小升初奧數(shù)講義打印版答案

工程問題1、甲乙兩個(gè)水管單獨(dú)開，注滿一池水，分別需要20小時(shí)，16小時(shí).丙水管單獨(dú)開，排一池水要10小時(shí)，假設(shè)水池沒水，同時(shí)翻開甲乙兩水管，5小時(shí)后，再翻開排水管丙，問水池注滿還是要多少小時(shí)？【解析：】1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率9/80×5＝45/80表示5小時(shí)后進(jìn)水量1-45/80＝35/80表示還要的進(jìn)水量35/80÷〔9/80-1/10〕＝35表示還要35小時(shí)注滿答：5小時(shí)后還要35小時(shí)就能將水池注滿。2、修一條水渠，單獨(dú)修，甲隊(duì)需要20天完成，乙隊(duì)需要30天完成。如果兩隊(duì)合作，由于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊(duì)的工作效率是原來的五分之四，乙隊(duì)工作效率只有原來的十分之九?，F(xiàn)在方案16天修完這條水渠，且要求兩隊(duì)合作的天數(shù)盡可能少，那么兩隊(duì)要合作幾天？【解析：】由題意得，甲的工效為1/20，乙的工效為1/30，甲乙的合作工效為1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。又因?yàn)椋蟆皟申?duì)合作的天數(shù)盡可能少〞，所以應(yīng)該讓做的快的甲多做，16天內(nèi)實(shí)在來不及的才應(yīng)該讓甲乙合作完成。只有這樣才能“兩隊(duì)合作的天數(shù)盡可能少〞。設(shè)合作時(shí)間為x天，那么甲獨(dú)做時(shí)間為〔16-x〕天1/20*〔16-x〕+7/100*x＝1x＝10答：甲乙最短合作10天3、一件工作，甲、乙合做需4小時(shí)完成，乙、丙合做需5小時(shí)完成?，F(xiàn)在先請(qǐng)甲、丙合做2小時(shí)后，余下的乙還需做6小時(shí)完成。乙單獨(dú)做完這件工作要多少小時(shí)？【解析：】由題意知，1/4表示甲乙合作1小時(shí)的工作量，1/5表示乙丙合作1小時(shí)的工作量〔1/4+1/5〕×2＝9/10表示甲做了2小時(shí)、乙做了4小時(shí)、丙做了2小時(shí)的工作量。根據(jù)“甲、丙合做2小時(shí)后，余下的乙還需做6小時(shí)完成〞可知甲做2小時(shí)、乙做6小時(shí)、丙做2小時(shí)一共的工作量為1。所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小時(shí)的工作量。1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。1÷1/20＝20小時(shí)表示乙單獨(dú)完成需要20小時(shí)。答：乙單獨(dú)完成需要20小時(shí)。4、一項(xiàng)工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪流做，那么恰好用整數(shù)天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交替輪流做，那么完工時(shí)間要比前一種多半天。乙單獨(dú)做這項(xiàng)工程需17天完成，甲單獨(dú)做這項(xiàng)工程要多少天完成？【解析：】由題意可知1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝11/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1〔1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后結(jié)束必須如上所示，否那么第二種做法就不比第一種多0.5天〕1/甲＝1/乙+1/甲×0.5〔因?yàn)榍懊娴墓ぷ髁慷枷嗟取车玫?/甲＝1/乙×2又因?yàn)?/乙＝1/17所以1/甲＝2/17，甲等于17÷2＝8.5天5、師徒倆人加工同樣多的零件。當(dāng)師傅完成了1/2時(shí)，徒弟完成了120個(gè)。當(dāng)師傅完成了任務(wù)時(shí)，徒弟完成了4/5這批零件共有多少個(gè)？【解析：】答案為300個(gè)120÷〔4/5÷2〕＝300個(gè)可以這樣想：師傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，兩次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，剛好是120個(gè)。6、一批樹苗，如果分給男女生栽，平均每人栽6棵；如果單份給女生栽，平均每人栽10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？【解析：】答案是15棵算式：1÷〔1/6-1/10〕＝15棵7．一個(gè)池上裝有3根水管。甲管為進(jìn)水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完，丙管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完?，F(xiàn)在先翻開甲管，當(dāng)水池水剛溢出時(shí)，翻開乙,丙兩管用了18分鐘放完，當(dāng)翻開甲管注滿水是，再翻開乙管，而不開丙管，多少分鐘將水放完？【解析：】答案45分鐘。1÷〔1/20+1/30〕＝12表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鐘數(shù)。1/12*〔18-12〕＝1/12*6＝1/2表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水，也就是甲18分鐘進(jìn)的水。1/2÷18＝1/36表示甲每分鐘進(jìn)水最后就是1÷〔1/20-1/36〕＝45分鐘。8、某工程隊(duì)需要在規(guī)定日期內(nèi)完成，假設(shè)由甲隊(duì)去做，恰好如期完成，假設(shè)乙隊(duì)去做，要超過規(guī)定日期三天完成，假設(shè)先由甲乙合作二天，再由乙隊(duì)單獨(dú)做，恰好如期完成，問規(guī)定日期為幾天？【解析：】答案為6天解：由“假設(shè)乙隊(duì)去做，要超過規(guī)定日期三天完成，假設(shè)先由甲乙合作二天，再由乙隊(duì)單獨(dú)做，恰好如期完成，〞可知：乙做3天的工作量＝甲2天的工作量即：甲乙的工作效率比是3：2甲、乙分別做全部的的工作時(shí)間比是2：3時(shí)間比的差是1份實(shí)際時(shí)間的差是3天所以3÷〔3-2〕×2＝6天，就是甲的時(shí)間，也就是規(guī)定日期方程方法：[1/x+1/〔x+2〕]×2+1/〔x+2〕×〔x-2〕＝1解得x＝69、兩根同樣長(zhǎng)的蠟燭，點(diǎn)完一根粗蠟燭要2小時(shí)，而點(diǎn)完一根細(xì)蠟燭要1小時(shí)，一天晚上停電，小芳同時(shí)點(diǎn)燃了這兩根蠟燭看書，假設(shè)干分鐘后來點(diǎn)了，小芳將兩支蠟燭同時(shí)熄滅，發(fā)現(xiàn)粗蠟燭的長(zhǎng)是細(xì)蠟燭的2倍，問：停電多少分鐘？【解析：】答案為40分鐘。解：設(shè)停電了x分鐘根據(jù)題意列方程1-1/120*x＝〔1-1/60*x〕*2解得x＝40雞兔同籠問題沒有答案數(shù)字?jǐn)?shù)位問題1、把1至2005這2005個(gè)自然數(shù)依次寫下來得到一個(gè)多位數(shù)123456789.....2005,這個(gè)多位數(shù)除以9余數(shù)是多少?【解析：】首先研究能被9整除的數(shù)的特點(diǎn)：如果各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個(gè)數(shù)也能被9整除；如果各個(gè)位數(shù)字之和不能被9整除，那么得的余數(shù)就是這個(gè)數(shù)除以9得的余數(shù)。解題：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除依次類推：1~1999這些數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字之和可以被9整除10~19，20~29……90~99這些數(shù)中十位上的數(shù)字都出現(xiàn)了10次，那么十位上的數(shù)字之和就是10+20+30+……+90=450它有能被9整除同樣的道理，100~900百位上的數(shù)字之和為4500同樣被9整除也就是說1~999這些連續(xù)的自然數(shù)的各個(gè)位上的數(shù)字之和可以被9整除；從1000~1999千位上一共999個(gè)“1〞的和是999，也能整除；最后答案為余數(shù)為0。2、A和B是小于100的兩個(gè)非零的不同自然數(shù)。求A+B分之A-B的最小值...【解析：】(A-B)/(A+B)=(A+B-2B)/(A+B)=1-2*B/(A+B)前面的1不會(huì)變了，只需求后面的最小值，此時(shí)(A-B)/(A+B)最大。對(duì)于B/(A+B)取最小時(shí)，(A+B)/B取最大，問題轉(zhuǎn)化為求(A+B)/B的最大值。(A+B)/B=1+A/B，最大的可能性是A/B=99/1(A+B)/B=100(A-B)/(A+B)的最大值是：98/1003、A.B.C都是非0自然數(shù),A/2+B/4+C/16的近似值市6.4,那么它的準(zhǔn)確值是多少?【解析：】答案為6.375或6.4375因?yàn)锳/2+B/4+C/16＝8A+4B+C/16≈6.4，所以8A+4B+C≈102.4，由于A、B、C為非0自然數(shù)，因此8A+4B+C為一個(gè)整數(shù)，可能是102，也有可能是103。當(dāng)是102時(shí)，102/16＝6.375當(dāng)是103時(shí)，103/16＝6.43754、一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字之和是17.其中十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大1.如果把這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào),得到一個(gè)新的三位數(shù),那么新的三位數(shù)比原三位數(shù)大198,求原數(shù).【解析：】答案為476解：設(shè)原數(shù)個(gè)位為a，那么十位為a+1，百位為16-2a根據(jù)題意列方程100a+10a+16-2a－100〔16-2a〕-10a-a＝198解得a＝6，那么a+1＝716-2a＝4答：原數(shù)為476。5、一個(gè)兩位數(shù),在它的前面寫上3,所組成的三位數(shù)比原兩位數(shù)的7倍多24,求原來的兩位數(shù).【解析：】答案為24解：設(shè)該兩位數(shù)為a，那么該三位數(shù)為300+a7a+24＝300+aa＝24答：該兩位數(shù)為24。6、把一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù),它與原數(shù)相加,和恰好是某自然數(shù)的平方,這個(gè)和是多少?【解析：】答案為121解：設(shè)原兩位數(shù)為10a+b，那么新兩位數(shù)為10b+a它們的和就是10a+b+10b+a＝11〔a+b〕因?yàn)檫@個(gè)和是一個(gè)平方數(shù)，可以確定a+b＝11因此這個(gè)和就是11×11＝121答：它們的和為121。7、一個(gè)六位數(shù)的末位數(shù)字是2,如果把2移到首位,原數(shù)就是新數(shù)的3倍,求原數(shù).【解析：】答案為85714解：設(shè)原六位數(shù)為abcde2，那么新六位數(shù)為2abcde〔字母上無法加橫線，請(qǐng)將整個(gè)看成一個(gè)六位數(shù)〕再設(shè)abcde〔五位數(shù)〕為x，那么原六位數(shù)就是10x+2，新六位數(shù)就是200000+x根據(jù)題意得，〔200000+x〕×3＝10x+2解得x＝85714所以原數(shù)就是857142答：原數(shù)為8571428、有一個(gè)四位數(shù),個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字的和是12,十位數(shù)字與千位數(shù)字的和是9,如果個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字互換,千位數(shù)字與十位數(shù)字互換,新數(shù)就比原數(shù)增加2376,求原數(shù).【解析：】答案為3963解：設(shè)原四位數(shù)為abcd，那么新數(shù)為cdab，且d+b＝12，a+c＝9根據(jù)“新數(shù)就比原數(shù)增加2376〞可知abcd+2376=cdab,列豎式便于觀察abcd2376cdab根據(jù)d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。再觀察豎式中的個(gè)位，便可以知道只有當(dāng)d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4時(shí)成立。先取d＝3，b＝9代入豎式的百位，可以確定十位上有進(jìn)位。根據(jù)a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。再觀察豎式中的十位，便可知只有當(dāng)c＝6，a＝3時(shí)成立。再代入豎式的千位，成立。得到：abcd＝3963再取d＝8，b＝4代入豎式的十位，無法找到豎式的十位適宜的數(shù)，所以不成立。9、有一個(gè)兩位數(shù),如果用它去除以個(gè)位數(shù)字,商為9余數(shù)為6,如果用這個(gè)兩位數(shù)除以個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和,那么商為5余數(shù)為3,求這個(gè)兩位數(shù).【解析：】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為ab10a+b＝9b+610a+b＝5〔a+b〕+3化簡(jiǎn)得到一樣：5a+4b＝3由于a、b均為一位整數(shù)得到a＝3或7，b＝3或8原數(shù)為33或78均可以10、如果現(xiàn)在是上午的10點(diǎn)21分,那么在經(jīng)過28799...99(一共有20個(gè)9)分鐘之后的時(shí)間將是幾點(diǎn)幾分?【解析：】答案是10：20解：〔28799……9〔20個(gè)9〕+1〕/60/24整除，表示正好過了整數(shù)天，時(shí)間仍然還是10：21，因?yàn)槭孪扔?jì)算時(shí)加了1分鐘，所以現(xiàn)在時(shí)間是10：20排列組合問題1、有五對(duì)夫婦圍成一圈，使每一對(duì)夫婦的夫妻二人動(dòng)相鄰的排法有〔〕A768種B32種C24種D2的10次方中【解析：】根據(jù)乘法原理，分兩步：第一步是把5對(duì)夫妻看作5個(gè)整體，進(jìn)行排列有5×4×3×2×1＝120種不同的排法，但是因?yàn)槭菄梢粋€(gè)首尾相接的圈，就會(huì)產(chǎn)生5個(gè)5個(gè)重復(fù)，因此實(shí)際排法只有120÷5＝24種。第二步每一對(duì)夫妻之間又可以相互換位置，也就是說每一對(duì)夫妻均有2種排法，總共又2×2×2×2×2＝32種綜合兩步，就有24×32＝768種。2、假設(shè)把英語(yǔ)單詞hello的字母寫錯(cuò)了,那么可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有()A119種B36種C59種D48種【解析：】5全排列5*4*3*2*1=120有兩個(gè)l所以120/2=60原來有一種正確的所以60-1=593、小新、阿呆等七個(gè)同學(xué)照像，分別求出在以下條件下有多少種站法？〔1〕七個(gè)人排成一排；〔2〕七個(gè)人排成一排，小新必須站在中間.〔3〕七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間.〔4〕七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊.〔5〕七個(gè)人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上.〔6〕七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.〔7〕七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排?！窘馕觯骸俊?〕〔種〕?！?〕只需排其余6個(gè)人站剩下的6個(gè)位置．〔種〕.〔3〕先確定中間的位置站誰(shuí)，冉排剩下的6個(gè)位置．2×=1440(種)．〔4〕先排兩邊，再排剩下的5個(gè)位置，其中兩邊的小新和阿呆還可以互換位置．(種)．〔5〕先排兩邊，從除小新、阿呆之外的5個(gè)人中選2人，再排剩下的5個(gè)人，〔種〕.〔6〕七個(gè)人排成一排時(shí)，7個(gè)位置就是各不相同的．現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個(gè)人，7個(gè)位置還是各不相同的，所以此題實(shí)質(zhì)就是7個(gè)元素的全排列．〔種〕.〔7〕可以分為兩類情況：“小新在前，阿呆在后〞和“小新在前，阿呆在后〞，兩種情況是對(duì)等的，所以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以2即可．4×3××2=2880(種)．排隊(duì)問題，一般先考慮特殊情況再去全排列。4、用1、2、3、4、5、6可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的個(gè)位是5的三位數(shù)？【解析：】個(gè)位數(shù)字，問題變成從從個(gè)元素中取個(gè)元素的排列問題，，，根據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成(個(gè))符合題意的三位數(shù)。5、用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)比大且百位數(shù)字不是的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？可以分兩類來看：⑴把3排在最高位上，其余4個(gè)數(shù)可以任意放到其余4個(gè)數(shù)位上，是4個(gè)元素全排列的問題，有(種)放法，對(duì)應(yīng)24個(gè)不同的五位數(shù)；⑵把2，4，5放在最高位上，有3種選擇，百位上有除已確定的最高位數(shù)字和3之外的3個(gè)數(shù)字可以選擇，有3種選擇，其余的3個(gè)數(shù)字可以任意放到其余3個(gè)數(shù)位上，有種選擇．由乘法原理，可以組成(個(gè))不同的五位數(shù)。由加法原理，可以組成(個(gè))不同的五位數(shù)。6、用0到9十個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；假設(shè)將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，那么5687是第幾個(gè)數(shù)？從高位到低位逐層分類：⑴千位上排，，或時(shí)，千位有種選擇，而百、十、個(gè)位可以從中除千位已確定的數(shù)字之外的個(gè)數(shù)字中選擇，因?yàn)閿?shù)字不重復(fù)，也就是從個(gè)元素中取個(gè)的排列問題，所以百、十、個(gè)位可有(種)排列方式．由乘法原理，有(個(gè))．⑵千位上排，百位上排時(shí)，千位有種選擇，百位有種選擇，十、個(gè)位可以從剩下的八個(gè)數(shù)字中選擇．也就是從個(gè)元素中取個(gè)的排列問題，即，由乘法原理，有(個(gè))．⑶千位上排，百位上排，十位上排，，，，，時(shí)，個(gè)位也從剩下的七個(gè)數(shù)字中選擇，有(個(gè))．⑷千位上排，百位上排，十位上排時(shí)，比小的數(shù)的個(gè)位可以選擇，，，，共個(gè)．綜上所述，比小的四位數(shù)有(個(gè))，故比小是第個(gè)四位數(shù)．7、用、、、、這五個(gè)數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個(gè)3的倍數(shù)？【解析：】按位數(shù)來分類考慮：⑴一位數(shù)只有個(gè)；⑵兩位數(shù)：由與，與，與，與四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個(gè))不同的兩位數(shù)，共可組成(個(gè))不同的兩位數(shù)；⑶三位數(shù)：由，與；，與；，與；，與四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個(gè))不同的三位數(shù)，共可組成(個(gè))不同的三位數(shù)；⑷四位數(shù)：可由，，，這四個(gè)數(shù)字組成，有(個(gè))不同的四位數(shù)；⑸五位數(shù)：可由，，，，組成，共有(個(gè))不同的五位數(shù)．由加法原理，一共有(個(gè))能被整除的數(shù)，即的倍數(shù)．8、用1、2、3、4、5、6六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)不同的偶數(shù)？【解析：】由于組成偶數(shù)，個(gè)位上的數(shù)應(yīng)從，，中選一張，有種選法；十位和百位上的數(shù)可以從剩下的張中選二張，有(種)選法．由乘法原理，一共可以組成(個(gè))不同的偶數(shù)．9、某管理員忘記了自己小保險(xiǎn)柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個(gè)非數(shù)碼組成，且四個(gè)數(shù)碼之和是，那么確保翻開保險(xiǎn)柜至少要試幾次？【解析：】四個(gè)非數(shù)碼之和等于9的組合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六種。第一種中，可以組成多少個(gè)密碼呢？只要考慮的位置就可以了，可以任意選擇個(gè)位置中的一個(gè)，其余位置放，共有種選擇；第二種中，先考慮放，有種選擇，再考慮的位置，可以有種選擇，剩下的位置放，共有(種)選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各有種選擇．最后一種，與第一種的情形相似，的位置有種選擇，其余位置放，共有種選擇．綜上所述，由加法原理，一共可以組成(個(gè))不同的四位數(shù)，即確保能翻開保險(xiǎn)柜至少要試次．10、兩對(duì)三胞胎喜相逢，他們圍坐在桌子旁，要求每個(gè)人都不與自己的同胞兄妹相鄰，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少種不同的坐法？第一個(gè)位置在個(gè)人中任選一個(gè)，有(種)選法，第二個(gè)位置在另一胞胎的人中任選一個(gè)，有(種)選法．同理，第，，，個(gè)位置依次有，，，種選法．由乘法原理，不同的坐法有(種)。11、在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績(jī)，答復(fù)者對(duì)甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍．〞對(duì)乙說：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的．〞從這個(gè)答復(fù)分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？這道題乍一看不太像是排列問題，這就需要靈活地對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化．仔細(xì)審題，“甲和乙都未拿到冠軍〞，而且“乙不是最差的〞，也就等價(jià)于人排成一排，甲、乙都不站在排頭且乙不站在排尾的排法數(shù)，因?yàn)橐业南拗谱疃啵韵扰乓?，有種排法，再排甲，也有種排法，剩下的人隨意排，有(種)排法．由乘法原理，一共有(種)不同的排法。12、名男生，名女生，全體排成一行，問以下情形各有多少種不同的排法：⑴甲不在中間也不在兩端；⑵甲、乙兩人必須排在兩端；⑶男、女生分別排在一起；⑷男女相間．⑴先排甲，個(gè)位置除了中間和兩端之外的個(gè)位置都可以，有種選擇，剩下的個(gè)人隨意排，也就是個(gè)元素全排列的問題，有(種)選擇．由乘法原理，共有(種)排法．⑵甲、乙先排，有(種)排法；剩下的個(gè)人隨意排，有(種)排法．由乘法原理，共有(種)排法．⑶分別把男生、女生看成一個(gè)整體進(jìn)行排列，有(種)不同排列方法，再分別對(duì)男生、女生內(nèi)部進(jìn)行排列，分別是個(gè)元素與個(gè)元素的全排列問題，分別有(種)和(種)排法．由乘法原理，共有(種)排法．⑷先排名男生，有(種)排法，再把名女生排到個(gè)空檔中，有(種)排法．由乘法原理，一共有(種)排法。13、⑴從1，2，…，8中任取3個(gè)數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個(gè)？〔只要求列式〕⑵從8位候選人中任選三位分別任團(tuán)支書，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法？⑶3位同學(xué)坐8個(gè)座位，每個(gè)座位坐1人，共有幾種坐法？⑷8個(gè)人坐3個(gè)座位，每個(gè)座位坐1人，共有多少種坐法？⑸一火車站有8股車道，停放3列火車，有多少種不同的停放方法？⑹8種不同的菜籽，任選3種種在不同土質(zhì)的三塊土地上，有多少種不同的種法？⑴按順序，有百位、十位、個(gè)位三個(gè)位置，8個(gè)數(shù)字〔8個(gè)元素〕取出3個(gè)往上排，有種．⑵3種職務(wù)3個(gè)位置，從8位候選人〔8個(gè)元素〕任取3位往上排，有種．⑶3位同學(xué)看成是三個(gè)位置，任取8個(gè)座位號(hào)〔8個(gè)元素〕中的3個(gè)往上排〔座號(hào)找人〕，每確定一種號(hào)碼即對(duì)應(yīng)一種坐法，有種．⑷3個(gè)坐位排號(hào)1，2，3三個(gè)位置，從8人中任取3個(gè)往上排〔人找座位〕，有種．⑸3列火車編為1，2，3號(hào)，從8股車道中任取3股往上排，共有種．⑹土地編1，2，3號(hào)，從8種菜籽中任選3種往上排，有種。14、某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個(gè)階段進(jìn)行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個(gè)小組，每組6人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第二階段：將8個(gè)小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成個(gè)小組，每組人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第三階段：由4個(gè)小組產(chǎn)生的個(gè)第名進(jìn)行場(chǎng)半決賽和場(chǎng)決賽，確定至名的名次．問：整個(gè)賽程一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？第一階段中，每個(gè)小組內(nèi)部的個(gè)人每人要賽一場(chǎng)，組內(nèi)賽場(chǎng)，共個(gè)小組，有場(chǎng)；第二階段中，每個(gè)小組內(nèi)部人中每人賽一場(chǎng)，組內(nèi)賽場(chǎng)，共個(gè)小組，有場(chǎng)；第三階段賽場(chǎng)．根據(jù)加法原理，整個(gè)賽程一共有場(chǎng)比賽。15、由數(shù)字1，2，3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1，2，3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有________個(gè)。(2007年“迎春杯〞高年級(jí)組決賽)這是一道組合計(jì)數(shù)問題．由于題目中僅要求，，至少各出現(xiàn)一次，沒有確定，，出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，也可以從反面想，從由組成的五位數(shù)中，去掉僅有個(gè)或個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)即可．(法1)分兩類：⑴，，中恰有一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個(gè))；⑵，，中有兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個(gè))．符合題意的五位數(shù)共有(個(gè))．(法2)從反面想，由，，組成的五位數(shù)共有個(gè)，由，，中的某個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有個(gè)，由，，中的某個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有個(gè)，所以符合題意的五位數(shù)共有(個(gè))。16、個(gè)人圍成一圈，從中選出兩個(gè)不相鄰的人，共有多少種不同選法？(法1)乘法原理．按題意，分別站在每個(gè)人的立場(chǎng)上，當(dāng)自己被選中后，另一個(gè)被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個(gè)人都有種選擇，總共就有種選擇，但是需要注意的是，選擇的過程中，會(huì)出現(xiàn)“選了甲、乙，選了乙、甲〞這樣的情況本來是同一種選擇，而卻算作了兩種，所以最后的結(jié)果應(yīng)該是()(種)．(法2)排除法．可以從所有的兩人組合中排除掉相鄰的情況，總的組合數(shù)為，而被選的兩個(gè)人相鄰的情況有種，所以共有(種)。17、8個(gè)人站隊(duì)，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間〔不一定相鄰〕，小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？冬冬要站在小悅和阿奇的中間，就意味著只要為這三個(gè)人選定了三個(gè)位置，中間的位置就一定要留給冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇．小慧和大智不能相鄰的互補(bǔ)事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，那么可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個(gè)條件的站法總數(shù)為：〔種〕同時(shí)滿足第一、三個(gè)條件，滿足小慧和大智必須相鄰的站法總數(shù)為：〔種〕因此同時(shí)滿足三個(gè)條件的站法總數(shù)為：〔種〕。18、小明有10塊大白兔奶糖,從今天起,每天至少吃一塊.那么他一共有多少種不同的吃法?我們將10塊大白兔奶糖從左至右排成一列,如果在其中9個(gè)間隙中的某個(gè)位置插入“木棍〞,那么將lO塊糖分成了兩局部。我們記從左至右,第1局部是第1天吃的,第2局部是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：○○○○|○○○|○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不難知曉,每一種插入方法對(duì)應(yīng)一種吃法,而9個(gè)間隙,每個(gè)間隙可以插人也可以不插入,且相互獨(dú)立，故共有29=512種不同的插入方法,即512種不同的吃法。19、某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有個(gè)成人和個(gè)兒童要分乘這些游船，為平安起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個(gè)成人陪同，那么他們?nèi)顺俗@三支游船的所有平安乘船方法共有多少種？由于有兒童乘坐的游船上必須至少有個(gè)成人陪同，所以兒童不能乘坐船．⑴假設(shè)這人都不乘坐船，那么恰好坐滿兩船，①假設(shè)兩個(gè)兒童在同一條船上，只能在船上，此時(shí)船上還必須有個(gè)成人，有種方法；②假設(shè)兩個(gè)兒童不在同一條船上，即分別在兩船上，那么船上有個(gè)兒童和個(gè)成人，個(gè)兒童有種選擇，個(gè)成人有種選擇，所以有種方法．故人都不乘坐船有種平安方法；⑵假設(shè)這人中有人乘坐船，這個(gè)人必定是個(gè)成人，有種選擇．其余的個(gè)成人與個(gè)兒童，①假設(shè)兩個(gè)兒童在同一條船上，只能在船上，此時(shí)船上還必須有個(gè)成人，有種方法，所以此時(shí)有種方法；②假設(shè)兩個(gè)兒童不在同一條船上，那么船上有個(gè)兒童和個(gè)成人，此時(shí)個(gè)兒童和個(gè)成人均有種選擇，所以此種情況下有種方法；故人中有人乘坐船有種平安方法．所以，共有種平安乘法．20、從名男生，名女生中選出人參加游泳比賽．在以下條件下，分別有多少種選法？⑴恰有名女生入選；⑵至少有兩名女生入選；⑶某兩名女生，某兩名男生必須入選；⑷某兩名女生，某兩名男生不能同時(shí)入選；⑸某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人。⑴恰有名女生入選，說明男生有人入選，應(yīng)為種；⑵要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選〞和“沒有女生入選〞都不符合要求．運(yùn)用包含與排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：；⑶人必須入選，那么從剩下的人中再選出另外人，有種；⑷從所有的選法種中減去這個(gè)人同時(shí)入選的種：．⑸分三類情況：人無人入選；人僅有人入選；人中有人入選，共：。21、在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各一名，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，按照以下條件各有多少種選派方法？

⑴有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生；

⑵既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生；

⑶至少有一名主任參加；

⑷既有主任，又有外科醫(yī)生。⑴先從名內(nèi)科醫(yī)生中選名，有種選法；再?gòu)拿饪漆t(yī)生中選名，共有種選法．根據(jù)乘法原理，一共有選派方法種．⑵用“去雜法〞較方便，先考慮從名醫(yī)生中任意選派人，有種選派方法；再考慮只有外科醫(yī)生或只有內(nèi)科醫(yī)生的情況．由于外科醫(yī)生只有人，所以不可能只派外科醫(yī)生．如果只派內(nèi)科醫(yī)生，有種選派方法．所以，一共有種既有內(nèi)科醫(yī)生又有外科醫(yī)生的選派方法。⑶如果選名主任，那么不是主任的名醫(yī)生要選人，有種選派方法；如果選名主任，那么不是主任的名醫(yī)生要選人，有種選派方法．根據(jù)加法原理，一共有種選派方法．⑷分兩類討論：①假設(shè)選外科主任，那么其余人可任意選取，有種選取方法；②假設(shè)不選外科主任，那么必選內(nèi)科主任，且剩余人不能全選內(nèi)科醫(yī)生，用“去雜法〞有種選取法．根據(jù)加法原理，一共有種選派方法。22、在10名學(xué)生中，有5人會(huì)裝電腦，有3人會(huì)安裝音響設(shè)備，其余2人既會(huì)安裝電腦，又會(huì)安裝音響設(shè)備，今選派由人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要人，安裝音響設(shè)備要人，共有多少種不同的選人方案？按具有雙項(xiàng)技術(shù)的學(xué)生分類：⑴兩人都不選派，有(種)選派方法；⑵兩人中選派人，有種選法．而針對(duì)此人的任務(wù)又分兩類：假設(shè)此人要安裝電腦，那么還需人安裝電腦，有(種)選法，而另外會(huì)安裝音響設(shè)備的人全選派上，只有種選法．由乘法原理，有(種)選法；假設(shè)此人安裝音響設(shè)備，那么還需從人中選人安裝音響設(shè)備，有(種)選法，需從人中選人安裝電腦，有(種)選法．由乘法原理，有(種)選法．根據(jù)加法原理，有(種)選法；綜上所述，一共有(種)選派方法．⑶兩人全派，針對(duì)兩人的任務(wù)可分類討論如下：①兩人全安裝電腦，那么還需要從人中選人安裝電腦，另外會(huì)安裝音響設(shè)備的人全選上安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案；②兩人一個(gè)安裝電腦，一個(gè)安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案；③兩人全安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案．根據(jù)加法原理，共有(種)選派方案．綜合以上所述，符合條件的方案一共有(種)．23、有11名外語(yǔ)翻譯人員，其中名是英語(yǔ)翻譯員，名是日語(yǔ)翻譯員，另外兩名英語(yǔ)、日語(yǔ)都精通．從中找出人，使他們組成兩個(gè)翻譯小組，其中人翻譯英文，另人翻譯日文，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作．問這樣的分配名單共可以開出多少?gòu)垼酷槍?duì)兩名英語(yǔ)、日語(yǔ)都精通人員(以下稱多面手)的參考情況分成三類：⑴多面手不參加，那么需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇．由乘法原理，有種選擇．⑵多面手中有一人入選，有種選擇，而選出的這個(gè)人又有參加英文或日文翻譯兩種可能：如果參加英文翻譯，那么需從名英語(yǔ)翻譯員中再選出人，有種選擇，需從名日語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇．由乘法原理，有種選擇；如果參加日文翻譯，那么需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語(yǔ)翻譯員中再選知名，有種選擇．由乘法原理，有種選擇．根據(jù)加法原理，多面手中有一人入選，有種選擇．⑶多面手中兩人均入選，對(duì)應(yīng)一種選擇，但此時(shí)又分三種情況：①兩人都譯英文；②兩人都譯日文；③兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種．情況①中，還需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇．需從名日語(yǔ)翻譯員中選人，種選擇．由乘法原理，有種選擇．情況②中，需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇．還需從名日語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇．根據(jù)乘法原理，共有種選擇．情況③中，兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種，有兩種安排即兩種選擇．剩下的需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇．由乘法原理，有種選擇．容斥原理1、有100種赤貧.其中含鈣的有68種,含鐵的有43種,那么,同時(shí)含鈣和鐵的食品種類的最大值和最小值分別是()A43,25B32,25C32,15D43,11【解析：】根據(jù)容斥原理最小值68+43-100＝11最大值就是含鐵的有43種2、在多元智能大賽的決賽中只有三道題.:(1)某校25名學(xué)生參加競(jìng)賽,每個(gè)學(xué)生至少解出一道題;(2)在所有沒有解出第一題的學(xué)生中,解出第二題的人數(shù)是解出第三題的人數(shù)的2倍:(3)只解出第一題的學(xué)生比余下的學(xué)生中解出第一題的人數(shù)多1人;(4)只解出一道題的學(xué)生中,有一半沒有解出第一題,那么只解出第二題的學(xué)生人數(shù)是()A，5B，6C，7D，8【解析：】根據(jù)“每個(gè)人至少答出三題中的一道題〞可知答題情況分為7類：只答第1題，只答第2題，只答第3題，只答第1、2題，只答第1、3題，只答2、3題，答1、2、3題。分別設(shè)各類的人數(shù)為a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123由〔1〕知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①由〔2〕知：a2+a23＝〔a3+a23〕×2……②由〔3〕知：a12+a13+a123＝a1－1……③由〔4〕知：a1＝a2+a3……④再由②得a23＝a2－a3×2……⑤再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥然后將④⑤⑥代入①中，整理得到a2×4+a3＝26由于a2、a3均表示人數(shù)，可以求出它們的整數(shù)解：當(dāng)a2＝6、5、4、3、2、1時(shí)，a3＝2、6、10、14、18、22又根據(jù)a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3因此，符合條件的只有a2＝6，a3＝2。然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，總?cè)藬?shù)＝8+6+2+7+2＝25，檢驗(yàn)所有條件均符。故只解出第二題的學(xué)生人數(shù)a2＝6人。3、一次考試共有5道試題。做對(duì)第1、2、3、、4、5題的分別占參加考試人數(shù)的95%、80%、79%、74%、85%。如果做對(duì)三道或三道以上為合格，那么這次考試的合格率至少是多少？【解析：】答案：及格率至少為71％。假設(shè)一共有100人考試100-95＝5100-80＝20100-79＝21100-74＝26100-85＝155+20+21+26+15＝87〔表示5題中有1題做錯(cuò)的最多人數(shù)〕87÷3＝29〔表示5題中有3題做錯(cuò)的最多人數(shù)，即不及格的人數(shù)最多為29人〕100-29＝71〔及格的最少人數(shù)，其實(shí)都是全對(duì)的〕及格率至少為71％某大樓里有125盞燈，按1,2，3，…,125編號(hào)，每盞燈有一個(gè)拉線開關(guān)，拉一次燈亮，再拉一次燈熄。工程師做實(shí)驗(yàn)，他先把所有號(hào)碼是4的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉1次，再把所有號(hào)碼是6的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉1次，同時(shí)再拉1次號(hào)碼是4的倍數(shù)、但不是6的倍數(shù)的燈開關(guān)，問：現(xiàn)在有多少盞燈是亮的？【解析：】號(hào)碼是4的倍數(shù)的燈有4，8，12，…，124，共31盞；號(hào)碼是6的倍數(shù)的燈有6，12，18，…，120，共20盞；號(hào)碼是4的倍數(shù)也是6的倍數(shù)的燈有12，24，36，…，120，共10盞。號(hào)碼是4的倍數(shù)，但不是6的倍數(shù)的燈有31-10=21盞。那么亮的燈數(shù)是20-10=10(盞)。5、A、B、C三位質(zhì)檢員對(duì)流水線上的書包進(jìn)行檢查，A每3個(gè)書包抽查1個(gè)，B每5個(gè)書包抽查1個(gè)，C每7個(gè)書包抽查1個(gè)，一共有250個(gè)書包通過流水線，假定A、B、C首個(gè)抽查到的書包分別是第三個(gè)、第五個(gè)和第七個(gè)，試求：(1)沒被抽查到的書包數(shù)。(2)在A或B抽查到的書包中，沒被C抽查到的書包數(shù)?！窘馕觯骸?1)250內(nèi)，3的倍數(shù)有83個(gè)，5的倍數(shù)有50個(gè)，7的倍數(shù)有35個(gè)，15的倍數(shù)有16個(gè)，21的倍數(shù)有11個(gè)，35的倍數(shù)有7個(gè)，105的倍數(shù)有2個(gè)，沒被抽查到的書包有250-83-50-35+16+11+7-2=114(個(gè))。是3或5的倍數(shù)，但不是7的倍數(shù)的有83+50-16-11-7+2=101(個(gè))。6、學(xué)校舉行趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，班里的同學(xué)有20人報(bào)名。參加障礙過河比賽的有10人，參加自行車慢騎的有13人，參加“袋鼠跳〞比賽的有15人，障礙過河、“袋鼠跳〞都參加的有9人，障礙過河、自行車慢騎都參加的有6人，自行車慢騎、“袋鼠跳〞都參加的有8人，你能畫出參加比賽的人數(shù)文氏圖嗎？【解析：】三項(xiàng)比賽都參加的人數(shù)為：20-10-13-15+9+8+6=5(人)。文氏圖如下：7、某體育學(xué)校的運(yùn)發(fā)動(dòng)中，會(huì)游泳的有15人，會(huì)跳高的有12人，會(huì)跳遠(yuǎn)的有9人，以上三個(gè)工程只會(huì)其中兩種的有13人，會(huì)三種的有5人，那么只會(huì)其中兩種的人分別有多少可能？【解析：】設(shè)只會(huì)游泳、跳高的有x人，只會(huì)游泳、跳遠(yuǎn)的有y人，只會(huì)跳高、跳遠(yuǎn)的有z人，那么

共有6組解：(1)x=7,y=4,z=2；(2)x=7,y=3,z=3；(3)x=7,y=2,z=4；(4)x=6,y=4,z=3；(5)x=6,y=3,z=4；(6)x=5,y=4,z=4。8、在一所中學(xué)的實(shí)驗(yàn)班里，60個(gè)學(xué)生參加過競(jìng)賽。其中參加過數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有30人，參加過英語(yǔ)競(jìng)賽的有25人，參加過作文比賽的有17人，參加過數(shù)學(xué)競(jìng)賽和英語(yǔ)競(jìng)賽的有12人，參加過英語(yǔ)競(jìng)賽和作文比賽的有10人，參加過數(shù)學(xué)競(jìng)賽和作文比賽的有7人，那么三種競(jìng)賽都參加過的學(xué)生有()人。請(qǐng)寫出過程：抽屜原理、奇偶性問題練1把40名小朋友看做40個(gè)抽屜，將125件玩具放入這些抽屜，因?yàn)?25＝3×40+5，根據(jù)抽屜原理，可知至少有一個(gè)抽屜有4件或4件以上的玩具，所以肯定有人會(huì)得到4件或4件以上的玩具。把三個(gè)筆盒看做3個(gè)抽屜，因?yàn)?6＝5×3+1，根據(jù)抽屜原理可以至少有一個(gè)筆盒里的筆有6枝或6枝以上。把盒子數(shù)看成抽屜，要使其中一個(gè)抽屜里至少有7個(gè)球，那么球的個(gè)數(shù)至少應(yīng)比抽屜個(gè)數(shù)的〔7－1〕倍多1，而25＝4×〔7－1〕+1，所以最多方子4個(gè)盒子里，才能保證至少有一個(gè)盒子里有7個(gè)球。練2最少應(yīng)取出〔3－1〕×5+1＝11個(gè)球至少取出〔4－1〕×3+1＝10塊木塊。如果沒有兩張王牌，至少要取〔4－1〕×13+1＝40張，再加上兩張王牌，至少要摸出40+2＝42張，才能保證其中必有4張牌點(diǎn)數(shù)相同。練3小學(xué)六年中最多有2個(gè)閏年，共366×2+365×4＝2191天，因?yàn)?3170＝6×2192+18，所以其中一定有7人是同年同月同日生的。參加課外興趣小組的學(xué)生共分四種情況，只參加一個(gè)組的有4種類型，只參加兩個(gè)組的有6種類型，只參加三個(gè)字的有4種類型，參加四個(gè)組的有1種類型。把4+6+4+1＝15種類型看作15個(gè)抽屜，把46個(gè)學(xué)生放入這些抽屜，因?yàn)?6＝15×3+1，所以班級(jí)中至少有4名學(xué)生參加的工程完全相同。全班訂閱報(bào)刊的類型共有3+3+1＝7種，因?yàn)?7＝5×7+2，所以其中至少有6位學(xué)生訂的報(bào)刊相同。練4在1～50中，5的倍數(shù)有50÷5＝10個(gè)，不是5的倍數(shù)的就有50－10＝40個(gè)，至少要取出40+1＝41個(gè)不同的數(shù)才能保證其中有個(gè)數(shù)能貝5整除。在1～120中，4的倍數(shù)有120÷4＝30個(gè)，不是4的倍數(shù)有120－30＝90個(gè)，正是要取出90+1＝91個(gè)不同的數(shù)才能保證其中一定有一個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)。差是5的兩數(shù)有以下5組：1、6，11、16，21、26，31、36；2、7，12、17，22、27；3、8，13、18，23、28、33；4、9，14、19，24、29，34；5、10，15、20，25、30、35。要使取出的數(shù)中沒有兩個(gè)數(shù)的差是5的倍數(shù)，最多只能從每組中各取1個(gè)數(shù)，即最多可以取5個(gè)數(shù)。練5把11秒鐘看做11個(gè)抽屜，把100米看作100個(gè)元素，因?yàn)?00＝9×11+1，所以必有1個(gè)抽屜里超過9米，即必有某一秒鐘，他跑的距離超過9米。如圖答30－1，把邊長(zhǎng)為2的等邊三角形分成四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形。把它看作4個(gè)抽屜，5個(gè)點(diǎn)看作5個(gè)元素，那么一定有一個(gè)小三角形內(nèi)有2個(gè)點(diǎn)，這2個(gè)點(diǎn)之間的距離不超過1。3、先把長(zhǎng)方形的每邊剪去寬1厘米的長(zhǎng)條，余下一個(gè)50×40的長(zhǎng)方形，它的面積為2000平方厘米，再把每個(gè)圓的半徑放大1厘米成為3厘米的圓，假設(shè)剪去后的長(zhǎng)方形至少有一個(gè)點(diǎn)未被70個(gè)鑲邊后的圓蓋住的話，那么原來的長(zhǎng)方形中就能放進(jìn)一個(gè)以這點(diǎn)為圓心的圓。因?yàn)椤?2×70的值就小于630×3.15＝1984.52000，所以在原來的長(zhǎng)方形中一定可以放進(jìn)一個(gè)半徑為1厘米的圓。例題6、1+2+3+…+1993的和是奇數(shù)？還是偶數(shù)？【解析：】此題可以利用高斯求和公式直接求出和，再判別和是奇數(shù)，還是偶數(shù).但是如果從加數(shù)的奇、偶個(gè)數(shù)考慮，利用奇偶數(shù)的性質(zhì)，同樣可以判斷和的奇偶性.此題可以有兩種解法。解法1：∵1+2+3+…+1993又∵997和1993是奇數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，∴原式的和是奇數(shù)。解法2：∵1993÷2=996…1，∴1～1993的自然數(shù)中，有996個(gè)偶數(shù)，有997個(gè)奇數(shù)。∵996個(gè)偶數(shù)之和一定是偶數(shù)，又∵奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)，∴997個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)。因?yàn)椋紨?shù)+奇數(shù)=奇數(shù)，所以原式之和一定是奇數(shù)。例題7、一個(gè)數(shù)分別與另外兩個(gè)相鄰奇數(shù)相乘，所得的兩個(gè)積相差150，這個(gè)數(shù)是多少？【解析：】解法1：∵相鄰兩個(gè)奇數(shù)相差2，∴150是這個(gè)要求數(shù)的2倍?！噙@個(gè)數(shù)是150÷2=75。解法2：設(shè)這個(gè)數(shù)為x，設(shè)相鄰的兩個(gè)奇數(shù)為2a+1，2a-1〔a≥1〕.那么有〔2a+1〕x-〔2a-1〕x=150，2ax+x-2ax+x=150，2x=150，x=75?！噙@個(gè)要求的數(shù)是75。例題8、元旦前夕，同學(xué)們相互送賀年卡.每人只要接到對(duì)方賀年卡就一定回贈(zèng)賀年卡，那么送了奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)？為什么？【解析：】此題初看似乎缺總?cè)藬?shù).但解決問題的實(shí)質(zhì)在送賀年卡的張數(shù)的奇偶性上，因此與總?cè)藬?shù)無關(guān)。解：由于是兩人互送賀年卡，給每人分別標(biāo)記送出賀年卡一次.那么賀年卡的總張數(shù)應(yīng)能被2整除，所以賀年卡的總張數(shù)應(yīng)是偶數(shù)。送賀年卡的人可以分為兩種：一種是送出了偶數(shù)張賀年卡的人：他們送出賀年卡總和為偶數(shù)。另一種是送出了奇數(shù)張賀年卡的人：他們送出的賀年卡總數(shù)=所有人送出的賀年卡總數(shù)-所有送出了偶數(shù)張賀年卡的人送出的賀年卡總數(shù)=偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)。他們的總?cè)藬?shù)必須是偶數(shù)，才使他們送出的賀年卡總數(shù)為偶數(shù)。所以，送出奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)一定是偶數(shù)。例題9、a、b、c中有一個(gè)是5，一個(gè)是6，一個(gè)是7.求證a-1，b-2，c-3的乘積一定是偶數(shù)?！窘馕觯骸孔C明：∵a、b、c中有兩個(gè)奇數(shù)、一個(gè)偶數(shù)，∴a、c中至少有一個(gè)是奇數(shù)，∴a-1，c-3中至少有一個(gè)是偶數(shù)。又∵偶數(shù)×整數(shù)=偶數(shù)，∴〔a-1〕×〔b-2〕×〔c-3〕是偶數(shù)。例題10、如以下圖，從起點(diǎn)始，隔一米種一棵樹，如果把三塊“保護(hù)樹木〞的小牌分別掛在三棵樹上，那么不管怎樣掛，至少有兩棵掛牌的樹，它們之間的距離是偶數(shù)〔以米為單位〕，這是為什么？【解析：】任意挑選三棵樹掛上小牌，假設(shè)第一棵掛牌的樹與第二棵掛牌的樹之間相距a米，第二棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間相距b米，那么第一棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間的距離c=a+b〔米〕〔如以下圖〕，如果a、b中有一個(gè)是偶數(shù)，題目已得證；如果a、b都是奇數(shù)，因?yàn)槠鏀?shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，所以c必為偶數(shù)，那么題目也得證。小試牛刀1．為保證取出的球中有兩個(gè)球的顏色相同，那么最少要取出4個(gè)球。2．最少要抽取29張牌，方能保證其中至少有3張牌有相同的點(diǎn)數(shù)。3．證明：A、B、C、D四類書，根據(jù)題目條件，這些學(xué)生借書的組合可能有十種，分別是：因?yàn)橛?1名學(xué)生到老師家借書，而只有10種借書情況，因此必有兩個(gè)學(xué)生所借的書的類型相同。4．證明，所謂單循環(huán)賽即每個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)都與其它運(yùn)發(fā)動(dòng)進(jìn)行一場(chǎng)比賽。即每個(gè)人要參加49場(chǎng)比賽，這樣如果假設(shè)沒有運(yùn)發(fā)動(dòng)積分相同，因?yàn)闆]有全勝，那么運(yùn)發(fā)動(dòng)的積分就有48勝、47勝……2勝、1勝、0勝共49個(gè)積分情況，而50名運(yùn)發(fā)動(dòng)需要有50個(gè)不同的積分結(jié)果，這里“49個(gè)積分情況〞與“需要50個(gè)積分結(jié)果〞出現(xiàn)了矛盾，所以假設(shè)“沒有運(yùn)發(fā)動(dòng)積分相同〞是錯(cuò)誤的，因此一定有兩個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)積分相同。5．至少有9名同學(xué)所拿的球種類是一致的。6．那么參賽男生46人。7．至少要拿出10只才能使拿出的手套中一定有兩雙是同顏色的。8．至少把這些水果分成了5堆。分四種情況：9．至少選出51個(gè)數(shù)，其中必有兩個(gè)數(shù)的和是100。10．46乘客帶蘋果。11．提示：分值從0～100，共101種可能的分值，10101÷〔0＋1＋2＋……＋100〕＝2……1，那么至少有3人得分相同。12．至少有335個(gè)人游覽的地方完全相同。13．那么至少有5人植樹的株數(shù)相同。14、偶數(shù)至多有48個(gè)。15、提示：先按規(guī)律寫出一些數(shù)來，再找其奇、偶性的排列規(guī)律，便可得到答案：不會(huì)依次出現(xiàn)1、9、8、8這四個(gè)數(shù)。16、設(shè)四個(gè)連續(xù)奇數(shù)是2n＋1，2n＋3，2n＋5，2n＋7，n為整數(shù)，那么它們的和是〔2n+1〕＋〔2n＋3〕＋〔2n＋5〕+〔2n＋7〕＝2n×4＋16＝8n+16=8〔n+2〕。所以，四個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是8的倍數(shù)。17、證明：設(shè)填入數(shù)分別為a1、a2、a3、a4、a5、a6.有假設(shè)要證明的結(jié)論不成立，那么有：∵偶數(shù)≠奇數(shù)，∴假設(shè)不成立，命題得證。18、應(yīng)選擇〔B〕.參考例3。19、是偶數(shù).參考例3。20、不能.因?yàn)?個(gè)奇數(shù)的和為奇數(shù)，不可能等于20。21、能.例如第一次78910第二次3456第三次2345第四次134522、這種交換方法是不可行的.參考例12。23、利用黑白相間染色方法可以證明：不可能剪成由7個(gè)相鄰兩個(gè)方格組成的長(zhǎng)方形，因?yàn)閳D形中一種顏色有8格，另一種顏色有6格，而每個(gè)相鄰兩個(gè)方格組成的長(zhǎng)方形是一黑格一白格，7個(gè)這樣的長(zhǎng)方形共7黑格7白格.與圖形相矛盾.行程問題1、某停車場(chǎng)有10輛出租汽車，第一輛出租汽車出發(fā)后，每隔4分鐘，有一輛出租汽車開出.在第一輛出租汽車開出2分鐘后，有一輛出租汽車進(jìn)場(chǎng).以后每隔6分鐘有一輛出租汽車回場(chǎng).回場(chǎng)的出租汽車，在原有的10輛出租汽車之后又依次每隔4分鐘開出一輛，問：從第一輛出租汽車開出后，經(jīng)過多少時(shí)間，停車場(chǎng)就沒有出租汽車了？【解析：】這個(gè)題可以簡(jiǎn)單的找規(guī)律求解

時(shí)間車輛

4分鐘9輛

6分鐘10輛

8分鐘9輛

12分鐘9輛16分鐘8輛

18分鐘9輛

20分鐘8輛

24分鐘8輛

由此可以看出：每12分鐘就減少一輛車，但該題需要注意的是：到了剩下一輛的時(shí)候是不符合這種規(guī)律的到了12*9=108分鐘的時(shí)候，剩下一輛車，這時(shí)再經(jīng)過4分鐘車廠恰好沒有車了，所以第112分鐘時(shí)就沒有車輛了，但題目中問從第一輛出租汽車開出后，所以應(yīng)該為108分鐘。2、小峰騎自行車去小寶家聚會(huì)，一路上小峰注意到，每隔9分鐘就有一輛公交車從前方超越小峰，小峰騎車到半路，車壞了，小峰只好打的去小寶家，這時(shí)小峰又發(fā)現(xiàn)出租車也是每隔9分鐘超越一輛公交車，出租車的速度是小峰騎車速度的5倍，那么如果公交車的發(fā)車時(shí)間間隔和行駛速度固定的話，公交車的發(fā)車時(shí)間間隔為多少分鐘？【解析：】間隔距離=〔公交速度-騎車速度〕×9分鐘；間隔距離=〔出租車速度-公交速度〕×9分鐘所以，公交速度-騎車速度=出租車速度-公交速度；公交速度=〔騎車速度+出租車速度〕/2=3×騎車速度.由此可知，間隔距離=〔公交速度-騎車速度〕×9分鐘=2×騎車速度×9分鐘=3×騎車速度×6分鐘=公交速度×6分鐘.所以公交車站每隔6分鐘發(fā)一輛公交車.3、小英和小敏為了測(cè)量飛駛而過的火車速度和車身長(zhǎng),他們拿了兩塊跑表.小英用一塊表記下了火車從她面前通過所花的時(shí)間是15秒;小敏用另一塊表記下了從車頭過第一根電線桿到車尾過第二根電線桿所花的時(shí)間是20秒.兩電線桿之間的距離是100米.你能幫助小英和小敏算出火車的全長(zhǎng)和時(shí)速嗎?【解析：】火車的時(shí)速是:100÷(20-15)×60×60=72000(米/小時(shí))，車身長(zhǎng)是:20×15=300(米)4、一條單線鐵路上有A,B,C,D,E5個(gè)車站,它們之間的路程如下圖(單位:千米).兩列火車同時(shí)從A,E兩站相對(duì)開出,從A站開出的每小時(shí)行60千米,從E站開出的每小時(shí)行50千米.由于單線鐵路上只有車站才鋪有停車的軌道,要使對(duì)面開來的列車通過,必須在車站停車,才能讓開行車軌道.因此,應(yīng)安排哪個(gè)站相遇,才能使停車等候的時(shí)間最短.先到這一站的那一列火車至少需要停車多少分鐘?【解析：】BBECAD225千米25千米15千米230千米兩列火車同時(shí)從A,E兩站相對(duì)開出,假設(shè)途中都不停.可求出兩車相遇的地點(diǎn),從而知道應(yīng)在哪一個(gè)車站停車等待時(shí)間最短.從圖中可知,AE的距離是:225+25+15+230=495(千米)兩車相遇所用的時(shí)間是:495÷(60+50)=4.5(小時(shí))相遇處距A站的距離是:60×4.5=270(千米)而A,D兩站的距離為:225+25+15=265(千米) 由于270千米>265千米,從A站開出的火車應(yīng)安排在D站相遇,才能使停車等待的時(shí)間最短.因?yàn)橄嘤鎏庪xD站距離為270-265=5(千米),那么,先到達(dá)D站的火車至少需要等待:(小時(shí))，小時(shí)=11分鐘5、乙船順?biāo)叫?小時(shí)，行了120千米，返回原地用了4小時(shí).甲船順?biāo)叫型欢嗡罚昧?小時(shí).甲船返回原地比去時(shí)多用了幾小時(shí)?【解析：】乙船順?biāo)俣龋?20÷2=60〔千米/小時(shí)〕.乙船逆水速度：120÷4=30〔千米/小時(shí)〕。水流速度：〔60-30〕÷2＝15〔千米/小時(shí)〕.甲船順?biāo)俣龋?2O÷3＝4O〔千米/小時(shí)〕。甲船逆水速度：40-2×15=10〔千米/小時(shí)〕.甲船逆水航行時(shí)間：120÷10=12〔小時(shí)〕。甲船返回原地比去時(shí)多用時(shí)間：12-3=9〔小時(shí)〕．6、一條小河流過A，B,C三鎮(zhèn).A,B兩鎮(zhèn)之間有汽船來往,汽船在靜水中的速度為每小時(shí)11千米.B,C兩鎮(zhèn)之間有木船擺渡,木船在靜水中的速度為每小時(shí)3.5千米.A,C兩鎮(zhèn)水路相距50千米,水流速度為每小時(shí)1.5千米.某人從A鎮(zhèn)上船順流而下到B鎮(zhèn),吃午飯用去1小時(shí),接著乘木船又順流而下到C鎮(zhèn),共用8小時(shí).那么A,B兩鎮(zhèn)間的距離是多少千米?【解析：】如下畫出示意圖有AB段順?biāo)乃俣葹?1+1.5=12.5千米/小時(shí),有BC段順?biāo)乃俣葹?.5+1.5=5千米/小時(shí)．而從AC全程的行駛時(shí)間為8-1=7小時(shí)．設(shè)AB長(zhǎng)千米,有,解得=25．所以A,B兩鎮(zhèn)間的距離是25千米.7、現(xiàn)在是10點(diǎn)，再過多長(zhǎng)時(shí)間，時(shí)針與分針將第一次在一條直線上？【解析:】時(shí)針的速度是360÷12÷60=0.5(度/分)，分針的速度是360÷60=6(度/分)即分針與時(shí)針的速度差是6-0.5=5.5(度/分)，10點(diǎn)時(shí)，分針與時(shí)針的夾角是60度，第一次在一條直線時(shí)，分針與時(shí)針的夾角是180度，即分針與時(shí)針從60度到180度經(jīng)過的時(shí)間為所求。所以答案為(分)8、有一座時(shí)鐘現(xiàn)在顯示10時(shí)整．那么，經(jīng)過多少分鐘，分針與時(shí)針第一次重合；再經(jīng)過多少分鐘，分針與時(shí)針第二次重合?【解析：】在lO點(diǎn)時(shí)，時(shí)針?biāo)谖恢脼榭潭?0，分針?biāo)谖恢脼榭潭?2；當(dāng)兩針重合時(shí)，分針必須追上50個(gè)小刻度，設(shè)分針?biāo)俣葹椤發(fā)〞，有時(shí)針?biāo)俣葹椤皑?，于是需要時(shí)間：．所以，再過分鐘，時(shí)針與分針將第一次重合．第二次重合時(shí)顯然為12點(diǎn)整，所以再經(jīng)過 分鐘，時(shí)針與分針第二次重合．標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)鐘，每隔分鐘，時(shí)針與分針重合一次．我們來熟悉一下常見鐘表(機(jī)械)的構(gòu)成：一般時(shí)鐘的表盤大刻度有12個(gè)，即為小時(shí)數(shù)；小刻度有60個(gè)，即為分鐘數(shù)．所以時(shí)針一圈需要12小時(shí)，分針一圈需要60分鐘(1小時(shí))，時(shí)針的速度為分針?biāo)俣鹊模绻O(shè)分針的速度為單位“l(fā)〞，那么時(shí)針的速度為“〞．9、某科學(xué)家設(shè)計(jì)了只怪鐘，這只怪鐘每晝夜10時(shí)，每時(shí)100分〔如右圖所示〕。當(dāng)這只鐘顯示5點(diǎn)時(shí)，實(shí)際上是中午12點(diǎn)；當(dāng)這只鐘顯示6點(diǎn)75分時(shí)，實(shí)際上是什么時(shí)間？【解析：】標(biāo)準(zhǔn)鐘一晝夜是24×60=1440〔分〕，怪鐘一晝夜是100×10=1000〔分〕怪鐘從5點(diǎn)到6點(diǎn)75分，經(jīng)過175分，根據(jù)十字交叉法，1440×175÷1000=252〔分〕即4點(diǎn)12分。10、手表比鬧鐘每時(shí)快60秒，鬧鐘比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間每時(shí)慢60秒。8點(diǎn)整將手表對(duì)準(zhǔn)，12點(diǎn)整手表顯示的時(shí)間是幾點(diǎn)幾分幾秒？【解析：】按題意，鬧鐘走3600秒手表走3660秒，而在標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的一小時(shí)中，鬧鐘走了3540秒。所以在標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的一小時(shí)中手表走3660÷3600×3599=3599〔秒〕，即手表每小時(shí)慢1秒，所以12點(diǎn)時(shí)手表顯示的時(shí)間是11點(diǎn)59分56秒。11、甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲、乙的速度之比是4:3，二人相遇后繼續(xù)行進(jìn)，甲到達(dá)B地和乙到達(dá)A地后都立即沿原路返回，二人第二次相遇的地點(diǎn)距第一次相遇的地點(diǎn)30千米，那么A、B兩地相距多少千米？【解析：】?jī)蓚€(gè)人同時(shí)出發(fā)相向而行，相遇時(shí)時(shí)間相等，路程比等于速度之比，即兩個(gè)人相遇時(shí)所走過的路程比為4:3．第一次相遇時(shí)甲走了全程的4/7；第二次相遇時(shí)甲、乙兩個(gè)人共走了3個(gè)全程，三個(gè)全程中甲走了個(gè)全程，與第一次相遇地點(diǎn)的距離為個(gè)全程．所以A、B兩地相距(千米)．12、B地在A，C兩地之間．甲從B地到A地去送信，甲出發(fā)10分后，乙從B地出發(fā)到C地去送另一封信，乙出發(fā)后10分，丙發(fā)現(xiàn)甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了，于是他從B地出發(fā)騎車去追趕甲和乙，以便把信調(diào)過來．甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙從出發(fā)到把信調(diào)過來后返回B地至少要用多少時(shí)間。根據(jù)題意當(dāng)丙發(fā)現(xiàn)甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了此時(shí)甲、乙位置如下：因?yàn)楸乃俣仁羌?、乙?倍，分步討論如下：假設(shè)丙先去追及乙，因時(shí)間相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走兩倍乙走需要10分鐘，所以丙用時(shí)間為：10÷〔3－1〕=5〔分鐘〕此時(shí)拿上乙拿錯(cuò)的信當(dāng)丙再回到B點(diǎn)用5分鐘，此時(shí)甲已經(jīng)距B地有10＋10＋5＋5＝30〔分鐘〕，同理丙追及時(shí)間為30÷〔3－1〕=15〔分鐘〕，此時(shí)給甲應(yīng)該送的信，換回乙應(yīng)該送的信在給乙送信，此時(shí)乙已經(jīng)距B地：10＋5＋5＋15＋15=50〔分鐘〕，此時(shí)追及乙需要：50÷〔3－1〕=25〔分鐘〕，返回B地需要25分鐘所以共需要時(shí)間為5＋5＋15＋15＋25＋25=90〔分鐘〕同理先追及甲需要時(shí)間為120分鐘。13、甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行．出發(fā)時(shí)，甲、乙的速度之比是5:4，相遇后甲的速度減少20%，乙的速度增加20%．這樣當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙離A地還有10千米．那么A、B兩地相距多少千米？【解析：】?jī)绍囅嘤鰰r(shí)甲走了全程的，乙走了全程的，之后甲的速度減少20%，乙的速度增加20%，此時(shí)甲、乙的速度比為，所以甲到達(dá)B地時(shí)，乙又走了，距離A地，所以A、B兩地的距離為(千米13、在一圓形跑道上，甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，6分后兩人相遇，再過4分甲到達(dá)B點(diǎn)，又過8分兩人再次相遇.甲、乙環(huán)行一周各需要多少分？【解析：】由題意知，甲行4分相當(dāng)于乙行6分.〔抓住走同一段路程時(shí)間或速度的比例關(guān)系〕

從第一次相遇到再次相遇，兩人共走一周，各行12分，而乙行12分相當(dāng)于甲行8分，所以甲環(huán)行一周需12＋8＝20〔分〕，乙需20÷4×6＝30〔分〕.14、一輛汽車從甲地開往乙地，每分鐘行750米，預(yù)計(jì)50分鐘到達(dá)．但汽車行駛到路程的時(shí)，出了故障，用5分鐘修理完畢，如果仍需在預(yù)定時(shí)間內(nèi)到達(dá)乙地，汽車行駛余下的路程時(shí)，每分鐘必須比原來快多少米？【解析：】當(dāng)以原速行駛到全程的時(shí)，總時(shí)間也用了，所以還剩下分鐘的路程；修理完畢時(shí)還剩下分鐘，在剩下的這段路程上，預(yù)計(jì)時(shí)間與實(shí)際時(shí)間之比為，根據(jù)路程一定，速度比等于時(shí)間的反比，實(shí)際的速度與預(yù)定的速度之比也為，因此每分鐘應(yīng)比原來快米．小結(jié)：此題也可先求出相應(yīng)的路程和時(shí)間，再采用公式求出相應(yīng)的速度，最后計(jì)算比原來快多少，但不如采用比例法簡(jiǎn)便．15、狗跑5步的時(shí)間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現(xiàn)在狗已跑出30米，馬開始追它。問：狗再跑多遠(yuǎn)，馬可以追上它？【解析：】根據(jù)“馬跑4步的距離狗跑7步〞，可以設(shè)馬每步長(zhǎng)為7x米，那么狗每步長(zhǎng)為4x米。根據(jù)“狗跑5步的時(shí)間馬跑3步〞，可知同一時(shí)間馬跑3*7x米＝21x米，那么狗跑5*4x＝20米?？梢缘贸鲴R與狗的速度比是21x：20x＝21：20根據(jù)“現(xiàn)在狗已跑出30米〞，可以知道狗與馬相差的路程是30米，他們相差的份數(shù)是21-20＝1，現(xiàn)在求馬的21份是多少路程，就是30÷〔21-20〕×21＝630米16、甲乙輛車同時(shí)從ab兩地相對(duì)開出，幾小時(shí)后再距中點(diǎn)40千米處相遇？，甲車行完全程要8小時(shí)，乙車行完全程要10小時(shí)，求ab兩地相距多少千米？【解析：】答案720千米。由“甲車行完全程要8小時(shí)，乙車行完全程要10小時(shí)〞可知，相遇時(shí)甲行了10份，乙行了8份〔總路程為18份〕，兩車相差2份。又因?yàn)閮绍囋谥悬c(diǎn)40千米處相遇，說明兩車的路程差是〔40+40〕千米。所以算式是〔40+40〕÷〔10-8〕×〔10+8〕＝720千米。17、在一個(gè)600米的環(huán)形跑道上，兄兩人同時(shí)從同一個(gè)起點(diǎn)按順時(shí)針方向跑步，兩人每隔12分鐘相遇一次，假設(shè)兩個(gè)人速度不變，還是在原來出發(fā)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，哥哥改為按逆時(shí)針方向跑，那么兩人每隔4分鐘相遇一次，兩人跑一圈各要多少分鐘？【解析：】答案為兩人跑一圈各要6分鐘和12分鐘。解：600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和〔50+150〕÷2=100，表示較快的速度，方法是求和差問題中的較大數(shù)〔150-50〕/2=50，表示較慢的速度，方法是求和差問題中的較小數(shù)600÷100=6分鐘，表示跑的快者用的時(shí)間600/50=12分鐘，表示跑得慢者用的時(shí)間18、慢車車長(zhǎng)125米，車速每秒行17米，快車車長(zhǎng)140米，車速每秒行22米，慢車在前面行駛，快車從后面追上來，那么，快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車需要多少時(shí)間？【解析：】答案為53秒算式是〔140+125)÷(22-17)=53秒可以這樣理解：“快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車〞就是快車車尾上的點(diǎn)追及慢車車頭的點(diǎn)，因此追及的路程應(yīng)該為兩個(gè)車長(zhǎng)的和。19、在300米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上，甲乙兩個(gè)人同時(shí)同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，兩人起跑后的第一次相遇在起跑線前幾米？【解析：】答案為100米300÷〔5-4.4〕＝500秒，表示追及時(shí)間5×500＝2500米，表示甲追到乙時(shí)所行的路程2500÷300＝8圈……100米，表示甲追及總路程為8圈還多100米，就是在原來起跑線的前方100米處相遇。20、一個(gè)人在鐵道邊，聽見遠(yuǎn)處傳來的火車汽笛聲后，在經(jīng)過57秒火車經(jīng)過她前面，火車?guó)Q笛時(shí)離他1360米，(軌道是直的),聲音每秒傳340米，求火車的速度〔得出保存整數(shù)〕【解析：】答案為22米/秒算式：1360÷(1360÷340+57〕≈22米/秒關(guān)鍵理解：人在聽到聲音后57秒才車到，說明人聽到聲音時(shí)車已經(jīng)從發(fā)聲音的地方行出1360÷340＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。21、獵犬發(fā)現(xiàn)在離它10米遠(yuǎn)的前方有一只奔跑著的野兔，馬上緊追上去，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的動(dòng)作快，獵犬跑2步的時(shí)間，兔子卻能跑3步，問獵犬至少跑多少米才能追上兔子。【解析：】正確的答案是獵犬至少跑60米才能追上。解：由“獵犬跑5步的路程，兔子要跑9步〞可知當(dāng)獵犬每步a米，那么兔子每步5/9米。由“獵犬跑2步的時(shí)間，兔子卻能跑3步〞可知同一時(shí)間，獵犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3＝5/3a米。從而可知獵犬與兔子的速度比是2a：5/3a＝6：5，也就是說當(dāng)獵犬跑60米時(shí)候，兔子跑50米，本來相差的10米剛好追完22、AB兩地,甲乙兩人騎自行車行完全程所用時(shí)間的比是4:5,如果甲乙二人分別同時(shí)從AB兩地相對(duì)行使,40分鐘后兩人相遇,相遇后各自繼續(xù)前行,這樣，乙到達(dá)A地比甲到達(dá)B地要晚多少分鐘?【解析：】答案：18分鐘解：設(shè)全程為1,甲的速度為x乙的速度為y列式40x+40y=1x:y=5:4得x=1/72y=1/90走完全程甲需72分鐘,乙需90分鐘故得解23、甲乙兩車同時(shí)從AB兩地相對(duì)開出。第一次相遇后兩車?yán)^續(xù)行駛，各自到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回。第二次相遇時(shí)離B地的距離是AB全程的1/5。甲車在第一次相遇時(shí)行了120千米。AB兩地相距多少千米？【解析：】答案是300千米。解：通過畫線段圖可知，兩個(gè)人第一次相遇時(shí)一共行了1個(gè)AB的路程，從開始到第二次相遇，一共又行了3個(gè)AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分別是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360千米，從線段圖可以看出，甲一共走了全程的〔1+1/5〕。因此360÷〔1+1/5〕＝300千米24、一船以同樣速度往返于兩地之間，它順流需要6小時(shí);逆流8小時(shí)。如果水流速度是每小時(shí)2千米，求兩地間的距離？【解析：】〔1/6-1/8〕÷2＝1/48表示水速的分率2÷1/48＝96千米表示總路程25、快車和慢車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開出，快車每小時(shí)行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，慢車行完全程需要8小時(shí)，求甲乙兩地的路程。【解析：】相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3時(shí)間比為3：4所以快車行全程的時(shí)間為8/4*3＝6小時(shí)6*33＝198千米26、小華從甲地到乙地,3分之1騎車,3分之2乘車;從乙地返回甲地,5分之3騎車,5分之2乘車,結(jié)果慢了半小時(shí).,騎車每小時(shí)12千米,乘車每小時(shí)30千米,問:甲乙兩地相距多少千米?【解析：】把路程看成1，得到時(shí)間系數(shù)去時(shí)時(shí)間系數(shù)：1/3÷12+2/3÷30返回時(shí)間系數(shù)：3/5÷12+2/5÷30兩者之差：〔3/5÷12+2/5÷30〕-〔1/3÷12+2/3÷30〕=1/75相當(dāng)于1/2小時(shí)去時(shí)時(shí)間：1/2×〔1/3÷12〕÷1/75和1/2×〔2/3÷30〕1/75路程：12×〔1/2×〔1/3÷12〕÷1/75〕+30×〔1/2×〔2/3÷30〕1/75〕=37.5〔千米〕比例問題1、甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，甲等于乙、丙兩數(shù)和的，乙等于甲、丙兩數(shù)和的，丙等于甲、乙兩數(shù)和的，求.【解析：】由甲等于乙、丙兩數(shù)和的，得到甲等于三個(gè)數(shù)和的，同樣的乙等于甲、丙兩數(shù)和的，同樣的丙等于甲、乙兩個(gè)數(shù)和的，所以甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，甲的一半等于乙的倍也等于丙的，那么甲的、乙的倍、丙的一半這三個(gè)數(shù)的比為多少？【解析：】甲的一半、乙的倍、丙的這三個(gè)數(shù)的比為，所以甲、乙、丙這三個(gè)數(shù)的比為即，化簡(jiǎn)為，那么甲的、乙的倍、丙的一半這三個(gè)數(shù)的比為即，化簡(jiǎn)為如以下圖所示，圓與圓的面積之和等于圓面積的，且圓中的陰影局部面積占圓面積的，圓的陰影局部面積占圓面積的，圓的陰影局部面積占圓面積的．求圓、圓、圓的面積之比?！窘馕觯骸吭O(shè)與的共同局部的面積為，與的共同局部的面積為，那么根據(jù)題意有，，，于是得到，這條式子可化簡(jiǎn)為，所以.最后得到某俱樂部男、女會(huì)員的人數(shù)之比是，分為甲、乙、丙三組．甲、乙、丙三組的人數(shù)比是，甲組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是，乙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是．求丙組中男、女會(huì)員人數(shù)之比。【解析：】以總?cè)藬?shù)為1，那么甲組男會(huì)員人數(shù)為，女會(huì)員為，乙組男會(huì)員為，女會(huì)員為；丙組男會(huì)員為，女會(huì)員為；所以，丙組中男、女會(huì)員人數(shù)之比為某團(tuán)體有名會(huì)員，男女會(huì)員人數(shù)之比是，會(huì)員分成三組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，各組男女會(huì)員人數(shù)之比依次為、、，那么丙組有多少名男會(huì)員？【解析：】會(huì)員總?cè)藬?shù)人，男女比例為，那么可知男、女會(huì)員人數(shù)分別為人、人；又甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，那么可知甲組人數(shù)為人，乙、丙人數(shù)之和為人，可設(shè)丙組人數(shù)為人，那么乙組人數(shù)為人，又甲組男、女會(huì)員比為，那么甲組男、女會(huì)員人數(shù)分別為人、人，又乙、丙兩組男、女會(huì)員比例，那么可得：，解得．即丙組會(huì)員人數(shù)為人，又男、女比例，可得丙組男會(huì)員人數(shù)為人(2007年華杯賽總決賽)、、三項(xiàng)工程的工作量之比為，由甲、乙、丙三隊(duì)分別承當(dāng)．三個(gè)工程隊(duì)同時(shí)開工，假設(shè)干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，那么甲、乙、丙隊(duì)的工作效率的比是多少？【解析：】根據(jù)題意，如果把工程的工作量看作，那么工程的工作量就是，工程的工作量就是．設(shè)甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)的工作效率分別為、、.經(jīng)過天，那么：將⑶代入⑵，得，將⑷代入⑴，得，，將代入⑴，得．代入⑶，得．甲、乙、丙三隊(duì)的．工作效率的連比是7、[1]某校畢業(yè)生共有9個(gè)班，每班人數(shù)相等．[2]一班的男生人數(shù)比二、三班兩個(gè)班的女生總數(shù)多1；[3]四、五、六班三個(gè)班的女生總數(shù)比七、八、九班三個(gè)班的男生總數(shù)多1．那么該校畢業(yè)生中男、女生人數(shù)比是多少?【解析：】如下表所示，由[2]知，一、二、三班的男生總數(shù)比二、三班總?cè)藬?shù)多1；由[3]知，四至九班的男生總數(shù)比四、五、六班總?cè)藬?shù)少1．一班男生比二、三班女生多1人加上二、三班男生二、三班男生一、二、三班男生比二、三班總?cè)藬?shù)多1人七、八、九班男生比四、五、六班女生少1人加上四、五、六班男生四、五、六班男生四、五、六、七、八、九班男生比四、五、六班總?cè)藬?shù)少1人因此，一至九班的男生總數(shù)是二、三、四、五、六共五個(gè)班的人數(shù)之和，由于每班人數(shù)均相等，那么女生總數(shù)等于四個(gè)班的人數(shù)之和．所以，男、女生人數(shù)之比是一些蘋果平均分給甲、乙兩班的學(xué)生，甲班比乙班多分到個(gè)，而甲、乙兩班的人數(shù)比為，求一共有多少個(gè)蘋果？【解析：】一共有個(gè)蘋果。一班和二班的人數(shù)之比是，如果將一班的名同學(xué)調(diào)到二班去，那么一班和二班的人數(shù)比變?yōu)椋笤瓉韮砂嗟娜藬?shù)？【解析：】原來一班的人數(shù)為兩班總?cè)藬?shù)的，調(diào)班后一班的人數(shù)是兩班人數(shù)的，調(diào)班前后一班人數(shù)的比值為，所以一班原來的人數(shù)為人，二班原來的人數(shù)為人。幼兒園大班和中班共有32名男生，18名女生．大班男生數(shù)與女生數(shù)的比為，中班男生數(shù)與女生數(shù)的比為，那么大班有女生多少名？【解析：】由于男、女生人數(shù)有比例關(guān)系，而且知道總數(shù)，所以可以用雞兔同籠的方法．假設(shè)18名女生全部是大班，那么大班男生數(shù)：女生數(shù)，即男生應(yīng)有30人，實(shí)際上男生有32人，相差2個(gè)人；又中班男生數(shù)：女生數(shù)，以3個(gè)中班女生換3個(gè)大班女生，每換一組可增加1個(gè)男生，所以需要換2組；所以，大班女生有(名)甲、乙兩只螞蟻同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方形的邊爬去，結(jié)果在距點(diǎn)厘米的點(diǎn)相遇，乙螞蟻的速度是甲的倍，求這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)?！窘馕觯骸?jī)芍晃浵佋诰帱c(diǎn)厘米的點(diǎn)相遇，說明乙比甲一共多走了(厘米)．又知乙螞蟻的速度是甲螞蟻的倍，相同時(shí)間內(nèi)乙螞蟻爬的路程與甲螞蟻爬的路程比為：1.2：1＝6：5，所以甲爬的路程是(厘米)，乙爬的路程是(厘米)，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為(厘米)甲乙兩車分別從A，B兩地出發(fā)，相向而行．出發(fā)時(shí)，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度減少20％，乙的速度增加20％，這樣，當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙離A地還有10千米．問：A，B兩地相距多少千米？【解析：】甲、乙原來的速度比是5∶4，相遇后的速度比是：[5×〔1－20％〕]∶[4×〔1＋20％〕]＝4∶4．8＝5∶6．相遇時(shí)，甲、乙分別走了全程的和。設(shè)全程x千米，剩下的局部甲行的長(zhǎng)度和乙行的長(zhǎng)度之比為5：6，其中相遇后甲行駛了全長(zhǎng)的4/9，所以乙行駛了全長(zhǎng)的，所以乙一共行了全長(zhǎng)，還剩1-＝，沒有走所以A、B全長(zhǎng)為450千米師徒二人加工一批零件，師傅加工一個(gè)零件用9分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用15分鐘．完成任務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加工100個(gè)零件，求師傅和徒弟一共加工了多少個(gè)零件？【解析：】師傅與徒弟的工作效率之比是，工作時(shí)間相同，工作量與工作效率成正比，所以師傅與徒弟分別完成總量的和，師傅和徒弟一共加工了個(gè)零件、、三個(gè)水桶的總?cè)莘e是公升，如果、兩桶裝滿水，桶是空的；假設(shè)將桶水的全部和桶水的，或?qū)⑼八娜亢屯八牡谷胪埃岸记『醚b滿．求、、三個(gè)水桶容積各是多少公升？【解析：】根據(jù)題意可知，桶水的全部加上桶水的等于桶水的全部加上桶水的，所以桶水的等于桶水的，那么桶水的全部等于桶水的，桶水為桶水的．所以、、三個(gè)水桶的容積之比是．又、、三個(gè)水桶的總?cè)莘e是公升，所以桶的容積是公升，桶的容積是公升，桶的容積是公升。一塊長(zhǎng)方形鐵板，寬是長(zhǎng)的．從寬邊截去厘米，長(zhǎng)邊截去以后，得到一塊正方形鐵板．問原來長(zhǎng)方形鐵板的長(zhǎng)是多少厘米？【解析：】如果只將長(zhǎng)邊截去，寬、長(zhǎng)之比為，所以寬邊的長(zhǎng)度為厘米，所以原來鐵板的長(zhǎng)為厘米一把小刀售價(jià)元．如果小明買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)剩余的錢數(shù)之比是；如果小強(qiáng)買了這把小刀，那么兩人剩余的錢數(shù)之比變?yōu)椋∶髟瓉碛卸嗌馘X？【解析：】由，小強(qiáng)的錢相當(dāng)于小明、小強(qiáng)買刀后所剩錢數(shù)和的，小明的錢相當(dāng)于小