復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)二

第二講復(fù)變函數(shù)1第四節(jié)區(qū)域一、區(qū)域的概念二、單連通域與多連通域2一、區(qū)域的概念1.鄰域:說明32.去心鄰域:說明43.內(nèi)點(diǎn):4.開集:如果G內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),那末G稱為開集.55.區(qū)域:如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件,則稱它為一個(gè)區(qū)域.(1)D是一個(gè)開集；(2)D是連通的,就是說D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來.6.邊界點(diǎn)、邊界:

設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域,如果點(diǎn)P不屬于D,但在P

的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的點(diǎn),這樣的P點(diǎn)我們稱為D的邊界點(diǎn).6D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界.說明(1)區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的.(2)區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域7以上基本概念的圖示區(qū)域鄰域邊界點(diǎn)邊界7.有界區(qū)域和無界區(qū)域:8(1)圓環(huán)域:課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)無界.9二、單連通域與多連通域1.連續(xù)曲線:平面曲線的復(fù)數(shù)表示:102.光滑曲線:由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線.113.簡單曲線:

沒有重點(diǎn)的曲線C稱為簡單曲線(或若爾當(dāng)曲線).12換句話說,簡單曲線自身不相交.簡單閉曲線的性質(zhì):任意一條簡單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集.內(nèi)部外部邊界13課堂練習(xí)判斷下列曲線是否為簡單曲線?答案簡單閉簡單不閉不簡單閉不簡單不閉144.單連通域與多連通域的定義:復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B,如果在其中任作一條簡單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,就稱為單連通域.一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域.單連通域多連通域15

1.復(fù)變函數(shù)的定義

2.映射的概念§5復(fù)變函數(shù)16一、復(fù)變函數(shù)的定義1.復(fù)變函數(shù)的定義:172.單(多)值函數(shù)的定義:3.定義集合和函數(shù)值集合:184.復(fù)變函數(shù)與自變量之間的關(guān)系:例如,19二、映射的概念1.引入:202.映射的定義:21223.兩個(gè)特殊的映射:23且是全同圖形.2425根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法公式可知,26(如下頁圖)27將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中同一個(gè)長方形.28以原點(diǎn)為焦點(diǎn),開口相左的拋物線.(圖中紅色曲線)以原點(diǎn)為焦點(diǎn),開口相右的拋物線.(圖中藍(lán)色曲線)294.反函數(shù)的定義:30根據(jù)反函數(shù)的定義,當(dāng)反函數(shù)為單值函數(shù)時(shí),今后不再區(qū)別函數(shù)與映射.31解三、典型例題例1還是線段.32例1解33例1解仍是扇形域.34例2解35所以象的參數(shù)方程為36第六節(jié)復(fù)變函數(shù)的極限

和連續(xù)性一、函數(shù)的極限二、函數(shù)的連續(xù)性37一、函數(shù)的極限1.函數(shù)極限的定義:注意:382.極限計(jì)算的定理定理一證根據(jù)極限的定義(1)必要性.39(2)充分性.40[證畢]說明41定理二與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似.42例1證(一)43根據(jù)定理一可知,證(二)4445例2證46根據(jù)定理一可知,47二、函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)的定義:48定理三例如,49定理四50特殊的:(1)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式)(2)有理分式函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零的點(diǎn)也是連續(xù)的.51