2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-第二章 直線(xiàn)和圓的方程綜合拔高練

2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

綜合拔高練

五年高考練

考點(diǎn)1直線(xiàn)方程及其應(yīng)用

1.（2020全國(guó)HI文,8）點(diǎn)（0,-1）到直線(xiàn)y=k（x+l）距離的最大值為（）

A.1B.V2C.V3D.2

2.（2021上海春季高考,5）直線(xiàn)x=-2與直線(xiàn)gx-y+l=0的夾角為.

考點(diǎn)2圓的方程及其應(yīng)用

3.（2021北京,9）已知圓C:x2+y2=4,直線(xiàn)l:y=kx+m,則當(dāng)k的值發(fā)生變化時(shí)，直線(xiàn)1

被圓C所截的弦長(zhǎng)的最小值為2,則m的取值為（）

A.±2B.±V2

C.±V3D.±3

4.（多選）（2021新高考I,11）已知點(diǎn)P在圓（x-5）2+（y-5）2=16上，點(diǎn)

A（4,0）,B（0,2）,則（）

A.點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離大于2

C.當(dāng)NPBA最小時(shí)，|PB|=3或

D.當(dāng)NPBA最大時(shí)，|PB|=3立

5.（多選）（2021新高考II,11）已知直線(xiàn)1:ax+by-r2=0與圓C:x2+y2=r2,A（a,b）,

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若點(diǎn)A在圓C上,則直線(xiàn)1與圓C相切

B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線(xiàn)1與圓C相離

C.若點(diǎn)A在圓C外,則直線(xiàn)1與圓C相離

D.若點(diǎn)A在直線(xiàn)1上,則直線(xiàn)1與圓C相切

6.（2020北京,5）已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4）,則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小

值為（）

A.4B.5C.6D.7

7.（2020全國(guó)I文,6）已知圓x?+文-6x=0,過(guò)點(diǎn)（1,2）的直線(xiàn)被該圓所截得的弦的長(zhǎng)

度的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

8.（2020全國(guó)II理，5）若過(guò)點(diǎn)（2,1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線(xiàn)

2x-y-3=0的距離為（）

A.gB.等

3V5?4V5

cr-VD-

9.（2020全國(guó)I理,H）已知0M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線(xiàn)l:2x+y+2=0,P為1上的動(dòng)

點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作OM的切線(xiàn)PA,PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)|PM|?|AB|最小時(shí)，直線(xiàn)AB的方程

為（）

A.2x-y-l=0B.2x+y-l=0

C.2x-y+l=0D.2x+y+l=0

10.（2021天津，12）若斜率為8的直線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)A,與圓x?+（y-1）2=1相切于點(diǎn)

B,則|AB|=.

11.（2020浙江，15）已知直線(xiàn)y=kx+b（k>0）與圓x2+y2=l和圓（x-4）?+y2=l均相切,

貝！Jk=,b=.

12.（2020天津,12）已知直線(xiàn)x-V3y+8=0和圓x2+y2=d（r>0）相交于A,B兩點(diǎn).若

IAB|=6,則r的值為.

三年模擬練

應(yīng)用實(shí)踐

1.(2022四川成都陽(yáng)安中學(xué)期中)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線(xiàn)論》

是古代世界光輝的科學(xué)成果，里面證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的

比值為常數(shù)k(k>0,kWl)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.在平

面直角坐標(biāo)系中，設(shè)A(-3,0),1^3,0),動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足嗡｛=2,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為

()

A.x2+(y-5)2=9B.x2+(y+5)2=9

C.(x-5)2+y2=16D.(x+5)2+y2=16

2.(2022北京第十三中學(xué)期中)若P是圓C:(x+3)2+(y-3)2=l上任一點(diǎn),則點(diǎn)P到直

線(xiàn)丫=1?-1距離的值不可以為()

A.4B.6

C.3V2+1D.8

3.(2021安徽阜陽(yáng)太和一中月考)已知點(diǎn)P(t,t),t￡R,點(diǎn)M是圓A:x2+(y-l)24±

的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是圓B:(x-2)2+y2=；上的動(dòng)點(diǎn)，則IPNHPMI的最大值是()

A.V5-1B.2

C.3D.V5

222

4.(2021江西南昌二中月考)4知圓C,:(x-2)+y=4,C2:(x-2-5cos9)

+(y-5sin。)2=1(。￡R),過(guò)圓C2上一點(diǎn)P作圓G的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別是E,F,則

方?麗的最小值是()

A.6B.5

C.4D.3

5.（多選）（2022廣東順德一中期中）已知點(diǎn)A是直線(xiàn)l:x+y-&=0上一定點(diǎn)，點(diǎn)P,Q

是圓x2+y2=l上的動(dòng)點(diǎn),若NPAQ的最大值為90°,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）

A.（0,V2）B.（1,V2-1）

C.（V2,0）D.（V2-1,1）

6.（2021新高考八?。ㄊ校┞?lián)考）若正方形一條對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為2,則該正

方形的兩條鄰邊所在直線(xiàn)的斜率分別為.

7.（2022北京匯文中學(xué)期中）已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)1與圓（x+l）2+（y-2）2=5相切,

且與直線(xiàn)ax+y-l=0垂直,求a的值及直線(xiàn)1的方程.

8.（2022上海復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)月考）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為0的圓，湖的

一側(cè)有一條直線(xiàn)型公路1,湖上有橋AB（AB是圓0的直徑），規(guī)劃在公路1上選兩個(gè)

點(diǎn)P,Q,并修建兩段直線(xiàn)型道路PB,QA,規(guī)劃要求:線(xiàn)段PB,QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)0的

距離均不小于圓0的半徑.已知點(diǎn)A,B到直線(xiàn)1的距離分別是AC和BD（C,D為垂

足），測(cè)得|AB|=10,|AC|=6,|BD|=12（單位:百米）.

⑴若道路PB與AB垂直,求道路PB的長(zhǎng)；

⑵在規(guī)劃要求下,P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處?并說(shuō)明理由；

⑶在規(guī)劃要求下,若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位:百米），求當(dāng)d最小時(shí),P,Q

兩點(diǎn)間的距離.

I)C

遷移創(chuàng)新

9.(2020廣東佛山一中期中)規(guī)定:在桌面上，用母球擊打目標(biāo)球，使目標(biāo)球運(yùn)動(dòng)，

球的位置是指球心的位置,我們說(shuō)球A是指該球的球心點(diǎn)A.兩球碰撞后，目標(biāo)球

在兩球的球心所確定的直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，目標(biāo)球的運(yùn)動(dòng)方向是指目標(biāo)球被母球擊打時(shí),

母球球心所指向目標(biāo)球球心的方向.將所有的球都簡(jiǎn)化為平面上半徑為1的圓，且

母球與目標(biāo)球有公共點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)球就開(kāi)始運(yùn)動(dòng),在桌面上建立平面直角坐標(biāo)系，解

決下列問(wèn)題：

⑴如圖①,若母球A的位置為(0,0),目標(biāo)球B的位置為(4,0),要使目標(biāo)球B向

B'(8,-4)處運(yùn)動(dòng),求碰撞前母球A的球心運(yùn)動(dòng)的直線(xiàn)方程；

⑵如圖②,若母球A的位置為(0,-2),目標(biāo)球B的位置為(4,0),能否讓母球A擊

打目標(biāo)球B后，使目標(biāo)球B向B'(8,-4)處運(yùn)動(dòng)？

⑶當(dāng)A的位置為(0,a)時(shí)，使得母球A擊打目標(biāo)球B,目標(biāo)球B(4夜,0)可以向能碰

到目標(biāo)球C(7V2,-5V2)的方向運(yùn)動(dòng),求a的最小值(只需要寫(xiě)出結(jié)果即可).

圖②

答案全解全析

五年高考練

1.B由y=k(x+1)可知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(-1,0),設(shè)為P,設(shè)A(0,-1),當(dāng)直線(xiàn)y=k(x+1)與

AP垂直時(shí)，點(diǎn)A到直線(xiàn)y=k(x+1)的距離最大,其最大距離為|AP|=々.故選B.

2.答案?

解析因?yàn)橹本€(xiàn)x=-2的斜率不存在，傾斜角為與,直線(xiàn)遮x-y+l=0的斜率為百，傾

斜角為1所以直線(xiàn)x=-2與直線(xiàn)8x-y+l=0的夾角為弓-:；.

3236

3.C設(shè)圓心C到直線(xiàn)1的距離為d,則，當(dāng)弦長(zhǎng)最小時(shí)，d最大，此時(shí)

k=0,d=|mI,由題意知m2+l=4,所以m=±V3,故選C.

4.ACD由題意可知直線(xiàn)AB的方程為&匕1,

42

即x+2y-4=0,則圓心(5,5)至直線(xiàn)AB的距離(1=窄詈二畔>4,

V+245

，直線(xiàn)AB與圓(x-5)2+0-5)2=16相離，

...點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離的取值范圍為『學(xué)―4,^+4

?.管-4￡(0,1),呼+4」(8,9),，A正確,B錯(cuò)誤.

過(guò)點(diǎn)B作圓的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為P?P2,如圖，當(dāng)點(diǎn)P在切點(diǎn)P,的位置時(shí)，ZPBA

最小，當(dāng)點(diǎn)P在切點(diǎn)P2的位置時(shí),ZPBA最大，易知|PR=RB|,圓心(5,5)到點(diǎn)B

r

的距離為后,圓的半徑為4,所以|PiB|=|P?B|=V3416=V18=3V2,故C,D均正確.

故選ACD.

B\

7)]

5.ABD圓心C(0,0)到直線(xiàn)1的距離

Va2+i>2

若點(diǎn)A(a,b)在圓C上,則a2+b2=r2,

所以直線(xiàn)1與圓C相切,故A正確.

若點(diǎn)A(a,b)在圓C內(nèi)，則a2+b2<r2,

所以直線(xiàn)1與圓C相離,故B正確.

若點(diǎn)A(a,b)在圓C外,則aJ+b">r",

r2

所以d=F^〈|r|,

y/a2+b2

所以直線(xiàn)1與圓c相交，故c錯(cuò)誤.

若點(diǎn)A(a,b)在直線(xiàn)1上,則a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,

2

所以d=.r

yJa2+b2-|r|.

所以直線(xiàn)1與圓C相切，故D正確.故選ABD.

6.A設(shè)圓心為A(x,y),由已知得(x-3尸+(y-4)2=1,即A在以(3,4)為圓心，1為半

徑的圓上，所以圓心A到原點(diǎn)的距離的最小值為、(3-0)2+(4-0)2-1=5-1=4.故

選A.

7.B由x2+y2-6x=0得圓心為(3,0),設(shè)此點(diǎn)為C,點(diǎn)(1,2)為A,當(dāng)過(guò)點(diǎn)A的弦與AC

垂直時(shí)一，弦長(zhǎng)最小，易知|AC|=j22+(1-3)2=2V2,因?yàn)榘霃健胂议L(zhǎng)、弦心距構(gòu)成

直角三角形,所以弦的長(zhǎng)度的最小值為2』32-(2.2=2,故選B.

8.B由于圓上的點(diǎn)(2,1)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓至少與一條坐

標(biāo)軸相交,不符合題意,所以圓心必在第一象限.

設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,a)(a>0),則圓的半徑為a,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-a)2=a：

由題意可得(2-a)2+(l-a)2=a2,整理得a2-6a+5=0,解得a=l或a=5.

所以圓心坐標(biāo)為(1,1)或(5,5),

圓心(1,1)至!J直線(xiàn)2x-y-3=0的距離d尸2x葭3岑;

V55

圓心⑸5)到直線(xiàn)2x-y-3=0的距離&=2x5晨-3二學(xué).

V55

所以圓心到直線(xiàn)2x-y-3=0的距離為等.故選B.

9.DOM的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(xT)2+(y-l)2=4,半徑r=2,M(l,1),如圖，由題可

知，ABJ_PM,

=

IPM|,|AB|=2S四邊形APBM=2(SAPAM+SAPBM)2(IPAI+)PB)).

V|PA|=|PB|,

此時(shí)|PA|=1,AB〃1,設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=-2x+b(bW-2),

圓心M到直線(xiàn)AB的距離為dT

22

.,.C!2+|Y|=IMA12,即解得b=T或b=7(舍去).

綜上，直線(xiàn)AB的方程為y=-2x-l,即2x+y+l=0,故選D.

10.答案V3

解析設(shè)圓心為M,由直線(xiàn)的斜率為舊知此切線(xiàn)的傾斜角為60°，又切線(xiàn)與y軸交

點(diǎn)為A,所以ZMAB=30°,又ZABM=90°，且所以|AM|=2,即

|AB|=J|/1M|2-|BM|2=V3.

11.答案

33

/JII_=]

解析由直線(xiàn)與圓相切的充要條件知[女工’=

4k+bq

Wfc2+i

k=f(舍負(fù))，

b=4k+b,

b|=yjk2+1b=-也.

3

12.答案5

解析設(shè)圓心(0,0)到直線(xiàn)x-V3y+8=0的距離為d,則d=8=4,

Jl2+(-V3)2

.,.r2=(^y-)2+d2=32+42=25,又r>0,.\r=5.

三年模擬練

1.C設(shè)M(x,y),依題意得,(工=2,

J(x-3)2+y2

化簡(jiǎn),得x2-10x+y2+9=0,

配方,得方-5)，y2=16.故選C.

2.D圓C:(x+3)2+(y-3)2=l的圓心坐標(biāo)為(-3,3),半徑為1,直線(xiàn)y=kx-l過(guò)定點(diǎn)

(0,-1).

由圖可知，圓心C到直線(xiàn)y=kx-l距離的最大值為J(-3-0)2+[3-(-1)]2=5,則點(diǎn)

P到直線(xiàn)y=kx-l距離的最大值為5+1=6.

結(jié)合選項(xiàng)知，只有D不符合.故選D.

3.B圓x2+(y-l)2=：的圓心為A(0,1),圓(x-2￥+y2=；的圓心為B(2,0),則

44

|PNHPM|w|PB|+p(|P4|-3=|PBHPA|+L設(shè)A關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為

A'(1,0),則|PB|-|PA|+1=|PB|-|PA'|+1W|A'B|+1=2,故選B.

22

4.A由圓C2：(x-2-5cos0)+(y-5sin9)=1(9￡R)可得，圓C2的半徑為1,圓心

在圓(x-2)2+y2=25上運(yùn)動(dòng).由Ci(2,0),可得|PC,|G[4,6].

由圖可知，屈?方=1屈12cos2a=(|PG|2—4)?(l-2sin2a)=

(IPG12—4)(1--^)=IPG12+^1^—12,

\PCi/IPCj

由y=IPCI|2+^^-12在IPG12￡[16,36]上為增函數(shù)可知，當(dāng)|PG12=16時(shí)，麗?兩

|PCil

取最小值，為6,故選A.

5.AC如圖所示.

原點(diǎn)到直線(xiàn)1的距離d=^2=l,則直線(xiàn)1與圓x2+y2=l相切.

Vlz+lz

由圖可知，當(dāng)AP,AQ均為圓x2+y2=l的切線(xiàn)時(shí)，ZPAQ取得最大值,

連接0A,0P,0Q,由于ZPAQ的最大值為90°,且此時(shí)

ZAP0=ZAQ0=90°,|0P|=|0QHl,所以四邊形AP0Q為正方形，所以

|0A|-V2|0P|=V2.

設(shè)A(t,V2-t),

由兩點(diǎn)間的距離公式得|OA|=J"+(V2-t)2=V2,

整理得t2-V2t=0,解得t=0或t=V2,因此，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,6或Hi,0).故選

AC.

6.答案-3,1

解析解法一:設(shè)正方形的一條對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)的傾斜角為a,且tana=2,

則正方形的兩條鄰邊的傾斜角為a+1a-H

44

TT.TV

(,n\tana+tan-0,/*tana-tan-i

tana+-=------^=-3,tana--=------V2-,

I4；l-tanatan-I4)1+tanatan-3

正方形的兩條鄰邊所在直線(xiàn)的斜率分別為-3,i

解法二:建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)0(0,0),A(1,2),則B(-2,1),D(2,-1),

=；

所以kAB=^4=1)kAD7Y=-3.

...正方形的兩條鄰邊所在直線(xiàn)的斜率分別為-3,(

7.解析易知點(diǎn)在圓(x+l￥+(y-2￥=5上,

又過(guò)點(diǎn)M(l,1)的直線(xiàn)1與圓(x+l)2+(y-2)2=5相切，且與直線(xiàn)ax+y-l=0垂直,

所以切點(diǎn)M與圓心(T,2)的連線(xiàn)與直線(xiàn)ax+y-l=0平行或重合,

所以-a=：｝=-所以a=；.

22

所以直線(xiàn)1的方程為y-以2(x7),即2x-y-l=0.

8.解析解法一：(1)過(guò)A作AELBD,垂足為E.

由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，|DE|=|BE|=|AC|=6,

|AE|=|CDl=8.

因?yàn)镻B±AB,所以cosNPBD=sinNABE*q

所以IPB|=—^=￥=15.

COSZ-PBD-

5

因此道路PB的長(zhǎng)為15百米.

⑵不能.理由如下:①若P在D處，由⑴可得E在圓上,則線(xiàn)段BE上的點(diǎn)（除B,E）

到點(diǎn)0的距離均小于圓0的半徑,所以P選在D處不滿(mǎn)足規(guī)劃要求.

②若Q在D處,連接AD,由⑴知|AD|=J|/E|2+|ED|2=10,

?2I?2??2

從而cosNBAD」”：［BD招）0,所以/BAD為銳角.

2AD?\AB25

所以線(xiàn)段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)0的距離小于圓。的半徑.因此,Q選在D處也不滿(mǎn)足規(guī)

劃要求.

綜上,P和Q均不能選在D處.

⑶先討論點(diǎn)P的位置.

當(dāng)N0BP〈90°時(shí),線(xiàn)段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)0的距離小于圓0的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)

劃要求；

當(dāng)N0BP290。時(shí),對(duì)線(xiàn)段PB上任意一點(diǎn)F,|0F|2|0B|,即線(xiàn)段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)

0的距離均不小于圓0的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.

設(shè)Pi為1上一點(diǎn)，且P,B1AB,由⑴知，|PiB|=15,止匕時(shí)

IPJ)|=|P,B|sinZPiBD=|P,B|cosZEBA=15x|=9;

當(dāng)N0BP>90°時(shí)，在△PP。中，|PB|>|PiB|=15.

由上可知，d215.

再討論點(diǎn)Q的位置.

由⑵知，要使得|QA|215,點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)

IQA|=15時(shí)-，|CQ||Q412-1AC12=V152-62=3V21.止匕時(shí),線(xiàn)段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)0

的距離均不小于圓。的半徑.

綜上，當(dāng)PB_LAB,點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè),且|CQ|=3舊時(shí),d最小,此時(shí)P,Q兩點(diǎn)間的距

離|PQ|=|PD|+|CD|+|CQ|=17+3&I.

因此,d最小時(shí),P,Q兩點(diǎn)間的距離為(17+3V21)百米.

解法二：⑴如圖，過(guò)。作垂足為H.

以0為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)0H為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.

因?yàn)閨BD|=12,|AC|=6,所以|0H|=9,直線(xiàn)1的方程為y=9,點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)分別為

3,-3.

因?yàn)锳B為圓。的直徑，|AB|=10,

所以圓。的方程為x2+y2=25.

從而A(4,3),B(-4,-3),直線(xiàn)AB的斜率為二.

4

因?yàn)镻B_LAB,所以直線(xiàn)PB的斜率為

直線(xiàn)PB的方程為y=_x-g.

所以P(T3,9),|PB|=J(-13+4V+(9+3)2=i5.

因此道路PB的長(zhǎng)為15百米.

⑵不能.理由如下:①若P在D處,取線(xiàn)段BD上一點(diǎn)E(-4,0),則|E01=4<5,所以P

選在D處不滿(mǎn)足規(guī)劃要求.

②若Q在D處，連接AD,由⑴知D(-4,9),

又A(4,3),所以線(xiàn)段AD:y=4x+6(-4WxW4).

在線(xiàn)段AD上取點(diǎn)M(3,胃)，

因?yàn)榕?5+(號(hào)之〈存*痔5,

所以線(xiàn)段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)0的距離小于圓0的半徑.因此Q選在D處也不滿(mǎn)足規(guī)

劃要求.

綜上,P和Q均不能選在D處.

⑶先討論點(diǎn)P的位置.

當(dāng)N0BP<90°時(shí),線(xiàn)段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)0的距離小于圓0的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)

劃要求；

當(dāng)N0BP290。時(shí),對(duì)線(xiàn)段PB上任意一點(diǎn)F,|0F|2|0B|,即線(xiàn)段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)

0的距離均不小于圓0的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.

設(shè)P為1上一點(diǎn),且P1B1AB,由(1)知，|P,BI=15,此時(shí)Pi(-13,9);

當(dāng)N0BP>90°時(shí)，在APPiB中，|PB|>|PiBkl5.

由上可知，d215.

再討論點(diǎn)Q的位置.

由⑵知，要使得|QA|215,點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)

|QA|=15時(shí)，設(shè)06,9),由|人0|=](0-4)2+(9-3)2=156>4),得a=4+3VH,所以

Q(4+3V21,9),此時(shí),線(xiàn)段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)0的距離均不小于圓0的半徑.

綜上，當(dāng)P(T3,9),Q(4+3何，9)