定積分練習(xí)題

1．a(chǎn)＝eq\i\in(0,2,)xdx，b＝eq\i\in(0,2,)exdx，c＝eq\i\in(0,2,)sinxdx，那么a、b、c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<c<bB．a(chǎn)<b<cC．c<b<aD．c<a<b2．由曲線y＝x2，y＝x3圍成的封閉圖形面積為()A.eq\f(1,12)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(7,12)3.設(shè)點(diǎn)P在曲線y＝x2上從原點(diǎn)到A(2,4)移動(dòng)，如果把由直線OP，直線y＝x2及直線x＝2所圍成的面積分別記作S1，S2.如下圖，當(dāng)S1＝S2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(16,9)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(16,9)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(15,7)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(13,7)))4．由三條直線x＝0、x＝2、y＝0和曲線y＝x3所圍成的圖形的面積為()A．4B.eq\f(4,3)C.eq\f(18,5)D．65．eq\i\in(,1,)－1(sinx＋1)dx的值為()A．0B．2C．2＋2cos1D．2－2cos16．曲線y＝cosx(0≤x≤2π)與直線y＝1所圍成的圖形面積是()A．2πB．3πC.eq\f(3π,2)D．π7．函數(shù)F(x)＝eq\i\in(0,x,)t(t－4)dt在[－1,5]上()A．有最大值0，無(wú)最小值B．有最大值0和最小值－eq\f(32,3)C．有最小值－eq\f(32,3)，無(wú)最大值D．既無(wú)最大值也無(wú)最小值8．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋n，函數(shù)f(x)＝eq\i\in(1,x,)eq\f(1,t)dt，假設(shè)f(x)<a3，那么x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)，＋∞))B．(0，e21)C．(e－11，e)D．(0，e11)9.如下圖，在一個(gè)長(zhǎng)為π，寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線y＝sinx(0≤x≤π)與x軸圍成如下圖的陰影局部，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在矩形OABC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的)，那么所投的點(diǎn)落在陰影局部的概率是()A.eq\f(1,π)B.eq\f(2,π)C.eq\f(3,π)D.eq\f(π,4)10.函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2－2≤x<0,2cosx0≤x≤\f(π,2)))的圖象與x軸所圍成的圖形面積S為()A.eq\f(3,2)B．1C．4D.eq\f(1,2)11.設(shè)函數(shù)f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函數(shù)g(x)＝－eq\f(x,3)，f(x)在區(qū)間(0,2)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為m，f(x)與g(x)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為n，那么eq\i\in(m,n,)g(x)dx的值是()A．－eq\f(5,2)B．－eq\f(4,3)C．－eq\f(5,4)D．－eq\f(7,6)12．正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別為O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲線y＝x2(x≥0)與x軸，直線x＝1構(gòu)成區(qū)域M，現(xiàn)將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)地投入正方形中，那么質(zhì)點(diǎn)落在區(qū)域M內(nèi)的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,5)二、填空題13．函數(shù)f(x)＝3x2＋2x＋1，假設(shè)eq\i\in(,1,)－1f(x)dx＝2f(a)成立，那么a＝________.14．拋物線y2＝2x與直線y＝4－x圍成的平面圖形的面積為_(kāi)_______．16．拋物線y2＝ax(a>0)與直線x＝1圍成的封閉圖形的面積為eq\f(4,3)，假設(shè)直線l與拋物線相切且平行于直線2x－y＋6＝0，那么l的方程為_(kāi)_____．17函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的圖象如下圖，它與x軸在原點(diǎn)處相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍成區(qū)域(圖中陰影局部)的面積為eq\f(1,12)，那么a的值為_(kāi)_______．18．如下圖，在區(qū)間[0,1]上給定曲線y＝x2，試在此區(qū)間內(nèi)確定t的值，使圖中陰影局部的面積S1＋S2最?。?、選擇題1．設(shè)a＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x－eq\f(1,3)dx，b＝1－eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))xeq\f(1,2)dx，c＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x3dx，那么a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>cB．b>a>cC．a(chǎn)>c>bD．b>c>a解析：由題意可得a＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x－eq\f(1,3)dx＝eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝eq\f(3,2)xeq\f(2,3)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝eq\f(3,2)；b＝1－eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))xeq\f(1,2)dx＝1－eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－0))＝eq\f(1,3)；c＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x3dx＝eq\f(x4,4)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝eq\f(1,4)，綜上a>b>c，應(yīng)選A.答案：A2．函數(shù)y＝(cost＋t2＋2)dt(x>0)()A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù) D．以上都不正確解析：y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sint＋\f(t3,3)＋2t))＝2sinx＋eq\f(2x3,3)＋4x，為奇函數(shù)．答案：A3．假設(shè)函數(shù)f(x)＝，那么f(2012)＝()A．1 B．2C.eq\f(4,3)D.eq\f(5,3)解析：依題意得，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝2x＋eq\f(1,3)sin3t＝2x＋eq\f(1,3)，故f(2012)＝f(4×503)＝f(0)＝20＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，選C.答案：C4．由曲線y＝eq\r(x)與直線x＝1，x＝4及x軸所圍成的封閉圖形的面積為()A.eq\f(14,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(10,3)D.eq\f(16,3)解析：所求的封閉圖形的面積為S＝eq\a\vs4\al(\i\in(1,4,))eq\r(x)dx＝eq\f(2,3)xeq\f(3,2)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(4,1)))＝eq\f(14,3).答案：A5.設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0，1]，,2－x，x∈1，2]，))那么eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))f(x)dx＝()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,6) D．不存在解析：eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))f(x)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x2dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))(2－x)dx＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)x2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(2,1))).＝eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－2－2＋\f(1,2)))＝eq\f(5,6).答案：C7．曲線y＝eq\f(1,x)＋2x＋2e2x，直線x＝1，x＝e和x軸所圍成的區(qū)域的面積是________．解析：由題意得，所求面積為eq\a\vs4\al(∫\o\al(e,1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋2x＋2e2x))dx＝eq\a\vs4\al(∫\o\al(e,1))eq\f(1,x)dx＋eq\a\vs4\al(∫\o\al(e,1))2xdx＋eq\a\vs4\al(∫\o\al(e,1))2e2xdx＝lnxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(e,1)))＋x2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(e,1)))＋e2xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(e,1)))＝(1－0)＋(e2－1)＋(e2e－e2)＝e2e.答案：e2e8.圖中陰影局部的面積等于________．解析：所求面積為eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))3x2dx＝x3eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝1.答案：19.如圖，矩形ABCD內(nèi)的陰影局部是由曲線f(x)＝2x2－2x與直線y＝2x圍成的，現(xiàn)向矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，那么該點(diǎn)落在陰影局部的概率為_(kāi)_______．解析：因?yàn)榍€f(x)＝2x2－2x與直線y＝2x的交點(diǎn)為(0,0)和(2,4)，曲線f(x)＝2x2－2x與x軸的交點(diǎn)為(0,0)和(1,0)，其頂點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，所以矩形ABCD的面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,2)))×2＝9，陰影局部的面積為eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))(2x－2x2＋2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(2,3)x3))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(2,0)))＝eq\f(8,3)，所以該點(diǎn)落在陰影局部的概率為eq\f(\f(8,3),9)＝eq\f(8,27).答案：eq\f(8,27)10．求曲線y＝eq\r(x)，y＝2－x，y＝－eq\f(1,3)x所圍成圖形的面積．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，,y＝2－x，))得交點(diǎn)A(1,1)；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2－x，,y＝－\f(1,3)x，))得交點(diǎn)B(3，－1)．故所求面積S＝eq\i\in(0,1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,3)x))dx＋eq\i\in(1,3,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－x＋\f(1,3)x))dx＝eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1,0))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,3)x2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(3,1))＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,6)＋eq\f(4,3)＝eq\f(13,6).11.(2023年大慶模擬)如圖求由兩條曲線y＝－x2，y＝－eq\f(1,4)x2及直線y＝－1所圍成的圖形的面積．解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x2，,y＝－1，))得交點(diǎn)A(－1，－1)，B(1，－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4)x2，,y＝－1，))得交點(diǎn)C(－2，－1)，D(2，－1)．∴所求面積S＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(∫\o\al(1,0)－\f(1,4)x2＋x2dx＋\i\in(1,2,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)x2＋1))dx))＝eq\f(4,3).12．(能力提升)如下圖，直線y＝kx分拋物線y＝x－x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩局部，求k的值．解析：拋物線y＝x－x2與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1＝0，x2＝1，所以，拋物線與x軸所圍圖形的面積S＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))(x－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)－\f(1,3)x3))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝eq\f(1,6).又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－x2，,y＝kx，))由此可得，拋物線y＝x－x2與y＝kx兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x3＝0，x4＝1－k，所以，eq\f(S,2)＝eq\a\vs4\al(∫\o\al(1－k,0))(x－x2－kx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－k,2)x2－\f(1,3)x3))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1－k,0)))＝eq\f(1,6)(1－k)3.又知S＝eq\f(1,6)，所以(1－k)3＝eq\f(1,2)，于是k＝1－eq\r(3,\f(1,2))＝1－eq\f(\r(3,4),2).2．由曲線y＝3－x2與直線2x＋y＝0所圍成的圖形的面積為_(kāi)_______．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3－x2,2x＋y＝0))，消去y得：x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.所以曲線y＝3－x2與直線2x＋y＝0的交點(diǎn)為A(3，－6)，B(－1,2)．故圍成的圖形即為圖中的陰影局部，其面積為[(3－x2)－(－2x)]dx＝(－x2＋2x＋3)dx＝(－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(3,－1)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)×33＋32＋3×3))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)×－13＋－12＋3×－1))＝9＋eq\f(5,3)＝eq\f(32,3).答案：eq\f(32,3)高二數(shù)學(xué)微積分練習(xí)題一、選擇題：1．自由落體運(yùn)動(dòng)的速率，那么落體運(yùn)動(dòng)從到所走的路程為〔〕 A．B． C． D．[解析]要學(xué)生理解微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用，可用來(lái)求路程、位移、功2、如圖，陰影局部的面積是 A．B． C．D．[解析]讓學(xué)生理解利用微積分求曲邊形的面積3、假設(shè)，且a＞1，那么a的值為〔〕 A．6 B。4 C。3 D。[解析]4、用S表示圖中陰影局部的面積，那么S的值是()A．eq\i\in(a,c,)f(x)dxB．|eq\i\in(a,c,)f(x)dx|C．eq\i\in(a,b,)f(x)dx＋eq\i\in(b,c,)f(x)dxD．eq\i\in(b,c,)f(x)dx－eq\i\in(a,b,)f(x)dx5、f(x)為偶函數(shù)且eq\i\in(0,6,)f(x)dx＝8，那么eq\i\in(-6,6,)f(x)dx等于()A．0B．4C．6、函數(shù)y＝eq\i\in(-x,x,)(cost＋t2＋2)dt(x>0)()A．是奇函數(shù)B．是偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．以上都不正確7、函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1(－1≤x<0),cosx(0≤x≤\f(π,2))))的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為()A.eq\f(3,2)B．1C．2D.eq\f(1,2)8、eq\i\in(0,3,)|x2－4|dx＝()A.eq\f(21,3)B.eq\f(22,3)C.eq\f(23,3)D.eq\f(25,3)二、填空題：9．曲線，所圍成的圖形的面積可用定積分表示為．10．由及軸圍成的介于0與2π之間的平面圖形的面積，利用定積分應(yīng)表達(dá)為．11、假設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為eq\f(2,3)，且a4＝eq\i\in(1,4,)(1＋2x)dx，那么公比等于____．12、.函數(shù)f(x)＝3x2＋2x＋1，假設(shè)eq\i\in(-1,1,)f(x)dx＝2f(a)成立，那么a＝____