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*第九節(jié)一、二元函數(shù)泰勒公式二、極值充分條件的證明二元函數(shù)的泰勒公式第九章1/2/2024高數(shù)同濟六版一、二元函數(shù)的泰勒公式一元函數(shù)的泰勒公式:推廣多元函數(shù)泰勒公式1/2/2024高數(shù)同濟六版記號(設下面涉及的偏導數(shù)連續(xù)):

一般地,

表示表示1/2/2024高數(shù)同濟六版定理1.的某一鄰域內有直到n+1階連續(xù)偏導數(shù),為此鄰域內任一點,則有其中①②①稱為f

在點(x0,y0)的n

階泰勒公式,②稱為其拉格朗日型余項

.1/2/2024高數(shù)同濟六版證:令則利用多元復合函數(shù)求導法則可得:1/2/2024高數(shù)同濟六版一般地,由的麥克勞林公式,得將前述導數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式.1/2/2024高數(shù)同濟六版說明:(1)余項估計式.因f

的各n+1階偏導數(shù)連續(xù),在某閉鄰域其絕對值必有上界

M,則有1/2/2024高數(shù)同濟六版(2)當n=0時,得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式:(3)若函數(shù)在區(qū)域D

上的兩個一階偏導數(shù)恒為零,由中值公式可知在該區(qū)域上定理11/2/2024高數(shù)同濟六版例1.

求函數(shù)解:的三階泰勒公式.

因此,1/2/2024高數(shù)同濟六版其中1/2/2024高數(shù)同濟六版時,具有極值二、極值充分條件的證明的某鄰域內具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù),且令則:1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當3)當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數(shù)定理2

(充分條件)1/2/2024高數(shù)同濟六版證:由二元函數(shù)的泰勒公式,并注意則有所以1/2/2024高數(shù)同濟六版其中

,

,

是當h→0,k→0時的無窮小量,于是(1)當AC－B2＞0

時,必有A≠0,且A

與C

同號,可見,從而△z＞0,因此1/2/2024高數(shù)同濟六版從而△z＜0,(2)當AC－B2＜0

時,若A,C不全為零,無妨設A≠0,則時,有異號;同號.可見△z

在(x0,y0)鄰近有正有負,1/2/2024高數(shù)同濟六版++－若A＝C

＝0,則必有B≠0,不妨設B＞0,此時可見△z

在(x0,y0)鄰近有正有負,(3)當AC－B2＝0

時,若A≠0,則若A＝0,則B＝0,為零或非零1/2/2024高數(shù)同濟六版此時因此作業(yè)P123

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