部編初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)全等三角形典型例題匯總

片模塊一全等基本模型

【典題1】證明：兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角的角平分線相等.

【答案】已知：△/sc絲△489,4。平分N&4C交6c于。，HO平分N8KU交夕（7于。

求證：AD=AfD,,

證明：?；AABCWAAEC,

:.NBAC=NBKC‘,

?.?AD平分^BAC交BC于D,AD1平分NBKC交B'C于D'

/BAD=L/BAC=-ZB,A,C=NB'4'D'

???22

在和中，

NB4D=/BKD

AB=A,B,

NB=ZB，

:.△48。且△48'。'，

:.AD=A'Df

【典題2】如圖，在△48E中，AB=AE,AD=ACt/BAD=NEAC,BC、DE交干點(diǎn)、O.

求證：⑴^ABC^AAED.（2）OB=OE.

【答案】（D,；NBAD=/EAC

.?.NBAC=NEAD

在△48C和AAED中

AB=AE

ZBAC=ZEAD

AC=AD

.△J5C^AJ￡D(SAS)

(2)由(1)知/48C=N4￡O

VAB=AE

.?.AABE=4EB

:.￡OBE=Z.OEB

:.OB=OE

【典題3】如圖，點(diǎn)、E、尸在BC上,BE=CF,AB=DC,N8=NC.求證：AF=DE.

【答案】證明：??,8E=C產(chǎn)

:.BE+EF=CF+EF

BPBF=CE

在AABF與ADCE中

AB=DCNB=ZCBF=CE

...△ABFWADCE(SAS)

：.AF=DE

【典題4】已知：如圖，在四邊形48C。中，對(duì)角線4C、8。相交于點(diǎn)O,4ABe=々BCD，AB=CD.

求證：°A=°D

【答案】證法一：

在△/8C和ADCB中，

?:AB=CD,4BCOBCD,8c是公共邊,

:.4ABC迫4DCB.

:.AC=DB,

且NACB=4DBC.

：.OB=OC.

???OA=OD?

證法二：

△4BCWADCB(同證法一)

:.Z.ACB=ZDBC.

二乙4BO=NDCO.

又,:N4OB=NDOC,

/.AAOB4ADOC.

OA=OD.

【典題5】如圖所示，AB=AF,BC=FE,ZB=NF,。是CE的中點(diǎn).

⑴求證：ADLCE,

⑵連接8尸后，還能得出什么結(jié)論？請(qǐng)你寫出兩個(gè)（不要求證明）

【答案】⑴連結(jié)/C、AE,則△48C空Z(yǔ)X/FE,4C="E,

又?.?。是CE的中點(diǎn)，二4D_LCE

(2)ADLBF,BF//CE

【典題6】如圖，在五邊形4BCDE中，ZB=ZE,NC=N￡>,BC=DE,M為CD中點(diǎn).

求證：AM工CD.

【答案】分別延長(zhǎng)力&DC交于點(diǎn)P；分別延長(zhǎng)"E，CD交于點(diǎn)°

...Z1=Z2,Z1+Z3=18O°.Z2+Z4=180°

AZ3=Z4

同理：Z5=Z6

在△PC8和△0DE中

Z5=Z6

BC=ED

Z3=Z4

...APCB妥AQDEUSm

???NP=NQ，CP=DQ

...AP=AQ

?/CM=DM

...PM=QM

"為等腰△"PQ底邊中點(diǎn)

:.AM±CD

【典題7】如圖，把長(zhǎng)方形/f8CO(AB=CD,AD=BC,NR=N43C=NC=NCD4=90。)沿對(duì)角

線8。對(duì)折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)U處，請(qǐng)說(shuō)明ZE=CE.

【答案】N/E8=NC，E￡>,4=NC=90。，AB=CD=CD,

???A.ABE^/\C'DE，?-?AE=C'Eo

【典題8】將兩個(gè)全等的直角：角形1BC和O8E按圖①方式擺放，其中N4CB=NOEB=90。，

乙4=ND=30。，點(diǎn)E落在15上，0E所在直線交4C所在直線于點(diǎn)尸.

(1)求證：AF+EF=DE.

⑵若將圖1中的△O8E繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角a,且0。＜。＜60。，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D

2中畫出變換后的圖形，并直接寫出⑴中的結(jié)論是否仍然成立；

(3)若將圖1中的△D8E繞點(diǎn)5按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角夕，且60。＜/＜180。，其他條件不變，如圖

3,你認(rèn)為⑴中的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)寫出此時(shí)力/、EF與DE

之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴連結(jié)8尸，，.?.8E=8C,又?.?8尸是公共邊,

RtABCF^RtASEF,:,CF=EF,AF+EF=4C=DE。

⑵成立

⑶不成立，AF-EF=DE,

連結(jié)8尸，與⑴同理，RtZXBC尸名RtZXBEF,:.CF=EF,

:,AF-EF=AC=DE

e#模塊二角平分線基本模型

【典題9】△48C中.

⑴如圖1,若N8/IC的平分線過(guò)8c的中點(diǎn)。，猜想與/C的關(guān)系并證明.

⑵如圖2,若N54C的平分線不過(guò)BC的中點(diǎn)。，而是與3c的垂直平分線交于點(diǎn)E,過(guò)E作

EF1AB,垂足為尸，猜想8尸、4B、4c的關(guān)系并證明.

【答案】⑴猜想：4B=4C；

證明：過(guò)。作DMJ.R8于M,DN工4B于N；

,/AD平分ZBAC,DM=DN,

又?：AD=AD,BD=CD,：*4ADM與4ADN,4BDMQ&CDN

:.AM=AN,BM=CN,：.AB=AC；

⑵猜想：2BF=AB-AC；

證明：連結(jié)E8、EC,過(guò)E作EGJ./C"交/C延長(zhǎng)線于點(diǎn)G

?：HE平分N8/C,EFLAB,EG1AC,:.EF=EG,AF=AG

?；OE垂直平分8C,:.BE=CE,：.&EBF9/\ECG,:.BF=CG,

.AB-AC=AF+BF-（AG-CG）=2BF

【典題10]如圖，△/IBC的角平分線/。，BE相交于點(diǎn)P,已知NC=60。.⑴求乙的度數(shù):

⑵說(shuō)明P￡>=P￡的理由.

A

ZAPE=Z.PAB+Z.PBA=-Z.CAB+-CBA=%180。-4）=60。

【答案】（1）222'

⑵過(guò)「作P"，BC于M,PNLAC于N,連結(jié)PC

VAD,8E是△HBC的角平分線，PC平分41C8,

/.PDM=/.ABD+NBAD=/.ABP+4PBD+/.BAD=N/PE+/.PBC=60°+ZPBC,

4PEN=NEBC+Z.BCN=NEBC+60°

二.ZPDM=乙PEN,又Z.PMD=Z.PNE,:,△PMD/△PNE,:.PD=PE

【典題11]如圖：在△4BC中，ZC=90",AC=BC,。是4C上一點(diǎn)，AE_L8。交6。的延長(zhǎng)線

于E,且DF工AB于F.求證：CD=DF.

2

【答案】延長(zhǎng)』E、BC交于點(diǎn)G,

AE=GE=—AG

易得△XCGgaBCO,.?.4G=8D,2,

又?；BE14G,:.△BAEW4BGE,8E平分NN8C,:.DC=DF

【典題12]已知月B=C8,ABLCB,ADLCD,4E平分NC48,求證：AE=2CD.

D

【答案】延長(zhǎng)月8、CD交于點(diǎn)F,

△ADCWAADF,AABEWCBF,：.AE=CF=2CD

【典題13]己知：如圖⑴，BD、CE分別是△48C的外角平分線，過(guò)點(diǎn)/作力尸J.B。，AG1CE,

垂足分別為尸、G,連結(jié)尸G,延長(zhǎng)4F、AG,與直線BC相交，易證：FG=^(AB+BC+AC).

若⑴BD、CE分別是△HBC的內(nèi)角平分線(如圖⑵)；

(2)8。為△N8C的內(nèi)角平分線，CE為△4BC的外角平分線(如圖⑶)，

則在圖⑵、圖⑶兩種情況下，線段尸仃與△4BC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并

對(duì)其中的一種情況給予證明.

.As",

BCBACBC

(1)”(2)(3)

猜想：圖(2)中________________________________圖(3)中_________________________________

證明：如圖(________),

FG=-(AB+AC-BC)

【答案】⑴結(jié)論：2

FG=-(AC+BC-AB)

(2)2

FG=-(AB+AC-BC)

證明：(2)2

延長(zhǎng)力G、AF交BC千煎N、點(diǎn)、M

B&NMC

證尸經(jīng)△snw

:.AB=MB,AF=FM

同理力C=CN,AG=NG

GF=-MN

2

MN=BM+CN-BC=AB+AC-BC

-(AB+AC-BC)

.-.GF=2

⑶與⑵同理

【典題14]如圖⑴，RtZXHSC中，Z^C5=90°,CD1AB,垂足為。./F平分NC48,交C。于

點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F

⑴求證：CE=CF.

⑵將圖1中的△/OE沿<8向右平移到△4。'/的位置，使點(diǎn)￡落在BC邊上，其它條件不變,

如圖2所示.試猜想：BE'與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

【答案】⑴相等

⑵如圖，過(guò)點(diǎn)E作EGJ_ZC于G.

又X尸平分NC/B,EDA.AB,:.ED=EG.

由平移的性質(zhì)可知：DE=DE,;.DE=GE.

?_-4c8=90。.:.NACD+ZDCB=90°

CD±ABj.D.NB+ZDCB=90°.

NACD=NB

在RtAC￡G與RtABE'D'中，

?.?NGCE=N8,NCGE=NBDE,GE=DE

/.ACEG烏ABE'D'

CE=BE'

由⑴可知CF=8E'.

【典題15]己知：如圖，BC>AD,DC=AD,8。平分N48c.

求證：4+NC=180。

【答案】在8c上取點(diǎn)E,使得BE=BA,

則△胡力絲△8EO,：.AD=DE=DC,/BAD=2BED,

???NC=NDEC，??-ZDEB+ZDEC=\SO0，???4+NC=180°

【典題16]如圖，△/8C中，AC=^AB,4。平分N歷IC,且4)=5。，求證：CD1AC.

【答案】取力8中點(diǎn)E,連結(jié)QE,

AE=-AB=AC

則2,DEL4B,

:./XACD學(xué)4AED,ZACD=ZAED=90°tCDVAC

【典題17]己知：如圖，AB=AC,PB=PC,PD1AB,PEA.AC,垂足分別為。、E.

求證：PD=PE；

A

,:AB=AC,PB=PC,AP=4P,

.△力BPgA4CP（SSS）

：./BAP=NCAP,力尸是4的平分線；

又?：PDLAB,PELAC,垂足分別為。、E

：.PD=PE（知平分線上點(diǎn)到角的兩邊距離相等）.

【典題18]在△ZBC中，44cB=2NB

⑴如圖①，當(dāng)NC=90。，4。為N84c的角平分線時(shí)，線段力8、AC,C。之間的數(shù)量關(guān)系為

（直接寫出結(jié)論，無(wú)需證明）

（2）如圖②，當(dāng)NC#90。，4。為NB/C的角平分線時(shí)，線段/8、AC.CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明

⑶如圖③，當(dāng)力。為△/SC的外角平分線時(shí)，線段48、AC.CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫

出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明

【解析】（1）AB=AC+CD

（2）證明：在48上微取/1E=4C,連接。E,

A

VAD為Z.BAC的角平分線時(shí)，

:.ABAD=ZLCAD,

,?AD=ADt

：.^ADE^^ADC(SAS)f

：.NAED=NC,ED=CD,

???ZACB=2/4,

:.Z.AED=2/8,

:.NB=NEDB,

:.EB=ED,

：.EB=CD、

AB=AE+DE=AC+CD.

(3)猜想：AB+AC=CD.

證明：在板的延長(zhǎng)線上截取力E=4C,連接EO.

：40平分NE4C,

/./LEAD=ACAD.

在△￡1/￡)與△C4￡)中，AE=AC,ZEAD=ZCAD,AD=AD,

：.△￡'/￡)芻△CAD.

:.ED=CD,NAED=ZACD.

：./.FED=Z.ACB.

又NACB=2NB,ZFED=ZB+Z.EDB,ZEDB=ZB.

：.EB=ED.

：.EA+AB=EB=ED=CD.

：.AC+AB=CD.

【典題19]已知：如圖所示，直線MA〃NB,與4VB/的平分線交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作一條直

線/與兩條直線M/、N8分別相交于點(diǎn)。、E.

⑴如圖1所示，當(dāng)直線/與直線M4垂直時(shí)，猜想線段BE、48之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫

出結(jié)論，不用證明；

⑵如圖2所示，當(dāng)直線/與直線MA不垂直且交點(diǎn)。、E都在的同側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？

如果成立，請(qǐng)證明：如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶當(dāng)直線/與直線也不垂直且交點(diǎn)。、E在48的異側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立,

請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不成立，那么線段彳力、BE、＜8之間還存在某種數(shù)量關(guān)系嗎？如果存在，請(qǐng)

直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】WAD+BE=AB

⑵成立.

（方法一）：在工8上截取/G=/。，連接CG.

VZ1=Z2,AC=AC

△4D"ZUGC

.?.N5=N6

AM//BN

：.Zl+Z2+Z3+Z4=180°

VZ1=Z2,N3=N4

Z2+Z3=90°

ZACB=90°

即Z6+Z7=90°

?/Z5+Z6+Z7+Z8=180°

/.Z5+Z8=90°

Z7=Z8

?/N3=N4,BC=BC

：.△SGC鄉(xiāng)△8EC

:.BG=BE

AD+BE=AG+BG

AD+BE=AB

（方法二）：過(guò)點(diǎn)C作直線尸Gl/MY,垂足為點(diǎn)尸，交BN于點(diǎn)G.作CHJ.AB,垂足

為點(diǎn)，.

M、N

方法二圖

由⑴得力尸+8G=4ff

?:AM〃BN,乙4尸G=9（）。

.?.NBGF=/FGE=9Q。

VZI=Z2,Z3=Z4

.?.CF=CH,CH=CG

.?.CF=CG

?.?Z5=Z6

.?.△CF。gZXCGE

??.DF=EG

AD+BE=AF+BG=AB

（方法三）：延長(zhǎng)6C,交4M于點(diǎn)E.

?/AM//BN

：.N5=N4

?.?Z3=Z4

??.N5=N3

.?.AF=AB

VZ1=Z2,AC=AC

.??AAFC望4ABC

:.CF=CB

?;Z6=Z7

.?.△FCDQ4BCE

.?.DF=BE

.?.AD+BE=AD+DF=AF=AB

⑶不成立.

存在.當(dāng)點(diǎn)。在射線力M匕點(diǎn)￡在射線8N的反向延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖①）4）—=

當(dāng)點(diǎn)O在射線4”的反向延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在射線8N上時(shí)（如圖②），

BE—AD=AB

方法三圖⑶圖①⑶圖②

程模塊三中點(diǎn)基本模型

【典題20]如圖，中，AB<AC,4。是中線.求證：NDACvNDAB.

【答案】延長(zhǎng)/。到￡,使4O=QE，連結(jié)CE.

在AADB和XEDC中

AD=ED

<ZADB=ZEDC

DC=DB,：.AADBQ?EDC

??.AB=EC,/BAD=ZCEA,

在△/(7￡中，,.?48<4C,CE<AC

/.Z.CAE<^AEC,ZDAC<ZDAB.

【典題21]在△ABC和中，AD.WD分別是3C、*U上的中線，且4B=AB',

AC=A,C,,AD=AD',求證△/8CgZ\48'C'.

【答案】如圖所示，分別延長(zhǎng)4。、A'D'至E、E',使DE=4D,D'E'=A'D'.

E

連接8E、B'E',^\AE=2AD,A'E'=2A'D'.

因?yàn)樗?

在△ROC和△EQ8中，AD=ED,4ADC=NEDB,BD=CD,

故//XEDB,從而4C=EB,Z￡=Z.CAD.

同理，AA'DCWAEDB',則4C'=EB',NE'=NCA'D'.

因?yàn)?C=HC\所以BE=B'E'.

,,

在和△/‘B'E'中，AB=ABtBE=BE,4E=A'E',

所以AABE慫△A'B'E',從而/￡=/￡,NB4E=NB/E',故

ZCAD=ZE=/E'=NC'A'D',則ZBAC=NB'A'C'.

在△48C和△H8'U中，AB=A'B',NBAC=NB/C,4c=4C',故

△ABCmAAEC'.

【典題22]已知△IBC中，AB=ACtC￡是48邊上的中線，延長(zhǎng).48到0,使即=48.求證:

CD=2CE.

C

AEBD

【答案】延長(zhǎng)CE到/，使EF=CE,連結(jié)8廠.

C

AEBD

在4EBF和△E4C中

AE=BE

?4AEC=/BEF

CE=FE,：.4EBF烏4EAC

:.BF=AC=BD,NEBF="AC

.?.ZFBC=tFBE+ZEBC=NA+NACB=ZDBC

在△/7BC和△￡>8C中

FB=DB

<4FBC=tDBC

BC=BC.△FBC94DBC

f??

CD=CF=2CE.

【典題23]己知CQ=/B,ZBDA=ZBAD,IE是△月8。的中線，求證：ZC=ZBAE.

【答案】輔助線提示：延長(zhǎng)4E使得連接3尸

A

得到△力QE絲△F8E

再證明AFBA0△4QC即可

【典題24]如圖，已知在&48C中，4。是8C邊上的中線，￡是4）上?點(diǎn)，延長(zhǎng)8E交4C于產(chǎn)，

AF=EF,求證：AC=BE.

【答案】延長(zhǎng)力。到G,使0G=4Q,連結(jié)6G

G

?.?BD=CD9Z.BDG=NCDA,AD=GD

.?.MDC^NGDB

/.AC=GB/G=NEAF

又?：AF=EF,ZEAF=ZAEF

:?乙G=/BED

???BE=BG，???BE=AC?

【典題25]如圖，在&48c中，4。交8c于點(diǎn)Q,點(diǎn)E是8c中點(diǎn)，斯〃40交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

尸，交EFT■點(diǎn)G,若BG=CF,求證：力。為A/1BC的角平分線.

F

A

G

BEDC

【答案】延長(zhǎng)收到點(diǎn)〃，使HE=FE,連結(jié)

H

在ACEF和NBEH中

\CE=BE

(NCEF=NBEH

[FE=HE

.?.\CEFgABEH

?-?4EFC=NEHB，CF=BH=BG

.?./EHB=NBGE,而4BGE=AAGF

.?.ZAFG=NAGF

又?.?EF//AD

:.NAFG=NCAD,NAGF=NB4D

??.NCAD=NBAD

：.力。為A/8C的角平分線.

【典題26]如圖，△48C中，AB=4,AC=7,M是8c的中點(diǎn)，力。平分N8/C,過(guò)M作尸M〃力。

交XC于尸，求尸。的長(zhǎng).

【答案】延長(zhǎng)尸例到N,使MN=〃M,連接8N,延長(zhǎng)8/交直線尸W于E,

E

則容易證明&BMN沿4CMF,BN=CF,NBNM=乙CFM,

：NO平分NB4C,:.ZBAD=NCAD,

-;FM//AD,：.NE=NBAD,NCAD=NCFM,

ZE=ZBNM=/.AFE,BN=BE,AE=AF,

AB+AC=2FC,

FC=5.5.

【典題27]如圖所示，己知△4BC中，4。平分NBXC,E、尸分別在80、AD±.DE=CD,

【答案】延長(zhǎng)/。到M，使。例=/。，連結(jié)

M

利用SAS證明△4CC芻,

Z3=ZA/,AC=EM,又4C=EF,:.EM=EF,Z\=Z.M,：.Z1=Z3,

...40平分加（7,.丁2=/3,,-.Z1=Z2,EF//AB.

【典題28]已知AJC8,NB=ZACB,D,E分別是4B及4C延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BD=CE,連

接DE交底8c于G,求證GO=GE.

A

【答案】解法1:

過(guò)E作EF〃/IB,交8C的延長(zhǎng)線于廠，則NB=NF

VZ3=Z4Z3=ZBZ4=ZF

???CE=CF在M3EF與NGDB中,

Zl=Z2

<DB=CE=EF

NB=NF

NGFEgAGBD：.DG=GE

解法2:

過(guò)。，E分別作直線。KJ_C8,EF1CB

???Z1=Z2,N2=4N1=NB.

又BD=CE：.RtSBDKgACEF/.DK=EF

又???Z3=Z4.Rt\DKGgRMFG：.GD=GE

解法3:

A

過(guò)。點(diǎn)、作DK〃AC支BC千K

過(guò)D點(diǎn)作DF〃BC美AC千F

：.四邊形OKCF是開(kāi)行四邊形

:.DK=FCZl=ZC

VZC=ZB，Z1=ZB

:.DB=DK=CE=CF

，C是EF中點(diǎn)，BC//DF

:.G是￡>E中點(diǎn)，:.DG=EG

注（此題還有他法，可補(bǔ)充）

【典題29】分別以△/1BC的邊48,/C為邊，向三角形的外側(cè)作正方形/8DE和正方形1CFG,M

為BC中點(diǎn)，求證：AMLEG.

【答案】延長(zhǎng)/例到N,使=延長(zhǎng)M4交EG于點(diǎn)P,連接NC

N

?/BM=MC

CN=AB=AE

NE4G+ZBAC=180°,乙ACN+ZBAC=180°

Z.EAG=Z.ACN

：.4EAG會(huì)4NCA，:⑷AC=ZEGA,

又,:Z.NAC+NGAP=90°,

:.4GP+NG4P=90°

:.MA1EG_

【典題30]在Rt/XIBC中，N84c=90。，點(diǎn)Z）為3c的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為4c上的點(diǎn)，

且EDLFD.以線段8E、EF、FC為邊能否構(gòu)成?個(gè)三角形？若能，該三角形是銳角三角形、

直角三角形或鈍角三角形？

【答案】延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使尸。=GO,連結(jié)EG、BG.

G

在△CDF和△BOG中

CD=BD

NCDF=/BDG

FD=GD

:.XCDF44BDG

?-?BG=CF，ZFCD=4GBD

?.?NA=90°

.?.4BC+N4C8=9()。

.?./ABC+NGBD=9。。

在△￡*￡)廠和AEOG中

ED=ED

<NEDF=ZEDG=9。。

FD=GD

??.△EDFQ4EDG

.?.EF=EG

故以線段6E、EF、EC為邊能構(gòu)成一個(gè)直角三角形.

【典題31]如圖所示，/BAC=NDAE=90°,M是8E的中點(diǎn)，AB=AC,二/石，求證4"J.C。.

A

【答案】延長(zhǎng)4"到尸，使得Mr=4A/,連接8尸交力。于點(diǎn)N,交C。于點(diǎn)。.

A

D

容易證明zMMEgAFA"

則4E=E6,"AF=NF,從而AE〃FB,NANF=90°

而NC/O+N￡M8=90。，NDAB+/ABN=9\0°,故/CAD=/ABN

從而ACADgMBF,故ND=/F

而/Q+ZDON=AFOH+ZF=90°

故//HO=90。，亦即NM_LCO.

京模塊四截長(zhǎng)補(bǔ)短基本模型

典題32】如圖，在△XBC中，ZB=2ZCZ0_L8c于O,求證：CD=BD+AB.

A

BD”

【答案】解法一：在0。上截取。后=8。，連接力上，

A

BDE

???ADIBC?t?-?NADB=Z.ADE==90°,

△/IBDg&ED,.?.AE=AB,Z.AEB=ZB=2ZC,

ZCJ￡=ZC,/.CE=AE=ABf

.?.CD=CE+DE=AB+BD.

解法二：延長(zhǎng)C8到尸，使BF=4B,連接/產(chǎn)，

2

???，A?D?IBC-NADB=NA，DE=90°

???AADF安A4DC，-??DF=DC，

?.?DF=BF+BD=AB+BD,

.?.CD=AB+BD.

【典題33]如圖，等腰△/8C中，AB=ACfZJ=100°,N/8C的角平分線交力C于O,求證:

AD+BD=BC.

【答案】在8c上取點(diǎn)從/，使得4E=4Q、BF=BA,

?.?等腰△/BC中，AB=4C,ZJ=l()0°,/.ZJ5C=ZC=40°,

.?./DBE=20°,又?.?BD=BE,；./BED=/BDE=80°,

???ZEDC=40°=ZCf??-ED=ECf

BA=BF,AABD=ZFAD,BD=BD,:.叢ABD名/\FBD,AD=FD,

ZfiFD=Z/l=100o,Z.DFE=80°=ZDEF,:.DE=DF,

AD=DF=DE=CE,AD+BD=CE+BE=BC

【典題34]如圖，在正方形48CD中，尸是CO的中點(diǎn)，E是8c邊上的一點(diǎn)，且《尸平分ZZME,

求證：AE=EC+CD.

AD

【答案】解一：（截長(zhǎng)）作用,/E于〃

分別證明△EFH@AEFC

...AH=AD,HE=EC

/.AE=AH+HE=CD+EC.

解二：（補(bǔ)短）延長(zhǎng)交于點(diǎn)G

先證明△/OFgAC尸G,

CG=AD=CDtZG=ZFAD,

?；ND4F=NE4F,ZG=Z.EAF

AE=EGt/.AE=EC+CG=EC+CD

【典題35]已知：如圖，48co是正方形，/FAD=/FAE.求證：BE+DF=AE.

【答案】延長(zhǎng)C8至M,使得BM=DF,連接4".

AB=AD,ADLCDtABIBM,BM=DF,

&ABM絲△/￡)/，ZAFD=ZAMB,Z.DAF=ZBAM,

?.-AB//CDt:.ZAFD=NBAF=ZEAF+ZBAE=NBAE+=NEAM,

4MB=REAM,

AE=EM=BE+BM=BE+DF.

【典題36]如圖，在△/SC中，AC=BD,圖中的數(shù)據(jù)說(shuō)明N4BC=

【答案】40。.

在BC上取一點(diǎn)E，使得CE=CA容易證明△4E8空△4DC,于是N4BC=40。.

【典題37]如圖所示，△18。是邊長(zhǎng)為1的正三角形，AfiOC是頂角為120。的等腰三角形，以。為

頂點(diǎn)作一個(gè)60。的點(diǎn)A/、N分別在18、ACh,求△《MN的周長(zhǎng).

[答案]在8c上截取C尸=CN,截取8E=8M,連接力0,連接。尸、DE

■：△BMD當(dāng)△BED

.?.MD=EN

?.?XCDF9XCDN

??.DN=DF

又?.?NMDB+2ZCD/V=180°

NFDE=ZMDN=60°

:.ANDMWXFDE

.?.MN=FE

,:NBDF出XADN

.?.AN=BF

?/AADM94CDE

AM=CE

.?.%.=仙+AN+MN=BF+EF+CE=BC=1

，鵬模塊五等邊三角形基本模型

【典題38]如圖，點(diǎn)尸是等邊三角形/8C的8c邊上任意一點(diǎn)，連接力尸，并作乙“。=60。，PQ交

NC的外角平分線于點(diǎn)。，那么△/?。是什么三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

【答案】正三角形，理由如卜.:

過(guò)P作PR〃4C交4B于R,

NPAR+NB=N4PC=NAPQ+NQPC,?.?7.PAR=Z.QPC，

N4RP=NPCQ=120°，AR=PC，???△/RPg△尸C。，?.?4P=PQ~

...△月尸。是等邊三角形.

【典題39]已知：如圖，△48C中H8=/C,。是△/8C外一點(diǎn)且448。=448=60°.

求證：BD+CD=AB

A

【答案】延長(zhǎng)8。到E,使得DE=℃,連結(jié)/E、CD

?.?448。=乙＜。=60°,4B、C、。四點(diǎn)共圓，

：.^ADC=\80。-4BC=180°-4CB=180。-ZADB=ZADE,

又?：DC=DC、AD=AD,:.△ADCWAADE,

:.ZE=AACD=6()。，二/\ABE是等邊三角形

AB=BE=BD+DE=BD+CD

【典題40］如圖，△NBC是正三角形，ZADC=\200,求證：BD=AD+CD.

［答案］法一;延長(zhǎng)04到￡,使HE=CO,證△B4EWABCD,

從而B(niǎo)E=BD,乙DBE=NDBA+^ABE=NDBA+ZCBD=60°,

則△OBE是正三角形，所以8。=?！?＜。+力七=力。+。。

法二：延長(zhǎng)/。到E,使得DE=DC,易得aCDE是正三角形,

于是可得△BCO^^/CE,即證.

A

【典題41】已知等邊△48C,分別延長(zhǎng)8/到E,8c到。，使4E=BD.求證：EC=ED.

【答案】方法1：如圖⑴，延長(zhǎng)8。到尸，使DF=BC,連EF.

因?yàn)椤?BC是等邊三角形，所以N8=60。，RAB=BC=CA=DF.

又因?yàn)?DF=BC,

所以BE=8F,ABEF是等邊三角形,即N尸=60。，且BE=FE.

易證△EBC會(huì)所以EC=FD.

方法2：如圖⑵，過(guò)。作。尸〃以交8E于尸，

則根據(jù)題意，△尸8。也是等邊三角形.

在△/(?￡1和△尸EQ中，

易證/。力￡=/￡尸。=120。，AC=BC=BD-CD=AE-AF=FE,

AE=BD=FD,所以△4CEgZi/7E。，所以EC=ED.

啖§模塊六直角三角形基本模型

【典題42]如圖，已知RtZ\48C中N/1C8=9()°,AC=BC9。是8c的中點(diǎn)，CE1AD9垂足為

E.BF//AC,交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.求證：AC=2BF.

【答案】?.?乙4。8=90°,BF〃AC,

???ZACD=ZCBF=90°，

NADC+NCAD=90°.

-?CELAD，

??Z?.FCB+Z.ADC=W°，

???Z.CAD=Z.FCB?

又?:AC=CB,

.?.4ADC經(jīng)4CFB.

???DC=FB

?"是BC的中點(diǎn)，

???BC=2BF，

即AC=2BF.

【典題43]如圖，在RtZXlBC中，ZJCB=45°,ZBJC=90°,=/C,點(diǎn)。是48的中點(diǎn),

4F_LCD于，交8c于尸，8E〃/。交《尸的延長(zhǎng)線于E,求證：BC垂直且平分。E.

【答案】

由垂直可得NBUN/C。，:.△ABEW2CAD,:.BE=AD=BD,

BE//ACtZEBC=ABCA=Z.ABC=45°,:.BPLDE,P是。E中點(diǎn),

/.8c垂直且平分。E

【典題44]如圖所示，在直角梯形力8c。中，ZABC=90°,AD//BC,AB=BC,E是48的中

點(diǎn)，CELBD.

⑴求證：BE=AD,

⑵求證："C是線段EO的垂直平分線；

⑶△D8C是等腰三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

CR

?.?NECB+NDBC=9Q°,NABD+NDBC=90°??.?/E=/ABD?

?.?NABC=ZDAB=90°,AB=BCt

.?.△8/0g4CBE,:.AD二BE.

⑵E是4B中點(diǎn)、，，EB=E4,

由⑴得：AD=BE,：.AE=AD,

vAD//BCt.?.ZCAD=ZACB=45°,

VZ5/1C=45°,：/BAC=NDAC,

由等腰三角形的性質(zhì)，得：EM=MD,AMLDE,

即"C是線段ED的垂直平分線.

（3）Z\DBC是等腰三角形，CD=BD,

由⑵得：CD=CE，由⑴得：CE=BD,

CO=2D,二△D8C是等腰三角形.

【典題45】在△148C中，4cB=90。，XC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，且4Q_LMN于。，BE1MN

于E.

⑴當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，求麗：DE5D+BE；

⑵當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE.

⑶當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，試問(wèn)：DE、AD、8E有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出

這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明.

⑵同⑴(3)DE=DC-EC-BE-AD

模塊七特殊角度關(guān)系

【典題46】己知四邊形/是