無錫市2021-2022學年高一上學期期末數(shù)學試題（解析版）

無錫市普通高中2021年秋學期高一期終教學質量抽測卷數(shù)學2022.01一?單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.請將答案填寫在答題卡相應的位置上.）1.已知全集，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求，再去求其補集即可解決【詳解】，又則故選：C2.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)解析式自身的限制條件列不等式組即可解決.【詳解】由，解得，則函數(shù)的定義域是故選：B3.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導公式將角統(tǒng)一，再用兩角差的正弦公式計算即可.【詳解】=,故選：A.4.已知角的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸，若點在第四象限，則角的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)值的符號判斷角的終邊所在象限即可解決.【詳解】由點在第四象限，可知，則角終邊在第二象限.故選：B5.已知某函數(shù)的圖象如下圖，則該函數(shù)的解析式可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結合函數(shù)的奇偶性、特殊點的函數(shù)值確定正確選項.【詳解】由圖象可知，函數(shù)為奇函數(shù)，排除AB選項.由圖象可知，當時，，排除D選項，C選項正確.故選：C6.已知偶函數(shù)在上是增函數(shù)，，則的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先比較的大小，再根據(jù)單調性比較的大小關系.【詳解】由已知得偶函數(shù)在上是減函數(shù)，又，，，.故選：A．7.已知函數(shù)（，且）的圖象恒過點，正實數(shù)滿足，則的最小值是（）A.9 B.12 C.3 D.6【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的圖象恒過定點，求得后，以“1”的代換法求的最小值.【詳解】函數(shù)（，且）的圖象恒過點，則則正實數(shù)滿足，則.（當且僅當時等號成立）故選：D8.設函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，若對任意，都存在，使得，則實數(shù)a的最大值為（）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得，從而可以得到的值域，存在即可.【詳解】因為，，所以所以都存在，使得成立，則的值域包含，所以，.若，則，存在；若，則，所以，所以；若，則，所以，所以；綜上所述，故選：C二?多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.請將答案填寫在答題卡相應的位置上.）9.下列說法正確的有（）A.“”是真命題 B.“”是假命題C.的充要條件是 D.是的充分不必要條件【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正弦值的范圍可判斷A;舉特可說明B錯；從充分性和必要性兩方面可說明C的正誤；時，，可說明D錯.【詳解】因為，故“”是假命題，故A錯；當時，，故是假命題，故B正確；當時，則同正或同負或至少有一個為0，故；反之，時，說明同正或同負或至少有一個為0，則一定成立，故C正確；時，,此時推不出，故D錯，故選：BC10.已知是實數(shù)，則下列不等關系的表述，一定正確的有（）A. B.若，則C.若，則 D.若.則【答案】ABD【解析】【分析】可以使用基本不等式，對于任意實數(shù)，，當且僅當時取等號，可以判斷A；可以使用基本不等式，對于任意正實數(shù)，，當且僅當時取等號，可以判斷B；可以通過作差，再利用不等式的性質可以判斷C；利用不等式的性質可以判斷D.【詳解】對于A：等價于等價于，當且僅當時取等號，對于任意實數(shù)都成立，故A正確；對于B：由于，所以，當且僅當，即時取等號，對于任意實數(shù)都成立，故B正確；對于C：由于，實數(shù)的符號不確定，故的符號也不確定，故C錯誤；對于D：由于，則，又因為，所以，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，則（）A.當時，的最小正周期是 B.當時，的值域是C.當時，為奇函數(shù) D.對的圖象關于直線對稱【答案】ABD【解析】【分析】先把n值代入函數(shù)的解析式，化簡整理成正弦型三角函數(shù)，再去求最小正周期、值域；依據(jù)定義去判斷奇偶性、對稱軸即可解決.【詳解】選項A：當時，最小正周期是.判斷正確；選項B：當時，的值域是.判斷正確；選項C：當時，則故，即不是奇函數(shù).判斷錯誤；選項D：則的圖象關于直線對稱.判斷正確.故選：ABD12.已知函數(shù)，若方程有四個不同的實數(shù)解，它們從小到大依次記為，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】畫出函數(shù)與函數(shù)的圖像，以函數(shù)對稱性和對數(shù)運算公式去解決即可.【詳解】畫出函數(shù)與函數(shù)的圖像如下：在單調遞減，值域；在單調遞增，值域；在單調遞減，值域；在單調遞增，值域.則有，，即.選項B判斷錯誤；方程有四個不同的實數(shù)解，則有.選項A判斷正確；由單調遞減，值域，，，可知.選項C判斷正確；由，可知又.則有.故選項D判斷正確.故選：ACD三?填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.請將答案填寫在答題卡相應的位置上.）13.已知冪函數(shù)的圖象過點，則___________.【答案】【解析】【分析】設出函數(shù)的解析式，將點的坐標代入，即可求解.【詳解】設冪函數(shù)，由冪函數(shù)的圖象過點得：，即，所以，故答案為：.14.設，則___________.【答案】【解析】【分析】利用三角函數(shù)誘導公式化簡所求代數(shù)式后，利用齊次化切法求值即可解決.【詳解】又，則故答案為：15.已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，，且，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】【分析】先判斷函數(shù)單調性，再把抽象不等式轉化為整式不等式即可解決.【詳解】由可得，又，則設任意，且，則，又當時，，則即，故函數(shù)在上為減函數(shù).則不等式等價于，解之得故答案為：16.已知a為正數(shù)，函數(shù)在區(qū)間和上的最大值分別記為和，若，則___________，a的取值范圍為___________.【答案】①.②.【解析】【分析】首先根據(jù)得出大致范圍，從而求出的值，再根據(jù)的范圍即可求出的取值范圍.【詳解】由于函數(shù)在區(qū)間和上最大值分別記為和，，則，否則，與條件矛盾.所以=1.于是得所以，結合，所以,所以.故答案為：1；.四?解答題：（本題共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.請將答案填寫在答題卡相應的位置上.）17.已知“，方程有實根”是真命題.（1）求實數(shù)m的取值集合A；（2）設，關于x的不等式的解集為B，若“”是“”的充分條件，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)一元二次方程有實根的充要條件是；(2)先判斷二次函數(shù)與x軸交點的大小，再求集合B，通過集合A和B的關系，可以求參數(shù)a.【小問1詳解】若“，方程有實根”是真命題，則，所以，因此.【小問2詳解】因為，所以，所以不等式的解集，若“”是“”的充分條件，則B是A的子集，所以，解得，所以a的取值范圍是.18.已知的最小正周期為___________.在①的圖象過點，②的圖象關于直線對稱，③的圖象關于點對稱，這三個條件中任選一個，補充到橫線上，并解答問題.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）（1）求函數(shù)的解析式；（2）將的圖象上所有點向左平移個單位長度，再將得到的圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），得到函數(shù)的圖象，求的單調遞增區(qū)間.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由正弦型函數(shù)的周期，過某一點，對稱軸等代入即可；(2)，，對正弦型函數(shù)的影響，重新計算周期和起點；整體代入求單調區(qū)間.【小問1詳解】若選①：由已知得，則，于是，因為圖象過點，所以，由，得，所以，即，故.若選②或③，同理可得.【小問2詳解】由已知橫坐標變?yōu)樵瓉淼模瑒t周期為；的起點在，則的起點在，所以，所以.所以由，得.故的單調遞增區(qū)間為.19.如圖，在平面直角坐標系中，角的始邊均為x軸非負半軸，終邊分別與單位圓O交于兩點，.（1）若點A的縱坐標為，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求得，然后求得，進而求得.（2）求得，進而求得，進而求得.【小問1詳解】由三角函數(shù)定義可知，又，所以，所以，所以.【小問2詳解】因為，由得，所以，所以，，所以.20.已知函數(shù).（1）求的值域；（2）若對，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）換元法轉化成二次函數(shù)在給定區(qū)間求值域即可解決；（2）分離參數(shù)后，再構造函數(shù)，并求其值域，即可解決.【小問1詳解】令，當時，，則可將原函數(shù)轉化為，當時，；當時，.所以在上值域為.【小問2詳解】令，當時，，則關于x的不等式對恒成立，可化為對恒成立，所以，即，又在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上的最大值為.因此實數(shù)m的取值范圍為.21.如圖，有一條寬為的筆直的河道（假設河道足夠長），規(guī)劃在河道內(nèi)圍出一塊直角三角形區(qū)域（圖中）養(yǎng)殖觀賞魚，，頂點A到河兩岸的距離兩點分別在兩岸上，設.（1）若，求養(yǎng)殖區(qū)域面積的最大值；（2）現(xiàn)擬沿著養(yǎng)殖區(qū)域三邊搭建觀賞長廊（寬度忽略不計），若，求觀賞長廊總長的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題可得，再利用基本不等式即得；（2）由題可知，利用同角關系式可轉化為，然后利用函數(shù)的單調性即求.【小問1詳解】當時，，所以，又因為（當且僅當時等號成立），所以，于是，因此，養(yǎng)殖區(qū)域面積的最大值為.【小問2詳解】由題意，，所以，所以的周長，其中.設，則，所以.所以，于是當時，，即，因此，觀賞長廊總長的最小值為.22.已知函數(shù)（，且）滿足.（1）求a的值；（2）求證：在定義域內(nèi)有且只有一個零點，且.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題可得，即求；（2）分類討論結合對數(shù)函數(shù)的性質、正弦函數(shù)的性質及零點存在定理可得函數(shù)在定義域內(nèi)有且只有一個零點，利用對數(shù)的運算可得，再利用對勾函數(shù)的性質即得.【小問1詳解】因為，所以，即，解得.【小問2詳解】由題意可