差分方程的概念性質(zhì)舉例

第六節(jié)差分方程一、差分的概念與性質(zhì)二差分方程的概念

三一階常系數(shù)線性差分方程

一、差分的概念與性質(zhì)一般地，在連續(xù)變化的時間的范圍內(nèi)，變量關(guān)于時間的變化率是用來刻畫的；對離散型的變量我們常用在規(guī)定時間區(qū)間上的差商來刻畫變量的變化率.如果取，則可以近似表示變量的變化率.由此我們給出差分的定義.定義1設(shè)函數(shù)，稱改變量為函數(shù)的差分，也稱為函數(shù)的一階差分，記為，即

或

一階差分的差分稱為二階差分，即類似地可定義三節(jié)差分，四階差分，等等.一般地，函數(shù)的階差分的差分稱為階差分，記為，即

二階及二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分.例1設(shè)，求，，解

例2設(shè)求解

設(shè)，則.差分滿足以下性質(zhì)：（2）（3）（4）（1）例3求解

由差分的運算性質(zhì)，有.的差分.二差分方程的概念定義2含有未知函數(shù)的差分的方程稱為差分方程.或

差分方程中所含未知函數(shù)差分的最高階數(shù)稱為該差分方程的階差分方程的一般形式：定義3滿足差分方程的函數(shù)稱為該差分方程的解.例如，對于差分方程，將代入方程有

故是該方程的解，易見對任意的常數(shù)都是差分方程的解.如果差分方程的解中含有相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)恰好等于方程的階數(shù)，則稱這個解是差分方程的通解.定義4若差分方程中所含未知函數(shù)及未知函數(shù)的各階差分均為一次，則稱該差分方程為線性差分方程.其一般形式為

其特點是都是一階的.

三一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)差分方程的一般方程形式為

其中為非零常數(shù)，為已知函數(shù).如果則方程變?yōu)?/p>

稱為一階常系數(shù)線性齊次差分方程，相應(yīng)地，時方程一階常系數(shù)線性非齊次差分方程.1．一階常系數(shù)線性齊次差分方程的通解已知，將代入方程中，得

則為方程的解.容易驗證，對任意常數(shù)都是方程的解，故方程的通解為

一階常系數(shù)線性齊次差分方程的通解可用迭代法求得.設(shè)例4求差分方程的通解.解利用公式得，題設(shè)方程的通解為2．一階常系數(shù)線性非齊次差分方程的通解為齊次方程的通解，為非齊次方程的一個為非齊次方程的通解.，及將這兩式相加得，即為非齊次方程的通解.定理設(shè)特解，則證明由題設(shè)，有（1）為非零常數(shù)，由，可按如下迭代法求得特解給定齊次方程的通解為于是方程通解為

時，當其中，為任意常數(shù)，且當時，為任意常數(shù)例5求差分方程的通解.，故原方程的通解為

解由于（2）（為非零常數(shù)且）.時，設(shè)為非齊次方程的特解，其中為待定系數(shù).將其代入方程,得解得，于是，所求特解為所以時，方程的通解為

當當時，設(shè)為方程的特解，代入方程得所以，當時，方程的通解為

例7