2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽重慶預(yù)賽(含答案)

2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽重慶預(yù)賽試題

一、填空題(本大題共8小題，每小題8分，共64分)

1.設(shè)集合｛：+yI141Wy45｝中的最大元素與最小元素分別為M,N,則MN=

2.設(shè)/(x)是二次函數(shù)，且2r2-4i+3</(*)<3--6工+4./(3)=11.則/(5)=

3.若實(shí)數(shù)上,g滿足4/_2燈+2/=1.則3H2+切+/的最大值與最小值的和為

4.?只螞蟻在正方體ABCD-EFGH的頂點(diǎn)A處，每次等概率地爬行到相鄰二個(gè)頂點(diǎn)中的?

個(gè).那么六次爬行之后回到頂點(diǎn)A處的概率為.

5.設(shè)0.3,二丘肢，且滿足曲88月+|cosa?sin向=sina?|cosa|+|曲1。|?cos3,則(tan)—

sina)2+(cot7-cos。產(chǎn)的最小值為.

6.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為AR尸是雙曲線上一點(diǎn)，若△2相的內(nèi)切豳心

為/(3.1),則4PAB外接圓的半徑為.

7.已知第數(shù)2滿足㈤=1,則*3+z,2-5z+3］的最大值為

8.棱長(zhǎng)為V2的正四面體ABCD中，已知AP=^AB,而=部,AR=.若點(diǎn)K為

△BCD的重心，則四面體KPQR的體積為.

1

二、解答題（本題滿分56分）

9.（本題滿分16分）設(shè)z,y,z20、且：r+u+z=2,證明:3t+蚓+16印z412,并指出其中

"="成立的條件.

10.（本題滿分20分）已知A為正實(shí)數(shù)，數(shù)列｛%,｝滿足：a,=2an+l=n=

o4a*—2%+1

m

1,2,3,若對(duì)任意的w€N-,都有￡a*V*求:的坡小值.

工2”29

11.（本題滿分20分）已知橢圓C：/+,=1（。>b>1）的離心率為g.以其左頂點(diǎn)K為

圓心.幾為半徑作圓K.圓K交橢圓］A.B兩點(diǎn).且線段AH中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一，

（1）求橢圓C的方程；

9

（2）圓K交直線上=-］于CO兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段CD上.過點(diǎn)P作橢圓的兩條不同切線

PE,PF（E,F為切急.求4PEF面積的取值范困.

2

2023年重慶市高中聯(lián)賽預(yù)賽試題參考答案

考試時(shí)間：80分鐘

填空圈(本題滿分64分，鼻小JS8分)

I.【答案】2M

【解析】由14xS)，45.9+/42+5=10.*=1,尸=5時(shí)取得最大值”=10.乂』+|，2,+'220.

X1XX

*=),=石時(shí)取得最小值N=2〃,則A/N=20>/5.

2.【答案】41

【解析】2(x-lf+lS/(x)43(x-iy+l.設(shè)/(x)=a(x-lf+IJ(3)=1l=a=；,WI./'(5)=4I.

3.【答案】3

【解析】齊次化,設(shè)3乂2+封+1/=“4./-4；9，+2/).期

(4?-3*-(44+1)中+(21)爐=0

當(dāng)*=3時(shí).-4.n-+—y2=0.x=1.y=0是力I解.

422

力A★°時(shí),A=(4A+|)y-4(4A-3X2Jl-l)/20.

若歹=0.則=舍；

44

得-16犬+4網(wǎng)-1120=>!$43以，

且均能取等.

44

從而3『+孫+/的最大值與最小值和為3.

4.【答案】—

243

[MtfrJ如圖將頂點(diǎn)分成四類{/},{BQ.￡},{G//?用佝

第?次后在四個(gè)集合微率分別為：(0,1,0.0)

第：次后在四個(gè)集合概率分別為：(；,0$0)BG

.

72

第：次后在四個(gè)集合概率分別為：(o,3,o,‘)

7,0

第四次后在四個(gè)集公概率分別為：(不.0,二.0)

2727

第五次后在四個(gè)第合概率分別為：(0,9,0,彳)/R

O1O1

第六次后在四個(gè)集合概率分別為：(￡,0.典.0)

243243

則第六次問到4的概率為包.

5.【答案】3-2&

【解析】已知等式變形為(§ina-|sin夕"cos夕-|cosa|)=0.令x=sinaj=cosA.則

卜一Ji二了)(y-Ji7m)=0.從而x=J|_y?或y=Jl-/.其圖望是單位K1在-、二、四軟限

(包括坐標(biāo)軸)的制分.乂(tany.coty)為雙曲線町，=1上的點(diǎn).由兒何意義知道所求值為距離矮小值的

平方(&-1『=3-2&.

6.【答案】

【解析】由雙曲線性質(zhì)如。=3,設(shè)右頂點(diǎn)為C.則4-P8=2R(sin8-sin/)=6.

_5rIArI“—a..16._4八、、5c65

Ztan—=—=-.tan-=----=-.從而竹sin/=—,sinn=—,代入得/?=一.

2BC22AC865512

7」挎案】萼

【解析】==x+j，i(x,ywH),x:^y:=1.從而行

i/=|z5+z:-5z+3|=|(z-lX-2+2z-3)|=|(z-l):(z+3)|

=|z-l|-|z-l|-|z+3|=“*一]/+j???'(x-lf+y2?J(*+3'

=42-2*■>/2-2x-710+6.V=|j3-3x-13-3.r-V10+6x

J2-3x+3-3x+IO+可=&.當(dāng)且僅nx=」時(shí)取等.

33)219

s.(n?i—.

36

【解析】如圖由JK為盛心，則％+匕M+公

根據(jù).4P=；48./Q=gXC./A=[AD得

v_l_11

1a/X*一5r,84?_5°§.*

2..2II3..3II..

=§—CPU=QW匕as**=Z卜/*XM=*5.31

將四面體放入邊長(zhǎng)為1的正方體中知匕“0=；

=5；舊+//)

2

二,解答題(本題滿分56分)

9.(本小題滿分16分)

【解析】證明:

由二元均值不等式

3x+8.0+16.nr=3x+8xv(l+2z)

=3x+4x(2.v)(1+2:)43x+4x[2>'+1+2]=3J+4/l±2(2-jr)'|=4x，_20x'+28x

'‘八’I2JV2J

只褥證4x’-20x2+28x412……8分

這等價(jià)于4(3-x)(x-l)'2O……12分

取等為x=l,2y=l+2z.解褥x=l,y=2,z=L.……16分

44

10.(本小題滿分20分)

【解析】A=l

I4fl,2-2a.+l1,II

H無，a,*0.則---=----r?—n=2---+-rS分

2a”a“|a,2a/

^—=b,,則3-2=-"+，.

a.2

接下來證明引理：>M.

由『泊=J>=3,根據(jù)"“一2=&(4-2)知">2H.單調(diào)增.

42

一2>^(力”-2)=h,>(：)"'(4-2)+2.引理得證.

10分

再根據(jù)““-2="“+與有廣二=瓷廠

22.1一2bM—2bli

15分

對(duì)""J杏，喈占-仕）=出-1=?占

井II若4vl,令m充分大，，引理不用.20分

3

IL（本小題滿分20分）

l9,5,

c23V5-cY

【理析】（I）設(shè)e=±=W,?iJa=-c,/>=—c,聯(lián)匯44消去y得:

“322，3Y,

卜+：cj+/=6

47?r2vJ

?W+3cr+,/-6=0.代入x=-2解用r=2,