2023年江蘇新高考數(shù)學仿真模擬卷五（學生版+解析版）

2023年江蘇新高考數(shù)學仿真模擬卷（5）

選擇題（共8小題）

1.已知全集U,集合M,N是U的子集，且MUN,則下列結(jié)論中一定正確的是（）

A.饗M）U（〃N）=UB.加0@'）=0

C.MU（”）=UD.@加）午=0

2.清明節(jié)前夕，某校團委決定舉辦“緬懷革命先烈，致敬時代英雄”主題演講比賽，經(jīng)過初賽，共10人

進入決賽，其中高一年級2人，高二年級3人，高三年級5人，現(xiàn)采取抽簽方式?jīng)Q定演講順序，則在高二

年級3人相鄰的前提下，高一年級2人不相鄰的概率為（）

3.已知等差數(shù)列｛4｝的前N項和為S“2(a,+a,+a5)+3(a8+al())=60,則S”的值為(

A.33B.44C.55D.66

4.函數(shù)y=/〃|x|+cosx的大致圖象是（）

5.如圖，在斜坐標系xO），中，x軸、y軸相交成60。角，q,e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向

量，若向量。7+ye,,則稱有序?qū)崝?shù)對<x,為向量。戶的坐標，記作。戶=<犬，y>,在此斜坐標

系xOy中，已知向量值=<2,3>,b=<-5,2>,則5夾角的大小為（）

C2

>X

2乃5/r

AfD.

B-TT~6

6.已知cos(a-M)=°,則5皿加+2)+(：052(4-2)的值為()

646212

「3"

A.1B.」D.1

428

7.我國南北朝時期的數(shù)學家祖跟在計算球的體積時，提出了一個原理（祖隨原理）：“事勢既同，則積不容

異”.這里的“幕”指水平截面的面積，“勢”指高.這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處

的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等.利用祖唾原理可以將半球的體積轉(zhuǎn)化為與其同底等高

的圓柱和圓錐的體積之差.圖1是一種“四腳帳篷”的示意圖，其中曲線AOC和38均是以1為半徑的

半圓，平面AOC和平面80。均垂直于平面ABCD,用任意平行于帳篷底面ABCD的平面截帳篷，所得截

面四邊形均為正方形，模仿上述半球的體積計算方法，可以構(gòu)造一個與帳篷同底等高的正四棱柱，從中挖

去一個倒放的同底等高的正四棱錐（如圖2）,從而求得該帳篷的體積為（）

8.若橢圓。京+卷=1（。>6>0）上的點（2,;到右準線的距離為|,過點M（O,1）的直線/與C交于兩點A,

7___

B,HAM=-MB,則/的斜率為（）

111

A土-+--

B.3一29

多選題(共4小題)

9.設(shè)正實數(shù)4,滿足。+人=1,則(

A.log2a+log2b..-2

C.—i—,,3+25/2

ab

10.已知雙曲線的右焦點為尸，兩條直線缶+2yf,缶+2丫=，2與。的交點分別為4,

B,則可以作為|E4R的充分條件的是()

A.：=1,?2=8B.：=2,t2=3C.4=2,G=4D.%=1,f2=4

11.對于定義在/?上的函數(shù)/(%),若存在正實數(shù)。＞b，使得/(工+。),,/(1)+/?對一切式￡/?均成立，則稱/(x)

是“控制增長函數(shù)”.在以下四個函數(shù)中是“控制增長函數(shù)”的有()

A./(x)=exB./(x)=y/\x\C./(x)=sin(x2)D./(x)=x-sinx

12.已知函數(shù)/(x)=3sin2x+4cos2x,g(x)=/(x)+|/(x)|.若存在/wR,使得對任意xwR,/(x)../(x0),

則()

A.任意xwR,/(x+x0)=/(x-x0)

B.任意xwR,/(。，/(與+9

c.存在。＞0,使得g(x)在(%,%+e)上有且僅有2個零點

D.存在。＞-意，使得g(x)在(為_k，/+。)上單調(diào)遞減

三.填空題(共4小題)

13.如圖，在平面四邊形/WC￡＞中，已知AZ＞=3,BC=4,E,F為AB,8的中點，P,。為對角線AC,

B￡)的中點，則用?麗的值為.

D

O

AEB

2)

14.設(shè)耳，尸2分別是橢圓C：二+匕=1(。＞0)的左、右焦點，過居作X軸的垂線與C交于A,8兩點，若

a~2

AABf；為正三角形，則a的值為.

15.早在15世紀，達?芬奇就曾提出一種制作正二十面體的方法：如圖1,先制作三張一樣的黃金矩形

ABC。(罌=@二然后從長邊8的中點E出發(fā)，沿著與短邊平行的方向剪開一半，即0E=1A。，

長邊

\2/2

再沿著與長邊平行的方向剪出相同的長度，即。尸=。￡,將這三個矩形穿插兩兩垂直放置，連結(jié)所有頂

點即可得到一個正二十面體，如圖2若黃金矩形的短邊長為4,則按如上制作的正二十面體的表面積為

其外接球的表面積為.

圖I圖2

16.若不等式(a?+bx+l)e；,1對一切xeR恒成立，其中a,b&R,e為自然對數(shù)的底數(shù)，則a+b的取值

范圍是.

四.解答題(共6小題)

17.設(shè)AA8C的內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為。，b,c且acos8=l,bsinA=2.

(I)求sin(4+C)和邊長a；

(II)當從+/取最小值時，求AABC的面積.

18.已知等差數(shù)列｛a,,｝滿足：4+3,%，4成等差數(shù)列，且4，色，小成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)在任意相鄰兩項4與4+(4=1,2,…)之間插入2”.個2,使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列也｝.記

S?為數(shù)列｛4｝的前n項和,求滿足S“<500的”的最大值.

19.如圖，在正六邊形ABCDEF中，將A4BE沿直線座'翻折至△AM,使得平面A'BF，平面3CDEF,

O,H分別為3尸和4C的中點.

(1)證明：平面

(2)求平面A3C與平面所成銳二面角的余弦值.

20.隨著視頻傳輸和移動通信技術(shù)的日益成熟、以及新冠疫情的推動，直播+電商的模式正在全球范圍內(nèi)掀

起熱潮.目前，國際上47Kzz應(yīng)向“en等電商平臺和以慶修麗成為代表的社交類平臺都紛紛上線了直播

電商業(yè)務(wù)；在國內(nèi)，淘寶、京東、抖音、拼多多、蘇寧等眾多平臺都已成為該賽道內(nèi)的玩家.根據(jù)中研產(chǎn)

業(yè)研究院《2020-2025年中國直播電商行業(yè)市場深度分析及投資戰(zhàn)略咨詢研究報告》顯示，2020年上半年,

“直播經(jīng)濟”業(yè)態(tài)主要崗位的人才達到2019年同期的2.4倍；2020年“6/8”期間，帶貨主播和直播運營

兩大崗位高達去年同期的11.6倍.針對這一市場現(xiàn)象，為了加強監(jiān)管，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商

品和服務(wù)的評價體系.現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.6,

對服務(wù)的好評率為0.75,其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為80次.

（1）請完成關(guān)于商品和服務(wù)評價的2x2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為

商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？

對服務(wù)好評對服務(wù)不滿意合計

對商品好評80

對商品不滿意10

合計200

(2)若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的3次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)全為好評的次數(shù)為隨機

變量X,求對商品和服務(wù)全為好評的次數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.

附臨界值表：

P(K2..k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

K?的觀測值：K2=----------n(ad-bc)-------(其中〃=。+6+。+團

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

21.如圖，在平面直角坐標系xOy中，過原點的直線/:y=Kx(K>())交拋物線C：V=2x于點P(異于原點

O),拋物線C上點P處的切線交y軸于點設(shè)線段OP的中點為N,連結(jié)線段交C于點T.

-LX|77WI.

(1)求2----1的值;

\MN\

(2)過點尸作圓O，:(x-l>+y2=l的切線交C于另一點Q,設(shè)直線的斜率為網(wǎng)，證明：陶-為定

值.

22.已知函數(shù)/(X)=xlnx一;X?+(2。-1)x(。GR).

(1)討論函數(shù)/(x)的極值點的個數(shù)；

4a2al

(2)已知函數(shù)g(x)=￡-r(x)有兩個不同的零點x，x2,且因正明：x2-xl<~~~

x2a

2023年江蘇新高考數(shù)學仿真模擬卷（5）

選擇題（共8小題）

1.已知全集U,集合M,N是U的子集，且MON,則下列結(jié)論中一定正確的是（）

A.（期M）U（〃N）=UB.Mp|@N）=0

C.M|J&N）=UD.@M）p|N=0

【答案】B

【詳解】解：對于A,第=所以A錯誤；

對于3，因為Mt）N,所以Mn&N）=0,選項5正確；

對于C，因為MUN,且用「|（心%）=0所以M0|（4，N）HU,選選C錯誤；

對于。，因為MUN,所以@M）nNW0,選選。錯誤.

故選：B.

2.清明節(jié)前夕，某校團委決定舉辦“緬懷革命先烈，致敬時代英雄”主題演講比賽，經(jīng)過初賽，共10人

進入決賽，其中高一年級2人，高二年級3人，高三年級5人，現(xiàn)采取抽簽方式?jīng)Q定演講順序，則在高二

年級3人相鄰的前提下，高一年級2人不相鄰的概率為（）

1113

A.—B.-C.-D.-

12324

【答案】D

【詳解】解：清明節(jié)前夕，某校團委決定舉辦“緬懷革命先烈，致敬時代英雄”主題演講比賽，

經(jīng)過初賽，共10人進入決賽，其中高一年級2人，高二年級3人，高三年級5人，

采取抽簽方式?jīng)Q定演講順序，二年級3人相鄰,

基本事件總數(shù)"=A；婕

在高二年級3人相鄰的前提下，高一年級2人不相鄰包含的基本事件個數(shù)〃?=,

二.在高二年級3人相鄰的前提下，高一年級2人不相鄰的概率為：

1黑片=3

4

故選：D.

3.已知等差數(shù)列｛/｝的前"項和為S,,,2（4+4+%）+3（4+須）=60,則S”的值為（）

A.33B.44C.55D.66

【答案】C

【詳解】解由題意得，2（0,+/+%）+3（6+4。）=60,

所以64+6ag=60,

由等差數(shù)列的性質(zhì)得，《+%=10,

所以坨L上包2=55,

2

故選：C.

4.函數(shù)y=/〃|x|+8sx的大致圖象是（）

【答案】C

【詳解】解:根據(jù)題意，設(shè)/(x)=/〃|x|+cosx,其定義域為"|%工0},

則/(-x)=/〃|x|+cosx=F(x),y=+cosx為偶函數(shù)，排除BD,

在區(qū)間(e,+oo)上，Inx>1,一啜!fcosx1,則/(x)>0,排除A,

故選：C.

5.如圖，在斜坐標系直為中，/軸、y軸相交成60。角，e；,窈分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向

量，若向量。戶=則稱有序?qū)崝?shù)對<x,y>為向量加的坐標，記作0?=vx,y>,在此斜坐標

系X。)，中，已知向量值=<2,3>,B=<-5,2>,則萬，日夾角的大小為()

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】C

【詳解】解：根據(jù)題意，在斜坐標系xOy中，x軸、y軸相交成60。角，《分別是與x軸、y軸正方向

同向的單位向量，則冢4=g，

向量M=v2,3>,h=<-5,2>,

則M=2q+3e2,b=一5‘+2e2,

所以〃?方二(2q+3e2>(_5q+2,)=T—1./=_￡，Id1=V4+9+6=V19,|b|=V25+4-10=>/19,

則<G,b>=—,

3

故選：C.

6.已知cos（a-*=：,貝1]5出（2￡+.）+￡：0$2成-專）的值為（）

「3"

c.-----

8

【答案】D

【詳解】解：由cos(a-—)=—?得sin(2cr+—)=sin[2(a-—)+-]

64662

=cos2(a--)=2cos2(?--)-1=2x-----1=-

66168

再由cos(a-C)=3,W2cos2(---)-1=—,nJWcos2(---)=—,

6421242128

sin(2a+—)+cos2(---)=-+—=1.

621288

故選：D.

7.我國南北朝時期的數(shù)學家祖咂在計算球的體積時.，提出了一個原理（祖眶原理）：“基勢既同，則積不容

異”.這里的“哥”指水平截面的面積，“勢”指高.這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處

的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等.利用祖曬原理可以將半球的體積轉(zhuǎn)化為與其同底等高

的圓柱和圓錐的體積之差.圖1是一種“四腳帳篷”的示意圖，其中曲線AOC和80Q均是以1為半徑的

半圓，平面AOC和平面BOD均垂直于平面用任意平行于帳篷底面ABCD的平面截帳篷，所得截

面四邊形均為正方形，模仿上述半球的體積計算方法，可以構(gòu)造一個與帳篷同底等高的正四棱柱，從中挖

去一個倒放的同底等高的正四棱錐（如圖2）,從而求得該帳篷的體積為（）

【答案】B

【詳解】解：由“祖曬原理”可知，帳篷體積為正四棱柱的體積減去正四棱錐的體積，底面正方形對角線

為2,正方形邊長為夜,=KE四梭柱—%E四棱儺=（"）2xl一,

故選：B.

8.若橢圓。:餐+斗=1（。>8>0）上的點（2,2）到右準線的距離為3,過點加（0,1）的直線/與C交于兩點A,

a2b~32

B,且麗/=±3，則/的斜率為（）

3

A.-B.±1C.+-D.-

3329

【答案】B

226C

【詳解】解：山已知可知橢圓的右準線方程為：x=—,所以幺-2=2,即/=與，

cc22

又由己知可得：4+^=1-且。2=從+。2,

a29b2

聯(lián)立方程解得：“2=9,從=5,

r22

所以橢圓的方程為：—+^v=1,

95

①當/的斜率不存在時，/與x軸垂直，方程為x=0,不符題意,

②當直線/的斜率存在時，設(shè)/的方程為：y=kx+\.

聯(lián)立方程/2，消去y可得：（5+9公）W+18丘—36=0,

195

設(shè)A（x,y）,（X，y）,則x+x=

B22125+9k2,%*飛+9%

____2___29

由麗=§胸可得：（為，y—1）=一§（々，以一1），則不=_§馬

所以在=尚一家=趣,聯(lián)立解得k=±L

3

故選：B.

二.多選題（共4小題）

9.設(shè)正實數(shù)。，b滿足a+6=l,則（)

A.log,a+log,b..2B.

ah4

C.-+-,,3+272D.2>_

ah2

【答案】BD

【詳解】解：因為正實數(shù)。滿足。+〃=1,

所以血（管）2=>當且僅當時取等號,

log2a+log2b=log2((7/?)?log?；=-2,A錯誤;

令t=abe,"+-_=/+；在（0,J上單調(diào)遞減,

當f=l?時取得最小值U,B成立;

44

2+1=3^+如=3+絲+2.3+2直，C不成立:

ababab

???正實數(shù)Q,8滿足〃+8=1,

a-b^a-(\-a)=2a-\>-\,貝ij2”-”>27=1，。成立.

2

故選：BD.

10.已知雙曲線=l的右焦點為F,兩條直線缶+2>=小Vit+2y=f2與C的交點分別為A，

B,則可以作為|EAREB|的充分條件的是（）

A.%=1,L=8B.%=2,t2=3C.[=2,=4D.%=1,G=4

【答案】AC

【詳解】解：設(shè)&x+2y=4為直線/,

則x=-夜y+-y=,

v2

x——y/2y+—j=

聯(lián)立直線/與雙曲線C,2,化簡整理可得，24y=工_4,

土一工=12

42

若4=0,則/為雙曲線的漸近線，與雙曲線無交點，不符合題意，

故r尸0,

則y/_2,x=_0+與=迤+&,

4/,-V2A4

1,r.,272叵J2.

故4-----+-—），

h444

?.?雙曲線c：工-X=i,

42

a2=4,護=2,c=&+/=瓜,故尸（痛，0）,

...|述+坐/指『+（,_2）2=11一逑+7_瘋+盤片①,

t}44t}Z,八16

竽+7一恒+儲②,

同理可得,

將A,B,C,。依次代入①②兩式驗證可得，AC正確，皮）錯誤.

故選：AC.

11.對于定義在R上的函數(shù)/（x），若存在正實數(shù)a、6,使得/（x+a）,J（x）+/）對一切xeR均成立，則稱/（x）

是“控制增長函數(shù)”.在以下四個函數(shù)中是“控制增長函數(shù)”的有（）

A./(x)=exB./(x)=MC./(x)=sin(x2)D./(x)=x-sinx

【答案】BCD

【詳解】解:對于A,/(x+a),J(x)+8可化為力，

即e'(e"-l),,h,?"-1大于0恒成立，

總存在x使e"(e"-l)>b,

所以ex(ea-1),,6對一切xeR不恒成立，

所以〃x)=e，不是“控制增長函數(shù)”；

對于3,若/(x)=E7是"控制增長函數(shù)”，則/(x+a),,/(x)+6可化為Jlx+aL,JTj+二,

.,.|x+a|”Ixl+b。+26^/(^恒成立，又|x+a|,,|x|+a,

,2

.'.IXI+a?\x\+h2+2hJ\x\,y/\x\..■',顯然當q,bZ時式子恒成立，

.?./(*)=向是“控制增長函數(shù)”；

對于C，?.?-1就(x)=sin(Y)1,:.f(x+a)-f(x\,2,

.?.當b..2時,a為任意正數(shù)，使.f(x+a),J(x)+b恒成立，故/(x)=sin，)是“控制增長函數(shù)”;

對于。，若/'(x)=xsinx是“控制增長函數(shù)”，則(x+a)sin(x+a),,xsinx+Z?恒成立.

令。=2%%,keZ,則sin(x+a)=sinx,

當女=1時，a=2］，

由(x+2;r)sin(x+2；F)=xsinx+2;rsinA；,xsinx+Z?，

即A.21sinx，只需b..2乃.

.?.f(x)=xsinx是“控制增長函數(shù)”.

故選：BCD.

12.已知函數(shù)/(x)=3sin2x+4cos2x,g(x)=f(x)+1/(x)I.若存在eR,使得對任意xeR,/(x)../(x0),

則()

A.任意xwR,f(x+x0)=f(x-x0)

B.任意xeR,/(x),,/(與+])

C.存在。>0,使得g(x)在(%,%+。)上有且僅有2個零點

D.存在。使得g(x)在(%-展，%+。)上單調(diào)遞減

【答案】BD

【詳解】解：函數(shù)/(%)=3sin2x+4cos2x=5sin(2x+e),其中夕為銳角，F(xiàn)l.cos0=w，

由題意，%是/(%)的最小值點,所以/(X)關(guān)于x="對稱,所以/(-%+/)=/(x+/)，故A錯

誤；

因為f(x)的最小正周期7=夸="，所以/(%+9為最大值，所以任意xeR,y(x),J(Xo+5),故3正

確；

因為/(與)<0,且/(%+?)=0,在(/，與+?)中，/(%)<0,此時g(x)恒為0,

故不存在。>0,使得g(x)在(%,%+，)上有且僅有2個零點，故C錯誤；

取6?=-?，則在(與-普，x0+，)內(nèi)，f(x)單調(diào)遞減，且/(x)>0,所以g(x)=2/(x)單調(diào)遞減，故。正

確.

故選：BD.

三.填空題(共4小題)

13.如圖，在平面四邊形4?CD中，已知AD=3,BC=4,E,F為AB,CD的中點，P,Q為對角線

AC,8。的中點，則尸@?麗的值為

【答案】二

4

【詳解】解：如圖，連接儀，F(xiàn)Q,EP,EQ,

.E,F為AB，8的中點，P,。為對角線AC,的中點，

四邊形EPFQ為平行四邊形，

PQ=EQ-EP=^AD-BC),EF=EP+EQ=^(,AD+BC)，且AD=3,BC=4,

PQ?EF=-(AD-BC2)=--.

44

故答案為：工.

4

22

14.設(shè)K，F(xiàn)?分別是橢圓C:，+匕=l(a>0)的左、右焦點，過F?作X軸的垂線與C交于A，8兩點，若

a2

為正三角形，則。的值為.

【答案】V3

22

【詳解】解：匕，心分別是橢圓C:三+匕=1(“>0)的左、右焦點，過工作X軸的垂線與C交于A,8兩

a2

點，

若AA防為正三角形，所以1Kgl=6|傷|,即2，/-2=氐等,求得。=5

故答案為：^3.

15.早在15世紀，達?芬奇就曾提出一種制作正二十面體的方法：如圖1,先制作三張一樣的黃金矩形

48。/怛=苴二Q,然后從長邊CD的中點E出發(fā)，沿著與短邊平行的方向剪開一半，^OE=-AD,

再沿著與長邊AB平行的方向剪出相同的長度，即。F=OE,將這三個矩形穿插兩兩垂直放置，連結(jié)所有頂

點即可得到一個正二十面體，如圖2若黃金矩形的短邊長為4,則按如上制作的正二十面體的表面積為

其外接球的表面積為.

【答案】80屈(40+8質(zhì)萬

【詳解】解：由題目中的圖2可得正二十面體的表面是二十個全等的等邊三角形，邊長為4,

所以表面積為“X42X20=80G；

4

由&=得長邊2y=2石+2,

2y2

根據(jù)對稱性可知，外接球球心在所有黃金矩形對角線的交點處，直徑就是黃金矩形的對角線長度,

即2R=次+(26+2)2=40+8/,

所以外接球的體積為4萬店=4萬x("10+2后了=(40+8君)萬.

故答案為：806；(40+8退);r.

16.若不等式(如2+灰+1)",,1對一切xeR恒成立，其中。，beR,e為自然對數(shù)的底數(shù)，則a+b的取值

范圍是.

【答案】(-8，-1]

【詳解】解:令/(幻=(以2+法+1)-，題中的不等式即f(X),J(0)恒成立,

顯然0,/r(x)=ex[cix24-(2(74-b)x4-/?+1],

則//(0)=ft+l=0=>Z?=-l,f\x)=ex[ax2+(2a+l)x]=xex{ax+2a-1),

當4=0時，/(x)在(-00,0)遞增，(0,內(nèi))遞減，f(x),J(0)符合題意，

4<0時，f(x)在(-8,上3)遞減，(上必，0)遞增，(0,+00)遞減，

aa

x<-~~—,ax2-x+\<0=>/(x)<0,故/(x),,/(0)符合題意，

a

綜上，4,0,b=-1,因此a+/?￡(-oo,-1].

故答案為：(-oo,-1].

四.解答題(共6小題)

17.設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,。所對的邊長分別為。，b,。且acos3=l,加inA=2.

(I)求sin(A+C)和邊長Q；

(II)當。2+,2取最小值時，求AA8C的面積.

【答案】(I)拽a=45(II)1

5.2

【詳解】解：（I）山正弦定理及acos6=l與Z?sinA=2得：2RsinAcos8=1,2Rsin3sinA=2（R是AABC

的外接圓半徑），

兩式相除，得工=您0,

2sinB

設(shè)8sB=%,sinB=2k,

?.?8是AABC的內(nèi)角，/.sinB>0,:.k>0,

sin2B+cos2B=1,k=—,

5

R加.R2石

..cosB=——，sinB=-----,

55

將cosB=代入acosB=\,得a=后,

7/5

sin(A+C)=sin(乃-B)=sinB=；

(II)由(I)及余弦定理知。2=〃2+c，2-2HCCOS區(qū)=5+(?-2c,

199

X2

-I+--

2/22.

當且僅當c=」時，序+。2取得最小值2,

22

c1.n1丘12后1

..3sA廠=—tzcsin/>=—xv5x—x----=—,

MBC22252

:.b2+c2最小時MBC的面積為1.

2

18.已知等差數(shù)列｛a,,｝滿足：4+3,%，4成等差數(shù)列，且4，4，為成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）在任意相鄰兩項應(yīng)與4M伏=1,2,…）之間插入2”個2,使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列出“｝.記

5?為數(shù)列曲,｝的前n項和，求滿足<500的〃的最大值.

【答案】(1)an=4+3(n-l)=3n+l(2)211

【詳解】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

由q+3,a3,4成等差數(shù)列，可得2a§=q+3+々4，

即為2(a｝+2d)=2a1+3+3d,可得d=3,

4，4，必成等比數(shù)列，可得《=%出，

即為(4+6)2="(4+21),解得4=4,

所以%=4+3(〃-1)=3〃+1；

(2)由于任意相鄰兩項4與4』(攵=1,2,…)之間有2A個2,

當％=6時，?。?｝中前6項，以及(2+4+8+16+32+64)=126個2,

可得，32=；x6x(4+19)+126x2=321<500；

當％=7時，取伍“｝中前7項，以及(2+4+8+16+32+64+128)=254個2,

可得S26i=；x7x(4+22)+254x2=599>500-

所以也,｝中前261項去掉倒數(shù)50個2,可得昆”=599—100=499.

則滿足S,,<500的n的最大值為211.

19.如圖，在正六邊形A8CDE/中，將沿直線班'翻折至△AM,使得平面A5FL平面38所,

O,〃分別為3尸和AC的中點.

(1)證明：OH"平面AEF；

(2)求平面A8C與平面ADE所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)幽

31

【詳解】解：(1)證明：如圖，取的中點G,連接FG,HG,CE,

又?.,”是AC的中點，

:.HG//CE,HG=-CE,

2

又?.?正六邊形A3C。斯中，BFUCE,BF=CE,

：.HG//BF,HG=-BF,

2

又O為3口的中點，

:.HG//OF,HG=OF,

四邊形0R3H為平行四邊形，椒OH〃FG,

?.?尸Gu平面A所，0〃仁平面AE/L

平面A￡F；

(2)由條件可知aV_L08,OA1OD,OD1OB,分別以O(shè)B,0D,QT所在宜線為x軸，y軸，z軸

建立如圖所示的空間直角坐標系，

設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為2,則B(g,0,0),C(e,2,0),D(0,3,0),E(-G,2,0),A(O,O,1),

就=(0,2,0),近=(百,2,-1),麗=(力1,0),而=(0,3,-1),

m-BC=2y=0

設(shè)平面A!BC的法向量為玩=(x,y,z),則V則可取沅=(1,0,6),

rn-A!C=A/3X+2y-z=0

吧=島+』,則可取萬=(.后-3a

設(shè)平面AOE的法向量為河=(n/,c),則<

n-ArD=3b-c=0

設(shè)平面A'BC與平面A0E所成銳二面角的大小為6，則cos。=|cos<m,n>\=生包=戶見=—

\m\\ri\2J1+3+2731

平面A'BC與平面ADE所成銳二面角的余弦值為—.

20.隨著視頻傳輸和移動通信技術(shù)的日益成熟、以及新冠疫情的推動，直播+電商的模式正在全球范圍內(nèi)掀

起熱潮.目前，國際上Amazn”、R成《招〃等電商平臺和以為代表的社交類平臺都紛紛上線了直播

電商業(yè)務(wù)；在國內(nèi)，淘寶、京東、抖音、拼多多、蘇寧等眾多平臺都已成為該賽道內(nèi)的玩家.根據(jù)中研產(chǎn)

業(yè)研究院《2020-2025年中國直播電商行業(yè)市場深度分析及投資戰(zhàn)略咨詢研究報告》顯示，2020年上半年,

“直播經(jīng)濟”業(yè)態(tài)主要崗位的人才達到2019年同期的2.4倍；2020年“6T8”期間，帶貨主播和直播運營

兩大崗位高達去年同期的11.6倍.針對這一市場現(xiàn)象，為了加強監(jiān)管，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商

品和服務(wù)的評價體系.現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.6,

對服務(wù)的好評率為0.75,其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為80次.

(1)請完成關(guān)于商品和服務(wù)評價的2x2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為

商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？

對服務(wù)好評對服務(wù)不滿意合計

對商品好評80

對商品不滿意10

合計200

(2)若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的3次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)全為好評的次數(shù)為隨機

變量X,求對商品和服務(wù)全為好評的次數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.

附臨界值表:

P(K2..k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

K?的觀測值：K2=----------Md-bcf------(其中〃=a+"c+d)

(4+h)(c+d)(a+c)(h+d)

【答案】(1)能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)(2)見解析

【詳解】解：(1)由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評價的2x2列聯(lián)表如下：

對服務(wù)好評對服務(wù)不滿意合計

對商品好評8040120

對商品不滿意701080

合計15050200

^=200X(80X10-40X70)\11.111>10.828,

150x50x120x80

故能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)；

(2)每次購物中，對商品和服務(wù)全為好評的概率為上，且X的取值可以是0,1,2,3,

5

7979754

其中尸—寸=近，P(X=l)=C；-x(l--/=-)

P(X=2)=c；(|)2(l-1)=黑,尸(X=3)=(3=W.

JJ*J1乙。

X的分布列為：

X0123

P2754368

125125125125

由于X~B(3,|),則X的數(shù)學期望E(X)=3x|=g

21.如圖，在平面直角坐標系xOy中，過原點的直線/:y=4x?>0)交拋物線C:y?=2x于點P(異于原點

。)，拋物線C上點P處的切線交y軸于點設(shè)線段OP的中點為N,連結(jié)線段MN交C于點T.

(2)過點P作圓O':(x-l)2+y2=i的切線交。于另一點Q,設(shè)直線。。的斜率為自，證明：|匕-&|為定

值.

【答案】⑴踹耳⑵見解析

【詳解】解：(1)設(shè)P(3，。)(。>0),則在點P處的切線方程為y=&(x-')+a,&工0,

聯(lián)立方程組笳，消去x整理可得：9_&+4_。2=0,

y=k(x--)+akk

由A=：-4(?-a2)=o,解得女=1,則切線方程為丁=_1》+@,

kkaa2

2

則M%），%，?

y~=—24人x22

聯(lián)立方程組《q,解得得，溝,即嗚卯叮為MN的中點,

所以舐H

（2）證明：當直線PQ的斜率不存在時，其直線為x=2,

解得P(2,2),g(2,-2),匕=1,k2=-\,貝ij化一網(wǎng)|=2,

當直線PQ的斜率存在時，設(shè)方程為y=ax+b,由題意知加工0,人工0,

因為直線PQ與圓0'相切，所以「丁+外=1,即^+2,成=1,

、,1+―

聯(lián)立方程組y=2X，得到〃八2+2(血?_[口+從=0,

[y=rwc-^-b

1

、八?八八n,i2(1-tnh)b

&P(x,,x),Q(X,%)，則％+x,=—；——,.v,x=—,

2nT2m

又y生質(zhì)=&,則IKM1=1'-H叁31=1即+力，、+加,

XX

X,x2MW王馬\2

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x.x2b\b\

ITT.(1-泌)2~_^4(\-mb)2-4tn2b