浙江省麗水市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

麗水市2022學(xué)年第一學(xué)期普通高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控高二數(shù)學(xué)試題卷（2023.01）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知過(guò)點(diǎn)，的直線(xiàn)的傾斜角為60°，則實(shí)數(shù)a的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)斜率的定義求解．【詳解】由題意，得，解得.故選：A.2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A.65 B.75 C.80 D.85【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)公差為，依題意得，解得，所以.故選：D3.在平行六面體中，AC，BD相交于，為的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算結(jié)合圖形計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，，故選：C4.若圓與圓外切，則實(shí)數(shù)（）A.－1 B.1 C.1或4 D.4【答案】D【解析】【分析】由兩圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由條件化簡(jiǎn)得，即兩圓圓心為，設(shè)其半徑分別為，，所以有.故選：D5.已知直線(xiàn)，與平面，，下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若直線(xiàn)上存在兩點(diǎn)到平面的距離相等，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可判斷A；線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可判斷B；線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可判斷C；線(xiàn)面關(guān)系可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，，，，且相交才有，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，，則，故B正確；對(duì)于C，若，，，則，或與異面，或a、b相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若直線(xiàn)上存在兩點(diǎn)到平面的距離相等，則，或與相交，故D錯(cuò)誤.故選：B.6.已知圓柱的底面半徑和母線(xiàn)長(zhǎng)均為1，A，B分別為圓、圓上的點(diǎn)，若，則異面直線(xiàn)，所成的角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】做平行線(xiàn)，將所求的異面直線(xiàn)夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的直線(xiàn)夾角，構(gòu)造三角形即可求解.【詳解】如上圖，過(guò)點(diǎn)A做平面的垂線(xiàn)，垂足為D，即AD是母線(xiàn)，連接DB，平面，，所以四邊形是平行四邊形，，與的所成的角就是或其補(bǔ)角；由題意可知AB=2，AD=1，在中，，在等腰中，由余弦定理，，由于異面直線(xiàn)的夾角范圍是，故取的補(bǔ)角，故選：B.7.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析這兩個(gè)函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出、的大小關(guān)系，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，令，則在上恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，因?yàn)?，則，所以，，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，即，所以，，故，又因?yàn)?，，，，故，故選：B.8.在四面體PABC中，，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意，作出四面體的外接球的球心大致位置，再根據(jù)二面角的定義求得，從而在中求得，結(jié)合勾股定理即可求得外接球的半徑，由此得解.【詳解】設(shè)正的重心為，則是正的外接圓的圓心，取的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以是的外接圓的圓心，過(guò)作平面，過(guò)作平面，，如圖，則為四面體的外接球的球心，又二面角的大小為，則，又在正中，，則在中，，設(shè)四面體PABC的外接球的半徑為，則，所以四面體PABC的外接球的表面積為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9.下列求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求導(dǎo)法則，逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)A，根據(jù)基本初等函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則知，，選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)槌?shù)，所以，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，根據(jù)基本初等函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則知，，選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.10.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，公比為，已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若為遞增數(shù)列，則C.D.若為遞減數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值【答案】BC【解析】【分析】結(jié)合題意，利用等比數(shù)列的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，又因?yàn)椋曰?，?dāng)時(shí)，則，解得或（舍去），則，當(dāng)時(shí)，則，解得或（舍去），則，綜上，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，C正確；若為遞增數(shù)列，則，，，即，，故，故選項(xiàng)B正確；若為遞減數(shù)列，則，，，，，，故當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取得最大值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：BC.11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別是棱BC，的中點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則平面MPQB.若，則過(guò)點(diǎn)，，的截面面積是C.若，則點(diǎn)到平面MPQ的距離是D.若，則AB與平面MPQ所成角的正切值為【答案】BD【解析】【分析】時(shí)有M與A重合，對(duì)于A選項(xiàng)，可以利用反證法判定；對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)平面的性質(zhì)計(jì)算即可；時(shí)，M為AB中點(diǎn)，對(duì)于CD選項(xiàng)，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量處理即可.【詳解】如圖所示，時(shí)有M與A重合，對(duì)于A選項(xiàng)，延長(zhǎng)PQ交BB1于L，連接AL，易得平面平面MPQ=AL，若平面MPQ，則，顯然，且B、L不重合，矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，連接AD1、D1Q，易知平面APQD1即該截面，顯然該截面為等腰梯形，易得，，故B正確；如圖所示，時(shí)，M為AB中點(diǎn)，以D為中心建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面MPQ法向量為，則，令，則，故對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)到平面MPQ的距離為，則，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)AB與平面MPQ所成角為，則，所以，即D正確.故選：BD

12.已知拋物線(xiàn)，點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，AP，AQ分別交拋物線(xiàn)于，N兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.焦點(diǎn)坐標(biāo)為 B.向量與的數(shù)量積為5C.直線(xiàn)MN的斜率為 D.若直線(xiàn)PQ過(guò)焦點(diǎn)，則OF平分【答案】BCD【解析】【分析】由拋物線(xiàn)方程即可判定A項(xiàng)；設(shè)直線(xiàn)AP方程與拋物線(xiàn)聯(lián)立利用韋達(dá)定理計(jì)算數(shù)量積即可判定B項(xiàng)；設(shè)直線(xiàn)PQ方程及P、Q坐標(biāo)，用來(lái)表示直線(xiàn)AP、AQ，并與拋物線(xiàn)聯(lián)立求得M、N坐標(biāo)，即可判定C項(xiàng)；設(shè)直線(xiàn)PQ方程及P、Q坐標(biāo)，與拋物線(xiàn)聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理求得AP、AQ斜率關(guān)系即可判定D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點(diǎn)，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，可設(shè)直線(xiàn)AP方程為：，設(shè)，與拋物線(xiàn)聯(lián)立可得∴，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，可設(shè)直線(xiàn)QP方程為：，設(shè)，∴，直線(xiàn)QP方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得，又由上可知，同理有，∴，，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，由上設(shè)直線(xiàn)QP方程為：，，聯(lián)立拋物線(xiàn)有，若PQ過(guò)焦點(diǎn)F，則有，即結(jié)合上，及可知，此時(shí)，即直線(xiàn)AP、QA關(guān)于橫軸對(duì)稱(chēng)，OF平分，故D正確.故選：BCD三、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）13.已知點(diǎn)，，向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則，即，故.故答案為：14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線(xiàn)段AP的中點(diǎn)的軌跡方程是______．【答案】【解析】【分析】由幾何性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，取OA中點(diǎn)D，連接DQ，則DQ為的一條中位線(xiàn)，，即有DQ∥OP，且，故Q在以D為圓心，DQ長(zhǎng)為半徑的圓上，所以Q的軌跡方程為.故答案為：.15.若曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)______．【答案】##-0.5【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線(xiàn)斜率，然后利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程，最后將點(diǎn)代入切斜方程求解即可.【詳解】由題意得，所以曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率為，切點(diǎn)為，則切線(xiàn)方程為，將點(diǎn)代入切線(xiàn)方程中可得：，解得.故答案為：.16.一個(gè)圓錐母線(xiàn)與底面所成的角為，體積為，過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面截圓錐，則所得截面面積的最大值為_(kāi)_____．【答案】8【解析】【分析】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面截圓錐所得截面為，根據(jù)，圓錐體積為，求出，再用表示截面面積，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面截圓錐所得截面為，為的中點(diǎn)，則，，，則圓錐的體積為，由題意得，解得，，，，所以，因?yàn)?，，所以?dāng)，時(shí)，取得最大值為.故答案為：.17.某牧場(chǎng)今年年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為10%，且在每年年底賣(mài)出100頭牛．設(shè)牧場(chǎng)從今年起，第年年初的存欄數(shù)為，則______．（，，）【答案】1472【解析】【分析】根據(jù)條件建立等量關(guān)系，構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)即可.詳解】由題意可得，所以，即，故.故答案為：1472.18.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得為直角三角形，再結(jié)合橢圓的定義列出方程，由離心率的計(jì)算公式即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，設(shè)，因?yàn)?，所以為直角三角形且，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，，所以，解得，所以，，所以，所以，即橢圓的離心率是.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，每小題12分，共60分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)直接求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系直接求解即可；（2）根據(jù)（1）中單調(diào)性得到函數(shù)極大值與極小值，通過(guò)變化趨勢(shì)列出不等式組求解即可.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：當(dāng)時(shí)，取得極大值；當(dāng)時(shí)，取得極小值.由三次函數(shù)性質(zhì)知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以若有三個(gè)零點(diǎn)，則，解得.所以的取值范圍為.20.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與圓相切，求直線(xiàn)的方程．【答案】（1）；（2）和.【解析】【分析】（1）由題意可知圓心為AB中垂線(xiàn)與的交點(diǎn)，計(jì)算圓心再求半徑，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示即可；（2）分類(lèi)討論，設(shè)切線(xiàn)方程，由圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】∵，，故AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴AB的垂直平分線(xiàn)為：，由解得圓心，半徑故圓的方程為；小問(wèn)2詳解】若直線(xiàn)的斜率存在，方程可設(shè)為，即圓心到直線(xiàn)的距離為，解得，所求的一條切線(xiàn)為；當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，圓心到的距離為4，即與圓相切，所以直線(xiàn)的方程為和．21.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)推出，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出結(jié)果；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，則，化簡(jiǎn)得，又，所以，．所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，所以，所以，整理?22.如圖，在四邊形ABCD中（如圖1），，，，，F(xiàn)分別是邊BD，CD上的點(diǎn)，將沿BC翻折，將沿EF翻折，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合（記為點(diǎn)），且平面平面BCFE（如圖2）（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面PBC，從而可得.（2）根據(jù)題意，取BC中點(diǎn)，連接PO，以為原點(diǎn)，CB，CF所在直線(xiàn)分別為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：∵平面平面，平面平面BCFE，又∵平面BCFE，且∴平面PBC，且平面，∴【小問(wèn)2詳解】取BC中點(diǎn)，連接PO，∵，∴∵平面平面，平面平面，平面∴平面BCFE以為原點(diǎn)，CB，CF所在直線(xiàn)分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，設(shè)，由得，解得，所以，設(shè)，由得，解得，∴，則，，平面BEF的一個(gè)法向量，設(shè)平面PEF的一個(gè)法向量，，令，得，設(shè)二面角的平面角為，易知為銳角，則，∴二面角的余弦值為．23.已知雙曲線(xiàn)，在雙曲線(xiàn)右支上存在不同于點(diǎn)的兩點(diǎn)，，記直線(xiàn)的斜率分別為，且，，成等差數(shù)列．（1）求的取值范圍；（2）若的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線(xiàn)的方程．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)，，直線(xiàn)，代入雙曲線(xiàn)方程，根據(jù)，，得，根據(jù)以及斜率公式推出，，代入可求出結(jié)果；（2）利用弦長(zhǎng)