湖北省荊州市重點中學2024屆高三第六次適應性訓練數(shù)學試題試卷

湖北省荊州市重點中學2024屆高三第六次適應性訓練數(shù)學試題試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，則A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}2．若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積為（）A．8 B． C． D．4．已知集合，將集合的所有元素從小到大一次排列構(gòu)成一個新數(shù)列，則（）A．1194 B．1695 C．311 D．10955．已知為定義在上的奇函數(shù)，若當時，（為實數(shù)），則關(guān)于的不等式的解集是（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列的首項，且，其中，，，下列敘述正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則一定有 B．若是等比數(shù)列，則一定有C．若不是等差數(shù)列，則一定有 D．若不是等比數(shù)列，則一定有7．已知函數(shù)若關(guān)于的方程有六個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．函數(shù)的定義域為，集合，則（）A． B． C． D．9．已知向量，（其中為實數(shù)），則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．設點是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點，若，則（）A． B． C． D．11．在等差數(shù)列中，若為前項和，，則的值是（）A．156 B．124 C．136 D．18012．數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個結(jié)論：①曲線有四條對稱軸；②曲線上的點到原點的最大距離為；③曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為；④四葉草面積小于.其中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記為數(shù)列的前項和.若，則______.14．兩光滑的曲線相切，那么它們在公共點處的切線方向相同．如圖所示，一列圓(an>0，rn>0，n=1，2…)逐個外切，且均與曲線y=x2相切，若r1=1，則a1=___，rn=______15．在直角坐標系中，某等腰直角三角形的兩個頂點坐標分別為，函數(shù)的圖象經(jīng)過該三角形的三個頂點，則的解析式為___________.16．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：當時，；（2）若在只有一個零點，求的值.18．（12分）己知，函數(shù).（1）若，解不等式；（2）若函數(shù)，且存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項均為整數(shù)，它們的前項和分別為，且，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求；（3）是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或中的項？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.20．（12分）設都是正數(shù)，且，．求證：．21．（12分）△的內(nèi)角的對邊分別為,且．(1)求角的大小(2)若,△的面積,求△的周長．22．（10分）在直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，射線的極坐標方程為，射線的極坐標方程為.（Ⅰ）寫出曲線的極坐標方程，并指出是何種曲線；（Ⅱ）若射線與曲線交于兩點，射線與曲線交于兩點，求面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

解一元二次不等式化簡集合,再由集合的交集運算可得選項.【題目詳解】因為集合，故選：D.【題目點撥】本題考查集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】試題分析：由題意得有兩個不相等的實數(shù)根，所以必有解，則，且，∴．考點：利用導數(shù)研究函數(shù)極值點【方法點睛】函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略（1）知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導數(shù)為0的點，再判斷導數(shù)為0的點的左、右兩側(cè)的導數(shù)符號.（2）已知函數(shù)求極值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表檢驗f′（x）在f′（x）＝0的根的附近兩側(cè)的符號―→下結(jié)論.（3）已知極值求參數(shù).若函數(shù)f（x）在點（x0，y0）處取得極值，則f′（x0）＝0，且在該點左、右兩側(cè)的導數(shù)值符號相反.3、D【解題分析】

根據(jù)三視圖還原幾何體為四棱錐，即可求出幾何體的表面積．【題目詳解】由三視圖知幾何體是四棱錐，如圖，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的底面是正方形,邊長為2,棱錐的高為2，所以，故選：【題目點撥】本題主要考查了由三視圖還原幾何體，棱錐表面積的計算，考查了學生的運算能力，屬于中檔題.4、D【解題分析】

確定中前35項里兩個數(shù)列中的項數(shù)，數(shù)列中第35項為70，這時可通過比較確定中有多少項可以插入這35項里面即可得，然后可求和．【題目詳解】時，，所以數(shù)列的前35項和中，有三項3，9，27，有32項，所以．故選：D．【題目點撥】本題考查數(shù)列分組求和，掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列前項和公式是解題基礎(chǔ)．解題關(guān)鍵是確定數(shù)列的前35項中有多少項是中的，又有多少項是中的．5、A【解題分析】

先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值，然后結(jié)合單調(diào)性求解不等式.【題目詳解】據(jù)題意，得，得，所以當時，.分析知，函數(shù)在上為增函數(shù).又，所以.又，所以，所以，故選A.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應用，側(cè)重考查數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).6、C【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進行判斷即可.【題目詳解】A：當時，，顯然符合是等差數(shù)列，但是此時不成立，故本說法不正確；B：當時，，顯然符合是等比數(shù)列，但是此時不成立，故本說法不正確；C：當時，因此有常數(shù)，因此是等差數(shù)列，因此當不是等差數(shù)列時，一定有，故本說法正確；D：當時，若時，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，故本說法不正確.故選：C【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】

令，則，由圖象分析可知在上有兩個不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解決.【題目詳解】令，則，如圖與頂多只有3個不同交點，要使關(guān)于的方程有六個不相等的實數(shù)根，則有兩個不同的根，設由根的分布可知，，解得.故選：B.【題目點撥】本題考查復合方程根的個數(shù)問題，涉及到一元二次方程根的分布，考查學生轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.8、A【解題分析】

根據(jù)函數(shù)定義域得集合，解對數(shù)不等式得到集合，然后直接利用交集運算求解.【題目詳解】解：由函數(shù)得，解得，即；又，解得，即，則.故選：A.【題目點撥】本題考查了交集及其運算，考查了函數(shù)定義域的求法，是基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

結(jié)合向量垂直的坐標表示，將兩個條件相互推導，根據(jù)能否推導的情況判斷出充分、必要條件.【題目詳解】由，則，所以；而當，則，解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【題目點撥】本小題考查平面向量的運算，向量垂直，充要條件等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力，應用意識.10、B【解題分析】∵∵∴∵，∴∴故選B點睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.11、A【解題分析】

因為，可得，根據(jù)等差數(shù)列前項和，即可求得答案.【題目詳解】，，.故選：A.【題目點撥】本題主要考查了求等差數(shù)列前項和，解題關(guān)鍵是掌握等差中項定義和等差數(shù)列前項和公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】

①利用之間的代換判斷出對稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點的距離最大值；③將面積轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對應圓的關(guān)系，從而判斷出面積是否小于.【題目詳解】①：當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；綜上可知：有四條對稱軸，故正確；②：因為，所以，所以，所以，取等號時，所以最大距離為，故錯誤；③：設任意一點，所以圍成的矩形面積為，因為，所以，所以，取等號時，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；④：由②可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部，因為圓的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選：C.【題目點撥】本題考查曲線與方程的綜合運用，其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運用，難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性，可通過替換方程中去分析證明.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列是以16為首項，以為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前項和公式求解．【題目詳解】由，得，．且，則，即．數(shù)列是以16為首項，以為公比的等比數(shù)列，則．故答案為：1．【題目點撥】本題主要考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的前項和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．14、【解題分析】

第一空：將圓與聯(lián)立，利用計算即可；第二空：找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系，再將與聯(lián)立，得到，與結(jié)合可得為等差數(shù)列，進而可得.【題目詳解】當r1=1時，圓，與聯(lián)立消去得，則，解得；由圖可知當時，①，將與聯(lián)立消去得，則，整理得，代入①得，整理得，則.故答案為：；.【題目點撥】本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題，關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系，建立遞推式，由遞推式求通項公式，綜合性較強，是一道難度較大的題目.15、【解題分析】

結(jié)合題意先畫出直角坐標系，點出所有可能組成等腰直角三角形的點，采用排除法最終可確定為點，再由函數(shù)性質(zhì)進一步求解參數(shù)即可【題目詳解】等腰直角三角形的第三個頂點可能的位置如下圖中的點，其中點與已有的兩個頂點橫坐標重復，舍去；若為點則點與點的中間位置的點的縱坐標必然大于或小于，不可能為，因此點也舍去，只有點滿足題意.此時點為最大值點，所以，又，則，所以點，之間的圖像單調(diào)，將，代入的表達式有由知，因此.故答案為：【題目點撥】本題考查由三角函數(shù)圖像求解解析式，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題16、【解題分析】

函數(shù)恰有4個零點，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個不同的交點，畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.【題目詳解】函數(shù)恰有4個零點，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個不同的交點，畫出函數(shù)圖象如下圖所示：由圖象可知：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【題目點撥】本題考查了已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解題分析】

分析：(1)先構(gòu)造函數(shù)，再求導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式;(2)研究零點，等價研究的零點，先求導數(shù)：，這里產(chǎn)生兩個討論點，一個是a與零，一個是x與2，當時，，沒有零點；當時，先減后增，從而確定只有一個零點的必要條件，再利用零點存在定理確定條件的充分性，即得a的值.詳解：（1）當時，等價于．設函數(shù)，則．當時，，所以在單調(diào)遞減．而，故當時，，即．（2）設函數(shù)．在只有一個零點當且僅當在只有一個零點．（i）當時，，沒有零點；（ii）當時，．當時，；當時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒有零點；②若，即，在只有一個零點；③若，即，由于，所以在有一個零點，由（1）知，當時，，所以．故在有一個零點，因此在有兩個零點．綜上，在只有一個零點時，．點睛：利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）零點分段解不等式即可（2）等價于，由，得不等式即可求解【題目詳解】（1）當時，，當時，由，解得；當時，由，解得；當時，由，解得.綜上可知，原不等式的解集為.（2）.存在使得成立，等價于.又因為，所以，即.解得，結(jié)合，所以實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】本題考查絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題19、（1）；（2）；（3）存在，1.【解題分析】

（1）利用基本量法直接計算即可；（2）利用錯位相減法計算；（3），令可得，，討論即可.【題目詳解】（1）設數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，因為，所以，即，解得，或（舍去）.所以.（2），，所以，所以.（3）由（1）可得，，所以.因為是數(shù)列或中的一項，所以，所以，因為，所以，又，則或.當時，有，即，令.則.當時，；當時，，即.由，知無整數(shù)解.當時,有，即存在使得是數(shù)