2023年初中學(xué)業(yè)水平考試模擬摸底卷山西卷（含答案）

2023年度初中學(xué)業(yè)水平考試模擬摸底卷（山西卷）

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.本試卷共8頁，滿分120分，考試時間為120分鐘.

2.本試卷采用網(wǎng)閱形式閱卷，請將答題信息與答題過程在配套的答題卡上完成，試卷上答

題無效.

3.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等相關(guān)信息填寫在本試卷配套答題卡的相應(yīng)

的位置里.

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷選擇題（共30分）

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，在每個小題給出的四

個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.下列各數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是（）

2.下列運算正確的是（

A.a3-cr=2da3+.a3=c2a,

3.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體是（

主視圖左視圖俯視圖

A.正方體B.圓錐C.圓柱D.球

4.從1,2,3這三個數(shù)中任取兩數(shù)，分別記為機，n,那么點（根,〃）在反比例函數(shù)y=B圖

象上的概率為（）

1-1八4「2

A.—B.—C.—D.一

2399

5.如圖，AB為。。的直徑，A5=10cm,C、D為。上兩點，若N3CD=60°,則8。

的長為（）

A.5cmB.5百cmC.-cmD.cm

22

6.如圖，的頂點。與坐標(biāo)原點重合，頂點/,8分別在第二、三象限，且A3,x軸,

若AB=2，OA=OB=M,則點/的坐標(biāo)為（）

B.（2,-1）

C.（-2,-1）D.（2,1）

7.在_A8C中，NA5c=90。，45=1,ACf，過點A作直線m〃8C,將一ABC

繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置,此時點C的對應(yīng)點C恰好落在直線m上,則NCBC'的

度數(shù)為（）

C.60°D.75°

8.夏至是二十四節(jié)氣之一，俗語道“不過夏至不熱”，如圖是我省某地夏至后某一周的最高

氣溫折線統(tǒng)計圖，則這一周最高氣溫的眾數(shù)是（）

D.37。。

9.如圖，在ABC中，AB^AC,以點C為圓心，C3長為半徑畫弧，交AB于點8和。

分別以點8,。為圓心，大于1劭長為半徑畫弧，兩弧交于點M,作射線CM交力8于點

2

E,若AE=5,8E=1,則EC的長度為（)

A.3B.710c.V1TD.2V3

10.如圖，在邊長為4的正六邊形中，先以點B為圓心，AB的長為半徑作AC，

再以點Z為圓心，A3的長為半徑作BP交AC于點P，則圖中陰影部分的面積為（）

D.26

第□卷非選擇題（共90分）

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.分解因式：ab2-a=□

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，08在x軸上，口/四二四。，點N的坐標(biāo)為（2,4）,將A/OB

k

繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)90。，點。的對應(yīng)點C恰好落在反比例函數(shù)y=￡的圖象上，則上的值為

13.某校七年級籃球聯(lián)賽，每個班分別要比賽36場，積分規(guī)則是：勝1場計2分，負(fù)1場計

1分.七（1）班和七（2）班為爭奪一個出線名額，展開激烈競爭.目前七（1）班的戰(zhàn)績是17

勝13負(fù)積47分，七（2）班的戰(zhàn)績是15勝16負(fù)積46分.則七（1）班在剩下的比賽中至少

需勝場可確保出線.

14.如圖，在平行四邊形ABC。中，AE:EB=1:3,若則_C0F的面積為

15.如圖，在等邊中，AB=4,。為的中點，連接AO,將八繞著點A逆

時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACO,連接BD'交A￡＞于點E，則BE的長為

BDC

三、解答題（本大題共8個小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和

演算步驟）

16.（每小題5分，共10分）

（1）計算：

（6）2_（乃一3）°x（g）T+|l_0|

（2）下面是小明同學(xué)解分式方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

2x—1x—\2

3x4-6x+2

2x—1x—1

解：訴5=3-2第一步,

2x-l=3（x-1）-2第二步，

2x—l=3x—3—2第三步，

一%=一4第四步，

x=4第五步,

經(jīng)檢驗x=4是原方程的根第六步，

任務(wù)一：以上解方程步驟中，第是;

任務(wù)二：請直接寫出該分式方程的正確結(jié)果；

任務(wù)三：除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，就解分式方程時還需要注意的事項

給其他同學(xué)提一條建議.

17.（7分）數(shù)學(xué)課上，王老師布置如下任務(wù)：如圖，已知ZM4N<45。，點5是射線AA/上

的一個定點，在射線AN上求作點C（C在A和N之間），使/BCN=2NA.

下面是小路設(shè)計的尺規(guī)作圖過程.

作法：作線段4B的垂直平分線/,直線/交射線AN于點C,則點C即為所求.

根據(jù)小路設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：連接BC,

□直線/為線段AB的垂直平分線,

CA=,（）（填推理的依據(jù)）

□ZA=Z/WC,

□ZBCW=Z4+ZABC（）（填推理的依據(jù)）

NBCN=2/A

（3）能否在射線AN上再求作點力，使=若能簡要說明作法，并使用直尺和圓

規(guī)畫出圖形.

18.（8分）某超市以每千克40元的價格購進(jìn)菠蘿蜜，計劃以每千克60元的價格銷售，為

了讓顧客得到實惠.現(xiàn)決定降價銷售，已知這種菠蘿蜜銷售量y（千克）與每千克降價x（元）

（0<x<20）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）若超市要想獲利2400元，且讓顧客獲得更大實惠，這種菠蘿蜜每千克應(yīng)降價多少元？

19.（8分）晉?。ㄉ轿靼鹱樱┦俏覈狈降囊粋€重要戲劇劇種，也叫中路戲，是國家級非物

質(zhì)文化遺產(chǎn).今年我省推出文化下鄉(xiāng)活動。某校在傳統(tǒng)文化活動周期間擬向同學(xué)們推介晉劇,

并就“你想要聽哪部晉劇曲目''調(diào)查了部分學(xué)生，選擇曲目有：A.《打金枝》，B.《戰(zhàn)宛城》,

C.《殺宮》，D《火焰駒》，E,《雙鎖山》，每個學(xué)生只能選擇一部，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制了如

下不完整的統(tǒng)計圖.

請根據(jù)以上信息，解答下列問題:

（1）請補全條形統(tǒng)計圖；

（2）在扇形統(tǒng)計圖中，扇形A的圓心角是多少度？

（3）若該校共有2000名學(xué)生，請你估計想聽《戰(zhàn)宛城》的學(xué)生有多少人？

（4）要從這些被調(diào)查的學(xué)生中隨機抽取一人進(jìn)行訪談，那么正好抽到想聽《火焰駒》的學(xué)

生的概率是多少？

20.（8分）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：

弗朗索瓦?韋達(dá)，法國杰出數(shù)學(xué)家.第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示己知數(shù)、未知

數(shù)及其乘哥，帶來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步，在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父他還發(fā)現(xiàn)

從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項（切

割線定理）.

如圖1,P是外一點，PC是。的切線，出是。的一條割線，與〉°的另一個交點

為B,則PC=PAPB.

證明：如圖2,連接AC、BC,過點c作°的直徑C。，連接AO.

□PC是。的切線，口戶。，。。，

NPCD=90°,即ZPCB+NBCD=90°.

任務(wù):

（1）請按照上面證明思路寫出該證明的剩余部分.

（2）如圖3,PA與。相切于點4連接尸。并延長與O交于點、B、C,NP=NBAD,BC=8,

AP=3BP,連接CO.

□CD與AP的位置關(guān)系是

」求8。的長.

21.（本題9分）如圖是小開家所在居民樓，樓底C點的左側(cè)30米處有一個山坡，坡角為

30°,￡點處有一個圖書館，山坡坡底到圖書館的距離為40米，在圖書館E點處測得小開家

的窗戶8點的仰角為45。，居民樓與山坡的剖面在同一平面內(nèi).

AC□

B□

□

□

□

□

（1）求的高度；（結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：V3?1.73）

（2）某天，小開到家后發(fā)現(xiàn)有資料落在圖書館，此時離圖書館閉館僅剩5分鐘，若小開在

平地的速度為6m/s,上坡速度為4m/s,電梯速度為1.25m/s,等候電梯及上、下乘客

所耽誤的時間共3分鐘，請問小開能否在閉館前趕到圖書館？

22.（12分）綜合與實踐

問題情境

如圖1,已知線段AB=6,射線4W_LA6,射線5N_LA3,點。在射線AM上沿著AM

的方向運動，過點。作。交BN于點C,點E是AO的中點，連接BE,將ABE

沿著8E折疊，點/的對應(yīng)點為點尸，連接Ab,CF.

MNMN

ABAB

圖1圖2

探究展示：

CF2

(1)當(dāng)NA8E=30°時，求匕y的值；

AF2

(2)如圖2,延長Ab交QC于點G,當(dāng)點G恰好是。。中點時，求證：四邊形A8C0是

正方形；

拓展探究：

(3)在圖2中，若AB=A。，直接寫出°尸的長度.

23.(13分)如圖1,已知拋物線了=-/+法+。與直線8。交于3(3,0),。(0,3)兩點，與x

軸的另一個交點為a點〃是直線3c上方拋物線的一動點,過點河作兒〃)，尤軸，交BC

于點E.

r

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式和直線BC的解析式；

(2)當(dāng)點E是“。的三等分點時，求此時點“的坐標(biāo)：

(3)如圖2,直線AF與拋物線交于4尸兩點，F(xiàn)|,若點。是)，軸上一點，且

^AFQ=450,請直接寫出點。的坐標(biāo).

第I卷選擇題（共30分）

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，在每個小題給出的四

個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.下列各數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是（）

A.|-5|B.0C,-1D

【答案】C

【解析】

1-51=5是正數(shù)，A錯誤，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，B錯誤。CT是負(fù)數(shù)，

一（一|）.=1正數(shù)。所以選C。

3.下列運算正確的是（）

A.a3-a3=2a6B.a3=2a。

626

C.a^a^aD.=-Sa

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)基的運算法則，合并同類型法則即可判斷.

【詳解】人././=。6,故此選項不符合題意.

B.a3+/=2a3,故此選項不符合題意.

C./+/=故此選項不符合題意.

D.（—2/丫=（-2）3（6）3=一8冷,正確，故此選項符合題意.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了幕的運算法則，合并同類型法則，熟練掌握慕的運算法則，合并同

類型法則是解此題的關(guān)鍵.

3.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體是（）

主視圖左視圖俯視圖

A.正方體B,圓錐C.圓柱D.球

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)簡單幾何體的三視圖即可判斷.

【詳解】解：???幾何體的主視圖和俯視圖都是寬度相等的長方形，

，該幾何體是一個柱體，

?.?俯視圖是一個圓，

，該幾何體是一個圓柱體；

故選C.

【點睛】此題主要考查由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是熟知簡單幾何體的三視圖.

4.從1,2,3這三個數(shù)中任取兩數(shù)，分別記為加，n,那么點（根,〃）在反比例函數(shù)y=［圖

象上的概率為（）

Ic1c4「2

A.-B.-C.—D.—

2399

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點坐標(biāo)特征可得出加〃=6,列表或畫樹狀圖找出所有〃2〃

的值，然后根據(jù)概率公式分析求解.

【詳解】解：?.?點（加,〃）在反比例函數(shù)＞圖象上，

mn=6.

畫樹狀圖如下:

開始

m

共6種等可能結(jié)果，其中符合題意的有2利J

點（加,〃）在反比例函數(shù)y='圖象上的概率為|=

故選：B.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及列表法與樹狀圖法，掌握反比例函

數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征及概率的概念是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，為O。的直徑，AB=10cm,c、D為。上兩點，若488=60°,則

的長為（）

A

A.5cmB.5百cmC.-cmD.cm

22

【答案】B

【解析】

【分析】如圖：連接A。，根據(jù)直徑所對的圓周角為90。可得NAD8=90°,再根據(jù)同弧

所對的圓周角相等可得N84）=N」BC￡>=60。，最后根據(jù)正弦的定義列式求解即可.

【詳解】解：如圖：連接AD

：A3為「。的直徑，

ZADB=9Q°

./BCD=60°，BD=BD

；?ZBAD=ZBCD=600

???$缶/。48=些=立,殷=立,解得：BD=5yf3.

AB2102

故選B.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、正弦的定義等知識點，掌握“直徑所對的圓周角為90°”

和“同弧所對的圓周角相等”是解答本題的關(guān)鍵.

6.如圖，一。45的頂點。與坐標(biāo)原點重合，頂點4B分別在第二、三象限，且A3,x軸，

若A6=2,OA=OB=赤,則點4的坐標(biāo)為()

C.(-2,-1)D,(2,1)

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)AB與x軸交于點C,利用勾股定理求出。。長，根據(jù)點所在象限寫出坐標(biāo).

詳解】解：設(shè)A5與x軸交于點C,

VOA=OB,軸，

AC=BC=l,

OC=V(9A2-AC2=J(V5)2-!2=2.

:點/在第二象限,

.??點”的坐標(biāo)為（一2,1）

故選A.

【點睛】本題考查勾股定理，點的坐標(biāo)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

8.在一ABC中，ZABC=90°,AB=\,ACf，過點A作直線機〃8C,將一A8C

繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置,此時點C的對應(yīng)點C恰好落在直線m上，則NCBC'的

度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】A

【解析】

【分析】由勾股定理可求出BC=2,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出8C'=BC=2.由平行線

4R1

的性質(zhì)可知/B4C'=90。，ZCBC'=ZAC'B.又可求出一；=一,由特殊角的三角函數(shù)

BC2

值得出ZACB=30°,從而得出ZCBC'=30°.

【詳解】由題意可求出在RtAABC中，BC=JAC?_斗4=_儼=2.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BC'=BC=2,

m//BC.

NBA。'=180°—ZABC=90°,NCBC'=ZACB.

又AB=\，

sinZAC'B=^-=-,

BC'2

ZACB=30°,

ZCBC'=30°.

故選A.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)值.熟練掌握

上述知識點并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

8.夏至是二十四節(jié)氣之一，俗語道“不過夏至不熱”，如圖是我省某地夏至后某一周的最高

氣溫折線統(tǒng)計圖，則這一周最高氣溫的眾數(shù)是（)

C.33℃D.37℃

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義（眾數(shù)就是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)）即可得.

【詳解】解：由圖可知，這組數(shù)據(jù)中，33出現(xiàn)次數(shù)最多,

則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是33。（2,

故選：C.

【點睛】本題考查了眾數(shù)，熟記定義是解題關(guān)鍵.

9.如圖，在工ABC中，AB=AC,以點C為圓心，C8長為半徑畫弧，交A6于點8和。,

分別以點8,。為圓心，大于,6〃長為半徑畫弧，兩弧交于點作射線CM交N8于點

2

E,若AE=5,BE=1,則EC的長度為（）

A

A.3B.V10C.VTlD.2g

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本作圖可知CE1AB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AC=6,然后利用勾

股定理求解即可.

【詳解】解：由作法得CE1AB,

/.ZA￡C=90°.

?：AE=5,BE=1

AC=AB=BE+AE=5+1=6,

在RtACE中，CE=\l6-52=d,

故選：c.

【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，作圖-作垂線，以及勾股定理，得出NAEC=90°是

解答本題的關(guān)鍵.

10.如圖，在邊長為4的正六邊形A5CZJE中，先以點8為圓心，AB的長為半徑作AC，

再以點”為圓心，A8的長為半徑作BP交AC于點P，則圖中陰影部分的面積為（）

AC

B

C.46T

A.473+—B.46D.273

3

【答案】B

【解析】

【詳解】解：如圖，連接AP、PB,過點P作PGLA8,上任取一點M,

由題意可知：PA=PB=AB=4<

.—245是等邊三角形，ZPBA=60°,

PG1AB,

pQ

.?在RtPGB中,sin60°=——

PB

??.PG=PBsin60。=4x走=26,

2

SPAB=gx4x,

NPBA=ZPAB=60°,

60°a228萬

S扇形PA8=S扇形A8P=----------X7VX4=—

360°3

S弓形8Mp=S扇形戶AB-S-AB普~-4日

???六邊形ABCDEF是正六邊形,

ZABC=120°,

c120°916萬

崩形ABC360。3

S陰影=S扇形ABC-S扇形MP-S弓形BMP>

_16萬8%8萬

?“陰影n40,

二陰影部分的面積為4AQ,

故選：B.

E

【點睛】本題考查了扇形的面積、等邊三角形的性質(zhì)和判定、三角函數(shù)值和正多邊形的內(nèi)角

和，熟練運用扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

第1卷非選擇題（共90分）

三、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.分解因式：ab2-a=______□

【答案】a（6+1）（/）-1）

【解析】

【詳解】解：原式（/>+1）（/,-1）,

故答案為a（6+1）（b-1）

【點睛】本題考查了提公因式法、公式法分解因式，熟記平方差公式的結(jié)構(gòu)特點是解題的關(guān)

鍵.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。8在x軸上，口/80=90。，點力的坐標(biāo)為（2,4）,將

繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)90。，點。的對應(yīng)點C恰好落在反比例函數(shù)y='的圖象上，則左的值為

X

【分析】根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可以得到點C的坐標(biāo)，把點C坐標(biāo)代入反比例函數(shù)產(chǎn)七k

中，即可求出k的值.

【詳解】DOB在x軸上，ABO=90。，點A的坐標(biāo)為（2,4）,□OB=2,AB=4

□WDAOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,□AD=4,CD=2,KAD//x軸

□點C的坐標(biāo)為（6,2）,

k

□點O的對應(yīng)點c恰好落在反比例函數(shù)尸一的圖象上，

x

□k=2x6=12,

故答案為12.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)，解答本題的

關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

15.某校七年級籃球聯(lián)賽，每個班分別要比賽36場，積分規(guī)則是：勝1場計2分，負(fù)1場計

1分.七（1）班和七（2）班為爭奪一個出線名額，展開激烈競爭.目前七（1）班的戰(zhàn)績是17

勝13負(fù)積47分,七（2）班的戰(zhàn)績是15勝16負(fù)積46分.則七（1）班在剩下的比賽中至少

需勝場可確保出線.

【答案】4

【分析】由題意可知，七（1）班還剩6場比賽，七（2）班還剩5場比賽，七（2）班最多

能夠得56分，七（1）班要想出線，得分必須超過56分，設(shè)七（1）班在剩下的比賽中需勝

x場，由此列出不等式，解不等式即可求解.

【詳解】由題意可知，七（1）班還剩6場比賽，七（2）班還剩5場比賽，七（2）班最多

能夠得：46+2x5=56（分），七（1）班要想出線，得分必須超過56分，設(shè)七（1）班在剩下

的比賽中需勝x場，則七（1）班的總得分為：［47+2x+（6-x）］分，

□47+2x+（6-x）>56,

解得，x>3,

■x取整數(shù)，

□x最小為4,

即七（1）班在剩下的比賽中至少需勝4場可確保出線.

故答案為4.

【點睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意得到七（1）班要想出線得分必須超

過56分是解決問題的關(guān)鍵.

14.如圖，在平行四邊形A8C。中，AE:EB=l:3,若S^EF=1,則C"的面積為

【答案】16

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得：AAFESACFD,根據(jù)相似的性質(zhì)可得：SMFE:Sw=l：16,

且=1,即可求得一CDf的面積為16.

【詳解】□在YABCD中，AE:EB=1:3,

□A￡:CD=1:4,ABCD

：.4FAE=NFCD,

,/ZAFE=NCFD,

□AAFESACFD,

:.AF:CF=AE:CD=1:4,

LIS&AFE：S^CFO=1：16,且S&AEF=1，

口S.CFD=16，

故答案為：16.

【點睛】本題主要考查了利用相似比求面積，理解相似比的特征是解決本題的關(guān)鍵.

15.如圖，在等邊中,AB=4.。為BC的中點，連接AO,將...ABD繞著點A逆

時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACD,連接BD,交A。于點E,則BE的長為_______.

A

平,

BDC

【答案】"

【解析】

【分析】過點作DEJ_AD于點/，過點W作D'G_L5C交8C的延長線于點G,根

據(jù)勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)得出8。'=2近，證明

BZ)￡S：Q￡E，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點M作。4)于點尸，過點￡>C作。'GL5C交的延

長線于點G,

在等邊2ABe中，A6=4,。為BC的中點，

AD1BC,BD^-BC^-AB^l,

22

AD=6BD=20，

□將t.ABD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到^ACD',

；.NDAD'=60。,AD=AD'-NACD=NABO=60。,

/.是等邊三角形，

D'F=—AD=3,

2

?:ZD'CG=180-ZACB-ZACD'=60°,

NCD'G=30。，

：.CG=-CD'=-BD=\,

22

D，G=￡CG=6,

在RtAQ'G中，3G=Z?C+CG=4+1=5,

BD'=^BG2+D'G2=收+（可=2百，

VBDLAD,DT±AD,

，BD//D'F，

，LBDESAFE，

.BEBD2

,,赤一同-5'

/.BE=^B?=氈~，

55

故答案為：巫.

5

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾

股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共8個小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和

演算步驟)

16.(每小題5分，共10分)

(1)計算：

(V3)2-(^--3)°x(1)-'+11-^1

【答案】⑴0

【分析】(1)根據(jù)零次幕，負(fù)整數(shù)指數(shù)累，實數(shù)的混合運算進(jìn)行計算即可求解；

【詳解】解：(1)—+I1-V2I

=3-1x2+72-1

=V2;

(2)下面是小明同學(xué)解分式方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

2x—1x—12

3x4-6x+2

2x—1x—1

解：許廠排一2第一步,

2x-l=3(x-1)-2第二步，

2x-l=3x-3-2第三步，

—x=~4第四步，

x=4第五步，

經(jīng)檢驗x=4是原方程的根第六步，

任務(wù)一：以上解方程步驟中，第是;

任務(wù)二：請直接寫出該分式方程的正確結(jié)果；

任務(wù)三：除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，就解分式方程時還需要注意的事項

給其他同學(xué)提一條建議.

【答案】

（2）任務(wù)一：二，去分母時等號右邊的2漏乘了3（x+2）；任務(wù)二：x=-y；任務(wù)三：答

案不唯一，如：括號前面是"一"，去括號后，括號各項都要變號；注意分式化簡與解分式方

程的區(qū)別等.

（2）根據(jù)分式方程的解法來進(jìn)行計算求解.

【詳解】解：（1）原式=26-3-2X6+1=-2

（2）任務(wù)一：二，去分母時等號右邊的2漏乘了3（x+2）

2x—1x—1

任務(wù)二:將2變形得

3x+6x+2

2x—1x—1

3（x+2）x+2

去分母得

2x-l=3（x-l）-2x3x（%+2）,

去括號得

2x-1=3%—3—6x—12r

移項并合并同類項得

5x=-14,

14

解得工=-1,

14

經(jīng)檢驗x=-是原分式方程的根,

14

」原分式方程的解是x二-三；

任務(wù)三：答案不唯一，如：括號前面是"一"，去括號后，括號各項都要變號；注意分式化簡

與解分式方程的區(qū)別等.

【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算運算、分式方程的解法.理解負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、零指數(shù)幕、

最簡二次根式，特殊角的三角函數(shù)值和分式方程的解題步驟是解答關(guān)

18.(7分)數(shù)學(xué)課上，王老師布置如下任務(wù)：如圖，已知WW<45。，點8是射線AM上

的一個定點，在射線AN上求作點C(C在A和N之間)，使/3CN=2/A.

下面是小路設(shè)計的尺規(guī)作圖過程.

作法：作線段A8的垂直平分線/,直線/交射線AN于點C,則點C即為所求.

根據(jù)小路設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形：(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明：

證明：連接8C,

□直線/為線段AB的垂直平分線，

□。=,()(填推理的依據(jù))

□ZA=ZABC,

□ZBCN=ZA+^ABC()(填推理的依據(jù))

NBCN=2/A

(3)能否在射線AN上再求作點。，使=若能簡要說明作法，并使用直尺和圓

規(guī)畫出圖形.

【答案】(1)見解析

(2)C8；線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；三角形的一個外角等于與它不相鄰

的兩個內(nèi)角的和

(3)能，作法與圖形見解析

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線的作法：分別以點A、點5為圓心，以大于;AB長為半

徑，在線段48兩側(cè)畫弧，交線段A8兩側(cè)于兩點，連接兩交點，交AN于點C,據(jù)此作圖

即可;

(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得出C4=CB,再根據(jù)等邊對等角，得出NA=NABC,

再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得出ZBaV=N4+N4BC,再根據(jù)等量代換，即可得出結(jié)論；

(3)以點5為圓心，BC長為半徑作弧，交射線AN于另一點。，則點。即為所求：根據(jù)

等邊對等角，得出/BCD=N5￡)C=2ZA,進(jìn)而即可得出NAE)8=2/A.

【詳解】(1)解：補全的圖形如圖所示；

(2)證明：連接BC,

□直線/為線段AB的垂直平分線，

CA=CB(線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等)，

□ZA=ZABC,

□ZBC7V=ZA+ZABC(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和)，

□NBCN=2NA.

故答案為：C3；線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；三角形的一個外角等于與

它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

(3)解：能.以點8為圓心，8c長為半徑作弧，交射線AN于另一點。，則點。即為所

求.

口NBCN=2NA,

又［BC=BD,

NBCD=NBDC=2ZA,

即=

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖能力以及線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊對等角、三角形外角的

性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

18.（8分）某超市以每千克40元的價格購進(jìn)菠蘿蜜，計劃以每千克60元的價格銷售，為

了讓顧客得到實惠.現(xiàn)決定降價銷售，己知這種菠蘿蜜銷售量近千克）與每千克降價x（元）

（0<X<20）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）若超市要想獲利2400元，且讓顧客獲得更大實惠，這種菠蘿蜜每千克應(yīng)降價多少元？

【答案】（1）y=20x+60（0<x<20）

（2）12元

【解析】

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出函數(shù)關(guān)系式.

（2）根據(jù)總利潤=每千克的利潤x銷量，列一元二次方程，解方程即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為〉=米+。（左。0）,

/、/、（2左+/?=100

由題意可知，將（2,100）和（5,160）代入尸質(zhì)+人中得，15^+/7_160

k=20

解得:

b=60

■■-y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=20x+60（0<x<20）

故答案為：y-20x+60（0<x<20）

【小問2詳解】

解：根據(jù)題意得（60—x—40）x（20x+60）=2400

整理得：X2-17X+60=0-

解得：百=5口々=12

又要讓顧客獲得更大實惠，

答：這種干果每千克應(yīng)降價12元.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)解析式的求解以及一元二次方程的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于

是否能根據(jù)利潤公式準(zhǔn)確列出方程.

19.（8分）晉?。ㄉ轿靼鹱樱┦俏覈狈降囊粋€重要戲劇劇種，也叫中路戲，是國家級非物

質(zhì)文化遺產(chǎn).今年我省推出文化下鄉(xiāng)活動。某校在傳統(tǒng)文化活動周期間擬向同學(xué)們推介晉劇,

并就“你想要聽哪部晉劇曲目''調(diào)查了部分學(xué)生，選擇曲目有：A.《打金枝》，氏《戰(zhàn)宛城》,

C.《殺宮》，D《火焰駒》，E,《雙鎖山》，每個學(xué)生只能選擇一部，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制了如

下不完整的統(tǒng)計圖.

調(diào)查結(jié)果條形統(tǒng)計圖調(diào)查結(jié)果扇形統(tǒng)計圖

圖①圖②

請根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）請補全條形統(tǒng)計圖；

（2）在扇形統(tǒng)計圖中，扇形A的圓心角是多少度？

（3）若該校共有2000名學(xué)生，請你估計想聽《戰(zhàn)宛城》的學(xué)生有多少人？

（4）要從這些被調(diào)查的學(xué)生中隨機抽取一人進(jìn)行訪談，那么正好抽到想聽《火焰駒》的學(xué)

生的概率是多少？

【答案】（1）補圖見解析；（2）54°；（3）500人；（4）（

【分析】（1）根據(jù)E的特征，結(jié)合兩種統(tǒng)計圖求出總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求出B,D組對應(yīng)的人數(shù)即可;

（2）先求出A組所占的百分比,再乘以360。即可；

（3）用2000乘以B組所占百分比即可；

（4）根據(jù)概率=口組人數(shù)+總?cè)藬?shù)即可解題.

【詳解】解：（1）補全條形統(tǒng)計圖如解圖;

調(diào)查結(jié)果條形統(tǒng)計圖

調(diào)查學(xué)生的總?cè)藬?shù)為24+30%=8（）（人），選擇B的人數(shù)為80x25%=20（人），選擇D的

人數(shù)為80-12-20-8-24=16（人），據(jù)此補全條形統(tǒng)計圖.

（2）選擇A的人數(shù)所占百分比為1卷2xl00%=15%,

o（）

二扇形A所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為360°x15%=54°-

（3）2000x25%=500（人），

???估計想聽《戰(zhàn)宛城》的學(xué)生有500人：

（4）共有80人，其中想聽《火焰駒》的有16人，

：.p（正好抽到想聽《火焰駒》的學(xué)生）=要=2，

8（）5

,隨機抽取一人正好抽到想聽《火焰駒》的學(xué)生的概率是g

【點睛】本題考查了統(tǒng)計與概率，用樣本信息估計總體信息，屬于簡單題，找到兩種統(tǒng)計圖之間

的信息關(guān)聯(lián)是解題關(guān)鍵，主要失分原因是：口找不到扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖中的對應(yīng)關(guān)系；

I補全條形統(tǒng)計時作圖不規(guī)范；；在計算概率時發(fā)生錯誤.

20.（8分）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：

弗朗索瓦?韋達(dá)，法國杰出數(shù)學(xué)家.第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知

數(shù)及其乘累，帶來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步，在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父他還發(fā)現(xiàn)

從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項（切

割線定理）.

如圖1,尸是。外一點，PC是’。的切線，出是。的一條割線，與0的另一個交點

為B,則PC-PAPB.

證明：如圖2,連接AC、BC,過點C作。的直徑C。，連接A0.

□PC是，。的切線，□尸C_LC￡),

ZPCD=90°,即NPCB+NBCD=90°.

(1)請按照上面證明思路寫出該證明的剩余部分.

⑵如圖3,上4與O相切于點/,連接尸。并延長與：。交于點8、C,ZP^ZBAD,BC=S,

AP=3BP,連接8.

□CO與”的位置關(guān)系是.

：3求8。的長.

【答案】(1)見解析

(2)口平行；口臺。：三32

【分析1(1)先根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理證得NPCB=NB4C,進(jìn)而證明_PCB^PAC,

利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；

(2)根據(jù)圓周角定理證得"=根據(jù)平行線的判定即可得出結(jié)論；

(3)連接AC,根據(jù)已知和(1)中結(jié)論和△/VRsZipc4求得AP=3,AC=3AB,再利

用勾股定理求得A8=1Jid,然后證明一期BSdAQb,利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖2,連接AC、BC,過點C作O的直徑以＞,連接AO.

□PC是。的切線，□PC±CD,

□ZPCD=90°,即ZPCB+/BCD=90°.

□8是直徑，

□ZC4D=90°,即ND4B+N84C=90°,

口/DAB=/BCD,

□/PCB=/BAC,

□ZP=ZP,

□▲PCBsPAC,

□PC:PA=PB:PC,

□PC?=PA,PB、

（2）解：□□ZDCB=ZZMB,ZP=ZDAB,

口NP=NDCB,

DCD//AP,

故答案為：平行；

□如圖3,連接AC,

□R4與＜0相切，PC為割線，

□PA2=PBPC，

□AP=3BP,

口PC=9BP,

口BC=8BP=8,即肝=1,

□AP=3,

由（1）可知，APABS^PCA,

\JPA:PC=AB:AC=3:9,

口AC=3AB,

在町ABC中，ABAC=90°,

由勾股定理可知，AB2+AC2=BC2,

□AB2+（3AB）2=BC2,gp10AB2=82,

由（1）中證明過程可知NP3=NAZ汨，又NP=N84Q,

口”ABsADB,

\JAB:DB=PB:ABf即1質(zhì):BO=I：［M

32

□BD=—.

D

圖3

【點睛】本題考查圓的切線和割線性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、平行線的

判定、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，利用相似三角形的性質(zhì)探究線段

間的數(shù)量關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

21.（本題9分）如圖是小開家所在居民樓，樓底C點的左側(cè)30米處有一個山坡，坡角為

30°,E點處有一個圖書館，山坡坡底到圖書館的距離為40米，在圖書館E點處測得小開家

的窗戶B點的仰角為45°,居民樓與山坡的剖面在同一平面內(nèi).

□

□

□

□

□

□

（1）求3c的高度；（結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：V3?1.73）

（2）某天，小開到家后發(fā)現(xiàn)有資料落在圖書館，此時離圖書館閉館僅剩5分鐘，若小開在

平地的速度為6m/s,上坡速度為4m/s,電梯速度為1.25m/s,等候電梯及上、下乘客

所耽誤的時間共3分鐘，請問小開能否在閉館前趕到圖書館？

【解析】

（1）如圖，作EFLBC于點F,作EGLCD,交CD的延長線于點G,

得矩形EFCG,

:.EF=CG,EG=FC,.......................................................................................................................2分

根據(jù)題意可知：C￡>=30米，ZBEF=45°,￡>E=40米，NEDG=30。,

，￡6='?！?20米，.....................................................................3分

2

...DG=>5EG=200米,

...EF=GC=GD+CD=（20>/3+30）米，

BF=EF=（2（）6+30）米................................................................4分

BC=BF+FC=B尸+EG=200+30+20=20百+50,85（米）........................5分

答：BC的高度約為85米；.................................................................6分

（2）根據(jù)題意得：30+6+40+4+85+1.25+3x60=263（秒），............................8分

5分=300秒，V263<300,

小開能在閉館前趕到圖書館.................................................................9分

22.（12分）綜合與實踐

問題情境

如圖1,已知線段AB=6,射線40LA8,射線5N_LAB,點。在射線A"上沿著AM

的方向運動，過點。作。C交于點C,點E是A￡＞的中點，連接BE,^.ABE

沿著2E折疊，點N的對應(yīng)點為點凡連接Ab,CF.

探究展示：

(1)當(dāng)NABE=30°時，求害的值;

AF2

(2)如圖2,延長交。C于點G,當(dāng)點G恰好是OC中點時，求證：四邊形ABCQ是

正方形；

拓展探究：

（3）在圖2中，若A5=AZ）,直接寫出CF的長度.

【答案】（1）-

3

（2）見解析（3）9叵

5

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可知￡EBF&CBF,可得ZCFB=NEFB=90°,由NFBA=60°,

BF=BA，可得寺為等邊三角形，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半解題即可；

APAD

（2）先推導(dǎo)_A5ES_D4G,則有==，代入可求DA長，即可證明結(jié)論；

DGDA

（3）過尸點作PQ