2023三維設(shè)計(jì)二輪培優(yōu)提能課(二)　數(shù) 列

翳他提能課也數(shù)歹1」

項(xiàng)u____________構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式

[例1](2022?安慶質(zhì)檢)在數(shù)列｛?。校?=1,a?=2a?-i+ln3(心2),則數(shù)列｛&｝

的通項(xiàng)an—.

解析由斯=2%-i+ln3得到a?+ln3=2(a?-i+ln3).

貝！|｛a“+1n3｝是以m+ln3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以a”+ln3=(l+ln3>2門,

因此m=(1+In3>2"-1一In3(〃GN*).

答案(1+ln3)-2H1-In3(?eN*)

I感悟提升I

1.求解的關(guān)鍵是由遞推關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列｛%+ln3｝,進(jìn)而求出數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.

2.形如斯+i=p““+y(”)(p為常數(shù)，/#1,且p20,用0大0)的遞推式,可向?！?4斯-1

+B的形式轉(zhuǎn)化，即將原遞推式變形為肅個(gè)Y+1?如：由斯+產(chǎn)一2小+3戶1得到瑞

=-I?y+1,構(gòu)造等比數(shù)列｛竽一*由此求出〃〃.

國(guó)跟蹤訓(xùn)練

已知數(shù)列｛〃〃｝滿足：〃i=l,“2=3,?！?2=?！?1+2?！?某同學(xué)已經(jīng)證明了數(shù)歹U｛a〃+i—2?！保?/p>

和數(shù)歹U｛%+]+?。际堑缺葦?shù)列，求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.

解：因?yàn)??！?2=斯+1+%〃，所以當(dāng)〃=1時(shí)，a3=a2+2a\=5.

令兒=?！?|—2斯，則｛?。秊榈缺葦?shù)列.

又加=。212。]=1,岳=。3-2〃2=-1,

所以等比數(shù)列出“｝的公比q=^——l,

所以劣=(—1)門，

即m+1—2%=(一1尸.①

令C"=a“+i+a”，則｛c“｝為等比數(shù)列，。=。2+功=4,C2=s+a2=8,

所以等比數(shù)列｛c“｝的公比/=含=2,

所以c?=4X2"-1=2n+,,即如+|+%=2"+|.②

2，#i一(—i)

聯(lián)立①②，解得”“二-------—

項(xiàng)②_____________________數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問題

【例2】數(shù)列｛““｝中，ai=l.02=2,數(shù)列｛d｝滿足兒=%+|+(-1)"?！?，nSN,.

(1)若數(shù)列｛a,,｝是等差數(shù)列，求數(shù)列｛兒｝的前100項(xiàng)和500：

(2)若數(shù)列｛為｝是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式.

解(1):｛a"｝為等差教冽,且0=1,02=2,

二公差d=l,.".an=n.

a?+i—a?=l,〃為奇數(shù),

■■bn=

an+i+arl=2n+l,"為偶數(shù),

1,〃為奇數(shù)，

即b〃="

UH+1,〃為偶數(shù),

.二兒的前100項(xiàng)和5100=(b1+加+…+如)+(歷+酎+…+bioo)

=50+(5+9+13+…+201)

,,50X(50-1)

=50+50X5+-------------義4=5200.

(2)由題意得,b\=ci2—。］=1,公差d=2,

=

/.bfJ2n—1.

.a2〃-1=〃2”-Q2，LI=4〃-3,①

辰〃=々2〃+1+儂=4〃-1,②

由②一①得，。2〃+1+1=2,。2"+1=2—a2n-1，

又=.??0=。3=。5=3=1,

??〃2”—|=1，??。2“=4〃-2,

1,〃為奇數(shù)，

綜上所述,

2〃一2,幾為偶數(shù).

I感悟提升I

1.數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問題的常見題型

(1)數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)和或積的問題(如+小+1=加2)或an,an+\=fin));

(2)含有(一1)〃的類型；

(3)含有｛詼〃｝,伍2〃T｝的類型；

(4)已知條件明確的奇偶項(xiàng)問題.

2.對(duì)于通項(xiàng)公式分奇、偶項(xiàng)有不同表達(dá)式的數(shù)列｛斯｝求寸，我們可以分別求出奇數(shù)

項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，也可以把★看作一項(xiàng)，求出S2k再求S2hl=S2L3.

國(guó)跟蹤訓(xùn)練

已知數(shù)列｛%｝滿足a\=\,an+\+an=4n.

(1)求數(shù)列｛3｝的前100項(xiàng)和5100；

(2)求數(shù)列｛”“｝的通項(xiàng)公式.

解：(1)'?'?|—1,斯+]+斯=4",

Sioo=(ai+a2)+(?3+fl4)H-----1-(099+^100)

=4X1+4X3H---F4X99=4X(1+3+5+…+99)=4X502=10000.

(2)由題意，4"+|+?！?4〃，①

斯+2+斯+1=4(〃+1),②

由②一①得，a〃+2一斯=4,

由0=1,〃1+。2=4,所以42=3.

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，1)義4=2〃-1,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，小=。2+?—1)X4=2〃-1.

綜上所述,an=2n—l.

項(xiàng)3___________________與數(shù)列有關(guān)的交匯問題

角度一與不等式交匯

【例3】已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為且6,2S〃，如成等差數(shù)列.

⑴求an；

(2)是否存在使得002+02。3H---^斯斯+1>6斯,對(duì)任意的“CN”成立？若存在,

求出機(jī)的所有取值；否則，請(qǐng)說明理由.

解(1)因?yàn)?,2S〃，?！ǔ傻炔顢?shù)列，所以4S〃=a〃+6,所以4sLi=國(guó)-1+6(〃22),

兩式相減得4?！?。〃一即a〃=一1(〃22).

當(dāng)〃=1時(shí)，4Si=^i+6,所以m=2,

故｛?。且?為首項(xiàng)，一]為公比的等比數(shù)列，所以斯=2(-§”.

(1、2〃一1

(2)結(jié)合(1)得。，膜〃+i=4,1一

3.(4r即|(一濟(jì)(一二.

因?yàn)?—/<1且L+8時(shí)1—/f1,所以上述不等式轉(zhuǎn)化為(一/J

顯然加為偶數(shù)，且m=2成立.

(1)"-2|

當(dāng)杉4時(shí)，(一引端,不滿足題意，故機(jī)=2.

I感悟提升I

角度二與其他學(xué)科的融合

【例4】甲、乙兩容器中分別盛有兩種濃度的某種溶液300mL,從甲容器中取出100

mL溶液，將其倒入乙容器中攪勻，再?gòu)囊胰萜髦腥〕?00mL溶液，將其倒入甲容器中攪

勻，把這稱為一次調(diào)和.已知第一次調(diào)和后甲、乙兩容器中溶液的濃度分別為0=20%,尻

=2%,把第〃次調(diào)和后甲、乙兩容器中溶液的濃度分別記為a”，b”.

(1)請(qǐng)用?！ǚ謩e表示an+\和bn+[；

(2)至少經(jīng)過多少次調(diào)和后，甲、乙兩容器中溶液的濃度之差小于0.1%?

解(1)由題意知第一次調(diào)和后甲、乙兩容器中溶液的濃度分別為0=20%,"=2%,

_100〃”+300口”3

b"+i~100+300=4a,,+4b";

100-7+200”“1,,2_1H,3,.V2_3,1,

a〃+i-]00+200—30"+i+3""-十4與1+3〃〃一心〃十

(2)由于題目中的問題是針對(duì)濃度之差的，所以我們不妨直接考慮數(shù)列｛以一兒｝.

由⑴可得，%+1-b+1=彳斯+心"一「如+心"j-2(a?—bn),

所以數(shù)列｛為一?。且?—"=18%為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

所以%一兒=18%X(g),

由an—bn<OA0/o,得⑤〈卷，

所以“一l〉21^a18V0=log2180,

由27<180<28,得7<log2180<8,所以〃>8.

即至少經(jīng)過9次調(diào)和后，甲、乙兩容器中溶液的濃度之差小于0.1%.

I感悟提升I

解決此類以化學(xué)溶液的濃度為背景考查數(shù)列模型的題的關(guān)鍵：一是認(rèn)真審題，構(gòu)建數(shù)列

模型；二是解模，即根據(jù)題意，把所求的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)數(shù)列的遞推公式，并根據(jù)題意列出

不等式，求解不等式，進(jìn)而得結(jié)果.

國(guó)跟蹤訓(xùn)練

設(shè)函數(shù)1x)=5+sinx的所有正的極大值點(diǎn)從小到大排成的數(shù)列為｛%｝.

(1)求數(shù)列｛融｝的通項(xiàng)公式；

(2)令兒=券，S”是數(shù)列｛兒｝的前”項(xiàng)和，記金=三堂，若匕,｝是等差數(shù)列，求非零常

數(shù)C.

入12

解：(1)令/Xx)=2+cosx=0,貝(1x=2E土鏟，keZ,

22

當(dāng)/(犬)>。時(shí)，2e一3?！垂ぁ?人兀+§兀，kRZ,

當(dāng)/(x)V。時(shí)，2也+'|兀VxV2E+g兀，keZ,

所以當(dāng)X=2E+|TT,kCZ時(shí)，函數(shù)｛r)取得極大值，

2

所以第=2(〃-1)兀+鏟,.

3〃一2\33)n11

(2)由(1)得為=矣x=二y21,所以S?=二5=$/—%小

法一：若｛c〃｝是等差數(shù)列，令金=2/點(diǎn);=4/十&

則一'=(A〃+8)(2〃+c)=2An2+(Ac+2B)n+Be,

24=5，(A1

1o

所以'Ac+2B=-^解得JB=0,所以c=-f.

Bc=0,「=—2

(c3，

IcWO,

51

334

法二：若｛c“｝是等差數(shù)列，則2c2=C|+C3,即2X4+-c=H2+c+6H+c，

2

整理得3c2+2C=0,又CWO,所以C=一§.

12_1

,2,2n6/?n

=9

當(dāng)c=_g時(shí)，cn=-----2~4

-2n-

故c,?+i—c〃=；(常數(shù)).

故｛扇｝是等差數(shù)列，符合題意.

專題提能

,〃+3,〃為奇數(shù)，

1.若數(shù)列｛如｝滿足：0=1,且a〃+l=L,y/田姐則。7=()

12aL1,〃為偶數(shù).

A.19B.22

C.43D.46

解析：C由0=1得。2=41+3=4,。3=2。2—1=7,。4=〃3+3=10,。5=2。4-1=19,

%=的+3=22,〃7=2%—1=43.故選C.

2.已知數(shù)列｛。〃｝中，〃i=l,an—即+1=2〃八+|,斯(〃￡N),則。5=()

1

-9

A.9B.

c.D.IO

解析：A數(shù)列｛?。?，因〃eN’，?！?a〃+i=2a〃+i?斯，顯然小WO,從而有‘一一；=

Cln]C*n

2,即數(shù)列是等差數(shù)列，公差d=2,；=1,則;=2〃-1,即為=丁上，所以的=1.故

I。#a\an2n—19

選A.

3.在數(shù)列｛斯｝中,若0=2,a〃+]=3斯+2"",則〃〃=()

51

A.n?2nB.2-2^

C.2?3”-2''D.4?y'~'-2n+

〃

釁+23m+2+1

bx2"+i十22〃十1卜2

解析：C令兒=$+2,則n+—=2.又加=今+2=3,所以｛d｝

bn第+2竽+2

是以3為首項(xiàng)，|為公比的等比數(shù)列，所以為=翁+2=3X(IT，得“〃=2?3”一2“i.故選C.

4.已知數(shù)列｛〃“｝中，S=；,*,則滿足斯>之的”的最大值為（）

A.3B.5

C.7D.9

n

解析：根據(jù)題意，（鹿+1）。〃-2（及+1）?！?]=%+2斯+1化簡(jiǎn)得,

B2(〃+2)…%—]

/—1斯—i_n—2￡2六，運(yùn)用累乘法計(jì)算得看

2(〃+1)?！ㄒ?2/7a\

n—1n—2n—3211522),且〃]=；,：

2(〃+1)In2(n-1)2X42X3~2"~2?n(n+1)

11

;〃22,=w符合該式,%>時(shí)，2〃??(?+1)<1000,n=5時(shí)，2”?〃⑺

2n?n(〃+1)1000

+1）=960<1000；〃=6時(shí)，2〃?/〃+1）=2688>1000,，滿足條件的1的最大值為5.故

選B.

5.（多選）已知數(shù)列｛%｝,｛兒｝均為遞增數(shù)列，它們的前〃項(xiàng)和分別為S〃，T〃,且滿足斯

+〃什]=2〃，乩?為+i=2〃，則下列結(jié)論正確的是（）

A.0<々1<1B.S2n=〃2+3〃—2

C.Kbi<yf2D.SNT2n

,,.f〃l+〃2=2,

解析：ACD由｛〃“｝是遞增數(shù)列，得0V〃2<。3；又〃〃+。”+1=2小所以彳所

〔〃2+。3=4,

a\+ai>2a\,

以《?八/c所以0<。1VI,故選項(xiàng)A正確；S2〃=(a]+a2)+33+a4)H-----F(a2〃

〃2+。3>2〃2=4—2〃1,

T+〃2"）=2+6+10+…+2（2〃-1）=2〃2,故B不正確；由｛仇｝是遞增數(shù)列,得加V歷V的,

[歷歷=2,\h2>b｛,廣

又兒"+i=2",所以，，“所以，、，所以1<加〈也，故選項(xiàng)C正確；72“=（歷+歷

[勵(lì)3=4,（bi>b2,

H----1-62"-1）+（岳+64H----'岳"）='?~~？~~:）=（6]+優(yōu)）（2"-1）,所以?2?>

1—21—2

n

2^^（2"-1）=2吸（2"-1）,又歷之歷,所以T2n>2y[2（2-i）,而26（2"-1）-2/=2（陋?2”

一〃2一啦），當(dāng)〃》5時(shí)，2（m?2"—/一啦）>0；當(dāng)1W"W4時(shí)，可驗(yàn)證2（&?2"一〃2—也）

>0,所以對(duì)于任意的"GN*,S2n<T2?,故選項(xiàng)D正確.故選A、C、D.

2a,u0<a.Wl,

6.(多選)己知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前〃項(xiàng)之積為北，且a“+i=<1

：，a“>l,

neN\貝U()

A.當(dāng)"》2時(shí)，0<a“W2

B.當(dāng)時(shí)，。〃=1

C.無論ai取何值，均存在7GN*使得斯+；=為對(duì)任意〃eN*成立

D.無論m取何值，數(shù)列｛小｝中均存在與⑶的數(shù)值相同的另一項(xiàng)

解析：AB若a“C(0,1],則a“+|G(0,2],若a“>l,則為+]《(()，1),故a”+|G(0,

2],A正確；1<ai<l=?a2=2aiG(l,2)今的l^a4=~€(l,2)=“5=0,故有

a?+4=a?,A“=(4ia2a3“4)"=1,B正確；若則。2=受,6=1,?4=2,的=2,故數(shù)列

從第2項(xiàng)開始按去1,2周期變化，其中沒有與內(nèi)相同的項(xiàng)，故C、D均不正確.故選A、

B.

I-UX

7.若數(shù)列｛%｝中，xi=tana,且為+1=7二：則通項(xiàng)公式第=________.

1—Xn

，=1+tanalan4+tan?

1+x

解析:X〃+l=1rjx\—tana,行：X2一1.一一一tanl\,X3一

1—X?1—tana,兀\4A7

1-tan不ana

1+tan《+a

….依此類推，可得x.=tan(a+寧兀

答案：tan*c+〃4I

8.設(shè)，為等比數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和，已知。1色以3=27,仍=81,若存在〃?￡R，使得

271

〃一不成立，則m的最小值為

解析：設(shè)｛?！ǎ墓葹?lt;7，由〃1〃2〃3=27可知出=27,所以s=3,由〃同=3,卬/=81

//I(1—nn)3"—1

得：“3=27,所以g=3,則0=1,所以斯=3『i,S“=I；_；==，由題意知存在

機(jī)GR,使得+通+5=5+2■3C=5+2.3"2\15?2~^3"=9成立，當(dāng)且僅當(dāng)萬

=2.a'即〃=2時(shí)取得等號(hào)，所以,"29,故〃?的最小值為9.

答案：9

9.設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”，且0=0,S6=3(m—1).

(1)求數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b.=2a",求滿足不等式、■+^+*H---1■十*(61+岳+/>3H---1~d)的正整數(shù)n的

集合.

解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛?。墓顬閐,

6義5

由0=0,§6=3(。7—1)得，一—d=3gd—1),解得d=l,

所以an—n—\.

(2)由(1)得D=2〃1,

]—2〃111―⑸1

n

bt+b2+-+bn=-=2-\,-+-+.：+-=-[-=2—布?

1-2

不等式…+岳+加+…+兒)，即2—1)，即22-9X2"

O\02SUn-4

+8<0,所以1<2"V8,所以0V〃V3,

又“GN*,所以〃=1或〃=2.

故滿足題意的正整數(shù)〃的集合為｛1,2｝.

10.已知數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)為1,S”為數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和，S“T=qS“+l,其中q>0,n

GN"

(1)若2/，“3,z+2成等差數(shù)列，求數(shù)列｛“,｝的通項(xiàng)公式；

2

⑵設(shè)雙曲線％2—9v=1的離心5率為e“，且e2號(hào)，證明：4^"+-^3”+-+e?>—r，

解：(1)由已知，得S〃+i=qS〃+l,S〃+2=<yS〃+i+1,

兩式相減，得到。〃+2=網(wǎng)〃+1,〃21.

又由S2=gSi+l,得到。2=弼1,

故a〃+i=qa,i對(duì)所有〃N1都成立.

??.數(shù)列｛m｝是首項(xiàng)為1、公比為4的等比數(shù)列，

從而a〃=礦r.

由2。2,。3,公+2成等差數(shù)列,可得2a3=3念+2,

即%2=3q+2,則(2q+l)(g-2)=0,

由已知，q>0,故<7=2.

...a“=2Li(weN+).

(2)證明：由⑴,可知a“=/r.

二雙曲線/一看=1的離心率或=41+曷=旬1+才"L1J

I-------54

由e2=yl\+q2=y解得q=y

?.?1+爐(L1)>/伙］)，.??11+爐(門>>7一口>―).

于是ei+e2H-----Fe〃>l+g-l------匕門=/_：,

4"一3〃

故ei+e2H-----屋”>3〃—?'

11.直線/1過點(diǎn)(1,0),且/1關(guān)于直線y=x對(duì)稱的直線為/2.已知點(diǎn)4(〃，*(〃WN,

1)在h上，。1=1,當(dāng)時(shí)，有斯+］斯—|=斯""—|+Un.

⑴求，2的方程;

(2)求數(shù)列｛4,,｝的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)兒=(〃；；)！，"GN+,數(shù)列｛兒｝的前〃項(xiàng)和為S,”求證：

解：與6關(guān)于直線y=x對(duì)稱，又/i過點(diǎn)(1,0),

二/2過點(diǎn)(0,1),故可設(shè)，2的方程為了=日+1.

二,點(diǎn)A”(〃，W)在直線，2上,.'.^^--kn+\.

又點(diǎn)-1，念)也在直線上上，

1)+1,

〃，LI

〃〃j八

-.--+-1---%-=k.n—k(zn—\)=k.7

Cln—1

由已知，有an\\an-1—anan-1

兩邊除以anan-\,得.1,

A)1=1,???直線/2的方程為y=%+l.

⑵由⑴管—公n知,數(shù)歹?叫是公差為人首項(xiàng)為合的等差數(shù)列?

又點(diǎn)4。，前在直線，2上,

譚=1+1=2,

?a〃+laz_[_

(n—l)d=2+〃-1=〃+1.

「an~a\

斯2。4。3G

—?—?-?t7i=nX(?—1)X(/?—2)X???X2X1=n

呢—3

(〃+2)!(〃+2)!