高等數(shù)學課件D8-5隱函數(shù)求導

第八章第五節(jié)機動目錄上頁下頁返回結束一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導數(shù)隱函數(shù)的求導方法1/1/2024多元函數(shù)本節(jié)討論:1)方程在什么條件下才能確定隱函數(shù).例如,

方程當C<0時,能確定隱函數(shù);當C>0時,不能確定隱函數(shù);2)在方程能確定隱函數(shù)時,研究其連續(xù)性、可微性及求導方法問題.機動目錄上頁下頁返回結束1/1/2024多元函數(shù)一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù)定理1.

設函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導公式)定理證明從略，僅就求導公式推導如下：①具有連續(xù)的偏導數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個在點的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件機動目錄上頁下頁返回結束導數(shù)1/1/2024多元函數(shù)兩邊對x求導在的某鄰域內(nèi)則機動目錄上頁下頁返回結束1/1/2024多元函數(shù)若F(x,y)的二階偏導數(shù)也都連續(xù),二階導數(shù):則還有機動目錄上頁下頁返回結束1/1/2024多元函數(shù)例1.驗證方程在點(0,0)某鄰域可確定一個單值可導隱函數(shù)解:

令連續(xù),由定理1可知,①導的隱函數(shù)則②③在x=0

的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且機動目錄上頁下頁返回結束并求1/1/2024多元函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束1/1/2024多元函數(shù)兩邊對x求導兩邊再對x求導令x=0,注意此時導數(shù)的另一求法—利用隱函數(shù)求導機動目錄上頁下頁返回結束1/1/2024多元函數(shù)定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù),則方程在點并有連續(xù)偏導數(shù)定一個單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導公式推導如下:滿足①在點滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確機動目錄上頁下頁返回結束1/1/2024多元函數(shù)兩邊對x求偏導同樣可得則機動目錄上頁下頁返回結束1/1/2024多元函數(shù)例2.設解法1利用隱函數(shù)求導機動目錄上頁下頁返回結束再對x

求導1/1/2024多元函數(shù)解法2

利用公式設則兩邊對x求偏導機動目錄上頁下頁返回結束1/1/2024多元函數(shù)例3.設F(x,y)具有連續(xù)偏導數(shù),解法1利用偏導數(shù)公式.確定的隱函數(shù),則已知方程機動目錄上頁下頁返回結束故1/1/2024多元函數(shù)對方程兩邊求微分:解法2微分法.機動目錄上頁下頁返回結束1/1/2024多元函數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由F、G

的偏導數(shù)組成的行列式稱為F、G的雅可比(Jacobi)行列式.以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例,即雅可比目錄上頁下頁返回結束1/1/2024多元函數(shù)定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)且有偏導數(shù)公式:①在點②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:導數(shù)；機動目錄上頁下頁返回結束1/1/2024多元函數(shù)定理證明略.僅推導偏導數(shù)公式如下：(P34-P35)機動目錄上頁下頁返回結束1/1/2024多元函數(shù)有隱函數(shù)組則兩邊對x求導得設方程組在點P

的某鄰域內(nèi)公式目錄上頁下頁返回結束故得系數(shù)行列式1/1/2024多元函數(shù)同樣可得機動目錄上頁下頁返回結束1/1/2024多元函數(shù)例4.

設解:方程組兩邊對x求導，并移項得求練習:

求機動目錄上頁下頁返回結束答案:由題設故有1/1/2024多元函數(shù)例5.設函數(shù)在點(u,v)的某一1)證明函數(shù)組(x,y)的某一鄰域內(nèi)2)求解:1)令對x,y的偏導數(shù).在與點(u,v)對應的點鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù),且唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的反函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束1/1/2024多元函數(shù)①式兩邊對x求導,得機動目錄上頁下頁返回結束則有由定理3

可知結論1)成立.2)求反函數(shù)的偏導數(shù).①②1/1/2024多元函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束從方程組②解得同理,①式兩邊對y求導,可得1/1/2024多元函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束從方程組②解得同理,①式兩邊對y求導,可得1/1/2024多元函數(shù)例5的應用:計算極坐標變換的反變換的導數(shù).同樣有所以由于機動目錄上頁下頁返回結束1/1/2024多元函數(shù)內(nèi)容小結1.隱函數(shù)(組)存在定理2.隱函數(shù)(組)求導方法方法1.利用復合函數(shù)求導法則直接計算;方法2.利用微分形式不變性;方法3.代公式思考與練習設求機動目錄上頁下頁返回結束1/1/2024多元函數(shù)提示:

機動目錄上頁下頁返回結束1/1/2024多元函數(shù)解法2.利用全微分形式不變性同時求出各偏導數(shù).作業(yè)

P373,6，7,9,10(1);(3)，11第六節(jié)目錄上頁下頁返回結束由dy,dz

的系數(shù)即可得1/1/2024多元函數(shù)備用題分別由下列兩式確定:又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導數(shù),1.

設解:兩個隱函數(shù)方程兩邊對x

求導,得(2001考研)機動目錄上頁下頁返回結束解得因此1/1/2024多元函數(shù)2.設是由方程和所確定的函數(shù),求解法1

分別在各方程兩端對x

求導,得(99考研)機動目錄上頁下頁返回結束1/1/2024多元函數(shù)解法2

微分法.對各方程兩邊分別求微分:化簡得消去機動目錄上頁下頁返回結束可得1/1/2024多元函數(shù)解:二元線性代數(shù)方程組解的公式1/1/2024多元函數(shù)雅可比(1804–1851)德國數(shù)學家.他在數(shù)學方面最主要的成就是和挪威數(shù)學家阿貝兒相互獨地奠定了橢圓函數(shù)論的基