定解條件和定解問題

定解條件和定解問題含有未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方程叫偏微分方程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。方程的分?jǐn)?shù)是1的稱為方程式，個(gè)數(shù)多于1的叫做方程組。方程〔組〕中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為方程〔組〕的階數(shù)。如果方程〔組〕中的項(xiàng)關(guān)于未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)的整體來講是線性的，就稱方程〔組〕為線性的，否那么就稱為非線性的。非線性又分為半線性、擬線性和完全非線性。定解條件給定一個(gè)常微分方程，有通解和特解的概念。通解只要求滿足方程，即滿足某種物理定律，而不能完全確定一個(gè)物理狀態(tài)。特解除了要求滿足方程還要滿足給定的外加〔特殊〕條件。對(duì)偏微分方程也是如此，換句話說，只有偏微分方程還缺乏以確定一個(gè)物理量隨空間和時(shí)間的變化規(guī)律，因?yàn)樵谔囟ㄇ闆r下這個(gè)物理量還與它的初始狀態(tài)和它在邊界受到的約束有關(guān)。描述初始時(shí)刻的物理狀態(tài)和邊界的約束情況，在數(shù)學(xué)上分別稱為初始條件〔或初值條件〕和邊界條件〔或邊值條件〕，他們統(tǒng)稱為定解條件。初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件，即描述物理過程初始狀態(tài)的數(shù)學(xué)條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件，即描述物理過程邊界狀態(tài)的數(shù)學(xué)條件。定解條件：初始條件和邊界條件的統(tǒng)稱。非穩(wěn)態(tài)問題：定解條件包括初始條件和邊界條件。穩(wěn)態(tài)問題：定解條件為邊界條件。1、弦振動(dòng)方程()初始條件是指初始時(shí)刻〔〕弦的位移和速度。假設(shè)以，分別表示弦上任意點(diǎn)的初始位移和初始速度，那么初始條件為：邊界條件是指弦在兩端點(diǎn)的約束情況，一般有三種類型?！?〕第一類邊界條件〔狄利克雷(Dirichlet〕邊界條件〕:端點(diǎn)處弦的位移是，那么邊界條件為：或當(dāng)時(shí)，表示在該點(diǎn)處弦是固定的?！?〕第二類邊界條件〔諾伊曼〔Neumann〕邊界條件〕：端點(diǎn)弦所受的垂直于弦線的外力或，那么邊界條件為：或當(dāng)，表示弦在端點(diǎn)處自由滑動(dòng)。〔3〕第三類邊界條件〔混合邊界條件或羅賓〔Robin〕邊界條件：端點(diǎn)處弦的位移和所受的垂直于弦線的外力的和：或，其中表示兩端支承的彈性系數(shù)，當(dāng)時(shí)，表示弦在該端點(diǎn)處被固定在一個(gè)彈性支承上。2、熱傳導(dǎo)方程〔初始條件是指初始時(shí)刻物體內(nèi)的溫度分布情況。式中φ(x,y,z)為函數(shù)，表示溫度在初始時(shí)刻的分布。邊界條件是指邊界上溫度受周圍介質(zhì)的影響情況，可分為三種。第一類邊界條件：介質(zhì)外表溫度式中，p為邊界面上的點(diǎn)?！?〕第二類邊界條件：通過介質(zhì)外表單位面積的熱流量己知?！?〕第三類邊界條件：邊界面與周圍空間的熱量交換規(guī)律由熱量守恒定律可知，這個(gè)熱量等于單位時(shí)間內(nèi)流過單位面積上的熱量。3、位勢(shì)方程〔泊松方程或拉普拉斯方程〕對(duì)于穩(wěn)態(tài)問題，變量不隨時(shí)間發(fā)生變化。定解條件不含初始條件，只有邊界條件。第一邊值問題，狄利克萊問題〔狄氏問題〕第二邊值問題，牛曼問題第三邊值問題〔混合問題〕魯賓問題定解問題一個(gè)方程匹配上定解條件就構(gòu)成定解問題。對(duì)于定解問題，通常由于定解條件的差異有下面的三種提法：=1\*GB3①偏微分方程〔泛定方程〕+初始條件+邊界條件，稱為初邊值問題或混合問題；=2\*GB3②偏微分方程〔泛定方程〕+初始條件，稱為初值問題或柯西問題；=3\*GB3③偏微分方程〔泛定方程〕邊界條件，稱為邊值問題。在一個(gè)偏微分方程的定解問題中，把不含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，稱為自由項(xiàng)。如果方程中的自由項(xiàng)為零，那么稱方程為齊次方程，否那么就稱為非齊次方程。如果邊界條件中的自由項(xiàng)為零，那么稱邊界條件為齊次邊界條件，否那么就稱為非齊次邊界條件。例如，對(duì)于弦振動(dòng)方程，當(dāng)外力等于零時(shí)，方程就變?yōu)辇R次方程，此時(shí)也稱它為弦的自由振動(dòng)方程；當(dāng)弦的兩端固定時(shí)，邊界條件就是齊次邊界條件。例題1、長(zhǎng)為l的弦，兩端固定于0和l。在中點(diǎn)位置將弦沿著橫向拉開距離h，如下圖，然后放手任其振動(dòng)，試寫出初始條件。lxl/2h解：初始時(shí)刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有初始位移2、