廣東省廣州市番禺區(qū)2024屆高三年級數(shù)學試題周測三

廣東省廣州市番禺區(qū)2024屆高三年級數(shù)學試題周測三注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若滿足約束條件則的最大值為（）A．10 B．8 C．5 D．32．“”是“函數(shù)的圖象關于直線對稱”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知分別為圓與的直徑，則的取值范圍為（）A． B． C． D．4．為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關關系，統(tǒng)計兩科成績得到如圖所示的散點圖(兩坐標軸單位長度相同)，用回歸直線近似地刻畫其相關關系，根據(jù)圖形，以下結論最有可能成立的是()A．線性相關關系較強，b的值為1.25B．線性相關關系較強，b的值為0.83C．線性相關關系較強，b的值為－0.87D．線性相關關系太弱，無研究價值5．數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個結論：①曲線有四條對稱軸；②曲線上的點到原點的最大距離為；③曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為；④四葉草面積小于.其中，所有正確結論的序號是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④6．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側視圖是全等的直角三角形，則該幾何體的各個面中，最大面的面積為（）A．2 B．5 C． D．7．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點的（）A．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位長度B．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位長度C．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度D．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度8．定義在R上的函數(shù)滿足，為的導函數(shù)，已知的圖象如圖所示，若兩個正數(shù)滿足，的取值范圍是（）A． B． C． D．9．設全集U=R，集合，則（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，若函數(shù)的所有零點依次記為，且，則（）A． B． C． D．11．已知中，，則（）A．1 B． C． D．12．設是虛數(shù)單位，則“復數(shù)為純虛數(shù)”是“”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是九位評委打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均分為_______．14．若滿足約束條件，則的最大值為__________．15．已知非零向量的夾角為，且，則______.16．已知為正實數(shù)，且，則的最小值為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正四棱錐中，，，為上的四等分點，即．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．18．（12分）已知數(shù)列和滿足，，，，.（Ⅰ）求與；（Ⅱ）記數(shù)列的前項和為，且，若對，恒成立，求正整數(shù)的值.19．（12分）已知f(x)=|x+3|-|x-2|（1）求函數(shù)f(x)的最大值m；（2）正數(shù)a，b，c滿足a+2b+3c=m，求證：20．（12分）為了解網(wǎng)絡外賣的發(fā)展情況，某調(diào)查機構從全國各城市中抽取了100個相同等級地城市，分別調(diào)查了甲乙兩家網(wǎng)絡外賣平臺（以下簡稱外賣甲、外賣乙）在今年3月的訂單情況，得到外賣甲該月訂單的頻率分布直方圖，外賣乙該月訂單的頻數(shù)分布表，如下圖表所示.訂單：（單位：萬件）頻數(shù)1223訂單：（單位：萬件）頻數(shù)402020102（1）現(xiàn)規(guī)定，月訂單不低于13萬件的城市為“業(yè)績突出城市”，填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡外賣平臺”有關.業(yè)績突出城市業(yè)績不突出城市總計外賣甲外賣乙總計（2）由頻率分布直方圖可以認為，外賣甲今年3月在全國各城市的訂單數(shù)（單位：萬件）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表），的值已求出，約為3.64，現(xiàn)把頻率視為概率，解決下列問題：①從全國各城市中隨機抽取6個城市，記為外賣甲在今年3月訂單數(shù)位于區(qū)間的城市個數(shù)，求的數(shù)學期望；②外賣甲決定在今年3月訂單數(shù)低于7萬件的城市開展“訂外賣，搶紅包”的營銷活動來提升業(yè)績，據(jù)統(tǒng)計，開展此活動后城市每月外賣訂單數(shù)將提高到平均每月9萬件的水平，現(xiàn)從全國各月訂單數(shù)不超過7萬件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個城市不開展營銷活動，若每按一件外賣訂單平均可獲純利潤5元，但每件外賣平均需送出紅包2元，則外賣甲在這100個城市中開展營銷活動將比不開展營銷活動每月多盈利多少萬元？附：①參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若，則，.21．（12分）設函數(shù)，直線與函數(shù)圖象相鄰兩交點的距離為.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，角所對的邊分別是，若點是函數(shù)圖象的一個對稱中心，且，求面積的最大值.22．（10分）已知函數(shù)（為常數(shù)）（Ⅰ）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

畫出可行域,將化為,通過平移即可判斷出最優(yōu)解,代入到目標函數(shù),即可求出最值.【題目詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標函數(shù)為直線方程的斜截式,.由圖可知當直線過時,直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【題目點撥】本題考查了線性規(guī)劃問題.一般第一步畫出可行域,然后將目標函數(shù)轉化為的形式,在可行域內(nèi)通過平移找到最優(yōu)解,將最優(yōu)解帶回到目標函數(shù)即可求出最值.注意畫可行域時,邊界線的虛實問題.2、A【解題分析】

先求解函數(shù)的圖象關于直線對稱的等價條件，得到，分析即得解.【題目詳解】若函數(shù)的圖象關于直線對稱，則，解得，故“”是“函數(shù)的圖象關于直線對稱”的充分不必要條件．故選：A【題目點撥】本題考查了充分不必要條件的判斷，考查了學生邏輯推理，概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.3、A【解題分析】

由題先畫出基本圖形，結合向量加法和點乘運算化簡可得，結合的范圍即可求解【題目詳解】如圖，其中，所以.故選：A【題目點撥】本題考查向量的線性運算在幾何中的應用，數(shù)形結合思想，屬于中檔題4、B【解題分析】

根據(jù)散點圖呈現(xiàn)的特點可以看出，二者具有相關關系，且斜率小于1.【題目詳解】散點圖里變量的對應點分布在一條直線附近，且比較密集，故可判斷語文成績和英語成績之間具有較強的線性相關關系，且直線斜率小于1，故選B.【題目點撥】本題主要考查散點圖的理解，側重考查讀圖識圖能力和邏輯推理的核心素養(yǎng).5、C【解題分析】

①利用之間的代換判斷出對稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點的距離最大值；③將面積轉化為的關系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對應圓的關系，從而判斷出面積是否小于.【題目詳解】①：當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；綜上可知：有四條對稱軸，故正確；②：因為，所以，所以，所以，取等號時，所以最大距離為，故錯誤；③：設任意一點，所以圍成的矩形面積為，因為，所以，所以，取等號時，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；④：由②可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部，因為圓的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選：C.【題目點撥】本題考查曲線與方程的綜合運用，其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運用，難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性，可通過替換方程中去分析證明.6、D【解題分析】

根據(jù)三視圖還原出幾何體，找到最大面，再求面積.【題目詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐，如圖所示，將其放在一個長方體中，并記為三棱錐.，，，故最大面的面積為.選D.【題目點撥】本題主要考查三視圖的識別，復雜的三視圖還原為幾何體時，一般借助長方體來實現(xiàn).7、C【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關系，即可容易求得.【題目詳解】為得到，將橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），故可得；再將向左平移個單位長度，故可得.故選：C.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導公式的使用，屬基礎題.8、C【解題分析】

先從函數(shù)單調(diào)性判斷的取值范圍，再通過題中所給的是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來確定的取值范圍.【題目詳解】由的圖象知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，而，故由可知.故，又有，綜上得的取值范圍是.故選：C【題目點撥】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎知識，屬于中檔題.9、A【解題分析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集補集的定義進行計算即可．【題目詳解】，，則，故選：A．【題目點撥】本題考查集合的交集和補集的運算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎題．10、C【解題分析】

令，求出在的對稱軸，由三角函數(shù)的對稱性可得，將式子相加并整理即可求得的值.【題目詳解】令，得，即對稱軸為.函數(shù)周期，令，可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質可知，將以上各式相加得：故選:C.【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的對稱性，考查了三角函數(shù)的周期性，考查了等差數(shù)列求和.本題的難點是將所求的式子拆分為的形式.11、C【解題分析】

以為基底，將用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律，即可求解.【題目詳解】,,.故選:C.【題目點撥】本題考查向量的線性運算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運算，屬于中檔題.12、D【解題分析】

結合純虛數(shù)的概念，可得，再結合充分條件和必要條件的定義即可判定選項.【題目詳解】若復數(shù)為純虛數(shù)，則，所以，若，不妨設，此時復數(shù)，不是純虛數(shù)，所以“復數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選：D【題目點撥】本題考查充分條件和必要條件，考查了純虛數(shù)的概念，理解充分必要條件的邏輯關系是解題的關鍵，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

寫出莖葉圖對應的所有的數(shù)，去掉最高分，最低分，再求平均分．【題目詳解】解：所有的數(shù)為：77，78，82，84，84，86，88，93，94，共9個數(shù)，去掉最高分，最低分，剩下78，82，84，84，86，88，93，共7個數(shù)，平均分為，故答案為1．【題目點撥】本題考查莖葉圖及平均數(shù)的計算，屬于基礎題．14、4【解題分析】

作出可行域如圖所示：由，解得.目標函數(shù)，即為，平移斜率為-1的直線，經(jīng)過點時，.15、1【解題分析】

由已知條件得出,可得，解之可得答案.【題目詳解】向量的夾角為,且,,可得:,

可得,

解得，

故答案為:1.【題目點撥】本題考查根據(jù)向量的數(shù)量積運算求向量的模，關鍵在于將所求的向量的模平方，利用向量的數(shù)量積化簡求解即可，屬于基礎題.16、【解題分析】

，所以有，再利用基本不等式求最值即可.【題目詳解】由已知，，所以，當且僅當，即時，等號成立.故答案為：【題目點撥】本題考查利用基本不等式求和的最小值問題，采用的是“1”的替換，也可以消元等，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析．（2）【解題分析】

（1）根據(jù)題意可得，在中，利用余弦定理可得，然后同理可得，利用面面垂直的判定定理即可求解.（2）以為原點建立直角坐標系，求出面的法向量為，的法向量為，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.【題目詳解】（1）由由因為是正四棱錐，故于是，由余弦定理，在中，設再用余弦定理，在中，∴是直角，同理，而在平面上，∴平面平面（2）以為原點建立直角坐標系，如圖：則設面的法向量為，的法向量為則，取于是，二面角的余弦值為：【題目點撥】本題考查了面面垂直的判定定理、空間向量法求二面角，屬于基礎題.18、（Ⅰ）,；（Ⅱ）1【解題分析】

（Ⅰ）易得為等比數(shù)列,再利用前項和與通項的關系求解的通項公式即可.（Ⅱ）由題可知要求的最小值,再分析的正負即可得隨的增大而增大再判定可知即可.【題目詳解】（Ⅰ）因為,故是以為首項,2為公比的等比數(shù)列,故.又當時,,解得.當時,…①…②①-②有,即.當時也滿足.故為常數(shù)列,所以.即.故,（Ⅱ）因為對,恒成立.故只需求的最小值即可.設,則,又,又當時,時.當時,因為.故.綜上可知.故隨著的增大而增大,故,故【題目點撥】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解通項公式的方法,同時也考查了根據(jù)數(shù)列的增減性判斷最值的問題,需要根據(jù)題意求解的通項,并根據(jù)二項式定理分析其正負,從而得到最小項.屬于難題.19、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）利用絕對值三角不等式求得的最大值.（2）由（1）得.方法一，利用柯西不等式證得不等式成立；方法二，利用“的代換”的方法，結合基本不等式證得不等式成立.【題目詳解】（1）由絕對值不等式性質得當且僅當即時等號成立，所以（2）由（1）得.法1：由柯西不等式得當且僅當時等號成立，即，所以.法2：由得，，當且僅當時“=”成立.【題目點撥】本小題主要考查絕對值三角不等式，考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式，屬于中檔題.20、（1）見解析，有90%的把握認為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡外賣平臺”有關.（2）①4.911②100萬元.【解題分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖與頻率分布表，易得兩個外賣平臺中月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量，即可完善列聯(lián)表.通過計算的觀測值，即可結合臨界值作出判斷.（2）①先根據(jù)所給數(shù)據(jù)求得樣本平均值，根據(jù)所給今年3月訂單數(shù)區(qū)間，并由及求得，.結合正態(tài)分布曲線性質可求得，再由二項分布的數(shù)學期望求法求解.②訂單數(shù)低于7萬件的城市有和兩組，根據(jù)分層抽樣的性質可確定各組抽取樣本數(shù).分別計算出開展營銷活動與不開展營銷活動的利潤，比較即可得解.【題目詳解】（1）對于外賣甲：月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量為，對于外賣乙：月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量為.由以上數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表如下圖，業(yè)績突出城市業(yè)績不突出城市總計外賣甲4060100外賣乙5248100總計92108200且的觀測值為，∴有90%的把握認為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡外賣平臺”有關.（2）①樣本平均數(shù)，故==，，的數(shù)學期望，②由分層抽樣知，則100個城市中每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有（個），每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有（個），若不開展