖形的特征可得次翻滾時走過的路徑長為圓心角為90。半徑為AB長的弧長，次翻

滾時走過的路徑長為圓心角為60。半徑為A.C長的弧長.

【詳解】由圖可得=，4?+32=5cm

門1人》sr,，/907r,560）?3?

則共走過的路徑長=-----+-------=3.5）cm

180180

點(diǎn)評：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長公式：/=竺三，注意使用公式時度沒有帶單位.

180

三、解答題（本大題共6小題，共66分）

19.如圖，在aABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，ZC=45°,si=-,AD=1.

3

（1）求BC的長；

（2）求tan/DAE的值.

【答案】（1）2-^2+1；（2）5/2——

【解析】

【分析】（1）先由三角形的高的定義得出NADB=NADC=90。，再解Rt^ADC,得出DC=1；

解RtZ\ADB,得出AB=3,根據(jù)勾股定理求出BD=20，然后根據(jù)BC=BD+DC即可求解.

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（2）先由三角形的中線的定義求出CE的值，則DE=CE-CD,然后在RtAADE中根據(jù)正切函

數(shù)的定義即可求解.

【詳解】解：（1）在△ABC中，:AD是BC邊上的高，

.,.ZADB=ZADC=90°.

在△ADC中，VZADC=90°,ZC=45°,AD=1,

ADC=AD=1.

1

在AADB中,VZADB=90°,si=-,AD=1,

3

AB;處.1

sinB一1=3

3

?*-BD=VAB2-AD2=A/32-12=272?

?*-BC=BD+DC=2V2+1-

(2)：AE是BC邊上的中線，.??CE=；BC=JI+1.

22

.*.DE=CE-CD=V2--.

2

___1

AtanZDAE=——=JI——.

AD2

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，難度中等，分別解

RtAADC與RtAADB,得出DC=1,AB=3是解題的關(guān)鍵.

20.如圖,E是正方形ABCD的邊AB上的動點(diǎn),E尸，DE交BC于點(diǎn)F.

（1）求證:

（2）設(shè)正方形的邊長為4/E=x,8尸=），.當(dāng)x取什么值時,y有值?并求出這個值.

【答案】（1）證明見解析；（2）1

【解析】

【詳解】試題分析：（1）這兩個三角形中，己知的條件有/=90。,

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那么只要得出另外一組對應(yīng)角相等即可得出兩三角形相似，因為乙〃洶+/。笈4=90。.

而NAED+NFEB=9。。,因此N4DE=NFER那么就構(gòu)成了兩三角形相似的條件；

（2）可用x表示出BE的長，然后根據(jù)（1）中△ZDEsASEE可得出關(guān)于的

比例關(guān)系式，然后就能得出一個關(guān)于x，丁的函數(shù)關(guān)系式.根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出N的值及相

應(yīng)的x的值.

試題解析：（I）；四邊形是正方形，

NDAE=NEBF=90°,

：.ZADE+ZDEA=90°.

又EFLDE,

：.ZAED+ZFEB=90°,

：.NADE=NFEB.

AADEs4BEF.

（2）由⑴△BEF$D=4,BE=4-x,得上=上，得y='（-x2+4x）

x4’4

1,1,

=-[-（x-2）2+4]=--（x-2）2+l,

44

當(dāng)x=2時y有值少的值為1.

21.如圖（9）所示（左圖為實(shí)景側(cè)視圖，右圖為安裝示意圖），在屋頂?shù)男逼旅嫔习惭b太陽能

熱水器：先安裝支架N5和C。（均與水平面垂直），再將集熱板安裝在上.為使集熱板吸

熱率更高，公司規(guī)定：與水平面夾角為4,且在水平線上的射影/尸為1.4加.現(xiàn)已測量出

屋頂斜面與水平面夾角為%，并已知tan仇=1.082,tan02=0.412.如果安裝工人確定支架

高為25c加，求支架CD的高（結(jié)果到1cm）?

【答案】支架DC的高應(yīng)為119cm.

【解析】

【分析】過A作AE〃BC,則NEAF=NCBG=（h，EC=AB=25cm,再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義

用6、。2表示出DF、EF的值，再根據(jù)DC=DE+EC進(jìn)行解答即可.

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【詳解】解：如圖所示，過A作AE〃BC,則NEAF=NCBG=02,

EC=AB=25cm

RtADAF中：ZDAF=6i,DF=AFtan0i,

RtZ\EAF中：ZEAF=02，EF=AFtan02,

DE=DF-EF=AF(tan0i-tan02)

又AF=140cm,tan0i=l.O82,tan02=O.412,

ADE=140x(1.082-0.412)=93.8,

???DC=DE+EC=93.8+25=118.8cm-119cm.

答：支架DC的高應(yīng)為119cm.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用

銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵.

22.已知點(diǎn)A(-2,n)在拋物線yud+fer+c上.

(1)若b=l,c=3,求n的值；

(2)若此拋物線點(diǎn)B(4,n),且二次函數(shù)y=，+H+c的最小值是一4,請畫出點(diǎn)P(x-1,

2

x+bx+C^的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)變化的圖象，并說明理由.

【答案】(1)5；(2)作圖見試題解析，理由見試題解析.

【解析】

【分析】(1)代入b=l,c=3,以及A點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得n的值；

(2)根據(jù)題意求得拋物線的解析式為y=(x—I)?—4,從而求得點(diǎn)P(x-1,f+bx+c)的

縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)變化的關(guān)系式為＞=x'2—4,然后利用5點(diǎn)式畫出函數(shù)的圖象即可.

【詳解】(1)b=1,c=3,A(-2,n)在拋物線y=x?+6x+c上，

n=4+(-2)x1+3=5；

(2):此拋物線點(diǎn)A(-2,n),B(4,n),

-2+4

拋物線的對稱軸x=--------=1,

2

?.?二次函數(shù)y=x2+6x+c的最小值是-4,

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...拋物線的解析式為了=(x—1)2—4,令x—l=x',

.,.點(diǎn)P(x-1,f+bx+c)的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)變化的關(guān)系式為y=x"-4,

點(diǎn)P(x-1,x2+bx+cy的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)變化的如圖：

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)的性質(zhì)；2.二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；3.二次函數(shù)的最值.

23.如圖，點(diǎn)0為Rt^ABC斜邊AB上的一點(diǎn)，以0A為半徑的00與BC切于點(diǎn)D,與AC

交于點(diǎn)E,連接AD.

(1)求證：AD平分NBAC；

(2)若NBAC=60。，OA=2,求陰影部分的面積(結(jié)果保留萬).

2

【答案】(1)見解析；(2)—7T

3

【解析】

【詳解】試題分析：(1)由RtaABC中，ZC=90°,。。切BC于D,易證得AC〃OD,繼而

證得AD平分NCAB.

(2)如圖，連接ED