陜西省實驗中學2024屆高三第二學期適應性考試（三模）數(shù)學試題

陜西省實驗中學2024屆高三第二學期適應性考試（三模）數(shù)學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點為雙曲線的右焦點，直線與雙曲線交于A，B兩點，若，則的面積為（）A． B． C． D．2．某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長度的集合，則（）A．B．C．D．3．將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()A． B． C． D．4．在直角梯形中，，，，，點為上一點，且，當?shù)闹底畲髸r，()A． B．2 C． D．5．集合，，則（）A． B． C． D．6．拋物線的焦點為F，點為該拋物線上的動點，若點，則的最小值為（）A． B． C． D．7．以下三個命題：①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②若兩個變量的線性相關性越強，則相關系數(shù)的絕對值越接近于1；③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，判斷“與有關系”的把握越大；其中真命題的個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．08．已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，且拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為，那么該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．已知集合，，若，則實數(shù)的值可以為（）A． B． C． D．10．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結果為（）A． B． C． D．12．雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝A．3 B．2C．3 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設函數(shù)，若對于任意的，∈[2，，≠，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．14．邊長為2的菱形中,與交于點O,E是線段的中點,的延長線與相交于點F,若,則______.15．若為假，則實數(shù)的取值范圍為__________.16．在一塊土地上種植某種農(nóng)作物，連續(xù)5年的產(chǎn)量（單位：噸）分別為9.4，9.7，9.8，10.3，10.8.則該農(nóng)作物的年平均產(chǎn)量是______噸.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知為橢圓的左、右焦點，離心率為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線分別交橢圓于和，且，問是否存在常數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.18．（12分）如圖，在中，角的對邊分別為，且滿足，線段的中點為.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）已知，求的大小.19．（12分）如圖，是矩形，的頂點在邊上，點，分別是，上的動點（的長度滿足需求）.設，，，且滿足.（1）求；（2）若，，求的最大值.20．（12分）已知函數(shù)在上的最大值為3.（1）求的值及函數(shù)的單調遞增區(qū)間;（2）若銳角中角所對的邊分別為，且，求的取值范圍.21．（12分）橢圓的右焦點，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）過點且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點.為坐標原點，為橢圓的右頂點，求四邊形面積的最大值.22．（10分）我們稱n（）元有序實數(shù)組（，，…，）為n維向量，為該向量的范數(shù).已知n維向量，其中，，2，…，n.記范數(shù)為奇數(shù)的n維向量的個數(shù)為，這個向量的范數(shù)之和為.（1）求和的值；（2）當n為偶數(shù)時，求，（用n表示）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

設雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，設，得，求出的值，即得解.【題目詳解】設雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設，則，又.故，所以.故選：D【題目點撥】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.2、D【解題分析】

如圖所示：在邊長為的正方體中，四棱錐滿足條件，故，得到答案.【題目詳解】如圖所示：在邊長為的正方體中，四棱錐滿足條件.故，，.故，故，.故選：.【題目點撥】本題考查了三視圖，元素和集合的關系，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.3、B【解題分析】設折成的四棱錐的底面邊長為，高為，則，故由題設可得，所以四棱錐的體積，應選答案B．4、B【解題分析】

由題，可求出，所以，根據(jù)共線定理，設，利用向量三角形法則求出，結合題給，得出，進而得出，最后利用二次函數(shù)求出的最大值，即可求出.【題目詳解】由題意，直角梯形中，，，，，可求得，所以·∵點在線段上，設，則，即，又因為所以，所以，當時，等號成立.所以.故選：B.【題目點撥】本題考查平面向量線性運算中的加法運算、向量共線定理，以及運用二次函數(shù)求最值，考查轉化思想和解題能力.5、A【解題分析】

計算，再計算交集得到答案.【題目詳解】，，故.故選：.【題目點撥】本題考查了交集運算，屬于簡單題.6、B【解題分析】

通過拋物線的定義，轉化，要使有最小值，只需最大即可，作出切線方程即可求出比值的最小值．【題目詳解】解：由題意可知，拋物線的準線方程為，，過作垂直直線于，由拋物線的定義可知，連結，當是拋物線的切線時，有最小值，則最大，即最大，就是直線的斜率最大，設在的方程為：，所以，解得：，所以，解得，所以，．故選：．【題目點撥】本題考查拋物線的基本性質，直線與拋物線的位置關系，轉化思想的應用，屬于基礎題．7、C【解題分析】

根據(jù)抽樣方式的特征，可判斷①；根據(jù)相關系數(shù)的性質，可判斷②；根據(jù)獨立性檢驗的方法和步驟，可判斷③．【題目詳解】①根據(jù)抽樣是間隔相同，且樣本間無明顯差異，故①應是系統(tǒng)抽樣，即①為假命題；②兩個隨機變量相關性越強，則相關系數(shù)的絕對值越接近于1；兩個隨機變量相關性越弱，則相關系數(shù)的絕對值越接近于0；故②為真命題；③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，“與有關系”的把握程度越小，故③為假命題．故選：．【題目點撥】本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關系數(shù)、獨立性檢驗等知識點，屬于基礎題．8、A【解題分析】

由拋物線的焦點得雙曲線的焦點，求出，由拋物線準線方程被曲線截得的線段長為，由焦半徑公式，聯(lián)立求解.【題目詳解】解：由拋物線，可得，則，故其準線方程為，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，．拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為，，又，，則雙曲線的離心率為．故選：．【題目點撥】本題考查拋物線的性質及利用過雙曲線的焦點的弦長求離心率.弦過焦點時，可結合焦半徑公式求解弦長．9、D【解題分析】

由題意可得，根據(jù)，即可得出，從而求出結果．【題目詳解】，且，，∴的值可以為．故選：D．【題目點撥】考查描述法表示集合的定義，以及并集的定義及運算．10、D【解題分析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數(shù)，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．11、D【解題分析】

由程序框圖確定程序功能后可得出結論．【題目詳解】執(zhí)行該程序可得．故選：D．【題目點撥】本題考查程序框圖．解題可模擬程序運行，觀察變量值的變化，然后可得結論，也可以由程序框圖確定程序功能，然后求解．12、A【解題分析】

由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【題目詳解】雙曲線的漸近線方程為y＝±22x，圓心坐標為(3,0)．由題意知，圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r，即r＝±答案：A【題目點撥】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關系，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：由題意得函數(shù)在[2，上單調遞增，當時在[2，上單調遞增；當時在上單調遞增；在上單調遞減，因此實數(shù)a的取值范圍是考點：函數(shù)單調性14、【解題分析】

取基向量，，然后根據(jù)三點共線以及向量加減法運算法則將，表示為基向量后再相乘可得．【題目詳解】如圖：設，又，且存在實數(shù)使得，，，，，，故答案為：．【題目點撥】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質及其運算，屬中檔題．15、【解題分析】

由為假，可知為真，所以對任意實數(shù)恒成立，求出的最小值，令即可.【題目詳解】因為為假，則其否定為真，即為真，所以對任意實數(shù)恒成立，所以.又，當且僅當，即時，等號成立，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查全稱命題與特稱命題間的關系的應用，利用參變分離是解決本題的關鍵，屬于中檔題.16、10【解題分析】

根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計算即得.【題目詳解】由題得，.故答案為：10【題目點撥】本題考查求平均數(shù)，是基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，.【解題分析】

（1）由條件建立關于的方程組，可求得，得出橢圓的方程；（2）①當直線的斜率不存在時，可求得，求得，②當直線的斜率存在且不為0時，設聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出線段，再由得出線段，根據(jù)等差中項可求得，得出結論.【題目詳解】（1）由條件得，所以橢圓的方程為：；（2），①當直線的斜率不存在時，，此時,②當直線的斜率存在且不為0時，設,聯(lián)立消元得，設，，直線的斜率為，同理可得，所以，綜合①②，存在常數(shù)，使得成等差數(shù)列.【題目點撥】本題考查利用橢圓的離心率求橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系中的弦長公式的相關問題，當兩直線的斜率具有關系時，可能通過斜率的代換得出另一條線段的弦長，屬于中檔題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）由正弦定理邊化角，再結合轉化即可求解；（Ⅱ）可設，由，再由余弦定理解得，對中，由余弦定理有，通過勾股定理逆定理可得，進而得解【題目詳解】（Ⅰ）由正弦定理得.而.由以上兩式得，即.由于，所以，又由于，得.（Ⅱ）設，在中，由正弦定理有.由余弦定理有，整理得，由于，所以.在中，由余弦定理有.所以，所以.【題目點撥】本題考查正弦定理和余弦定理的綜合運用，屬于中檔題19、（1）（2）【解題分析】

（1）利用正弦定理和余弦定理化簡，根據(jù)勾股定理逆定理求得.（2）設，由此求得的表達式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【題目詳解】（1）設，，，由，根據(jù)正弦定理和余弦定理得.化簡整理得.由勾股定理逆定理得.（2）設，，由（1）的結論知.在中，，由，所以.在中，，由，所以.所以，由，所以當，即時，取得最大值，且最大值為.【題目點撥】本小題考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角形，三角函數(shù)性質及其三角恒等變換等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，化歸與轉換思想，應用意識.20、（1）,函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；（2）.【解題分析】

（1）運用降冪公式和輔助角公式，把函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解析式形式，根據(jù)已知，可以求出的值，再結合正弦型函數(shù)的性質求出函數(shù)的單調遞增區(qū)間;（2）由（1）結合已知，可以求出角的值，通過正弦定理把問題的取值范圍轉化為兩邊對角的正弦值的比值的取值范圍，結合已知是銳角三角形，三角形內(nèi)角和定理，最后求出的取值范圍.【題目詳解】解：（1）由已知，所以因此令得因此函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（2）由已知，∴由得，因此所以因為為銳角三角形，所以，解得因此，那么【題目點撥】本題考查了降冪公式、輔助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函數(shù)的單調性，考查了數(shù)學運算能力.21、（1）（2）最大值.【解題分析】

（1）根據(jù)通徑和即可求（2）設直線方程為，聯(lián)立橢圓，利用，用含的式子表示出，用換元，可得，最后用均值不等式求解.【題目詳解】解：（1）依題意有，，，所以橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，聯(lián)立，得.所以，.所以.令，則，所以，因，則，所以，當且僅當，即時取得等號，即四邊形面積的最大值.【題目點撥】考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法，是難題.22、（1），.（2），【解題分析】

（1）利用枚舉法將范數(shù)為奇數(shù)的二元有序實數(shù)對都寫出來，再做和；（2）用組合數(shù)表示和，再由公式或將組