基于排隊(duì)論的機(jī)場(chǎng)安檢排隊(duì)問(wèn)題的研究

第第頁(yè)基于排隊(duì)論的機(jī)場(chǎng)安檢排隊(duì)問(wèn)題的研究

目錄1. 排隊(duì)論知識(shí)介紹1.1定義1.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成1.2.1輸入過(guò)程1.2.2排隊(duì)規(guī)則1.2.3服務(wù)機(jī)構(gòu)1.3符號(hào)表示1.4數(shù)量指標(biāo)1.5排隊(duì)論研究的基本問(wèn)題1.6排隊(duì)輪中的幾種重要的分布函數(shù)1.6.1Poisson過(guò)程1.6.2負(fù)指數(shù)分布1.6.3愛(ài)爾朗分布1.7生滅過(guò)程及其穩(wěn)態(tài)分布2..機(jī)場(chǎng)安檢的排隊(duì)系統(tǒng)模型分析2.1乘客到達(dá)過(guò)程2.2排隊(duì)規(guī)則2.3辦理安檢手續(xù)的排隊(duì)過(guò)程3.案例分析3.1案例說(shuō)明3.2案例分析3.3案例的解答4.結(jié)語(yǔ)參考文獻(xiàn)排隊(duì)論知識(shí)介紹1.1定義排隊(duì)論又稱(chēng)為隨機(jī)服務(wù)理論或隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，是一門(mén)研究擁擠現(xiàn)象的學(xué)說(shuō)。主要揭示各種出現(xiàn)擁擠現(xiàn)象的排隊(duì)系統(tǒng)的概率的規(guī)律性，并借助相應(yīng)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)推斷方法來(lái)解決有關(guān)排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)化問(wèn)題。排隊(duì)是人們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常遇到的現(xiàn)象（這種現(xiàn)象亦稱(chēng)為擁擠現(xiàn)象或擁擠問(wèn)題）顧客到商店購(gòu)買(mǎi)物品、病人到醫(yī)院看病、讀者到圖書(shū)館借書(shū)、乘客到車(chē)站乘公共汽車(chē)，都要排隊(duì)、要等待。飯館的服務(wù)員與顧客、圖書(shū)館的管理員與借閱者、售票員與乘客都分別構(gòu)成一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)或稱(chēng)服務(wù)系統(tǒng)。顧客和買(mǎi)票者，稱(chēng)為要求服務(wù)的對(duì)象，他們總希望得到某種服務(wù)。如果在某些時(shí)刻，要求服務(wù)的對(duì)象的數(shù)目超過(guò)了服務(wù)機(jī)構(gòu)所能夠提供服務(wù)的數(shù)量時(shí)，也就是說(shuō)，如果有些要求服務(wù)的對(duì)象到達(dá)之后不能立刻得到服務(wù)，就必須等候，因而出現(xiàn)了排隊(duì)現(xiàn)象。此時(shí)，人們總希望減少排隊(duì)現(xiàn)象，通常做法是要增加服務(wù)設(shè)施，比如增加服務(wù)臺(tái)的數(shù)量，但是服務(wù)臺(tái)越多，人力、物力的支出也就越大，甚至未出現(xiàn)浪費(fèi)的現(xiàn)象。如果服務(wù)臺(tái)設(shè)施太少，顧客排隊(duì)等待時(shí)間就會(huì)太長(zhǎng)，給顧客和社會(huì)帶來(lái)不方便和不良影響。因此，就產(chǎn)生顧客的等待與服務(wù)機(jī)構(gòu)的數(shù)量（或服務(wù)速率）之間的沖突的問(wèn)題。為此，便要經(jīng)常檢查目前的服務(wù)設(shè)施是否得當(dāng)，研究今后改進(jìn)的對(duì)策，以提高服務(wù)質(zhì)量，降低服務(wù)費(fèi)用。排隊(duì)論就是為了解決上述問(wèn)題而發(fā)展起來(lái)的一門(mén)學(xué)科，現(xiàn)在已經(jīng)廣泛應(yīng)用于如生產(chǎn)管理、庫(kù)存管理、商業(yè)服務(wù)、交通服務(wù)、銀行業(yè)務(wù)、醫(yī)療服務(wù)、計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)和性能評(píng)價(jià)等各種管理系統(tǒng)。1.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成實(shí)際生活中的排隊(duì)系統(tǒng)雖然各不相同，但他們都具有一下3個(gè)特征：存在要求得到某種服務(wù)的顧客存在愿意為顧客提供服務(wù)的人或服務(wù)機(jī)構(gòu)（也稱(chēng)服務(wù)臺(tái)或服務(wù)員）顧客到達(dá)時(shí)刻及為每一位提供服務(wù)時(shí)間都是隨機(jī)的，因而造成系統(tǒng)中的顧客會(huì)時(shí)多時(shí)少，服務(wù)員的工作會(huì)時(shí)忙時(shí)閑一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的基本過(guò)程可以用圖1.1來(lái)表示顧客數(shù)顧客數(shù)隊(duì)列顧客到達(dá)服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)規(guī)則顧客離開(kāi)一般的排隊(duì)系統(tǒng)都有3個(gè)基本組成部分：輸入過(guò)程、排隊(duì)規(guī)則、和服務(wù)機(jī)構(gòu)1.2.1輸入過(guò)程輸入過(guò)程是指顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)按什么規(guī)律到達(dá)，顧客源情況如何。有以下幾種情況：顧客總體（顧客源）可能是有限的，也可能是無(wú)限的。如停機(jī)維修的機(jī)器，其來(lái)源是有限的，而上游河水流入水庫(kù)，則是無(wú)限的。顧客到來(lái)的方式可能是單個(gè)的，也可能是成批的。如到餐廳就餐的顧客由單個(gè)到來(lái)，也有成批到來(lái)參加宴會(huì)。顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間可以是確定的，也可以是隨機(jī)型的。如自動(dòng)裝配線上裝配的不見(jiàn)按確定的時(shí)間間隔到達(dá)裝配點(diǎn)，定期的班車(chē)、輪班、航班。但到商夏購(gòu)物的客人、通過(guò)路口的車(chē)輛，到達(dá)是隨機(jī)型的。顧客到達(dá)可以是相互獨(dú)立的，即到達(dá)的情況對(duì)以后顧客的到來(lái)沒(méi)有影響，也可以是關(guān)聯(lián)的。在此討論獨(dú)立的情形。輸入過(guò)程可以是平穩(wěn)的，即描述相繼到達(dá)的間隔時(shí)間分布和所含參數(shù)（期望值，方差）與時(shí)間無(wú)差，也可以是非平穩(wěn)的。常見(jiàn)的輸入分布（到達(dá)間隔的概率分布）有：定長(zhǎng)輸入。顧客嚴(yán)格按照固定的間隔時(shí)間相繼到達(dá)，屬于確定性輸入類(lèi)型。泊松輸入。顧客到達(dá)過(guò)程為泊松流。愛(ài)爾朗輸入。相繼到達(dá)間隔相互獨(dú)立且具有相同的愛(ài)爾朗分布密度。一般獨(dú)立輸入。相繼到達(dá)間隔相互獨(dú)立且同分布。1.2.2排隊(duì)規(guī)則排隊(duì)規(guī)則是指顧客在排隊(duì)系統(tǒng)中按怎樣的規(guī)則與次序接受服務(wù)。有以下幾種情況：（1）即時(shí)制（損失制）。顧客到達(dá)時(shí)，如所有的服務(wù)臺(tái)都正被占用，顧客可隨時(shí)離去，如市內(nèi)電話呼喚、停車(chē)場(chǎng)就屬于這種情況。因?yàn)闀?huì)失掉許多顧客，故又稱(chēng)損失制。（2）等待制。顧客到達(dá)時(shí)，若所有服務(wù)臺(tái)都被占用，則顧客就排隊(duì)等待，這種服務(wù)機(jī)制稱(chēng)為等待制。多數(shù)系統(tǒng)都屬于這種機(jī)制。如登記市外長(zhǎng)途電話呼喚。對(duì)于等待制，有下列各種規(guī)則：①先到先服務(wù)。即按到達(dá)次序接受服務(wù)。②后到先服務(wù)。如乘電梯是后進(jìn)先出；在情報(bào)系統(tǒng)中，最后到達(dá)的信息往往是最有價(jià)值的，常最先被采用；車(chē)船卸貨時(shí)也往往卸后裝進(jìn)的貨物。③隨機(jī)服務(wù)。指服務(wù)員從等待的顧客中隨機(jī)地選取其一進(jìn)行服務(wù)，而不管到達(dá)的先后。如電話交換臺(tái)接通呼喚的電話，對(duì)迅速生產(chǎn)出來(lái)的大批量產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢查時(shí)，所采用的抽樣檢驗(yàn)方式就屬于這種情況。有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)。如醫(yī)院對(duì)重病患者給予優(yōu)先治療，郵局對(duì)加急電報(bào)優(yōu)先拍發(fā)。（3）混合制。兼有等待制與損失制兩種屬性的服務(wù)機(jī)制。這又可分為下列幾種類(lèi)型：①系統(tǒng)容量有限。系統(tǒng)最多能容納r個(gè)顧客（包括等待著與被服務(wù)者），若容量已滿則后到的顧客就自動(dòng)離去。如醫(yī)院各門(mén)診室每天掛號(hào)有限，沒(méi)掛上號(hào)的求診者將自行離去，而不會(huì)再到候診室等待。②等待時(shí)間有限。顧客在隊(duì)列中超過(guò)等待時(shí)間就自行消失。如藥房存放的藥品過(guò)了使用有效期就被銷(xiāo)毀，而不能在發(fā)放給病人了。③逗留時(shí)間有限顧客在系統(tǒng)中的逗留超過(guò)一定時(shí)間后就自行消失。如出爐的鐵水超過(guò)一定時(shí)間若仍未澆鑄或澆鑄未完，就報(bào)廢了。另外，從占有空間看，有的隊(duì)列是具體的，也有的是抽象的。有的系統(tǒng)要規(guī)定容量的最大限制，有的則認(rèn)為容量可以是無(wú)限的。從隊(duì)列的數(shù)目看，可以是單列，也可以是多列。1.2.3服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu)主要包括服務(wù)設(shè)施的數(shù)量、連接形式、服務(wù)方式及服務(wù)時(shí)間分布等。服務(wù)設(shè)施的數(shù)量有單臺(tái)與多臺(tái)之分：構(gòu)成形式上有串聯(lián)、并聯(lián)、混聯(lián)和網(wǎng)絡(luò)等；服務(wù)方式指某一時(shí)刻服務(wù)臺(tái)接受服務(wù)的顧客數(shù)，有單個(gè)服務(wù)和成批服務(wù)兩種；一般來(lái)說(shuō)同一個(gè)服務(wù)臺(tái)因?yàn)槊恳晃活櫩蛯?duì)服務(wù)的要求不同，所以，每一位顧客接受服務(wù)的時(shí)間長(zhǎng)短便不同，它是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率分布常見(jiàn)的有：定長(zhǎng)服務(wù)。對(duì)個(gè)顧客服務(wù)的時(shí)間都相同，是一常數(shù)。這是確定性服務(wù)類(lèi)型。指數(shù)服務(wù)。對(duì)顧客服務(wù)的時(shí)間相互獨(dú)立，且具有相同的指數(shù)分布。愛(ài)爾朗服務(wù)。對(duì)顧客服務(wù)的時(shí)間相互獨(dú)立，且具有相同的愛(ài)爾朗分布一般獨(dú)立分布。對(duì)個(gè)顧客服務(wù)的時(shí)間相互獨(dú)立且同分布1.3符號(hào)表示排隊(duì)模型的記號(hào)是20世紀(jì)50年代初由D.G.Kendall引入的，通常用到6個(gè)符號(hào)并取如下格式：X/Y/Z/A/B/C該記號(hào)稱(chēng)為Kendall記號(hào)，其中各符號(hào)含義如下：X表示顧客相繼到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的時(shí)間間隔分布；Y表示服務(wù)時(shí)間的分布Z表示服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)或服務(wù)通道數(shù)；A表示排隊(duì)系統(tǒng)的容量，即可容納的最多顧客數(shù)；B表示顧客源的數(shù)目；C表示服務(wù)規(guī)則例如，M/M/1/∞/∞/FCFS表示一個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)間間隔服從相同的負(fù)指數(shù)分布、服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布、單個(gè)服務(wù)臺(tái)、系統(tǒng)容量為無(wú)限（等待制）、顧客源無(wú)限、排隊(duì)規(guī)則為先來(lái)先服務(wù)的排隊(duì)模型。若Kendall記號(hào)中略去了后面3項(xiàng)，則是指X/Y/Z/∞/∞/FCF，如M/M/s表示一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布、服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布、s個(gè)服務(wù)臺(tái)，系統(tǒng)容量為無(wú)限（等待制）顧客源無(wú)限、排隊(duì)規(guī)則為先來(lái)先服務(wù)的排隊(duì)模型。G/M/1/∞表示一個(gè)單服務(wù)臺(tái)、服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布、顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔為獨(dú)立同分布的等待制排隊(duì)模型。1.4數(shù)量指標(biāo)為了準(zhǔn)確估計(jì)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)質(zhì)量，了解系統(tǒng)工作狀態(tài)，確定最佳運(yùn)行參數(shù)，在分析計(jì)算時(shí)，通常考慮以下指標(biāo)1.系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)內(nèi)的顧客總數(shù)，是任意時(shí)刻等待服務(wù)和正在接受服務(wù)的顧客數(shù)之和，常用N(t)表示，也稱(chēng)為瞬態(tài)。系統(tǒng)平穩(wěn)運(yùn)行時(shí)常用N表示，稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)。2.系統(tǒng)狀態(tài)概率指系統(tǒng)在時(shí)刻t恰有n個(gè)顧客的概率，稱(chēng)為瞬態(tài)概率，記為。系統(tǒng)平穩(wěn)時(shí)有n個(gè)顧客的概率稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)概率，記為。3.隊(duì)長(zhǎng)與隊(duì)列長(zhǎng)隊(duì)長(zhǎng)系統(tǒng)中顧客數(shù)的期望值，即系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)N的期望值E(N)，記為L(zhǎng)。隊(duì)列長(zhǎng)，又稱(chēng)排隊(duì)長(zhǎng)，指系統(tǒng)中在排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)期望值，記為4.顧客平均到達(dá)率指系統(tǒng)中有n個(gè)顧客時(shí)單位時(shí)間平均到達(dá)系統(tǒng)的新到顧客數(shù)，記為。若平均到達(dá)率與系統(tǒng)狀態(tài)無(wú)關(guān)，則顧客平均到達(dá)率可記為。5.系統(tǒng)平均服務(wù)率指的是系統(tǒng)中有n個(gè)顧客時(shí)，單位時(shí)間系統(tǒng)服務(wù)完畢離去顧客平均數(shù)，記為。若平均服務(wù)率與系統(tǒng)狀態(tài)無(wú)關(guān)，則系統(tǒng)平均服務(wù)率可記為。6.逗留時(shí)間指顧客停留在系統(tǒng)全部時(shí)間的期望值，記為W。7.等待時(shí)間指顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的時(shí)間的期望值，記為.顯然逗留時(shí)間等于等待時(shí)間加上服務(wù)時(shí)間。8.忙期和閑期忙期是指顧客到達(dá)空閑的服務(wù)機(jī)構(gòu)開(kāi)始，到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次為空閑時(shí)為止所持續(xù)的時(shí)間，常記為B。閑期是指服務(wù)機(jī)構(gòu)從開(kāi)始出現(xiàn)空閑期起，到再次忙碌時(shí)為止所持續(xù)時(shí)間，常記為I。上述指標(biāo)中，可以用來(lái)衡量一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的工作狀況的主要指標(biāo)有隊(duì)長(zhǎng)和隊(duì)列長(zhǎng)、逗留時(shí)間、忙期和閑期。隊(duì)長(zhǎng)和隊(duì)列長(zhǎng)是顧客和服務(wù)機(jī)構(gòu)都關(guān)心的指標(biāo)，在設(shè)計(jì)排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)很重要，因?yàn)樗婕跋到y(tǒng)需要的空間大小。逗留時(shí)間也是衡量系統(tǒng)工作狀態(tài)的一個(gè)重要指標(biāo)，每個(gè)顧客都是希望逗留時(shí)間越短越好。忙期和閑期均為衡量服務(wù)機(jī)構(gòu)工作強(qiáng)度和利用效率的指標(biāo)，在服務(wù)過(guò)程中，兩者相互交替出現(xiàn)。1.5排隊(duì)論研究的基本問(wèn)題首先，排隊(duì)論研究排隊(duì)系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)的概率規(guī)律，即研究排隊(duì)系統(tǒng)的整體性質(zhì)。通過(guò)研究主要數(shù)量指標(biāo)在瞬態(tài)或平穩(wěn)狀態(tài)下的概率分布及其數(shù)字特征，了解系統(tǒng)運(yùn)行的基本特征。其次，排隊(duì)論研究系統(tǒng)的優(yōu)化問(wèn)題。系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題又稱(chēng)為系統(tǒng)控制問(wèn)題或系統(tǒng)運(yùn)營(yíng)問(wèn)題，其基本目的是是系統(tǒng)處于最優(yōu)或最合理的狀態(tài)。包括最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題和最優(yōu)運(yùn)營(yíng)問(wèn)題，如最少費(fèi)用問(wèn)題、服務(wù)率的控制問(wèn)題、服務(wù)臺(tái)的開(kāi)關(guān)策略、顧客和服務(wù)根據(jù)優(yōu)先權(quán)的最優(yōu)排序問(wèn)題等等。另外排隊(duì)論還研究排隊(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)推斷問(wèn)題。建立適當(dāng)?shù)呐抨?duì)模型是排隊(duì)論研究的第一步，建立模型的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)遇到諸如要檢驗(yàn)系統(tǒng)是否到達(dá)平穩(wěn)狀態(tài)、要檢驗(yàn)顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔的相互獨(dú)立性、要確定服務(wù)時(shí)間的分布及有關(guān)參數(shù)等問(wèn)題，這些都是統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題。1.6排隊(duì)輪中的幾種重要的分布函數(shù)1.6.1Poisson過(guò)程Poisson過(guò)程（亦稱(chēng)Poisson流或最簡(jiǎn)單流），是排隊(duì)論中一種常用來(lái)描述顧客到達(dá)規(guī)律的特殊的隨機(jī)過(guò)程。設(shè)N(t)表示在[0，t)內(nèi)到達(dá)的顧客，表示在[)有n位顧客到達(dá)的概率，即=P{N()-N()=n}()(1.6.1) 當(dāng)滿足一下3個(gè)條件時(shí)，則顧客到達(dá)服從Poisson分布(1)平穩(wěn)性是指在[t,t+]內(nèi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率與到達(dá)的起始時(shí)刻t無(wú)關(guān)，而只與區(qū)間長(zhǎng)度有關(guān)（充分?。?t,t+)=+o()(1.6.2)這里>0為常數(shù)，它表示單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)顧客到達(dá)的概率，稱(chēng)為概率強(qiáng)度。o()為的高階無(wú)窮小。(2)獨(dú)立性即在不相交的時(shí)間區(qū)域內(nèi)顧客到達(dá)的數(shù)目是相互獨(dú)立的，即在[t,t+]內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)與時(shí)刻t以前已經(jīng)到達(dá)的顧客數(shù)無(wú)關(guān)，這一性質(zhì)也稱(chēng)為無(wú)后效性。(3)普通性指在充分小的時(shí)間區(qū)間[t,t+)內(nèi)，有兩個(gè)或兩個(gè)以上顧客到達(dá)的概率極小，即(t,t+)=o()(1.6.3)從而在[t,t+]內(nèi)沒(méi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率為(t,t+)=1-+o()(1.6.4)顯然時(shí)間區(qū)間[0，t+]可分解為[0,t]和[t,t+]兩個(gè)區(qū)間，由上述三式知，在[0，t+]內(nèi)到達(dá)n個(gè)人的概率可以表示成以下3種不相容的情形的概率之和：(0,t+)=(1-)+(t)+o()(1.6.5)對(duì)上式兩邊減去并除以，當(dāng)0時(shí)，則有=-+(t)(n)（1.6.6）特別的，當(dāng)n=0時(shí)，上式轉(zhuǎn)化為=-(1.6.7)(0)=1故可接得時(shí)間間隔為t的時(shí)間區(qū)間恰好有n個(gè)顧客到達(dá)的概率為=(t>0;n=0,1,2…)(1.6.8)可見(jiàn)N(t)服從Poisson分布，其數(shù)學(xué)期望和方差為：E(N(t))==，Var(N(t))=(1.6.9)特別的當(dāng)t=1時(shí)，有E(N(1))=，表示單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客的平均數(shù)，亦稱(chēng)到達(dá)率。由于Poisson流和實(shí)際流非常近似，更由于它在分析計(jì)算時(shí)易于處理，因此，近30年來(lái)，排隊(duì)論中研究的多為Poisson流輸入。并且，用排隊(duì)論解決實(shí)際問(wèn)題，至今也主要限于Poisson流的情形。1.6.2負(fù)指數(shù)分布若隨機(jī)變量T的概率分布密度為(t)f(t)=(>0)(1.6.10)0(t<0)則稱(chēng)T服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布。負(fù)指數(shù)分布分分布函數(shù)為1-(t)F(t)=(>0)(1.6.11)(t<0)顯然E(T)=,Var(T)=，稱(chēng)為每個(gè)服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)率，即單位時(shí)間內(nèi)獲得服務(wù)離開(kāi)系統(tǒng)的顧客數(shù)的平均值。負(fù)指數(shù)具有如下性質(zhì)。①當(dāng)顧客到達(dá)過(guò)程為參數(shù)為的Poisson過(guò)程時(shí)，那么顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔T服從負(fù)指數(shù)分布。這是因?yàn)閷?duì)Poisson分布而言，在[0,t)內(nèi)至少有一個(gè)顧客到達(dá)的概率為1-=1-，即可表示為P{Tt}=1-=F(t)。這說(shuō)明，相繼到達(dá)的時(shí)間間隔獨(dú)立且服從負(fù)指數(shù)分布，與顧客服從Poisson分布是等價(jià)的。②P{T>t+s︱T>s}=P{T>t},這個(gè)性質(zhì)是顯然的，該性質(zhì)被稱(chēng)為“無(wú)記憶性”或“馬爾科夫性”，指的是一個(gè)顧客的到來(lái)所需要時(shí)間與過(guò)去一個(gè)顧客到來(lái)所需時(shí)間無(wú)關(guān)。③設(shè)隨機(jī)變量,,…,相互獨(dú)立且服從參數(shù)為，，…的負(fù)指數(shù)分布，若令T=min{,,…,}，則T也服從負(fù)指數(shù)分布。該性質(zhì)說(shuō)明：若來(lái)到服務(wù)系統(tǒng)的顧客有n中不同的類(lèi)型，每類(lèi)顧客來(lái)到服務(wù)臺(tái)的間隔時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，則從整體上來(lái)說(shuō)，到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的間隔時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布。若一個(gè)服務(wù)即為系統(tǒng)中有s個(gè)并聯(lián)的服務(wù)臺(tái)，且各服務(wù)臺(tái)對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，則整個(gè)服務(wù)系統(tǒng)的輸出即為參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布。1.6.3愛(ài)爾朗分布設(shè)顧客在系統(tǒng)內(nèi)所接受的服務(wù)可分為k個(gè)階段，每個(gè)階段的服務(wù)時(shí)間，，…，，，，…，服從參數(shù)為k的負(fù)指數(shù)分布k(t>0)f(t)=(1.6.12)(t<0)且它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，顧客在完成全部服務(wù)內(nèi)容并離開(kāi)系統(tǒng)后，另一個(gè)顧客才能進(jìn)入系統(tǒng)接受服務(wù)，則稱(chēng)顧客在系統(tǒng)內(nèi)接受服務(wù)時(shí)間之和T=++…+服從k階愛(ài)爾朗分布，記為，其分布密度函數(shù)為(t)f(t)=(k,>0)(1.6.13)0(t<0)且E(T)=，Var(T)=,這里k為每個(gè)服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)率，每個(gè)服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)時(shí)間為，而系統(tǒng)平均服務(wù)率為，每個(gè)顧客總的平均服務(wù)時(shí)間為。顯然，當(dāng)k=1時(shí)，愛(ài)爾朗分布即為負(fù)指數(shù)分布；當(dāng)k時(shí)，有Var(T)=0，此時(shí)稱(chēng)該分布為定長(zhǎng)分布。一般的愛(ài)爾朗分布均為介于兩者之間的分布1.7生滅過(guò)程及其穩(wěn)態(tài)分布在排隊(duì)論中，很多模型都假設(shè)其狀態(tài)過(guò)程為生滅過(guò)程，生滅過(guò)程是一類(lèi)簡(jiǎn)單而又廣泛應(yīng)用的隨機(jī)過(guò)程。若用N(t)表示時(shí)刻t系統(tǒng)內(nèi)的顧客數(shù)，則｛N(t),t｝就構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，若用“生”表示顧客到達(dá)，“滅”表示顧客離開(kāi)，則對(duì)許多排隊(duì)過(guò)程來(lái)說(shuō)，｛N(t),t｝就是一個(gè)特殊的隨機(jī)過(guò)程，稱(chēng)為生滅過(guò)程。其概率分布有如下性質(zhì)：給定N(t)=n，則從t時(shí)刻起到下一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)刻止的間隔時(shí)止服從參數(shù)為(n=0,1,2,…)的負(fù)指數(shù)分布；②給定N(t)=n，則從t時(shí)刻起到下一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)刻止的間隔時(shí)間服從參數(shù)為(n=0,1,2,…)的負(fù)指數(shù)分布；③在同一時(shí)刻只可能發(fā)生一個(gè)生一個(gè)滅，即同時(shí)只能有一個(gè)顧客到達(dá)或離去，則稱(chēng)｛N(t)=n,t｝為一個(gè)生滅過(guò)程生滅過(guò)程實(shí)際上是一特殊的連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈，即馬爾可夫過(guò)程，根據(jù)Poisson分布與負(fù)指數(shù)的關(guān)系，即為系統(tǒng)處于N(t)時(shí)系統(tǒng)時(shí)間內(nèi)顧客的平均到達(dá)率，即為單位時(shí)間內(nèi)顧客平均離去率。一般來(lái)說(shuō)，要求出N(t)的分布=｛N(t)=n｝(n=0,1,2,…)是比較困難的，顧下面只考慮系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)的情況。記系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的分布為(n=0,1,2,…)。我們考慮該系統(tǒng)處于某一特定狀態(tài)N(t)=n(n=0,1,2,…)。從時(shí)刻0開(kāi)始，分別計(jì)算該過(guò)程進(jìn)入這個(gè)狀態(tài)和離開(kāi)這個(gè)狀態(tài)的次數(shù)，因?yàn)檫M(jìn)入這個(gè)狀態(tài)和離開(kāi)這個(gè)狀態(tài)總是交替發(fā)生的，所以當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間按而到穩(wěn)定狀態(tài)后，對(duì)任一狀態(tài)n來(lái)說(shuō)，單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入該狀態(tài)的平均次數(shù)和單位時(shí)間內(nèi)離開(kāi)該狀態(tài)的平均次數(shù)應(yīng)該相等，即系統(tǒng)在統(tǒng)計(jì)平衡下“流入=流出”，該等式稱(chēng)為“流入=流出”原理。根據(jù)該原理，我們?nèi)=0,1,2…，則有表1.7.1表1.7.1狀態(tài)輸入率等于輸出率狀態(tài)輸入率等于輸出率…………表1.7.1中的方程稱(chēng)為平衡方程，有平衡方程可得令=(n=1,2,…)(1.7.1)且令=1，則個(gè)平穩(wěn)狀態(tài)的分布(n=1,2,…)(1.7.2)因，即，故(1.7.3)只有當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)才成立。這樣就可以求得了。2..機(jī)場(chǎng)安檢的排隊(duì)系統(tǒng)模型分析2.1乘客到達(dá)過(guò)程安檢口的旅客到達(dá)和某一時(shí)段的所有的航班有關(guān)，由于一天中上午8時(shí)到9時(shí)，下午1時(shí)至4時(shí)，晚上6時(shí)至7時(shí)是航班的高峰期；7時(shí)到20時(shí)的其它時(shí)段是平穩(wěn)期；21時(shí)到次日7時(shí)是低谷期，所以我們可以將每天分為3種情況8個(gè)時(shí)段，假設(shè)每個(gè)時(shí)段中，旅客的到達(dá)概率都是一樣的，而且符合以下條件：a.在不相重疊的時(shí)間區(qū)間內(nèi)旅客到達(dá)數(shù)是相互獨(dú)立的；b.在充分小的時(shí)間△t，在時(shí)間區(qū)間［t,t+△t）內(nèi)有1個(gè)旅客到達(dá)的概率與無(wú)關(guān)，而約與區(qū)間長(zhǎng)△t成正比；c.對(duì)于充分小的△t，在時(shí)間區(qū)間［t,t+△t）內(nèi)有2個(gè)或2個(gè)以上旅客到達(dá)的概率極小，以致可以忽略；所以安檢口的旅客到達(dá)是符合普松流(Poisson流)，這樣旅客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間是服從負(fù)指數(shù)分布。2.2排隊(duì)規(guī)則顧客到達(dá)屬于等待制，先到先服務(wù)，后到后服務(wù)的排隊(duì)規(guī)則。2.3辦理安檢手續(xù)的排隊(duì)過(guò)程機(jī)場(chǎng)辦理安檢的時(shí)間是隨機(jī)性的，服務(wù)時(shí)間也是服從負(fù)指數(shù)分布的，所以安檢口這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)屬于M/M/c模型。3.案例分析3.1案例說(shuō)明某機(jī)場(chǎng)有九個(gè)安檢口，由于不同時(shí)間航班數(shù)量不同，因而通過(guò)安檢服務(wù)的旅客數(shù)量也不同，有的時(shí)候流量大，有的時(shí)候流量少，若九個(gè)安檢口全部開(kāi)放，則在流量少的時(shí)候，就會(huì)造成某些安檢口的資源浪費(fèi)，因此公司為了節(jié)約資源，希望在不同的時(shí)段開(kāi)放一定數(shù)量的安檢口既能解決旅客過(guò)安檢過(guò)于擁堵以至于給造成服務(wù)質(zhì)量不好的影響，同時(shí)最大限度的利用安檢口資源，減少不必要的浪費(fèi)。所以本文就是運(yùn)用排隊(duì)論來(lái)定量的算出每個(gè)時(shí)段需要幾個(gè)安檢口。3.2案例分析由第2章的分析可以得出，本案列的機(jī)場(chǎng)安檢系統(tǒng)是平行排列的多服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)所有的旅客都是接受同一種服務(wù)，旅客可以在任意一安檢口接受安檢服務(wù)，所以我們可以把該排列系統(tǒng)看成是M/M/s/∞/∞/FCFS模型，因?yàn)椋孩兕櫩拖嗬^到達(dá)系統(tǒng)的時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，且相互獨(dú)立；②安檢臺(tái)的服務(wù)時(shí)間獨(dú)立同分布且服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布；③系統(tǒng)空間無(wú)限，允許無(wú)限排隊(duì)；④服務(wù)規(guī)則為先到先服務(wù)。機(jī)場(chǎng)安檢排隊(duì)系統(tǒng)屬于生滅過(guò)程，是一類(lèi)最簡(jiǎn)單的排隊(duì)系統(tǒng)，如果平均到達(dá)率和服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)率分別為和，他們均與狀態(tài)無(wú)關(guān)。那么當(dāng)s=1，即只有一個(gè)服務(wù)臺(tái)時(shí)，有(n=0,1,2,…)。當(dāng)(n=1,2,3,…)，s>1,即有多個(gè)服務(wù)臺(tái)時(shí)，有(n<s)=(ns)若設(shè)，則排隊(duì)系統(tǒng)最終能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，故可應(yīng)用生滅過(guò)程的相關(guān)結(jié)論。下面介紹與機(jī)場(chǎng)排隊(duì)系統(tǒng)有關(guān)的兩種模型：(1)M/M/1單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型M/M/1排隊(duì)模型即為單服務(wù)臺(tái)情形，s=1,由(1.7.1)，有(n=0,1,2,…)由及(3.2.1)有(n=0,1,2,…)(3.2.2)式(3.2.1)和式(3.2.2)給出了在穩(wěn)定條件下系統(tǒng)中顧客數(shù)為n的概率。由式(3.2.1)可以看出=1-，因此是系統(tǒng)中至少有一個(gè)顧客的概率，即服務(wù)臺(tái)處于忙期的概率，故也稱(chēng)為服務(wù)強(qiáng)度，它反映了系統(tǒng)繁忙程度。注意到式(3.2.2)只有在=<1條件下成立，故要求顧客的平均到達(dá)率小于系統(tǒng)的平均服務(wù)率，才能使系統(tǒng)達(dá)到平衡（穩(wěn)定）。進(jìn)一步，我們可求得其他幾個(gè)數(shù)量指標(biāo)。平均隊(duì)長(zhǎng)：L==平均派隊(duì)長(zhǎng)：=L-=(3.2.3)若，則，上述情況不再適用?？紤]到時(shí)顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間服從的分布。設(shè)一顧客到達(dá)時(shí)，系統(tǒng)中已有n個(gè)顧客，按先來(lái)先服務(wù)的規(guī)則，這個(gè)顧客的逗留時(shí)間T就是原有各顧客的服務(wù)時(shí)間和這個(gè)顧客服務(wù)時(shí)間之和T=,其中表示這個(gè)顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)正在接受服務(wù)的那個(gè)顧客人需要接受服務(wù)時(shí)間。令f(t︱n+1)表示T的概率密度，這是在系統(tǒng)中已有n個(gè)顧客時(shí)的條件概率密度，故T的概率密度為f(t)=f(t︱n+1)若(i=1,2,3,…,n+1)均服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，根據(jù)負(fù)指數(shù)的無(wú)記憶性，也服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，因此T服從愛(ài)爾朗分布：f(t︱n+1)=所以f(t)==(1-)=()即顧客在系統(tǒng)中逗留時(shí)間T服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，故平均逗留時(shí)間為W=E(T)=(3.2.4)而顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間T為等待時(shí)間和接受服務(wù)時(shí)間之和。即T=+VV為服務(wù)時(shí)間。故有W=E(T)=E()+E(V)=+故平均等待時(shí)間為=W-=(3.2.5)由(3.2.4)可知，平均隊(duì)長(zhǎng)和平均逗留時(shí)間W滿足L=(3.2.6)同理，可由式(3.2.3)和(3.2.5)得到平均隊(duì)長(zhǎng)與平均等待時(shí)間滿足(3.2.7)式(3.2.6)與(3.2.7)稱(chēng)為L(zhǎng)ittle公式。(2)M/M/s多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型設(shè)有s個(gè)服務(wù)系統(tǒng)，由假設(shè)有，且(n=1,2,…，s)=(n=s,s+1,…)故(n=1,2,…，s)(n=s,s+1,…)令，則有<1時(shí)有(n=1,2,…，s)(3.2.8)(n=s,s+1,…)其中(3.2.9)式(3.2.8)和式(3.2.9)即為穩(wěn)定條件下系統(tǒng)中顧客數(shù)為n的概率。當(dāng)ns時(shí)，即系統(tǒng)中顧客數(shù)不少于服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)，這時(shí)再來(lái)的顧客等待且必須等待的概率為上式稱(chēng)為Erlang等待公式。再求其他數(shù)量指標(biāo)==(3.2.10)記系統(tǒng)中正在接受服務(wù)的顧客平均數(shù)為，顯然，也是正在忙的服務(wù)臺(tái)的平均數(shù)，故==(3.2.11)上式說(shuō)明平均在忙的服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)不依賴(lài)于服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)s。故可得到平均隊(duì)長(zhǎng)L=平均排隊(duì)長(zhǎng)+正在接受服務(wù)的顧客平均數(shù)=(3.2.12)對(duì)多服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)，Little公式依然成立，故有W=,=W-(3.2.13)3.3案例的解答案例中的某機(jī)場(chǎng)一共有九個(gè)安檢口，所以我們可以令s=(1,2,3,…9)依次計(jì)算在單位時(shí)間內(nèi)辦理案件人數(shù)X。該X表示某時(shí)段該機(jī)場(chǎng)的客運(yùn)量，這個(gè)可以運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)統(tǒng)計(jì)出來(lái)。我們首先要解決的問(wèn)題是求解（單位時(shí)間平均到達(dá)的旅客數(shù)）和（單位時(shí)間能被服務(wù)完成的旅客數(shù)）。對(duì)于，我們可以由X/單位時(shí)間，計(jì)算得到。即=，通常我們將統(tǒng)計(jì)一小時(shí)內(nèi)機(jī)場(chǎng)安檢口旅客到達(dá)人數(shù)，該數(shù)值就等于X。對(duì)于我們可以用一則案例來(lái)說(shuō)明如何計(jì)算的值案例：某超級(jí)市場(chǎng)，顧客從貨架上挑選各類(lèi)商品，出門(mén)到柜臺(tái)付款?，F(xiàn)有兩個(gè)收款柜臺(tái)，顧客可以在任一個(gè)柜臺(tái)付款。設(shè)此服務(wù)系統(tǒng)是M/M/2/排隊(duì)模型。為了估計(jì)該系統(tǒng)的效能，現(xiàn)在柜臺(tái)前作如下統(tǒng)計(jì)：一兩分鐘作為一個(gè)時(shí)段，依次記下這些顧客在柜臺(tái)旁付款所花費(fèi)的時(shí)間。下面給出有關(guān)數(shù)據(jù)：付款時(shí)間（分：秒）4：35，3：02，5：27，4：33，2：35，1：45，0：15，3：45，0：15，4：20，2：39，4：51，5：45，0：23，2：30，3：26，1：48，1：16，1：24，4：17，3：07，1：40，5：53，2：31，3：28，0：54，0：386：55，1：33，6：20，0：59，2：03，1：29，5：24，3：50試估計(jì)該系統(tǒng)的效能。解由已知數(shù)據(jù)可知顧客總服務(wù)時(shí)間為：105.58分鐘，則顧客的平均服務(wù)時(shí)間==3.017（分鐘）于是，該負(fù)指數(shù)分布的參數(shù)=0.331（顧客/分鐘）所以對(duì)于本文中的機(jī)場(chǎng)安檢排隊(duì)系統(tǒng)中的顧客平均服務(wù)時(shí)間我們也可以按照上述案例的統(tǒng)計(jì)方法來(lái)解決，由于本人缺乏這方面的資料，在這里只是提供一種方法，我們可以假設(shè)平均服務(wù)率=2（人/分鐘）也就是說(shuō)平均每分鐘有2個(gè)人接受安檢服務(wù)。既然已經(jīng)解決了與的問(wèn)題，下面需要解決的就是服務(wù)臺(tái)c個(gè)數(shù)的問(wèn)題。我們只有一步一步的來(lái)解決，即當(dāng)c=(1,2,3…9)時(shí)X的值。在此我們需要確定旅客在安檢口逗留時(shí)間只能在5分鐘之內(nèi)，也就是說(shuō)（逗留時(shí)間）等于5分鐘。①當(dāng)c=1時(shí)，它屬于單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布隊(duì)列，所以可以使用排隊(duì)論中的M/M/1模型來(lái)分析。應(yīng)用模型的Little公式：(1)Ls=λ/(μ－λ)(2)Lq=ρλ/(μ－λ)(3)Ws=1/(μ－λ)(4)Wq=ρ/(μ－λ)其中Ls：在安檢排隊(duì)系統(tǒng)中的旅客人數(shù)Lq：在安檢排隊(duì)系統(tǒng)中的排隊(duì)等待服務(wù)的旅客人數(shù)λ：?jiǎn)挝粫r(shí)間平均到達(dá)的旅客數(shù)μ：?jiǎn)挝粫r(shí)間能被服務(wù)完成的旅客數(shù)ρ：服務(wù)強(qiáng)度Ws：在排隊(duì)系統(tǒng)中旅客逗留時(shí)間的期望值Wq：在隊(duì)列中旅客等待時(shí)間的期望值(a).設(shè)在一個(gè)小時(shí)內(nèi)，辦理安檢的人數(shù)是X，那么平均到達(dá)率λ=X/60(人/分)，μ=2(人/分)即乘客到達(dá)數(shù)服從參數(shù)為X/60的普阿松分布，安檢時(shí)間服從參數(shù)為2負(fù)指數(shù)分布。(b).服務(wù)強(qiáng)度ρ=λ/μ=X/120依次代入公式，得到以下指標(biāo)：在安檢口的旅客人數(shù)(期望值)Ls=λ/(μ-λ)=X/(120-X)在安檢口的排隊(duì)人數(shù)(期望值)Lq=ρLs=(XX)/(14400-120X)旅客在安檢口的逗留時(shí)間(期望值)Ws=1/(μ-λ)=60/(120-X)旅客在安檢口的等待時(shí)間(期望值)Wq=ρWs=X/(14400-120X)②當(dāng)c>1時(shí)，它屬于多服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布隊(duì)列，所以可以使用排隊(duì)論中的M/M/c模型來(lái)分析。由3.2中的案例分析可知，M/M/c模型的Little公式為：(1)Ls=Lq+λ/μ(2)Lq=(3)Ws=Ls/λ(4)Wq=Lq/λ其中Ls：在安檢排隊(duì)系統(tǒng)中的旅客人數(shù)Lq：在安檢排隊(duì)系統(tǒng)中的排隊(duì)等待服務(wù)的旅客人數(shù)λ：?jiǎn)挝粫r(shí)間平均到達(dá)的旅客數(shù)μ：?jiǎn)挝粫r(shí)間能被服務(wù)完成的旅客數(shù)ρ：服務(wù)強(qiáng)度Ws：在排隊(duì)系統(tǒng)中旅客逗留時(shí)間的期望值Wq：在隊(duì)列中旅客等待時(shí)間的期望值P0：是整個(gè)安檢區(qū)空閑的概率且：，，現(xiàn)在以c=1或2，來(lái)應(yīng)用上述公式;當(dāng)c=1時(shí)由旅客在安檢口的逗留時(shí)間(期望值)Ws=1/(μ-λ)=60/(120-X)=5，可以計(jì)算出，X=108，當(dāng)c=2時(shí)，=/=/+//+因?yàn)?5，即/+=5可以解得X=247。同理我們可以依次計(jì)算當(dāng)c=3,4,5…9，時(shí)X的值，這里由于計(jì)算比較復(fù)雜，計(jì)算量大，故在此就不一一計(jì)算了。計(jì)算出X值之后，我們就可以按照航班人數(shù)航班客座率為60%計(jì)算預(yù)計(jì)的接受安檢服務(wù)的旅客數(shù)，根據(jù)旅客數(shù)與X值的比較，我們就可以確定在某時(shí)刻需要幾個(gè)安檢口來(lái)提供服務(wù)。如表某機(jī)場(chǎng)安檢口安排方式表3.3時(shí)間段每小時(shí)待服務(wù)人數(shù)應(yīng)開(kāi)放安檢口數(shù)目7：00到9：0010019：00到9：3010419：30到12：20200212：20到13：20300313：20到14：0010003個(gè)以上14：00到16：00103116：00到17：40300317：40到20;30991以上的數(shù)據(jù)并不準(zhǔn)確，這里只是提供的一種比較方法，當(dāng)每小時(shí)待服務(wù)人數(shù)達(dá)到1000時(shí)，我們可以計(jì)算出當(dāng)c=3時(shí)的X值，若X值與1000接近，則可以開(kāi)放3個(gè)安檢口。4.結(jié)語(yǔ)主要研究成果主要介紹了排隊(duì)論的理論知識(shí)，