初中數(shù)學(xué)常用數(shù)學(xué)思想方法典題賞析

初中數(shù)學(xué)常用數(shù)學(xué)思想方法典題賞析初中數(shù)學(xué)常用數(shù)學(xué)思想方法典題賞析德國(guó)著名數(shù)學(xué)家克萊因曾在他的《西方文化中的數(shù)學(xué)》中寫道：數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，激發(fā)、促進(jìn)、鼓舞并驅(qū)使人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會(huì)生活；

試圖回答有關(guān)人類自身存在提出的問(wèn)題；

努力去理解和控制自然；

盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識(shí)的最深刻的和最完美的內(nèi)涵。

不僅數(shù)學(xué)家體悟到了數(shù)學(xué)的魔力，就連希臘著哲學(xué)家柏拉圖都在號(hào)召：哲學(xué)家也要學(xué)數(shù)學(xué)，因?yàn)樗仨毺龊迫鐭熀５娜f(wàn)變現(xiàn)象而抓住真正的實(shí)質(zhì)。又因?yàn)檫@是使靈魂過(guò)渡到真理和永存的捷徑。那么，作為初中生，如何才能學(xué)好數(shù)學(xué)呢？有人曾調(diào)侃：數(shù)學(xué)學(xué)霸和學(xué)渣最大的區(qū)別就在于是否會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法!數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓。數(shù)學(xué)思想方法無(wú)論在數(shù)學(xué)專業(yè)領(lǐng)域、數(shù)學(xué)教育范圍內(nèi)，還是在其它科學(xué)中，都被廣為使用。所謂數(shù)學(xué)思想，就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提練上升數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想，如建模思想、統(tǒng)計(jì)思想、最優(yōu)化思想、化歸思想、分類思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想、函數(shù)思想。所謂數(shù)學(xué)方法指在數(shù)學(xué)中提出問(wèn)題、解決問(wèn)題（包括數(shù)學(xué)內(nèi)部問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題）過(guò)程中，所采用的各種方式、手段、途徑等。初中學(xué)生應(yīng)掌握的數(shù)學(xué)方法有配方法、換元法、待定系數(shù)法、參數(shù)法、構(gòu)造法、特殊值法等。數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是緊密聯(lián)系的，強(qiáng)調(diào)指導(dǎo)思想時(shí)，稱數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)調(diào)操作過(guò)程時(shí)，稱數(shù)學(xué)方法。典例賞析一、整體思想從問(wèn)題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的的、有意識(shí)的整體處理。例1：已知a-b=4,求2a-2b-1=_________解析：把“a-b”看成一個(gè)整體代入2a-2b-1=2(a-b)-1=7二、方程思想方程思想，是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解。例2：一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和是外角和2倍，它是_________邊形.解析：由于任意多邊形的外角和都是360°，而n邊形的內(nèi)角和(n-2).180設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，根據(jù)題意，得：(n-2).180=2*360，解得n=6三、函數(shù)思想函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決。函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問(wèn)題。例3:某水果批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克贏利10元，每天可售出500kg。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20kg。

（1）現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天贏利6000元，同時(shí)又要顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？

（2）若該商場(chǎng)單純從經(jīng)濟(jì)角度看，這種水果每千克漲價(jià)多少元能使商場(chǎng)獲利最多？

解析：（1）解：設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)x元，根據(jù)題意得：

（10+x）*(500-20x)=6000解得x1=5,x2=10為了使顧客得到實(shí)惠，應(yīng)取x=5(元)。

（2）設(shè)每千克漲價(jià)x元時(shí)，總利潤(rùn)為y元。

y=（10+x）*(500-20x)=-20x^2+300x+5000=-20(x-7.5)^2+6125根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)x=7.5時(shí)，ymax=6125四、轉(zhuǎn)化思想所謂的轉(zhuǎn)化思想就是指在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),如果對(duì)當(dāng)前的問(wèn)題感到生疏困惑,可以把它進(jìn)行變換,使之化生疏為熟悉，化繁為簡(jiǎn),化難為易,,從而使問(wèn)題得以解決的思想方法.例4;解分式方程。解析：把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程即可。兩邊乘（x+3）(x-1)2(x-1)=(x+3)2x-2=x+3x=5經(jīng)檢驗(yàn)：x=5是方程的解五、類比思想把兩個(gè)（或兩類）不同的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行比較，如果發(fā)現(xiàn)它們?cè)谀承┓矫嬗邢嗤蝾愃浦?，那么就推斷它們?cè)谄渌矫嬉部赡苡邢嗤蝾愃浦帯＠?：類比正比例函數(shù)研究反比例函數(shù)。解析：通過(guò)研究正比例函數(shù)的圖像、性質(zhì)及應(yīng)用，類比研究反比例函數(shù)的圖像、性質(zhì)及應(yīng)用。六、數(shù)形結(jié)合思想“數(shù)無(wú)形，少直觀，形無(wú)數(shù)，難入微”，利用“數(shù)形結(jié)合”可使所要研究的問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。所謂數(shù)形結(jié)合思想就是在研究問(wèn)題時(shí)把數(shù)和形結(jié)合考慮或者把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題形象化、具體化.例6：證明勾股定理。解析：美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德借助下列圖形證明了勾股定理。七、分類討論思想分類討論就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把研究對(duì)象分成為數(shù)不多的幾個(gè)部分或幾種情況，然后逐個(gè)加以解決，最后予以總結(jié)作出結(jié)論的思想方法.其實(shí)質(zhì)是化整為零，各個(gè)擊破，化大難為小難的的策略.例7：若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70，則它的頂角為度．解析：分類討論，（1）該內(nèi)角為頂角時(shí)，頂角為70；

（2）該內(nèi)角為底角時(shí)，則頂角為：180-70*2=40故頂角為70或40.八、歸納與猜想的思想方法所謂歸納與猜想,就是在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),從特殊的、簡(jiǎn)單的、局部的例子出發(fā),探尋一般的規(guī)律,或者從現(xiàn)有的已知條件出發(fā),通過(guò)觀察、類比、聯(lián)想，進(jìn)而猜想出結(jié)果的思想方法.例8：觀察下列圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若按其規(guī)律再畫下去，可以得到第n個(gè)圖形中所有點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）．解析：

第1個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：1+3=4，第2個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：1+3+5=9，第3個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：1+3+5+7=16，…，第n個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2．故答案為：（n+1）2．以下資料為贈(zèng)送資料：《滴水之中見(jiàn)精神》主題班會(huì)教案活動(dòng)目的：教育學(xué)生懂得“水”這一寶貴資源對(duì)于我們來(lái)說(shuō)是極為珍貴的，每個(gè)人都要保護(hù)它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬(wàn)代。

活動(dòng)過(guò)程：

1.主持人上場(chǎng)，神秘地說(shuō)：“我讓大家猜個(gè)謎語(yǔ)，你們?cè)敢鈫幔俊贝蠹一卮穑骸霸敢?！?/p>

主持人口述謎語(yǔ)：

“雙手抓不起，一刀劈不開(kāi)，

煮飯和洗衣，都要請(qǐng)它來(lái)?！?/p>

主持人問(wèn)：“誰(shuí)知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場(chǎng)說(shuō)：“我就是同學(xué)們猜到的水。聽(tīng)大家說(shuō)，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬(wàn)物之源主題班會(huì)現(xiàn)在開(kāi)始。

水說(shuō)：“同學(xué)們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒(méi)有水，我們?nèi)祟惥蜔o(wú)法生存。

小熊說(shuō)：我們動(dòng)物可喜歡你了，沒(méi)有水我們會(huì)死掉的。

花說(shuō)：我們花草樹(shù)木更喜歡和你做朋友，沒(méi)有水，我們?cè)缇涂菟懒?，就不能為美化環(huán)境做貢獻(xiàn)了。

主持人：下面請(qǐng)聽(tīng)快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來(lái)說(shuō)話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開(kāi)它。

栽小樹(shù)，種莊稼，農(nóng)民伯伯把它夸；

魚兒河馬大對(duì)蝦，日日夜夜不離它；

采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學(xué)們，聽(tīng)完了這個(gè)快板，你們說(shuō)水的用處大不大？

甲說(shuō)：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說(shuō)：看了表演后，我知道水對(duì)莊稼、植物是非常重要的。

丙說(shuō)：我還知道水對(duì)美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們?cè)撛鯓幼瞿兀?/p>

（1）（生）：我要節(jié)約用水，保護(hù)水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對(duì)，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看到了學(xué)校電視里轉(zhuǎn)播的“水日談水”的節(jié)目，很受教育，同學(xué)們看得可認(rèn)真了，知道了我們北京是個(gè)缺水城市，我們?cè)俨荒芾速M(fèi)水了。

（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。

3.主持人：大家談得都很好，下面誰(shuí)想出題考考大家，答對(duì)了請(qǐng)給點(diǎn)掌聲。

（1）（生）：小明讓爸爸刷車時(shí)把水龍頭開(kāi)小點(diǎn)，請(qǐng)回答對(duì)不對(duì)。

（2）（生）：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。

（3）一生跑上說(shuō)：主持人請(qǐng)把手機(jī)借我用用好嗎？我想現(xiàn)在就給姥姥打個(gè)電話，告訴她做飯時(shí)別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。（電話內(nèi)容略寫）

（4）一生說(shuō)：主持人我們想給大家表演一個(gè)小品行嗎？

主持人：可以，大家歡迎！請(qǐng)看小品《這又不是我家的》

大概意思是：學(xué)校男廁所便池堵了，水龍頭又大開(kāi)，水流滿地。學(xué)生甲乙丙三人分別上廁所，看見(jiàn)后又皺眉又罵，但都沒(méi)有關(guān)水管，嘴里還念念有詞，又說(shuō)：“反正不是我家的?！?/p>

旁白：“那又是誰(shuí)家的呢？”

主持人：看完這個(gè)小品，你們有什么想法嗎？誰(shuí)愿意給大家說(shuō)說(shuō)？

甲：剛才三個(gè)同學(xué)太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，應(yīng)該把水龍頭關(guān)上。

乙：上次我去廁所看見(jiàn)水龍頭沒(méi)關(guān)就主動(dòng)關(guān)上了。

主持人：我們給他鼓鼓掌，今后你們發(fā)現(xiàn)水龍頭沒(méi)關(guān)會(huì)怎樣做呢？

齊：主動(dòng)關(guān)好。

小記者：同學(xué)們，你們好！我想打擾一下，聽(tīng)說(shuō)你們正在開(kāi)班會(huì)，我想采訪一下，行嗎？

主持人：可以。

小記者：這位同學(xué)，你好！通過(guò)參加今天的班會(huì)你有什么想法，請(qǐng)談?wù)労脝幔?/p>

答：我要做節(jié)水的主人，不浪費(fèi)一滴水。

小記者：請(qǐng)這位同學(xué)談?wù)労脝幔?/p>

答：今天參加班會(huì)我知道了節(jié)約每一滴水要從我們每個(gè)人做起。我想把每個(gè)廁所都貼上“節(jié)約用水”的字條，這樣就可以提醒同學(xué)們節(jié)約用水了。

小記者：你們談得很好，我的收獲也很大。我還有新任務(wù)先走了，同學(xué)們?cè)僖?jiàn)！

水跑上來(lái)說(shuō)：同學(xué)們，今天我很高興，我“水伯伯”今天很開(kāi)心，你們知道了有了我就有了生命的源泉，請(qǐng)你們今后一定節(jié)約用水呀！讓人類和動(dòng)物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你們還有發(fā)言的嗎？

答：有。

生：我代表人們謝謝你，水伯伯，節(jié)約用水就等于保護(hù)我們?nèi)祟愖约骸?/p>

動(dòng)物：小熊上場(chǎng)說(shuō)：我代表動(dòng)物家族謝謝你了，我們也會(huì)保護(hù)你的！

花草樹(shù)木跑上場(chǎng)說(shuō)：我們也不會(huì)忘記你的貢獻(xiàn)！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同學(xué)們的笑聲不斷。

主持人：水伯伯，您這是干什么呢？

水伯伯：因?yàn)槲姨?/p>