函數(shù)妙題公開課-

妙題改編原題1：【例12】已知函數(shù)是奇函數(shù)，并且的圖像經(jīng)過點．（1）求實數(shù)的值；（2）求當(dāng)時，函數(shù)的值域．【詳解】：（1）法一：因為是奇函數(shù)，所以，即整理得，所以或因為所以法二：，此時滿足題意，所以（2），令，,在上遞減，在上遞增所以，的值域為【賞析】：本題考查函數(shù)的奇偶性和值域的求法，求解函數(shù)的奇偶性問題，可以由奇偶性的定義從恒成立問題的角度去求解，也可以先由必要條件賦值解得答案，再進(jìn)行對任意性的驗證，在第二問求解函數(shù)值域時，通過對定義域和單調(diào)性的研究，進(jìn)而得出答案．函數(shù)具有奇偶性的本質(zhì)是恒成立問題，故不具有奇偶性即為存在性問題，準(zhǔn)確區(qū)分二者的不同，并合理地運用必要條件，可以起到簡化運算的作用．核心素養(yǎng)與思想：邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象；化歸思想、特殊與一般思想?！靖木帯浚阂阎瘮?shù)是奇函數(shù)，并且的圖像經(jīng)過點．（1）求實數(shù)的值；（2）求當(dāng)時，恒成立，求m的取值范圍．【詳解】:（1）原題2【例67】設(shè)函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在點，使得，則的取值范圍是（）.A.B.C.D.【詳解】：當(dāng)時，又因為為單調(diào)遞增函數(shù).若，則若，則所以.曲線上存在點，使得，等價為：在上存在解.即在上有解.設(shè)，，則在上單調(diào)遞增，所以.故.故選A.【賞析】：本題是函數(shù)與方程結(jié)合的典型考題，需要同學(xué)們充分掌握兩者之間的相互轉(zhuǎn)換技巧，再利用三角函數(shù)的有界性求得所求函數(shù)的定義域。核心素養(yǎng)和思想：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理；函數(shù)與方程思想。【改編】：設(shè)函數(shù)，若曲線上存在點，使得，則的取值范圍是（）.A.B.C.D.【詳解】：當(dāng)時，為單調(diào)遞增函數(shù)..曲線上存在點，使得，等價為：在上存在解.即在上有解.設(shè)，則在上單調(diào)遞增，所以.，故選A原題3【例68】已知，，求函數(shù)的值域．【詳解】：法一：．令，則，構(gòu)造函數(shù)：，則是上的單調(diào)增函數(shù)﹐則，因此．法二：（為第四象限角），則，可看作圖中直線AQ到AP的斜率的一半的變化范圍，即以及代入可得所求函數(shù)的值域為.【賞析】：己知函數(shù)并不特殊，直接進(jìn)行處理難度較大，導(dǎo)數(shù)處理也效果不佳，關(guān)注式子結(jié)構(gòu)特點，通過變換和換元，法一通過對分式換元構(gòu)造單調(diào)函數(shù)可將題目簡化；法二通過三角換元構(gòu)造一次分式型函數(shù)，轉(zhuǎn)化為幾何意義，直觀尋得最值；兩種解法的突破點都在于，這是有理化后研究單調(diào)性亦或者三角換元后的斜率操作的關(guān)鍵所在。核心素養(yǎng)與思想：邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象；數(shù)形結(jié)合思想，整體換元思想?！靖木帯浚喝?，對，求【詳解】：原題4【例69】高斯函數(shù)（取整函數(shù)）是指不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，稱為x的整數(shù)部分，記作[x]，已知，且，則______．【詳解】：因為，所以，又因為，所以，所以，又因為，所以，即：，所以或或．經(jīng)檢驗：是原方程的解．【賞析】：因任一實數(shù)都能寫成整數(shù)部分與非負(fù)純小數(shù)之和，即，故。求解與高斯函數(shù)有關(guān)的題雖然不會涉及到很多其他基礎(chǔ)知識，但題目比較靈活，而且有較強的技巧性．解決有關(guān)高斯函數(shù)的問題需要用到多種數(shù)學(xué)思想方法，其中較為常見的有分類討論（例如對區(qū)間進(jìn)行劃分）、命題轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合、湊整、估值法等等．因此掌握高斯函數(shù)的定義、性質(zhì)、應(yīng)用及有關(guān)技巧，對同學(xué)來說是大有裨益的．核心素養(yǎng)與思想：邏輯推理、數(shù)學(xué)運算；化歸思想、分類思想?！靖木帯浚焊咚购瘮?shù)（取整函數(shù)）是指不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，稱為x的整數(shù)部分，記作[x]，已知，，且，則______．【詳解】：因為，所以，又因為，所以，，所以，又因為，所以，即：，所以或或．經(jīng)檢驗：是原方程的解．原題5【例70】已知函數(shù)，設(shè)（）為實數(shù)，且．給出下列結(jié)論：①若，則；②若，則．其中正確的是（）A．①與②均正確 B．①正確，②不正確C．①不正確，②正確 D．①與②均不正確【詳解】：令函數(shù)，可得函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，又由，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于點對稱，如圖（1）所示，①中，因為，且，則，不妨設(shè)，則點，此時直線的方程為，可得，則，可得，又由，所以，即，即，所以①正確；②中，因為，且，則，不妨設(shè)，則點，此時直線的方程為，可得，則，可得，又由，所以，即，即，所以②正確.故選：A.【賞析】:本題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，結(jié)合圖像進(jìn)行求解。構(gòu)造很巧妙、構(gòu)造無極限，同學(xué)們要在這方面多加練習(xí)。構(gòu)造的前提是要充分的關(guān)注函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點，充分利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行整體構(gòu)造，構(gòu)造好后還要有可行的優(yōu)化的解法。核心素養(yǎng)與思想：邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象；整體構(gòu)造思想、數(shù)形結(jié)合思想。【改編】：若定義在R上的函數(shù)滿足（）ABCD【詳解】：故選：A.原題【例71】已知是定義在R上且以4為周期的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若函數(shù)在區(qū)間有5個零點，則實數(shù)的取值范圍是________?！驹斀狻浚菏紫扔墒荝上的奇函數(shù)得，即其中一個零點是0；再由周期為4的奇函數(shù)知可得，即其中有兩個零點和2；由奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱知剩下的兩個零點必在，各有一個零點。轉(zhuǎn)化成在必有一根即必有一根，法一：觀察到二次函數(shù)的對稱軸為則或解得法二：分離參數(shù)，只需函數(shù)與圖象有一個交點，所以?！举p析】本題是一個涉及周期性、奇偶性、函數(shù)零點的復(fù)合函數(shù)中求參數(shù)范圍問題，由奇函數(shù)和周期性得到3個零點，將問題轉(zhuǎn)化成在必有一根，需要注意的是復(fù)合函數(shù)一定要在定義域內(nèi)求解。核心素養(yǎng)與思想：直觀想象、數(shù)據(jù)分析；數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想。改編：已知定義在R的奇函數(shù)滿足：，當(dāng)時，，若函數(shù)在區(qū)間有7個零點，則實數(shù)的取值范圍是