2024屆河南省永州市新田縣第一中學(xué)高三延長(zhǎng)假期綜合考試數(shù)學(xué)試題

2024屆河南省永州市新田縣第一中學(xué)高三延長(zhǎng)假期綜合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則（）A．4 B．3 C．2 D．12．羽毛球混合雙打比賽每隊(duì)由一男一女兩名運(yùn)動(dòng)員組成.某班級(jí)從名男生，，和名女生，，中各隨機(jī)選出兩名，把選出的人隨機(jī)分成兩隊(duì)進(jìn)行羽毛球混合雙打比賽，則和兩人組成一隊(duì)參加比賽的概率為（）A． B． C． D．3．如圖，網(wǎng)格紙是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成，若粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．4．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A．45 B．42 C．25 D．365．已知全集，函數(shù)的定義域?yàn)?，集合，則下列結(jié)論正確的是A． B．C． D．6．若，則()A． B． C． D．7．若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．函數(shù)（且）的圖象可能為（）A． B． C． D．9．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn).若的內(nèi)切圓與線段在其中點(diǎn)處相切，與相切于點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．10．集合,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是A．1個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．7個(gè)11．已知集合，，則集合的真子集的個(gè)數(shù)是（）A．8 B．7 C．4 D．312．已知拋物線的焦點(diǎn)為，對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，為上任意一點(diǎn)，若，則（）A．30° B．45° C．60° D．75°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，與函數(shù)的圖象重合，則_____．14．“直線l1：與直線l2：平行”是“a＝2”的_______條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．15．春天即將來(lái)臨，某學(xué)校開(kāi)展以“擁抱春天，播種綠色”為主題的植物種植實(shí)踐體驗(yàn)活動(dòng)．已知某種盆栽植物每株成活的概率為，各株是否成活相互獨(dú)立．該學(xué)校的某班隨機(jī)領(lǐng)養(yǎng)了此種盆栽植物10株，設(shè)為其中成活的株數(shù)，若的方差，，則________．16．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，則球的表面積為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱柱中，平面，底面ABCD滿足∥BC，且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知是公比為的無(wú)窮等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足，________．是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．從①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答．19．（12分）已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．20．（12分）已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線與圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn).（1）求證：直線與橢圓相切；（2）判斷是否為定值，并說(shuō)明理由.21．（12分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為和．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若的極小值為，求在區(qū)間上的最大值．22．（10分）已知函數(shù)（1）求單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【題目詳解】由成等比數(shù)列得，即，已知，解得.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本量的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、B【解題分析】

根據(jù)組合知識(shí)，計(jì)算出選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為，然后計(jì)算和分在一組的數(shù)目為，最后簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：分別從3名男生、3名女生中選2人：將選中2名女生平均分為兩組：將選中2名男生平均分為兩組：則選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為：和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，對(duì)平均分組的問(wèn)題要掌握公式，比如：平均分成組，則要除以，即，審清題意，細(xì)心計(jì)算，考驗(yàn)分析能力，屬中檔題.3、C【解題分析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體，結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【題目詳解】由三視圖可知，該幾何體可看作是半個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合體，其中半圓柱的底面半圓半徑為1，高為4，長(zhǎng)方體的底面四邊形相鄰邊長(zhǎng)分別為1，2，高為4，所以該幾何體的表面積，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三視圖的識(shí)別，利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4、D【解題分析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進(jìn)而代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式即可.【題目詳解】由題,.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和.5、A【解題分析】

求函數(shù)定義域得集合M，N后，再判斷．【題目詳解】由題意，，∴．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是確定集合中的元素．確定集合的元素時(shí)要注意代表元形式，集合是函數(shù)的定義域，還是函數(shù)的值域，是不等式的解集還是曲線上的點(diǎn)集，都由代表元決定．6、D【解題分析】

直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果．【題目詳解】∵，∴，故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．7、B【解題分析】

由共軛復(fù)數(shù)的定義得到，通過(guò)三角函數(shù)值的正負(fù)，以及復(fù)數(shù)的幾何意義即得解【題目詳解】由題意得，因?yàn)?，，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】因?yàn)椋屎瘮?shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.考點(diǎn)：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.9、D【解題分析】

可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，設(shè)，，可得，由切線的性質(zhì)：切線長(zhǎng)相等推得，解得、，并設(shè)，求得的值，推得為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結(jié)合離心率公式可得所求值．【題目詳解】可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，為切點(diǎn)，且為中點(diǎn)，，設(shè)，，則，且有，解得，，設(shè)，，設(shè)圓切于點(diǎn)，則，，由，解得，，，所以為等邊三角形，所以，，解得.因此，該橢圓的離心率為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，注意運(yùn)用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．10、B【解題分析】

由題意，結(jié)合集合，求得集合，得到集合中元素的個(gè)數(shù)，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，集合，則，所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解，其中作出集合的運(yùn)算，得到集合，再由真子集個(gè)數(shù)的公式作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．11、D【解題分析】

轉(zhuǎn)化條件得，利用元素個(gè)數(shù)為n的集合真子集個(gè)數(shù)為個(gè)即可得解.【題目詳解】由題意得，，集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，考查了集合真子集個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】

如圖所示：作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，則，故，得到答案.【題目詳解】如圖所示：作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，則，在中，，故，即.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線中角度的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求得變換后的函數(shù)解析式,再利用誘導(dǎo)公式求得滿足的方程,結(jié)合題中的范圍即可求解.【題目詳解】由函數(shù)圖象的平移變換公式可得,函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后,得到的函數(shù)解析式為,因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象重合,所以,即,因?yàn)?所以.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)圖象的平移變換和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式;誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.14、必要不充分【解題分析】

先求解直線l1與直線l2平行的等價(jià)條件，然后進(jìn)行判斷.【題目詳解】“直線l1：與直線l2：平行”等價(jià)于a＝±2，故“直線l1：與直線l2：平行”是“a＝2”的必要不充分條件．故答案為：必要不充分.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充分必要條件的判定，把已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).15、【解題分析】

由題意可知：，且，從而可得值．【題目詳解】由題意可知：∴，即,∴故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．16、【解題分析】

如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)、寬、高分別為，計(jì)算得到，得到答案.【題目詳解】如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)、寬、高分別為，則，所以，所以球的半徑，則球的表面積為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ)【解題分析】

(Ⅰ)證明，根據(jù)得到，得到證明.(Ⅱ)如圖所示，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量，，計(jì)算向量夾角得到答案.【題目詳解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如圖所示：分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量，則，即，取得到，，設(shè)直線與平面所成角為故.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面垂直，線面夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.18、見(jiàn)解析【解題分析】

選擇①或②或③，求出的值，然后利用等比數(shù)列的求和公式可得出關(guān)于的不等式，判斷不等式是否存在符合條件的正整數(shù)解，在有解的情況下，解出不等式，進(jìn)而可得出結(jié)論.【題目詳解】選擇①：因?yàn)?，所以，所以．令，即，，所以使得的正整?shù)的最小值為；選擇②：因?yàn)?，所以，．因?yàn)?，所以不存在滿足條件的正整數(shù)；選擇③：因?yàn)椋?，所以．令，即，整理得．?dāng)為偶數(shù)時(shí)，原不等式無(wú)解；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，原不等式等價(jià)于，所以使得的正整數(shù)的最小值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)可構(gòu)造方程求得，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得結(jié)果；（2）由（1）可得，可知為等比數(shù)列，利用分組求和法，結(jié)合等差和等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【題目詳解】（1）成等比數(shù)列，，即，，解得：，.（2）由（1）得：，，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、分組求和法求解數(shù)列的前項(xiàng)和的問(wèn)題；關(guān)鍵是能夠根據(jù)通項(xiàng)公式證得數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而采用分組求和法，結(jié)合等差和等比數(shù)列求和公式求得結(jié)果.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）是，理由見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）根據(jù)判別式即可證明．（2）根據(jù)向量的數(shù)量積和韋達(dá)定理即可證明，需要分類(lèi)討論，【題目詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)直線方程為或，直線與橢圓相切.當(dāng)時(shí)，由得，由題知，，即，所以.故直線與橢圓相切.（2）設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，，，所以，即.當(dāng)時(shí)，由得，則，，.因?yàn)?所以，即.故為定值.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查向量的運(yùn)算，注意直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．21、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和；（2）最大值是．【解題分析】

（1）求得，由題意可知和是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的符號(hào)變化可得出的符號(hào)變化，進(jìn)而可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）由（1）中的結(jié)論知，函數(shù)的極小值為，進(jìn)而得出，解出、、的值，然后利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【題目詳解】（1），令，因?yàn)?，所以的零點(diǎn)就是的零點(diǎn)，且與符號(hào)相同．又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)或時(shí)，，即.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和；（2）由（1）知，是的極小值點(diǎn)，所以有，解得，，，所以．因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和.所以為函數(shù)的極大值，故在區(qū)間上的最大值取和中的最大者，而，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值是．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.22、（1）時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，，函數(shù)單調(diào)遞減，；（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）求出