北師大版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章整式的乘除

1、單項(xiàng)式的概念：由數(shù)與字母的乘積構(gòu)成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)

字母也是單項(xiàng)式。單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，字母指數(shù)和叫單項(xiàng)式的次數(shù)。

2、多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式叫多項(xiàng)式的項(xiàng)，次數(shù)最

高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù)。

3,整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。

注意：凡分母含有字母代數(shù)式都不是整式。也不是單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。

4、同底數(shù)嘉的乘法法則：曖(九〃都是正整數(shù))

同底數(shù)嘉相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意：底數(shù)可以是多項(xiàng)式或單項(xiàng)式。

如：(a+b)2?(a+b)3=(a+b)5

5、森的乘方法則：(加,〃都是正整數(shù))

箱的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如：(-35)2=31°

嘉的乘方法則可以逆用：即屋

如：46=(42)3=(43)2

6、積的乘方法則：(h)"="方’(〃是正整數(shù))

積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。

如：(-2x3y2z)5=(-2)5?(X3)5?(/)5.Z5=-32x15y,oz5

7、同底數(shù)嘉的除法法則：優(yōu)"="""(a工都是正整數(shù)，且,心〃)

同底數(shù)嘉相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。如：(仍)4+(")=(")3=/〃

8、零指數(shù)和負(fù)指數(shù)；

a°=l,(aWO)即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1。

ap=^-(a/O,〃是正整數(shù))，即一個(gè)不等于零的數(shù)的-p次方等于這個(gè)數(shù)的p次方

a1

的倒數(shù)。

9、科學(xué)記數(shù)法：如：0.00000721=7.21x1()-6(第一個(gè)非零數(shù)字前零的個(gè)數(shù))

10、單項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母的箱分別相

乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。

11、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：根據(jù)分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相

加，

即〃2(a+。+c)=ma+mb+me(加,a,仇c都是單項(xiàng)式)

12、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則；

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所的的積

相加。

13、單項(xiàng)式的除法法則：

單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)賽分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的

字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式。

14、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，在把所的的商相加。

15、整式乘法公式：

(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2

公式特點(diǎn)：(有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)只有符號(hào)不同)

(2)完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2

逆用：a1+lab+b2-(a+b)2,a2-lab+b2-(a-b)2.

完全平方公式變形(知二求一)：

a2+b2=(a-b)2+laba1+b2=(a+b)2-lab

a1+b-=R(a+b)2+(?-Z?)2]

a2+h2=(a+h)2-2ah=(a-h)2+2ah=y[(a+h)2+(a-Z?)2]

(a+b)2=(a-b)2+4abab=}[(a+b)2-(a-b)2]

第二章相交線與平行線

1、兩條直線的位置關(guān)系

在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：⑴相交；⑵平行（表示符號(hào)“〃”）

因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時(shí)，就可以肯定它們平行；反過來也一樣

判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定：

①有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線相交；

②無公共點(diǎn)，則兩直線平行；

③兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直線重合（因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線）

2、對(duì)頂角：我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且角的兩邊互為反向

延長(zhǎng)線的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。

3、余角：定義：如果兩個(gè)角的和是90°,那么稱這兩個(gè)角互為余角。

性質(zhì)：同角或等角的余角相等。

4、補(bǔ)角：定義：如果兩個(gè)角的和是180°,那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角。|c

性質(zhì)：同角或等角的補(bǔ)角相等。（了解鄰補(bǔ)角）_____L

5、垂線A,

⑴定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩D

條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足表示

符號(hào)“_L”。符號(hào)語言記作：如圖所示：AB1CD,垂足為0：

⑵性質(zhì)1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

⑶性質(zhì)2：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱：垂線段

最短。

6、垂線的畫法：

⑴過直線上一點(diǎn)畫已知直線的垂線；⑵過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線。

垂線的畫法（以線段外過一點(diǎn)做線段的垂線，垂足不在線段上為例）

用直角三角板畫垂線，可簡(jiǎn)單地說成：“一落”、“二過”、“三畫”、“四標(biāo)”.

如圖1,線段BC,過點(diǎn)A作線段BC的垂線，垂足為點(diǎn)D.

“一落”：將三角板一條直角邊緊貼已知直線上.

我們要過點(diǎn)A作線段BC的垂線，獲得垂線段AD,可先用三角板的一條直角邊與BC重合在

一起，另一條直角邊落在點(diǎn)A的同一側(cè)；不蓋住點(diǎn)A.（如圖2）

“二過”：使三角板的另一直角邊經(jīng)過已知點(diǎn).

用鉛筆尖點(diǎn)住A點(diǎn)，使三角板保持與BC重合，沿線段BC慢慢移動(dòng)，到三角板的另一直角

邊剛好靠近點(diǎn)A（鉛筆尖）時(shí)停下來。（如圖3）

“三畫”：沿已知點(diǎn)所在直角邊畫直線.

按緊平移后的三角板，用鉛筆從A點(diǎn)開始沿這條直角邊畫直線，很明顯這條直線不與線

段BC相交，于是我們只需把BC延長(zhǎng)（或反向延長(zhǎng)）與這條直線相交.（如圖4）

“四標(biāo)”：標(biāo)出直角標(biāo)號(hào)“-I”

由畫出的延長(zhǎng)線與作的直線相交而獲得了垂足，我們可在交點(diǎn)處標(biāo)上垂直符號(hào)”，

并標(biāo)上字母符號(hào)"D”.（如圖4）到此，垂線段AD便作出了.

圖1圖2圖3圖4

二、兩條線平行的條件

1、兩條直線被第三條直線所截，形成了8個(gè)角。（三線八角）

2、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角：直線AB,CD與EF相交（或

者說兩條直線AB,CD被第三條直線EF所截）,構(gòu)成八個(gè)角。其

中N1與N5這兩個(gè)角分別在AB,CD的上方，并且在EF的同側(cè),

像這樣位置相同的一對(duì)角叫做同位角；N3與N5這兩個(gè)角都在

AB,CD之間，并且在EF的異側(cè)，像這樣位置的兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；N3與N6在直線

AB,CD之間，并側(cè)在EF的同側(cè)，像這樣位置的兩個(gè)角叫做同旁內(nèi)角。

同位角：兩個(gè)角都在兩條直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一

對(duì)角叫做同位角。

內(nèi)錯(cuò)角：兩個(gè)角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，這樣的一對(duì)

角叫做內(nèi)錯(cuò)角。

同旁內(nèi)角：兩個(gè)角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一

對(duì)角叫同旁內(nèi)角。

2、平行線的判定：注意：幾何中，圖形之間的“位置關(guān)系”一般都與某種“數(shù)量關(guān)系”

有著內(nèi)在的聯(lián)系

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。簡(jiǎn)稱：同位角相等,

兩直線平行。

兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么兩直線平行。簡(jiǎn)稱：內(nèi)錯(cuò)角相等,

兩直線平行。

3、平行線的畫法：

利用三角板的平移畫平行線，其畫法可以總結(jié)為：“一落”、“二靠”、“三移”、

“四畫”.

一落：三角板的一邊落在已知直線；

二靠：靠緊三角板的另一邊放上另一塊三角板；

三移：使第一塊三角板沿著第二塊三角板移動(dòng)，使其經(jīng)過原直線的一邊經(jīng)過已知點(diǎn)；

四畫：沿三角板過已知點(diǎn)的一邊畫出直線.這時(shí)所畫直線就一定與已知直線平行.

4、平行公理一一平行線的存在性與唯一性

經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行（與垂直公理相比較記）

5、平行線的性質(zhì):

（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。（3）兩直線平行,

同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

6、平行公理的推論：

如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

第三章變量之間的關(guān)系

1、變量、自變量、因變量、常量

變量：在某一變化過程中，不斷變化的量叫做變量。

自變量、因變量：如果一個(gè)變量y隨另一個(gè)變量x的變化而變化，則把x叫做自變量,

y叫做因變量。

常量：一個(gè)變化過程中數(shù)值始終保持不變的量叫做常量.

2、函數(shù)的三種表示方法：

（1）列表法（用表格）

采用數(shù)表相結(jié)合的形式，運(yùn)用表格可以表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。列表時(shí)要選取能代

表自變量的一些數(shù)據(jù)，并按從小到大的順序列出，再分別求出因變量的對(duì)應(yīng)值。列表

法最大的特點(diǎn)是直觀，可以直接從表中找出自變量與因變量的對(duì)應(yīng)值，但缺點(diǎn)是具有

局限性，只能表示因變量的一部分。

（2）解析法（關(guān)系式）

關(guān)系式是利用數(shù)學(xué)式子來表示變量之間關(guān)系的等式，利用關(guān)系式，可以根據(jù)任何一個(gè)

自變量的值求出相應(yīng)的因變量的值，也可以已知因變量的值求出相應(yīng)的自變量的值

（3）圖像法（用圖象）

對(duì)于在某一變化過程中的兩個(gè)變量，把自變量x與因變量y的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)

的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出這些點(diǎn)，這些點(diǎn)所組成的圖形就是它們的圖象

3、三種方法的優(yōu)缺點(diǎn)比較

優(yōu)點(diǎn)設(shè),點(diǎn).壬

只能列出部分自變量與因變量的

對(duì)于表中目變量的亭川直可

對(duì)應(yīng)值難以反映變量間的變化全通常昌變量表示在表格的上方，因變

列表法以不通過計(jì)算.直接把因變量的

貌，而且從表中看不出變量間的對(duì)量表示碼格的下方

值找到，查詢時(shí)很方便

應(yīng)規(guī)律

有些變量之間的關(guān)縈很難或不能

通常目變量表示在式子的右邊，因變

解析法演明扼要，規(guī)河隹確用關(guān)求對(duì)應(yīng)值也逐

ns量表示在式子的左邊

個(gè)計(jì)算，比較麻煩

形象直觀,可以很形象地反映事

圖象是四以的局部的，觀察或由圖遹常自變量用水平方向的數(shù)軸（橫軸）

物變化的全過程變化的趨勢(shì)卻

圖象法象確定的因變量的值往往星不準(zhǔn)上的點(diǎn)來表示，因變量用豎直方向的

其些性質(zhì)（因變量的增減性點(diǎn)

魂的數(shù)軸（縱軸）上的點(diǎn)來表示

的對(duì)稱，最大值或最小值）等

4、事物

變化趨勢(shì)的描述

對(duì)事物變化趨勢(shì)的描述一般有兩種：

（1）隨著自變量x的逐漸增加（大），因變量y逐漸增加（大）（或者用函數(shù)語言描述

也可：因變量y隨著自變量x的增加（大）而增加（大））；

（2）隨著自變量x的逐漸增加（大），因變量y逐漸減小（或者用函數(shù)語言描述也可：

因變量y隨著自變量x的增加（大）而減?。?

5、估計(jì)（或者估算）

對(duì)事物的估計(jì)（或者估算）有三種：

1.利用事物的變化規(guī)律進(jìn)行估計(jì)（或者估算）.例如：自變量x每增加一定量，因變量

y的變化情況；平均每次（年）的變化情況（平均每次的變化量=（尾數(shù)一首數(shù)）/次

數(shù)或相差年數(shù)）等等；

2.利用圖象：首先根據(jù)若干個(gè)對(duì)應(yīng)組值，作出相應(yīng)的圖象，再在圖象上找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

對(duì)應(yīng)的因變量y的值；

3.利用關(guān)系式：首先求出關(guān)系式，然后直接代入求值即可.

第四章三角形

1、三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組

成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊

所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角。

2、三角形的表示：三角形用符號(hào)“△”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“△ABC”，

讀作“三角形ABC”。

3、三角形的三邊關(guān)系：

（1）三角形的兩邊之和大于第三邊。（2）三角形的兩邊之差小于第三邊。（三角形

的第三邊大于兩邊之差小于兩邊之和）（3）作用：①判斷三條已知線段能否組成三角

形②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍。③證明線段不等關(guān)系。

4、三角形的內(nèi)角的關(guān)系：

（1）三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°

（2）直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

5、三角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。

四邊形具有不穩(wěn)定性。

6、三角形的分類：

（1）三角形按邊分類：

r不題部形

三角形J

r底和腰不相等的等腰三角形

、等腰三角形《

〔等邊E觸

（2）三角形按角分類：

C直角三角形（有一個(gè)角為直角的三角形）

三角形《r銳角三角形（三個(gè)角都是銳角的三角形）

、斜三角形］

I鈍角三角形（有一個(gè)角為鈍角的三角形）

把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角

邊相等的直角三角形。

7、三角形的三種重要線段：

（1）三角形的角平分線：

定義：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的

線段叫做三角形的角平分線。

性質(zhì)：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)（內(nèi)心）。交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部。

（2）三角形的中線：

定義：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。

性質(zhì)：三角形的三條中線交于一點(diǎn)（重心），交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部。

（3）三角形的高線：

定義：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三

角形的高線（簡(jiǎn)稱三角形的高）。

性質(zhì)：三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)（垂心）。銳角三角形的三條高線的交點(diǎn)

在它的內(nèi)部；直角三角形的三條高線的交點(diǎn)是它的斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的三條高

所在的直線的交點(diǎn)在它的外部；

區(qū)別相同

中線平分對(duì)邊三條中線交于三角形內(nèi)部

（1）都是線段

角平分線平分內(nèi)角三條角平分線交于三角表內(nèi)部

（2）都從頂點(diǎn)畫出

垂直于對(duì)邊銳角三角形：三條高線都在三角形內(nèi)部

（3）所在直線相交

高線（或其延長(zhǎng)直角三角形：其中兩條恰好是直角邊

于一點(diǎn)

線）鈍角三角形：三條高線都在三角形外部

二、圖形的全等

全等圖形：定義：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形。性質(zhì)：全等圖形的形狀和

大小都相同。

全等三角形

1、全等三角形及有關(guān)概念：

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。兩個(gè)三角形全等時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫

做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。

2、全等三角形的表示：

全等用符號(hào)“名”表示，讀作“全等于“。如△ABC之ZkDEF,讀作“三角形ABC全等

于三角形DEF”。

3、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。

4、三角形全等的判定：

(1)邊邊邊：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”)o

(2)角邊角：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或

“ASA”)

(3)角角邊：兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成“角角邊”

或"AAS")

(4)邊角邊：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或

“SAS”)

5、證題的思路：

[[找夾角64S)

已知兩邊找直角a紅)

找第三邊csss)

f若邊為角的對(duì)邊，則找任意角G4AS)

‘找已知角的另一邊(SAS)

已知一邊一角

邊為角的鄰邊找已知邊的對(duì)角C4AS)

找夾已知邊的另一角(ASA)

'找兩角的夾邊(ASA)

已知兩角

找任意一邊(AAS)

6、利用三角形全等測(cè)距離

第五章生活中的軸對(duì)稱

一、軸對(duì)稱

1、軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那

么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。

2、軸對(duì)稱：如果兩個(gè)平面圖形沿一條直線對(duì)折后，能夠完全重合，那么稱這兩個(gè)圖形

成軸對(duì)稱，這條直線叫做這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸。

3、性質(zhì)：在軸對(duì)稱圖形或兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平

分，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。

二、等腰三角形

1、等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。

2、等腰三角形的性質(zhì)：

（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角“

（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱“三線合一”）

3、等腰三角形的判定：

（1）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。（2）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那

么它們所對(duì)的邊也相等

三、線段的垂直平分線（簡(jiǎn)稱中垂線）：

定義：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。

性質(zhì)：線段垂直平分