八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(全)

人教版初二數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)歸納

因式分解

1.因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式

分解；注意：因式分解與乘法是相反的兩個(gè)轉(zhuǎn)化.

2.因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分組分解法”、“十字

相乘法”.

3.公因式的確定：系數(shù)的最大公約數(shù)?相同因式的最低次暴.

注意公式：a+b=b+a；a-b=-（b-a）；（a-b）2=（b-a）2；（a-b）3=-（b-a）3.

4.因式分解的公式：

（D平方差公式:a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2,a2-2ab+b2=（a-b）2.

5.因式分解的注意事項(xiàng)：

（1）選擇因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分組、四十字;

（2）使用因式分解公式時(shí)要特別注意公式中的字母都具有整體性；

（3）因式分解的最后結(jié)果要求分解到每一個(gè)因式都不能分解為止；

（4）因式分解的最后結(jié)果要求每一個(gè)因式的首項(xiàng)符號(hào)為正；

（5）因式分解的最后結(jié)果要求加以整理；

（6）因式分解的最后結(jié)果要求相同因式寫(xiě)成乘方的形式.

6.因式分解的解題技巧：（1）換位整理，加括號(hào)或去括號(hào)整理；（2）提負(fù)號(hào)；

（3）全變號(hào)；（4）換元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整體；（7）靈活分

組；（8）提取分?jǐn)?shù)系數(shù)；（9）展開(kāi)部分括號(hào)或全部括號(hào)；（10）拆項(xiàng)或補(bǔ)項(xiàng).

7.完全平方式：能化為（m+n）2的多項(xiàng)式叫完全平方式；對(duì)于二次三項(xiàng)式

M=q

x2+px+q,有“x2+px+q是完全平方式o.

分式

A

1.分式：一般地，用A、B表示兩個(gè)整式，A4-B就可以表示為電的形式，如

A

果B中含有字母，式子后叫做分式.

有理式工

2.有理式：整式與分式統(tǒng)稱(chēng)有理式；即1分立.

3.對(duì)于分式的兩個(gè)重要判斷：（1）若分式的分母為零，則分式無(wú)意義，反之有

意義；（2）若分式的分子為零，而分母不為零，則分式的值為零；注意：若分式

的分子為零，而分母也為零，則分式無(wú)意義.

4.分式的基本性質(zhì)與應(yīng)用：

（1）若分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的整式，分式的值不

變；

(2)注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分

式的值不變；

-分子-分子分子二分子

即一—分母一分母一—分母一―芬屈

(3)繁分式化簡(jiǎn)時(shí)，采用分子分母同乘小分母的最小公倍數(shù)的方法，比較簡(jiǎn)單.

5.分式的約分：把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分；注

意：分式約分前經(jīng)常需要先因式分解.

6.最簡(jiǎn)分式：一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式，這個(gè)分式叫做最簡(jiǎn)分式；注

意：分式計(jì)算的最后結(jié)果要求化為最簡(jiǎn)分式.

ac_acac_ad_ad

7.分式的乘除法法則：bdbd'b-dbebe.

(色］=￡.(n為正整數(shù))

8.分式的乘方：b

9.負(fù)整指數(shù)計(jì)算法則：

1

(1)公式：aO=l(aWO),a-n=a”(aWO)；

(2)正整指數(shù)的運(yùn)算法則都可用于負(fù)整指數(shù)計(jì)算；

(3)公式：lb)⑴，b-man.

(4)公式：(-1)-2=1,(-1)-3=-l.

10.分式的通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的

分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先確定最簡(jiǎn)

公分母.

11.最簡(jiǎn)公分母的確定：系數(shù)的最小公倍數(shù)?相同因式的最高次幕.

12.同分母與異分母的分式加減法法則：

aba±bacadbead±bc

-±-=----;-—±——=±=------

cccbdbdbdbd

13.含有字母系數(shù)的一元一次方程：在方程ax+b=O(aWO)中,x是未知數(shù),a和b是

用字母表示的已知數(shù)，對(duì)x來(lái)說(shuō)，字母a是x的系數(shù)，叫做字母系數(shù)，字母b是

常數(shù)項(xiàng)，我們稱(chēng)它為含有字母系數(shù)的一元一次方程.注意：在字母方程中，一般用

a、b、c等表示已知數(shù)，用x、y、z等表示未知數(shù).

14.公式變形：把一個(gè)公式從一種形式變換成另一種形式，叫做公式變形；注意:

公式變形的本質(zhì)就是解含有字母系數(shù)的方程.特別要注意：字母方程兩邊同時(shí)乘

以含字母的代數(shù)式時(shí)，一般需要先確認(rèn)這個(gè)代數(shù)式的值不為0.

15.分式方程：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程；注意：以前學(xué)過(guò)的，分

母里不含未知數(shù)的方程是整式方程.

16.分式方程的增根：在解分式方程時(shí)，為了去分母，方程的兩邊同乘以了含有

未知數(shù)的代數(shù)式，所以可能產(chǎn)生增根，故分式方程必須驗(yàn)增根；注意：在解方程

時(shí)，方程的兩邊一般不要同時(shí)除以含未知數(shù)的代數(shù)式，因?yàn)榭赡軄G根.

17.分式方程驗(yàn)增根的方法：把分式方程求出的根代入最簡(jiǎn)公分母（或分式方程

的每個(gè)分母），若值為零，求出的根是增根，這時(shí)原方程無(wú)解；若值不為零，求

出的根是原方程的解；注意：由此可判斷，使分母的值為零的未知數(shù)的值可能是

原方程的增根.

18.分式方程的應(yīng)用：列分式方程解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的方法一樣，

但需要增加“驗(yàn)增根”的程序.

數(shù)的開(kāi)方

1.平方根的定義：若x2=a，那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意:

（1）a叫x的平方數(shù)，（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫開(kāi)方，乘方與開(kāi)方

互為逆運(yùn)算.

2.平方根的性質(zhì)：

（1）正數(shù)的平方根是一對(duì)相反數(shù)；

（2）0的平方根還是0；

（3）負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.

3.平方根的表示方法：a的平方根表示為6和一血.注意：布可以看作是一個(gè)

數(shù)，也可以認(rèn)為是一個(gè)數(shù)開(kāi)二次方的運(yùn)算.

4.算術(shù)平方根：正數(shù)a的正的平方根叫a的算術(shù)平方根，表示為愿.注意：0的

算術(shù)平方根還是0.

5.三個(gè)重要非負(fù)數(shù)：a220,|a|20,癡20.注意：非負(fù)數(shù)之和為0,說(shuō)明它們

都是0.

6.兩個(gè)重要公式：

（1）㈤=a；（a20）

必=|al=F（a-0）

⑵“11l-a（a<0）

7.立方根的定義：若x3=a，那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：

（1）a叫x的立方數(shù)；（2）a的立方根表示為指；即把a(bǔ)開(kāi)三次方.

8.立方根的性質(zhì)：

（1）正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)；

（2）0的立方根還是0；

（3）負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù).

9.立方根的特性：值=一遍.

10.無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).注意：兀和開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)是無(wú)理數(shù).

11.實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)實(shí)數(shù).

?正有理數(shù)'

有理數(shù)，0?有限小數(shù)與無(wú)限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)?、負(fù)有理數(shù).

‘正無(wú)理數(shù)'

無(wú)理數(shù)，,無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

,負(fù)無(wú)理數(shù),

12.實(shí)數(shù)的分類(lèi)：(1)（2）

‘正實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù),0

.負(fù)實(shí)數(shù).

13.數(shù)軸的性質(zhì)：數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)--對(duì)應(yīng).

14.無(wú)理數(shù)的近似值：實(shí)數(shù)計(jì)算的結(jié)果中若含有無(wú)理數(shù)且題目無(wú)近似要求，則結(jié)

果應(yīng)該用無(wú)理數(shù)表示；如果題目有近似要求，則結(jié)果應(yīng)該用無(wú)理數(shù)的近似值表示.

注意：（1）近似計(jì)算時(shí)，中間過(guò)程要多保留一位；（2）要求記憶：拉=1414

73=1.732石=2.236

三角形

幾何A級(jí)概念：（要求深刻理解、熟練運(yùn)用、主要用于幾何證明）

幾何表達(dá)式舉例：

1.三角形的角平分線定義：A

三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角（1）：AD平分NBAC

的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之.*.ZBAD=ZCAD

間的線段叫做三角形的角平分線.（2）VZBAD=ZCAD

B4DC

（如圖）AAD是角平分線

2.三角形的中線定義：幾何表達(dá)式舉例：

在三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)

A（1）；AD是三角形的中線

邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.:.BD=CD

（如圖）（2）?:BD=CD

小AAD是三角形的中線

BDC

3.三角形的高線定義：幾何表達(dá)式舉例：

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊畫(huà)

A(1)?.?人口是4八8(2的高

垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角4ZADB=90°

形的高線.(2)VZADB=90°

（如圖）AAD>AABC的高

※爾三角形的三邊關(guān)系定理：幾何表達(dá)式舉例：

三角形的兩邊之和大于第三邊，三角

A(1)VAB+BOAC

形的兩邊之差小于第三邊.（如圖）?*?

(2)?:AB-BC<AC

*

八??

BC

5.等腰三角形的定義：幾何表達(dá)式舉例：

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三A(1)VAABC是等腰三角

角形.(如圖)A形

，AB=AC

(2)VAB=AC

BC/.AABC是等腰三角形

6.等邊三角形的定義：幾何表達(dá)式舉例：

有三條邊相等的三角形叫做等邊三A(1)VAABC是等邊三角形

角形.(如圖)，AB=BC=AC

(2)VAB=BC=AC

AAAABC是等邊三角形

7.三角形的內(nèi)角和定理及推論：幾何表達(dá)式舉例：

(1)三角形的內(nèi)角和180°；(如圖)(1)VZA+ZB+ZC=180°

?

(2)直角三角形的兩個(gè)銳角互余；(如圖)??

(3)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角(2)VZC=90°

的和；(如圖).,.ZA+ZB=90°

X(4)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰(3)VZACD=ZA+ZB

的內(nèi)角.??

AA(4)VZACD>ZA

/\A??

(W'C02)B/(3,注HD

8.直角三角形的定義：幾何表達(dá)式舉例：

有一個(gè)角是直角的三角形叫直角A(1)VZC=90°

1

三角形.(如圖)/.AABC是直角三角形

(2):△ABC是直角三角形

c，ZC=90°

9.等腰直角三角形的定義：幾何表達(dá)式舉例：

兩條直角邊相等的直角三角形叫(1)VZC=90°CA=CB

等腰直角三角形.(如圖)AAAABC是等腰直角三角形

1

(2)AABC是等腰直角三

角形

c/.ZC=90°CA=CB

10.全等三角形的性質(zhì)：幾何表達(dá)式舉例：

(1)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；(如圖)(1)VAABC^AEFG

(2)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.(如圖):.AB=EF..........

(2);AABC會(huì)AEFG

AE.??NA=NE..........

Bc「c

11.全等三角形的判定：幾何表達(dá)式舉例：

“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”.(如圖)(1):AB=EF

AEZB=ZF

又,:BC=FG

⑴(2):.△ABCgAEFG

BCG

F(2)

AE⑶在RtAABC和Rt△EFG

KK⑶中

?:AB=EF

CBGF又YAC=EG

/.RtAABC^RtAEFG

12.角平分線的性質(zhì)定理及逆定幾何表達(dá)式舉例：

理：(l)YOC平分NAOB

(1)在角平分線上的點(diǎn)到角的兩A又?.?CDLOACE±OB

邊距離相等；(如圖):.CD=CE

(2)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在(2)VCD±OACE±OB

角平分線上.(如圖)又

%0EB

???oc是角平分線

13.線段垂直平分線的定義：幾何表達(dá)式舉例：

垂直于一條線段且平分這條線段(1)???EF垂直平分AB

的直線，叫做這條線段的垂直平分/.EF±ABOA=OB

線.(如圖)A_J01LB(2)VEFlABOA=OB

.??EF是AB的垂直平分線

14.線段垂直平分線的性質(zhì)定理及幾何表達(dá)式舉例：

逆定理：(1)?..MN是線段AB的垂直

(1)線段垂直平分線上的點(diǎn)和這平分線

條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；，PA=PB

(如圖)本(2)PA=PB

(2)和一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距...點(diǎn)P在線段AB的垂直平分

N

離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平線上

分線上.(如圖)

15.等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：幾何表達(dá)式舉例：

(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等；(即等邊對(duì)等角)(如(1)VAB=AC

圖)/.ZB=ZC

(2)等腰三角形的“頂角平分線、底邊中線、底邊上的(2)VAB=AC

高”三線合一；(如圖)又,；NBAD=NCAD

(3)等邊三角形的各角都相等，并且都是60°.(如圖):.BD=CD

AD±BC

(3)?..△ABC是等邊三角

形

/.ZA=ZB=ZC=60°

AA

BC(])BDC

16.等腰三角形的判定定理及推論：幾何表達(dá)式舉例：

（1）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角都相等，那么這兩個(gè)角所(1)VZB=ZC

對(duì)邊也相等；（即等角對(duì)等邊）（如圖）二AB=AC

（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（如圖）(2)VZA=ZB=ZC

（3）有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；（如,AABC是等邊三角形

圖）(3)VZA=60°

（4）在直角三角形中，如果有一個(gè)角等于30°,那么它XVAB=AC

所對(duì)的直角邊是斜邊的一半.（如圖）AAABC是等邊三角形

A(4)NC=90°Z

B=30°

.?.AC=5AB

17.關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的定理幾何表達(dá)式舉例：

（1）關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖(1):△ABC、AEGF關(guān)

形是全等形；（如圖）M于MN軸對(duì)稱(chēng)

AE

（2）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線AA:.AABC之△EGF

對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(2)?.'△ABC、AEGF

的垂直平分線.（如圖）B于MN軸對(duì)稱(chēng)

；.OA=OEMN±AE

18.勾股定理及逆定理：幾何表達(dá)式舉例：

（1）直角三角形的兩直角邊a、（1）.??△ABC是直角三角

b的平方和等于斜邊c的平方，A形

即a2+b2=c2；（如圖）Ka2+b2=c2

（2）如果三角形的三邊長(zhǎng)有下面（2）Va2+b2=c2

關(guān)系:a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形△ABC是直角三角形

是直角三角形.（如圖）CB

19.Rt△斜邊中線定理及逆定理：幾何表達(dá)式舉例：

（1）直角三角形中，斜邊上的中VAABC是直角三角形

線是斜邊的一半；（如圖）A?.?D是AB的中點(diǎn)

（2）如果三角形一邊上的中線是k

\_

這邊的一半，那么這個(gè)三角形是

.\CD=2AB

直角三角形.（如圖）

cB(2)VCD=AD=BD

AAABC是直角三角形

幾何B級(jí)概念：（要求理解、會(huì)講、會(huì)用，主要用于填空和選擇題）

—基本概念：

三角形、不等邊三角形、銳角三角形、鈍角三角形、三角形的外角、全等三角形、

角平分線的集合定義、原命題、逆命題、逆定理、尺規(guī)作圖、輔助線、線段垂直

平分線的集合定義、軸對(duì)稱(chēng)的定義、軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義、勾股數(shù).

二常識(shí)：

1.三角形中，第三邊長(zhǎng)的判斷：另兩邊之差〈第三邊〈另兩邊之和.

2.三角形中，有三條角平分線、三條中線、三條高線，它們都分別交于一點(diǎn)，

其中前兩個(gè)交點(diǎn)都在三角形內(nèi)，而第三個(gè)交點(diǎn)可在三角形內(nèi)，三角形上，三角形

外.注意：三角形的角平分線、中線、高線都是線段.

3.如圖，三角形中，有一個(gè)重要的面積等式，即：若CD±AB,BE±CA,則

CD-AB=BE-CA.

4.三角形能否成立的條件是：最長(zhǎng)邊（另兩邊之和.A

5.直角三角形能否成立的條件是：最長(zhǎng)邊的平方等于另兩邊的平方和.n/\

6.分別含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.

BC

7.如圖，雙垂圖形中，有兩個(gè)重要的性質(zhì)，即：A

8.三角形中，最多有一個(gè)內(nèi)角是鈍角，但最少有兩個(gè)外角是鈍角.弘

9.全等三角形中，重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)獵

所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊.

10.等邊三角形是特殊的等腰三角形.

11.幾何習(xí)題中，“文字?jǐn)⑹鲱}”需要自己畫(huà)圖，寫(xiě)已知、求證、證明.

12.符合“AAA”“SSA”條件的三角形不能判定全等.

13.幾何習(xí)題經(jīng)常用四種方法進(jìn)行分析：（1）分析綜合法；（2）方程分析法；（3）

代入分析法；（4）圖形觀察法.

14.幾何基本作圖分為：（1）作線段等于已知線段；（2）作角等于已知角；（3）

作已知角的平分線；（4）過(guò)已知點(diǎn)作已知直線的垂線；（5）作線段的中垂線；（6）

過(guò)已知點(diǎn)作已知直線的平行線.

15.會(huì)用尺規(guī)完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSSA"HLA”等腰三角形”、“等

邊三角形”、“等腰直角三角形”的作圖.

16.作圖題在分析過(guò)程中，首先要畫(huà)出草圖并標(biāo)出字母，然后確定先畫(huà)什么，后

畫(huà)什么；注意：每步作圖都應(yīng)該是幾何基本作圖.

17.幾何畫(huà)圖的類(lèi)型：（1）估畫(huà)圖；（2）工具畫(huà)圖；（3）尺規(guī)畫(huà)圖.

※建.幾何重要圖形和輔助線：

①（1）選取和作輔助線的原則：

②構(gòu)造特殊圖形，使可用的定理增加；

③一舉多得；

④聚合題目中的分散條件，轉(zhuǎn)移線段，轉(zhuǎn)移角；

作輔助線必須符合幾何基本作圖.

（2）已知角平分線.（若BD是角平分線）

①在BA上截取BE=BC構(gòu)造全等，②過(guò)D點(diǎn)作DE〃BC交AB于E,構(gòu)造

轉(zhuǎn)移線段和角；等腰三角形.

BCBC

（3）已知三角形中線（若AD是BC的中線）

①過(guò)D點(diǎn)作DE〃AC交②延長(zhǎng)AD到E,使③..飛口是中線

AB于E,構(gòu)造中位線；DE=ADASAABD=SAADC

連結(jié)CE構(gòu)造全等，轉(zhuǎn)移線（等底等高的三角形

A段和角等面積）人

BzhDCBDC

BZkDC

（4）已知等腰三角形ABC中,AB=AC

①作等腰三角形ABC底邊的中線②作等腰三角形ABC一邊的平行線DE,

AD構(gòu)造

（頂角的平分線或底邊的高）構(gòu)造全新的等腰三角形.

等三角形；AAA

A八A

BDC

（5）其它

作等邊三角形ABC②作CE〃AB,轉(zhuǎn)移角;③延長(zhǎng)BD與AC交于

一邊的平行線DE,構(gòu)E,不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)

造新的等邊三角形；則圖形；

A

--------------------------B-0~—----鼠=--

④多邊形轉(zhuǎn)化為三角⑤延長(zhǎng)BC到D,使⑥若2〃1）人（2,8（2是角平

形;CD=BC,連結(jié)AD,直角分線，則NC=90°.

三角形轉(zhuǎn)化為等腰三角

形；

八年級(jí)數(shù)學(xué)下知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

函數(shù)及其相關(guān)概念

I、變量與常量

在某一變化過(guò)程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。

一般地，在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量X與y,如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一確

定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。

2、函數(shù)解析式

用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)

（1）解析法

兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)字運(yùn)算符號(hào)的等式表示,

這種表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫

做列表法。

（3）圖像法：用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。

4、由函數(shù)解析式畫(huà)其圖像的一般步驟

（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值

（2）描點(diǎn)：以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)

（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來(lái)。

正比例函數(shù)和一次函數(shù)

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

一般地，如果y=（k,b是常數(shù)，k*0）,那么y叫做x的一次函數(shù)。特別地，當(dāng)一

次函數(shù)y=中的b為0時(shí)，y=kx（k為常數(shù)，k*0）這時(shí)，y叫做x的正比例函數(shù)。

2、一次函數(shù)的圖像

所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線。

3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：

一次函數(shù)丁=女工+〃的圖像是經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,b）的直線；正比例函數(shù)y=h:的圖像是經(jīng)過(guò)原

點(diǎn)（0,0）的直線。（如下圖）

4.正比例函數(shù)的性質(zhì)

一般地，正比例函數(shù)y=丘有下列性質(zhì)：

（1）當(dāng)k>0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限，y隨x的增大而增大；

（2）當(dāng)k<0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限，y隨x的增大而減小。

5、一次函數(shù)的性質(zhì)

一般地，一次函數(shù)丁=婦^+匕有下列性質(zhì)：

（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大

（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小

6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定

確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式丁=依（k*0）中的常數(shù)k。確定一個(gè)

一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=(k*0)中的常數(shù)k和b。解這類(lèi)問(wèn)題的一

般方法是待定系數(shù)法。

k的符號(hào)b的符號(hào)函數(shù)圖像圖像特征

圖像經(jīng)過(guò)一、二、三象限，y隨x的增大而

b>0一

增大。

k>0

圖像經(jīng)過(guò)一、三、四象限，y隨x的增大而

b<0

增大。

圖像經(jīng)過(guò)一、二、四象限，y隨x的增

b>0

一大而減小

K<0

圖像經(jīng)過(guò)二、三、四象限，y隨x的增

b<0

大而減小。

注：當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。

四邊形

1.四邊形的內(nèi)角和與外角和定理:

(1)四邊形的內(nèi)角和等于360。；

(2)四邊形的外角和等于360°.

2.多邊形的內(nèi)角和與外角和定理：

(1)n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180°；

(2)任意多邊形的外角和等于360°.

3.平行四邊形的性質(zhì):

(1)兩組對(duì)邊分別平行；

(2)兩組對(duì)邊分別相等;

因?yàn)锳BCD是平行四邊形=(3)兩組對(duì)角分別相等;

(4)對(duì)角線互相平分；

(5)鄰角互補(bǔ).

4.平行四邊形的判定：

(1)兩組對(duì)邊分別平行'

DC

(2)兩組對(duì)邊分別相等

⑶兩組對(duì)角分別相等ABCD是平行四邊形.

(4)一組對(duì)邊平行且相等

(5)對(duì)角線互相平分

5.矩形的性質(zhì):

(1)具有平行四邊形的所有通性;

因?yàn)锳BCD是矩形n(2)四個(gè)角都是直角；

(3)對(duì)角線相等.

6.矩形的判定：

(1)平行四邊形+一個(gè)直角'

(2)三個(gè)角都是直角口四邊形ABCD是矩形.

(3)對(duì)角線相等的平行四邊形

7.菱形的性質(zhì)：

因?yàn)锳BCD是菱形

(I)具有平行四邊形的所有通性;

n<(2)四個(gè)邊都相等；

(3)對(duì)角線垂直且平分對(duì)角.

8.菱形的判定：

(1)平行四邊形+一組鄰邊等'

(2)四個(gè)邊都相等四邊形四邊形ABCD是菱形.

(3)對(duì)角線垂直的平行四邊形

9.正方形的性質(zhì)：

因?yàn)锳BCD是正方形

(1)具有平行四邊形的所有通性；

n(2)四個(gè)邊都相等，四個(gè)角都是直角;

(3)對(duì)角線相等垂直且平分對(duì)角.

(2)(3)

10.正方形的判定:

⑴平行四邊形+一組鄰邊等+一個(gè)直角.

(2)菱形+一個(gè)直角n四邊形ABCD是正方形.

(3)矩形+一組鄰邊等

(3)VABCD是矩形

又：AD=AB

四邊形ABCD是正方形

11.等腰梯形的性質(zhì):

(1)兩底平行，兩腰相等;

因?yàn)锳BCD是等腰梯形=><(2)同一底上的底角相等;

(3)對(duì)角線相等.

12.等腰梯形的判定:

(1)梯形+兩腰相等'

(2)梯形+底角相等四邊形ABCD是等腰梯形

(3)梯形+對(duì)角線相等

AD(3)VABCD是梯形且AD〃BC

/^\VAC=BD

，7AABCD四邊形是等腰梯形

BC

A

14.三角形中位線定理：

三角形的中位線平行第三邊，并且

等于它的一半.

BpCC

15.梯形中位線定理：

梯形的中位線平行于兩底，并且等

于兩底和的一半.

-基本概念：四邊形，四邊形的內(nèi)角，四邊形的外角，多邊形，平行線間的距離，平行四

邊形，矩形，菱形，正方形，中心對(duì)稱(chēng)，中心對(duì)稱(chēng)圖形，梯形，等腰梯形，直角梯形，

三角形中位線，梯形中位線.

二定理：中心對(duì)稱(chēng)的有關(guān)定理

XL關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形.

X2.關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，并且被對(duì)稱(chēng)中心平分.

派3.如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于

這一點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

三公式：

1.S菱形=lab=ch.(a、b為菱形的對(duì)角線，c為菱形的邊長(zhǎng)，h為c邊上的高)

2

2.S平行四邊形=ah.a為平行四邊形的邊，h為a上的高)

3.S梯形='(a+b)h=Lh.(a、b為梯形的底，h為梯形的高,L為梯形的中位線)

2

四常識(shí)：

※上若n是多邊形的邊數(shù)，則對(duì)角線條數(shù)公式是：也二?

2

2.規(guī)則圖形折疊一般“出一對(duì)全等，一對(duì)相似”.

3.如圖：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的從屬關(guān)系.

4.常見(jiàn)圖形中，僅是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有：角、等腰三角形、等邊三角形、正奇邊形、等腰梯

形……；僅是中心對(duì)稱(chēng)圖形的有：平行四邊形……；是雙對(duì)稱(chēng)圖形的有：線段、矩形、

菱形、正方形、正偶邊形、圓…….注意：線段有兩條對(duì)稱(chēng)軸.

X5.梯形中常見(jiàn)的輔助線:

平移與旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)

1.旋轉(zhuǎn)的定義：

在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)。

2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與原圖形之間有：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)角相等。

中心對(duì)稱(chēng)

1.中心對(duì)稱(chēng)的定義：

如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)。

2.中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義：

如果一個(gè)圖形繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形。

3.中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：

在中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形中，連結(jié)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，并且被對(duì)稱(chēng)中心平分。

軸對(duì)稱(chēng)

1.軸對(duì)稱(chēng)的定義：

如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)

稱(chēng)圖形，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸。

2.軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)：

①角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

②線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

③等腰三角形的“三線合一”。

3.軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線段/對(duì)應(yīng)角相等。

圖形變換

圖形變換的定義：圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、和軸對(duì)稱(chēng)統(tǒng)稱(chēng)為圖形變換。

一元二次方程

1、一元二次方程：

①概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，且可以化為"2+法+。=0（a,b,c為常數(shù)，且

的整式方程叫做一元二次方程。

0?+歷；+。=0是一元二次方程的一般形式。其中，以2、hx。分別叫做一元二次方程

的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)；4、b分別叫做一元二次方程的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)的系數(shù)。

（強(qiáng)調(diào)：項(xiàng)和系數(shù)要包括前面的符號(hào)）

構(gòu)成一元二次方程的條件：（1）整式方程：（2）只含有一個(gè)未知數(shù)；（3）二次項(xiàng)系數(shù)不能為

0；（4）未知數(shù)的最高次數(shù)為2.

②注意事項(xiàng)：

（1）二次項(xiàng)系數(shù)aWO是一般形式的重要組成部分。

（2）二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)都是在一般形式下定義的，判斷各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，必須先將方程

方程化為一般形式。

（3）任何一個(gè)一元二次方程均可經(jīng)過(guò)整理（去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)）均可化為一般形

式。

2、一元二次方程的解法

⑴直接開(kāi)平方法解一元二次方程：

①如x2=m（m>0）的方程都可以用開(kāi)平方的方法求出它的解，這種解法叫做直接開(kāi)平方法

②利用直接開(kāi)平方法所解的一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：經(jīng)過(guò)整理、變形后得到等號(hào)左邊是一

個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

③理解直接開(kāi)平方法的理論依據(jù)是平方根的定義。

⑵用配方解一元二次方程：

①把一個(gè)二次三項(xiàng)式組成完全平方式的變形過(guò)程，叫做配方，用配方法求一元二次方程的解

的方法叫做配方法。

②配方法解一元二次方程是以配方為手段，以直接開(kāi)平方為基礎(chǔ)的一種解一元二次方程的基

本方法。

③用配方法解一元二次方程的步驟：

㈠二次項(xiàng)系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；

仁）移項(xiàng)：方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；

㈢配方：方成左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，使方程左邊變成一個(gè)完全平方式，

右邊是一個(gè)常數(shù)；

㈣求解：如果右邊常數(shù)是非負(fù)數(shù)，就用直接開(kāi)平方法解一元二次方程。

⑶用公式法解一元二次方程:

①方程+云+，=03。0）的求根公式：尤=-」±』吁4"（人.?0）,利用

2a

求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。

②利用求根公式解一元二次方程的步驟：

㈠把方程整理為一般形式公2+以+c=0（awO）,確定的值；

㈡計(jì)算。2_4ac的值；

㈢當(dāng)。2—4QCN0時(shí)，把a(bǔ),b和。2—4ac的值代入求根公式計(jì)算，從而求出方程的解。

③求根公式專(zhuān)指一元二次方程的求根公式，只有確定方程是一元二次方程時(shí)，才可以使用

④公式法是解一元二次方程分