工程力學(xué)課件（第三版）課件

第6章剪切與擠壓

在工程中，為了將構(gòu)件相互連接起來，常用鉚釘、螺栓、鍵或銷釘?shù)冗B接，這些起連接作用的部件統(tǒng)稱為連接件，如圖6-1所示。連接件的受力與變形一般是很復(fù)雜的，很難做出精確的理論分析。因此，工程中通常采用實用的簡化分析方法或稱為假定計算方法。其要點是：一方面假定應(yīng)力分布規(guī)律，從而計算出各部分的“名義應(yīng)力”；另一方面，根據(jù)實物或模擬實驗，并采用同樣的計算方法，由破壞載荷確定材料的極限應(yīng)力；然后，再根據(jù)上述兩方面的結(jié)果建立其強度條件。6.1剪切的概念如圖6-2所示剪床剪切鋼板圖中，鋼板在上、下刀刃大小相等，方向相反的力作用下，在相距δ區(qū)域內(nèi)發(fā)生相對錯動變形，當(dāng)外力足夠大時，鋼板被切斷?？疾烊鐖D6-3（a）所示的鉚釘連接，當(dāng)被連接件上受到外力F的作用后，力由兩塊鋼板傳到鉚釘與鋼板的接觸面上，顯然，鉚釘在兩側(cè)面上分別受到大小相等、方向相反、作用線相距很近的兩組外力系的作用，如圖6-3（b）所示。鉚釘在這樣的外力作用下，將沿兩側(cè)外力之間，并與外力作用線平行的截面m-m發(fā)生相對錯動，這種變形形式稱為剪切。發(fā)生剪切變形的截面m-m，稱為受剪面或剪切面。剪切變形的受力特點和變形特點歸納如下：作用于構(gòu)件兩側(cè)且與構(gòu)件軸線垂直的外力，可以簡化為大小相等、方向相反、作用線相距很近的一對力，使構(gòu)件沿橫截面發(fā)生相對錯動。有一個受剪面的剪切稱為單剪，如上述兩例。有兩個受剪面的剪切稱為雙剪，如圖6-4中螺栓所受的剪切。6.2剪切的計算應(yīng)用截面法，可求得螺栓受剪切面m－m上的內(nèi)力——剪力Fs，如圖6-5（c）所示，它是剪切面上分布內(nèi)力的合力。對一分離體列平衡方程可得Fs＝F在工程實用計算中，通常假定受剪面上的切應(yīng)力均勻分布，于是，受剪面上的名義切應(yīng)力為式中，F(xiàn)s為受剪面上的剪力，As為受剪面的面積。然后，通過直接試驗，并按式（6-1）求得剪切破壞時材料的極限名義切應(yīng)力

u

，再除以安全因數(shù)，即得材料的許用切應(yīng)力由此，建立剪切強度條件需要注意，在計算中要正確確定有幾個受剪面，以及每個受剪面上的剪力。大量實踐結(jié)果表明，剪切實用計算方法能滿足工程實際的要求。工程中常用材料的許用切應(yīng)力，可以從有關(guān)的設(shè)計手冊中查得。一般情況下，材料的許用切應(yīng)力［]與許用拉應(yīng)力［σ］之間有以下近似關(guān)系：對塑性材料［］＝（0.6~0.8）［σ］對脆性材料［］＝（0.8~1.0）［σ］剪切強度條件同樣可解決校核強度、設(shè)計截面尺寸和確定許可載荷等三類問題。6.3擠壓的計算鉚釘?shù)冗B接件在外力的作用下發(fā)生剪切變形的同時，在連接件和被連接件接觸面上互相壓緊，產(chǎn)生局部壓陷變形，甚至壓潰破壞，這種現(xiàn)象稱為擠壓，如圖6-6所示。接觸面上的壓力稱為擠壓力，用Fbs表示。應(yīng)當(dāng)注意，擠壓與壓縮的概念是不同的。壓縮變形是指桿件的整體變形，其任意橫截面上的應(yīng)力是均勻分布的；擠壓時，擠壓應(yīng)力只發(fā)生在構(gòu)件接觸的表面，一般并不均勻分布。它在構(gòu)件接觸面附近的局部區(qū)域內(nèi)發(fā)生較大的接觸應(yīng)力，稱為擠壓應(yīng)力，并用σbs表示。擠壓應(yīng)力是垂直于接觸面的正應(yīng)力。當(dāng)擠壓應(yīng)力過大時，將會在二者接觸的局部區(qū)域產(chǎn)生過量的塑性變形，從而導(dǎo)致二者失效。擠壓接觸面上的應(yīng)力分布同樣也是很復(fù)雜的，在工程計算中也是采用假定計算，即假定擠壓應(yīng)力在有效擠壓面上均勻分布。按這種假設(shè)所得的擠壓應(yīng)力稱為名義擠壓應(yīng)力。因此有式中，F(xiàn)bs為接觸面上的擠壓力，Abs為有效擠壓面面積。當(dāng)接觸面為平面時（如平鍵），如圖6-6(f)所示，擠壓面就是實際接觸面；對于圓柱狀連接件（如螺栓、銷釘?shù)龋佑|面為半圓柱面，擠壓面面積Abs取為實際接觸面的正投影面，即其直徑面面積Abs＝t·d，如圖6-6（c）所示，按照式（6-4）計算所得擠壓應(yīng)力與接觸面上的實際最大應(yīng)力大致相等。然后，通過直接試驗，并按式（6-4）求出材料的極限名義擠壓應(yīng)力σu，再除以適當(dāng)?shù)陌踩蛩豱，即可確定材料的許用擠壓應(yīng)力，即由此建立擠壓強度條件，即工程實踐證明，擠壓實用計算方法能滿足工程實際的要求。工程中常用材料的許用擠壓應(yīng)力，可以從設(shè)計手冊中查到。一般情況下，也可以利用許用擠壓應(yīng)力與許用拉應(yīng)力的近似關(guān)系求得。對塑性材料［σbs］＝（0.9~1.5）［σ］對脆性材料［σbs］＝（1.5~2.5）［σ］應(yīng)當(dāng)注意，擠壓應(yīng)力是在連接件和被連接件之間的相互作用。當(dāng)兩者材料不同時，應(yīng)對其中許用擠壓應(yīng)力較低的材料進行擠壓強度校核。對于剪切問題，工程上除應(yīng)用式（6-3）進行剪切構(gòu)件的強度校核，以確保構(gòu)件正常工作外，有時會遇到相反的問題，即所謂剪切破壞。例如，車床傳動軸的保險銷，當(dāng)載荷超過極限值時，保險銷首先被剪斷，從而保護車床的重要部件。而沖床沖剪工件，則是利用剪切破壞來達到加工目的的。剪切破壞的條件為式中，F(xiàn)b為破壞時橫截面上的剪力；

為材料的剪切強度極限。第7章圓軸的扭轉(zhuǎn)如圖7-1所示橋式起重機適用于車站、港口、工礦企業(yè)等部門的車間，貨廠及倉庫等場所，在固定胯間內(nèi)對各種物料進行起重、運輸及裝卸工作。其動力是通過傳動軸傳遞的，傳動軸是指工作時主要承受扭矩，不承受或承受很小彎矩的軸。對于這類受扭變形的軸需要進行強度、剛度計算。7.1圓軸扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力7.1.1圓軸扭轉(zhuǎn)的概念駕駛汽車時，司機加在方向盤上兩個大小相等、方向相反的切向力，它們在垂直于操縱桿軸線的平面內(nèi)組成一力偶，如圖7-2所示。同時，操縱桿下端則受到一轉(zhuǎn)向相反的阻力偶的作用。操縱桿在一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面垂直于直桿軸線的外力偶作用下，直桿的任意兩個橫截面將發(fā)生繞桿件軸線的相對轉(zhuǎn)動，這種變形形式稱為扭轉(zhuǎn)變形。任意兩橫截面之間產(chǎn)生相對角位移φ，φ稱為扭轉(zhuǎn)角（如φAB為截面B相對于截面A的扭轉(zhuǎn)角）。同時，桿的縱向線發(fā)生微小傾斜，變成螺旋線，如圖7-3所示。工程中常將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿件稱為軸。如汽車的傳動軸、電動機的主軸等的主要變形，都包含扭轉(zhuǎn)變形在內(nèi)。7.1.2外力偶矩的計算工程機械中的傳動軸問題，有時并不直接給出作用在軸上的外力偶矩M，而只給出軸所傳送的功率P和軸的轉(zhuǎn)速n，這時需要根據(jù)功率、轉(zhuǎn)速和外力偶矩之間的關(guān)系，求出使軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)的外力偶矩。功率、轉(zhuǎn)速和外力偶矩之間的換算關(guān)系為：式中n為軸的轉(zhuǎn)速，單位是r/min，P為軸所傳遞的功率，單位是kW；Me為外力偶矩的大小，單位是N·m。在確定外力偶的轉(zhuǎn)向時，應(yīng)注意到主動輪上的外力偶的轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)動方向相同，而從動輪上的外力偶的轉(zhuǎn)向則與軸的轉(zhuǎn)動方向相反，這是因為從動輪上的外力偶是阻力偶。7.1.3扭矩與扭矩圖作用在軸上的外力偶矩確定后，現(xiàn)在研究軸上的內(nèi)力，仍采用截面法確定

扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力，圖7-4（a）為一根圓軸，在兩端垂直于軸線平面內(nèi)受一對等值、反向的外力偶作用下處于平衡狀態(tài)。若求任意橫截面n-n上的內(nèi)力，假想沿截面將軸切開，分為左右兩段，任取左或右段為研究對象，現(xiàn)取左段為研究對象，如圖7-4(b)所示。由于左端有外力偶作用，在n-n截面上必有一個內(nèi)力偶T與之相平衡。由得T＝Me因此，圓軸扭轉(zhuǎn)時，其任意橫截面上的內(nèi)力為一個作用在該截面上的力偶，稱為扭矩。用T表示。若取右段為研究對象，如圖7-4(c)，其結(jié)果相同。由于它們是作用力與反作用力的關(guān)系，扭矩的數(shù)值相等但方向相反。為了使截面兩側(cè)求出的扭矩具有相同的正負號，采用右手螺旋定則，四指沿扭矩的方向屈起，以右手拇指表示扭矩矢量的方向，如圖7-5所示，背離該截面時為正，指向該截面時為負。這樣無論取左段或右段，其橫截面上的扭矩正負號均相同。扭轉(zhuǎn)時各橫截面上的扭矩在數(shù)值上等于該截面一側(cè)所有外力偶矩的代數(shù)和。外力偶矩矢的方向離開該截面時取為正，指向該截面取為負，即7.2圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力分布規(guī)律與強度條件7.2.1圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力分布規(guī)律當(dāng)用截面法求得圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的扭矩后，我們還應(yīng)進一步研究橫截面上的應(yīng)力分布規(guī)律，以便求出最大應(yīng)力進行強度計算。為了研究圓軸的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力，首先通過試驗觀察其變形。如圖7-8所示，取一等截面圓軸，并在其表面等間距地畫上縱向線和圓周線，然后在軸兩端施加一對大小相等、方向相反的力偶矩Me，使軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。從試驗中觀察到：(1)各圓周線繞軸線相對地旋轉(zhuǎn)了一個角度，但大小、形狀和相鄰兩圓周線間的距離保持不變；(2)在小變形的情況下，各縱向線仍近似地是一條直線，只是傾斜了一個微小的角度。由此，可做出如下基本假設(shè)：圓軸扭轉(zhuǎn)變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，形狀和大小不變，半徑仍保持為直線；且相鄰兩截面間的距離不變。這就是圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)。根據(jù)平面假設(shè)，可得出以下結(jié)論：(1)由于相鄰截面相對地轉(zhuǎn)過了一個角度，即橫截面間發(fā)生旋轉(zhuǎn)式的相對錯動，出現(xiàn)了剪切變形，故截面上有切應(yīng)力存在。(2)由于相鄰截面間距不變，所以橫截面沒有正應(yīng)力。又因半徑長度不變，切應(yīng)力方向必與半徑垂直。從圓軸的扭轉(zhuǎn)變形幾何關(guān)系可以找出應(yīng)變的變化規(guī)律，由應(yīng)變規(guī)律找出應(yīng)力的分布規(guī)律，即建立應(yīng)力和應(yīng)變間的物理關(guān)系；最后根據(jù)扭矩和應(yīng)力之間的靜力關(guān)系，即可推導(dǎo)出截面上任意點應(yīng)力的計算公式，從而求出最大應(yīng)力，為建立強度條件提供依據(jù)。這里我們不作詳細分析，詳細過程請參考本章知識拓展。由上述的幾個方面的分析推導(dǎo)出的橫截面上任意點處的切應(yīng)力的計算公式為式中，ρ為橫截面上任一點與圓心的距離；T為橫截面上的扭矩；

指橫截面對形心的極慣性矩，是一個只與截面的形狀和尺寸有關(guān)的幾何量，單位為m4或mm4。由上式可知，當(dāng)ρ＝R時，即在橫截面周邊上的各點處，切應(yīng)力將達到最大值，其值為式中，也是一個僅與截面尺寸有關(guān)的量，稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)（或抗扭截面系數(shù),單位為m3或mm3)。對于直徑為d的實心圓軸，對形心的極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)分別為對于內(nèi)徑為d，外徑為D的空心圓軸，則其對形心的極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)分別為式中，

為橫截面內(nèi)外徑之比。圖7-9分別表示實、空心圓軸橫截面上切應(yīng)力的分布。由于實心軸中靠近圓心的部分材料承受的應(yīng)力值較低，沒有充分發(fā)揮材料的作用，故可做成空心軸，既不降低軸的承載能力，同時還可減輕軸的重量。7.2.2圓軸扭轉(zhuǎn)的強度計算為了保證受扭圓軸能安全正常地工作，其最大工作切應(yīng)力max不應(yīng)超過材料的許用切應(yīng)力［］，即式中，許用切應(yīng)力［］是由扭轉(zhuǎn)試驗得到的極限切應(yīng)力u，除以安全因數(shù)n而得到的。對于等截面圓軸扭轉(zhuǎn)時，最大應(yīng)力發(fā)生在最大扭矩截面的外周邊各點，變截面軸扭轉(zhuǎn)時最大應(yīng)力則發(fā)生在扭矩與抗扭截面系數(shù)之比最大的那個截面上，所以對變截面軸而言，應(yīng)根據(jù)扭矩與抗扭截面系數(shù)的比值來判斷其危險截面。等截面圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件為變截面圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件為［］可查有關(guān)手冊，在靜載荷作用下，許用切應(yīng)力與許用正應(yīng)力有如下關(guān)系：對塑性材料［］＝（0.5~0.6）［σ］對脆性材料［］＝（0.8~1.0）［σ］應(yīng)用扭轉(zhuǎn)強度條件，可解決受扭轉(zhuǎn)圓軸的強度校核，截面尺寸設(shè)計和確定許用載荷等三類強度計算問題。7.3圓軸扭轉(zhuǎn)的變形與剛度計算衡量圓軸扭轉(zhuǎn)變形程度的量是相距長度為l的兩個橫截面間繞軸線轉(zhuǎn)過的相對轉(zhuǎn)角，這兩個截面的相對轉(zhuǎn)角稱為相對扭轉(zhuǎn)角，亦簡稱為扭轉(zhuǎn)角。如圖7-8所示，因切應(yīng)變γ很微小，tanγ≈γ，由幾何關(guān)系知γl＝Rφ，而故有上式表明，GIp越大，則φ越小，即φ與GIp成反比，GIp反映了圓軸抵抗變形的能力，所以稱GIp為圓軸的扭轉(zhuǎn)剛度。它與桿的截面形狀、尺寸及材料等有關(guān)。機械設(shè)備中，對受扭圓軸不僅有強度要求，對扭轉(zhuǎn)變形一般也有所限制。例如，對機床絲杠的扭轉(zhuǎn)變形就要加以限制，以保證機床的加工精度。扭轉(zhuǎn)角與軸的長度有關(guān)，為消除長度的影響，工程上，對受扭圓軸的剛度要求，通常是限制軸的單位長度扭轉(zhuǎn)角θ的最大值，所謂單位長度扭轉(zhuǎn)角就是為保證受扭圓軸具有足夠的剛度，單位長度的扭轉(zhuǎn)角的最大值不得超過許用值［θ］，即上式為圓軸扭轉(zhuǎn)時的剛度條件。［θ］的數(shù)值按照對機器的要求和軸的工作條件來確定，可從有關(guān)手冊中查到。通常其范圍為:精密機械設(shè)備的軸:［θ］＝0.25~0.50°/m；一般傳動軸:［θ］＝0.50~1.00°/m；精度要求不高的軸:［θ］＝1.00~2.50°/m。對一些重要的軸，要同時滿足扭轉(zhuǎn)的強度和剛度條件，通過扭轉(zhuǎn)強度計算和剛度計算，可進行軸的強度校核、設(shè)計截面尺寸及計算最大許可載荷。在載荷相同的條件下，把實心軸芯附近的材料移向邊緣，得到空心軸，它可在保持重量不變的情況下，顯著增大截面的極慣性矩，既可以提高軸的強度和剛度，同時若保持極慣性矩不變，則空心軸比實心軸可少用材料，重量也就較輕。所以飛機、輪船、汽車等運輸機械的某些軸，常采用空心軸，但空心軸的價格一般較貴。與強度條件類似，利用剛度條件（7-14）可對軸進行剛度校核、設(shè)計橫截面尺寸及確定許用載荷等方面的剛度計算。第8章彎曲變形工程中常見的橋式起重機大梁和火車輪軸等，如圖8-1所示，它們都是受彎構(gòu)件，在工作時最容易發(fā)生的變形是彎曲。通常把以彎曲為主要變形的桿件稱為梁，梁的強度和剛度計算是工程中的常見問題。8.1梁彎曲時的內(nèi)力8.1.1平面彎曲的概念一般來說，當(dāng)桿件受到與桿軸線相垂直的外力或在其軸線平面內(nèi)作用的外力偶作用時，桿的軸線由直線變成曲線，這種變形稱為彎曲變形。工程分析計算時，常以軸線代表梁，常見的梁的軸線是直線，這樣的梁稱為直梁。工程中常用的梁其橫截面大都具有縱向?qū)ΨQ軸，如圓形、矩形、工字形、T形及箱形截面梁等，由橫截面的縱向?qū)ΨQ軸和梁的軸線所確定的平面稱梁的縱向?qū)ΨQ面，如圖8-2所示的梁，平面ABCD為縱向?qū)ΨQ面。如果梁的外力及支座反力都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，則梁彎曲時軸線將變成此平面內(nèi)的一條曲線，這種彎曲稱為對稱彎曲。對稱彎曲時，由于梁變形后的軸線所在平面與外力作用面重合，因此也稱為平面彎曲。平面彎曲是彎曲變形中最簡單和最基本的情況，8.1.2梁計算簡圖1.支座形式與支反力作用在梁上的外力，包括載荷和支座反力。工程中常見支座有以下三種形式:(1)固定鉸支座。如圖8-3（a）所示，固定鉸支座限制梁在支承處任何方向的線位移，其支座反力可用2個正交分量表示，沿梁軸線方向的XA和垂直于梁軸線方向的YA。(2)活動鉸支座。如圖8-3（b）所示，活動鉸支座只能限制梁在支承處垂直于支承面的線位移，支座反力可用一個分量FRA表示。(3)固定端。如圖8-3（c）所示，固定端支座限制梁在支承處的任何方向線位移和角位移，其支座反力可用3個分量表示，沿梁軸線方向的XA和垂直于梁軸線方向的YA，以及位于梁軸平面內(nèi)的反力偶MA。2.梁的類型對于平面彎曲，梁的主動力與支座反力全作用在對稱平面內(nèi)，構(gòu)成平面力系。平面力系的平衡方程有三個，如果作用在梁上的支座反力也正好是三個，則利用平衡方程可確定全部支座反力的梁，稱為靜定梁。根據(jù)梁的支座情況，工程中常見的靜定梁可以簡化成以下三種形式。(1)簡支梁。梁的一端為固定鉸支座，另一端為活動鉸支座，如圖8-4（a）所示。(2)外伸梁。帶有外伸端的簡支梁，如圖8-4（b）所示。(3)懸臂梁。梁的一端為固定端，另一端為自由端，如圖8-4（c）所示。在工程實際中，有時為了提高梁的強度和剛度，采取增加梁的支承的辦法，此時靜力平衡方程就不足以確定梁的全部約束反力，這種梁稱為靜不定梁。求解靜不定梁需要考慮梁的變形條件。3梁上載荷的簡化作用在梁上的載荷向梁軸線簡化，可以簡化為以下三種形式：(1)集中力。集中力作用在梁上的很小一段范圍內(nèi)，可近似簡化為作用于一點，如圖8-5所示的力F，單位為牛（N）或千牛（kN）。(2)集中力偶。作用在微小梁段上的力偶，可近似簡化為作用于一點，如圖8-5所示的力偶M，單位為?！っ祝∟·m）或千牛·米（kN·m）。

(3)分布載荷。沿梁軸線方向，在一定長度上連續(xù)分布的力系，如圖8-5所示均布載荷q，其大小用載荷集度表示，單位為牛／米（N／m）或千牛／米（kN／m）。以上所有載荷都垂直于梁軸線，稱為橫向力。8.1.3梁彎曲時的內(nèi)力——剪力和彎矩1.剪力和彎矩梁在載荷作用下，根據(jù)平衡條件可求得支座反力。當(dāng)作用在梁上的所有外力（載荷和支座反力）都已知時，用截面法可求出任一橫截面上的內(nèi)力。如圖8-6（a）所示梁AB受橫向力F1

、F2和外力偶Me作用，相應(yīng)的支座反力為FAy，F(xiàn)By

?，F(xiàn)求距A端x處m-m橫截面上的內(nèi)力。首先采用截面法將梁在m-m處切開，任取其中一段，如左段，作為研究對象。因梁處于平衡狀態(tài)，故左段梁在外力及截面處內(nèi)力的共同作用下也應(yīng)處于平衡。由于外力均垂直于梁的軸線，故截面上必有一個與截面相切的內(nèi)力Fs，同時還有一個作用在m-m截面上的內(nèi)力偶矩M與之平衡，F(xiàn)s和M分別稱為剪力和彎矩。以左段為研究對象，取m-m截面的形心C為矩心，列平衡方程有得即剪力在數(shù)值上等于左段上所有外力的代數(shù)和矩心C為截面的形心，故彎矩在數(shù)值上等于左段梁上所有外力對C的力矩的代數(shù)和式中xi為外力距C的距離。如果以右段梁為研究對象，求得的截面上的剪力和彎矩數(shù)值相同，但方向相反。2.剪力和彎矩正負號的規(guī)定在計算內(nèi)力時，為了使考慮左段梁平衡與考慮右段梁平衡的結(jié)果一致，對剪力和彎矩的正負號作以下規(guī)定：(1)剪力。使截面繞其內(nèi)側(cè)任一點有順時針旋轉(zhuǎn)趨勢的剪力為正，如圖8-7（a）所示；反之為負，如圖8-7（b）所示。由圖8-7（a）、（b）可知，若想左段右側(cè)橫截面上的剪力為正，外力應(yīng)向上；若想右段左側(cè)橫截面上的剪力為正，外力應(yīng)向下；(2)彎矩。使受彎桿件下側(cè)纖維受拉為正，如圖8-7（c）所示；使受彎桿件上側(cè)纖維受拉為負，如圖8-7（d）所示?；蛘呤故軓潡U件向下凸時為正，反之為負。由圖8-7（c）、（d）可知，若想左段右側(cè)橫截面上的剪力為正，外力應(yīng)向上；若想右段左側(cè)橫截面上的剪力為正，外力應(yīng)向下；若想左段右側(cè)橫截面上的彎矩為正，外力偶應(yīng)為順時針；若想右段左側(cè)橫截面上的彎矩為正，外力偶應(yīng)為逆時針。應(yīng)用公式（8-1）、（8-2）結(jié)論時，橫截面上的外力的正負號規(guī)定如下：計算剪力時，截面左上右下的外力取正，反之為負。計算彎矩時，向上的外力（不論在截面的左側(cè)或右側(cè)）對形心的矩為正，反之為負；或截面左側(cè)的順時針力偶及截面右側(cè)的逆時針力偶取正，反之為負。利用上述規(guī)則，可直接根據(jù)截面左側(cè)或右側(cè)梁上的外力求橫截面上的剪力和彎矩。8.1.4剪力圖與彎矩圖1.剪力圖和彎矩圖在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩是隨截面的位置不同而變化的。為了描述剪力與彎矩沿梁軸線變化的情況，沿梁軸線方向選取坐標(biāo)x表示橫截面的位置，則梁的各截面上的剪力和彎矩都可表示為x的函數(shù)，即Fs

＝Fs（x），M＝M（x）分別稱為梁的剪力方程和彎矩方程。為了形象地描述剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況，以x為橫坐標(biāo)軸，以Fs或M為縱坐標(biāo)軸，分別繪制Fs＝Fs（x），M＝M（x）的函數(shù)曲線，則稱為剪力圖和彎矩圖。從剪力圖和彎矩圖上可以很容易確定梁的最大剪力和最大彎矩，以及梁的危險截面位置。在梁的強度計算和剛度計算中，一般彎矩起主要的作用。2.利用剪力、彎矩與載荷集度的微分關(guān)系作剪力圖和彎矩圖根據(jù)圖8-12的均布載荷作用下的簡支梁，列出x截面處的剪力方程和彎矩方程如下將上式分別對x求導(dǎo)，有以下的微分關(guān)系式中，載荷集度q（x）規(guī)定向上為正。這個關(guān)系雖是由圖8-12推導(dǎo)出的，但這是對于平面彎曲變形都廣泛存在的一種關(guān)系。根據(jù)剪力、彎矩與載荷集度的微分關(guān)系，可得到以下的結(jié)論：(1)梁上某段無載荷作用時，則彎矩圖為一段斜直線。(2)梁上某段有均布載荷作用時，則該段梁的彎矩圖為一段二次拋物線，且當(dāng)均布載荷q>0時，拋物線為凹曲線；反之，當(dāng)均布載荷q＜0時，拋物線為凸曲線。(3)梁上集中力作用處，彎矩圖的切線斜率有突變，因而彎矩圖在該處有折角。(4)梁上集中力偶作用處，彎矩圖有突變，突變值等于集中力偶的大小。從左至右，若力偶為順時針轉(zhuǎn)向，彎矩圖向上突變；反之，若力偶為逆時針轉(zhuǎn)向，則彎矩圖向下突變(5)在梁的某一截面上，若，則在這一截面上彎矩有一極值（極大或極小值）。最大彎矩值Mmax（x）不僅可能發(fā)生于剪力等于零的截面上，也有可能發(fā)生于集中力或集中力偶作用的截面上。利用上述特點，可以不列梁的內(nèi)力方程，而簡捷地畫出梁的彎矩圖。其方法是：以梁上的界點將梁分為若干段，求出各界點處的內(nèi)力值，最后根據(jù)上面歸納的特點畫出各段彎矩圖。8.2彎曲強度8.2.1梁的純彎曲一般情況下，梁的橫截面上同時存在著彎矩和剪力兩種內(nèi)力。由于彎矩M只能由法向微內(nèi)力σdA合成，剪力Fs只能由切向微內(nèi)力dA合成，因此，梁的橫截面上通常同時存在著正應(yīng)力σ和切應(yīng)力。當(dāng)梁的橫截面上僅有彎矩而無剪力，從而僅有正應(yīng)力而無切應(yīng)力的情況，稱為純彎曲。橫截面上同時存在彎矩和剪力，即既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力的情況稱為橫力彎曲或剪切彎曲。圖8-17所示的梁AC、DB段為橫力彎曲，CD段為純彎曲變形。8.2.2純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力圖8-17所示的梁CD段為純彎曲變形，該段橫截面上的正應(yīng)力的分布規(guī)律也需從幾何、物理和靜力學(xué)三方面考慮。為便于觀察變形現(xiàn)象，采用矩形截面梁進行純彎曲實驗。實驗前，在梁的側(cè)面上畫一些水平的縱向線和與縱向線相垂直的橫向線，如圖8-18（a）所示，然后在梁兩端縱向?qū)ΨQ面內(nèi)施加一對方向相反、力偶矩均為M的力偶，使梁發(fā)生純彎曲變形，如圖8-18（b）所示。根據(jù)彎曲變形實驗顯示的變形特點作出的平面假設(shè)認為：原為平面的橫截面變形后仍保持為平面，且仍垂直于變形后梁的軸線，只是繞橫截面內(nèi)某一軸旋轉(zhuǎn)了一角度。若將梁假想成由無數(shù)縱向纖維組成，所有縱向纖維只受到軸向拉伸與壓縮，由變形的連續(xù)性可知，從梁上半部的壓縮到下半部的伸長，其間必有一層長度不變，該層稱為中性層，中性層與橫截面的交線，稱為中性軸，如圖8-18（c）所示。從平面彎曲變形幾何關(guān)系可以找出應(yīng)變的變化規(guī)律，由應(yīng)變規(guī)律找出應(yīng)力的分布規(guī)律，即建立應(yīng)力和應(yīng)變間的物理關(guān)系；最后根據(jù)彎矩和應(yīng)力之間的靜力關(guān)系，即可推導(dǎo)出截面上任意點應(yīng)力的計算公式，從而求出最大應(yīng)力，為建立強度條件提供依據(jù)。經(jīng)分析計算可知中性軸通過橫截面的形心，純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力計算公式式中，M指橫截面上的彎矩；y指橫截面上任一點到中性軸的距離；指截面對中性軸z的慣性矩，是只與截面的形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。由上式可知，梁彎曲時，橫截面上任一點處的正應(yīng)力與該截面上的彎矩成正比，與慣性矩成反比，并沿截面高度呈線性分布。中性軸上各點的正應(yīng)力為零；在中性軸的上、下兩側(cè)，一側(cè)受拉，一側(cè)受壓；距中性軸越遠，正應(yīng)力越大，如圖8-19所示。當(dāng)y＝y(tǒng)max時，彎曲正應(yīng)力最大，其值為式中，稱為截面對于中性軸的彎曲截面系數(shù)，是一個與截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。8.2.3慣性矩和彎曲截面系數(shù)工程上常用的矩形、圓形及環(huán)形的慣性矩和彎曲截面系數(shù)如表8-1所示。對于各種軋制型鋼，其彎曲截面系數(shù)可查附錄。對于與形心軸平行的軸的慣性矩，由慣性矩的平行移軸定理給出，即式中，IzC為截面對于形心軸的慣性矩；Iz為截面對于與形心軸平行的任一軸的慣性矩；a為兩軸之間的距離；A為該截面的面積。上式用于計算簡單組合圖形對其形心軸的慣性矩。8.2.4梁的彎曲強度計算式（8-4）是在梁純彎曲的情況下導(dǎo)出的，但工程中彎曲問題多為橫力彎曲，即梁的橫截面上同時存在有正應(yīng)力和切應(yīng)力。但大量的分析和實驗證實，當(dāng)梁的跨度l與橫截面高度h之比大于5時，這個公式用來計算梁在橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力還是足夠精確的。對于短梁或載荷靠近支座以及腹板較薄的組合截面梁，還必須考慮其切應(yīng)力的存在。對梁進行強度計算，必須計算梁的最大正應(yīng)力。對于等截面梁，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大截面的上、下邊緣處，彎矩最大的截面稱危險截面，危險截面上彎曲應(yīng)力最大的點稱危險點。有為了保證梁安全地工作，危險點處的正應(yīng)力必須小于梁的彎曲許用應(yīng)力［σ］，這就是梁的正應(yīng)力強度條件。即

σmax≤［σ］

（8-8）在應(yīng)用上述強度條件時，應(yīng)注意下列問題。(1)對于塑性材料，其抗拉和抗壓許用應(yīng)力相同，為了使截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時達到其許用應(yīng)力，通常將梁的橫截面做成與中性軸對稱的形狀，例如工字形、圓形、矩形等，其強度條件為(2)由于脆性材料的抗拉能力遠小于其抗壓能力，為使截面上的壓應(yīng)力大于拉應(yīng)力，常將梁的橫截面做成與中性軸不對稱的形狀，如T形截面，此時應(yīng)分別計算橫截面的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，則強度條件應(yīng)為式中y1和y2分別表示受拉與受壓邊緣到中性軸的距離。(3)梁的彎曲許用應(yīng)力可以近似以材料的拉壓許用應(yīng)力代替，或從機械設(shè)計手冊中查得。利用梁的正應(yīng)力強度條件，可以進行以下三種類型的強度計算：(1)校核強度：σmax≤［σ］；(2)設(shè)計截面：對于等直梁，強度條件可改寫為

，利用上式求出Wz

，然后根據(jù)Wz

與截面尺寸間的關(guān)系，求出截面的尺寸；(3)確定許可載荷：對等直梁，強度條件改寫為

，由上式求出Mmax后，再利用Mmax與外載荷間的關(guān)系即可設(shè)計出梁的許可載荷。8.3彎曲變形的計算8.3.1撓曲線如圖8-28所示，懸臂梁在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的外力F的作用下將發(fā)生平面彎曲，變形后梁的軸線將變?yōu)橐粭l光滑的平面曲線，稱梁的撓曲軸線，也稱彈性曲線、撓曲線。建立如圖8-28所示的坐標(biāo)系，x軸與梁變形前的軸線重合，w軸垂直向上，則xw平面就是梁的縱向?qū)ΨQ平面，顯然撓曲線是梁截面位置x的函數(shù)，梁的撓曲線方程可表示為w＝w（x）（8-12）8.3.2撓度和轉(zhuǎn)角觀察梁在xw平面內(nèi)距左端為x處的任一截面，可以發(fā)現(xiàn)該截面的形心既有垂直方向的位移，又有水平方向的位移。但在小變形的前提下，水平方向的位移很小，可忽略不計，因而可以認為截面的形心只在垂直方向有線位移CC′。軸線上任一點在垂直于x軸方向的位移，即撓曲線上相應(yīng)點的縱坐標(biāo)，稱為該截面的撓度，用w表示。C截面不但產(chǎn)生線位移，還產(chǎn)生了角位移。梁彎曲變形后，橫截面仍然保持為平面，且仍垂直于變形后的梁軸線，只是繞中性軸發(fā)生了一個角位移，此角位移稱為該截面的轉(zhuǎn)角，用θ表示。過C′點作一切線，切線與x軸的夾角即等于橫截面的轉(zhuǎn)角，在工程中，通常轉(zhuǎn)角很小，因此有上式表明，橫截面轉(zhuǎn)角近似地等于撓曲線在該截面處切線的斜率。這樣，梁的變形可用梁軸線上一點（即橫截面的形心）的撓度和橫截面的轉(zhuǎn)角表示。其符號規(guī)定，撓度與w軸正向相同時為正，反之為負，單位為米（m）或毫米（mm）；截面轉(zhuǎn)角以逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負，單位為弧度（rad）。8.3.3求彎曲變形的兩種方法1.積分法在推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力時，曾得到梁的中性層的曲率表達式（當(dāng)σ≤σp時）為另外，由高等數(shù)學(xué)知，曲線w＝f（x）上任一點的曲率為,略去二階微量，可得上式為撓曲線的近似微分方程，是研究彎曲變形的基本方程式。式中EI稱為梁的抗彎剛度。由此方程即可求出梁的撓度，同時利用式(8-13)，又可求得梁橫截面的轉(zhuǎn)角。對等截面梁，EI是常量，將微分方程積分一次可得轉(zhuǎn)角方程再積分一次得撓曲線方程式中C、D是積分常數(shù)，可利用連續(xù)條件和邊界條件（即梁上某些截面的已知位移和轉(zhuǎn)角）確定。如圖8-29（a）所示的簡支梁支座A、B處的撓度為零，故邊界條件為如圖8-29（b）所示的懸臂梁，固定端A處的撓度和轉(zhuǎn)角均為零，則邊界條件為2.疊加法由前述分析可知，在小變形條件下，且梁內(nèi)應(yīng)力不超過材料的比例極限時，梁的撓曲軸線近似微分方程為由上式可知小變形時梁彎曲撓度的二階導(dǎo)數(shù)與彎矩成正比，而彎矩是載荷的線性函數(shù)，所以梁的撓度與轉(zhuǎn)角是載荷的線性函數(shù)，梁上某一載荷所引起的變形可以看作是獨立的，不受其他載荷影響。于是可以使用疊加法計算梁的轉(zhuǎn)角和撓度，即梁在幾個載荷同時作用下產(chǎn)生的撓度和轉(zhuǎn)角等于各個載荷單獨作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加和，這就是計算梁彎曲變形的疊加原理。疊加法是工程上常采用的一種比較簡便的計算方法。用疊加法計算梁的變形時，需已知梁在簡單載荷作用下的變形。8.3.4梁的剛度校核為使梁安全正常工作，應(yīng)使梁具有足夠的剛度，根據(jù)具體的工作要求，彎曲變形產(chǎn)生的撓度和轉(zhuǎn)角必須在工程允許的范圍之內(nèi)，即滿足彎曲剛度條件式中［w］、［θ］分別為構(gòu)件的許用撓度和許用轉(zhuǎn)角。對于各類受彎構(gòu)件的［w］、［θ］可從工程手冊中查到。8.4提高梁彎曲強度與剛度的措施由前所述，影響梁的彎曲強度的主要因素是彎曲正應(yīng)力，而彎曲正應(yīng)力的強度條件為所以要提高梁的彎曲強度，應(yīng)從如何降低梁內(nèi)最大彎矩Mmax的數(shù)值及提高彎曲截面系數(shù)Wz的數(shù)值著手。梁的變形大小與載荷成正比；與抗彎剛度EIz成反比；梁的跨度l對彎曲變形的影響最大。綜合上述各因素，提高梁的彎曲強度和剛度，可采取以下措施。1.合理安排梁的受力情況(1)合理布置支承位置承受均布載荷的簡支梁如圖8-34（a）所示，最大彎矩值為

，最大撓度

為w=。若如圖8-34（c）所示，將兩端支承各向內(nèi)側(cè)移動

，則最大

彎矩降為，如圖8-34（d）所示，前者約為后者的5倍，同時因縮短了梁

的跨度，使梁的變形大大減小，最大撓度降為w=。若如圖8-34（e）

所示，增加中間支承則最大彎矩減為

，是原來的

，同時最大撓度減至原來的

。也就是說，僅僅改變一下支承的位置或增加支承，可將梁的承載能力成倍提高。如圖8-35（a）所示門式起重機的大梁，圖8-35（b）所示鍋爐筒體等，其支承點略向中間移動，都是通過合理布置支座位置，以減小Mmax的工程實例。(2)合理配置載荷如圖8-36（a）所示一受集中力作用的簡支梁。集中力F作用于中點時，其最

大彎矩為

，如圖8-36（b）所示，最大撓度為。若如圖8-36（c）、

（d）所示將集中力F移至離支承

處，則最大彎矩降為

，最大撓度降為，梁的最大彎矩與最大撓度都顯著降低。又若如圖8-36（e）所示將

集中力分到兩處，則最大彎矩降為

，最大撓度降為。2.合理選擇梁的截面形狀梁的強度和彎曲剛度都與梁截面的慣性矩有關(guān)，選擇慣性矩較大的截面形狀能有效提高梁的強度和剛度。在截面積A相同的條件下，抗彎截面系數(shù)W愈大，則梁的承載能力就愈高。例

如對截面高度h大于寬度b的矩形截面梁，梁豎放時；而梁平放時，

。兩者之比是

，所以豎放比平放有較高的抗彎能力。

當(dāng)截面的形狀不同時，可以用比值

來衡量截面形狀的合理性和經(jīng)濟性。

常見截面的值列于表8-3中。表8-3中的數(shù)據(jù)表明，材料遠離中性軸的截面（如圓環(huán)形、工字形等）比較經(jīng)濟合理。這是因為彎曲正應(yīng)力沿截面高度線性分布，中性軸附近的應(yīng)力較小，該處的材料不能充分發(fā)揮作用，將這些材料移置到離中性軸較遠處，則可使它們得到充分利用，形成“合理截面”。工程中的吊車梁、橋梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的樓板采用空心圓孔板，道理就在于此。需要指出的是，對于矩形，工字形等截面，增加截面高度雖然能有效地提高抗彎截面系數(shù)；但若高度過大，寬度過小，則在載荷作用下梁會發(fā)生扭曲，從而使梁過早地喪失承載能力。對于拉、壓許用應(yīng)力不相等的材料（例如大多數(shù)脆性材料），采用T字形等中性軸距上下邊不相等的截面較合理。設(shè)計時使中性軸靠近拉應(yīng)力的一側(cè)，以使危險截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力盡可能同時達到材料的許用應(yīng)力。第9章組合變形

在工程實際中，在載荷作用下，許多桿件將產(chǎn)生兩種或兩種以上的基本變形。桿件在外力作用下同時產(chǎn)生兩種或兩種以上的同數(shù)量級的基本變形的情況稱為組合變形。例如，圖9-1（a）所示的絞盤軸在外力的作用下，將同時產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形及在水平平面和垂直平面內(nèi)的彎曲變形；圖9-1（b）中的鉆桿手柄在偏心載荷的作用下將產(chǎn)生軸向壓縮和彎曲的組合變形。對于這類由兩種或兩種以上基本變形組合而成的組合變形如何進行強度設(shè)計呢？解決組合變形的方法是采用疊加原理，采用外力分析——內(nèi)力分析——應(yīng)力分析與疊加——強度計算的步驟。解決組合變形的方法是采用疊加原理，在材料服從胡克定律且產(chǎn)生小變形的前提下，桿件的內(nèi)力、應(yīng)力、變形、位移與外力是線性關(guān)系，可以將桿件所受的載荷分解為幾個簡單載荷，使每個簡單載荷只產(chǎn)生一種基本變形，分別計算構(gòu)件在每一種基本變形下的內(nèi)力、應(yīng)力或變形。然后利用疊加原理，綜合考慮各基本變形的組合情況，以確定構(gòu)件的危險截面、危險點位置及危險點的應(yīng)力狀態(tài)，并據(jù)此進行強度計算。對于組合變形如何進行強度設(shè)計的步驟一般為：(1)外力計算：根據(jù)受力情況將力系進行分解，可以將桿件所受的載荷分解為幾個簡單載荷，使每個簡單載荷只產(chǎn)生一種基本變形；(2)內(nèi)力計算：分別計算每一種基本變形引起的內(nèi)力；(3)應(yīng)力分析：分別計算危險截面上每一個基本變形的應(yīng)力及其分布情況；(4)疊加應(yīng)力：根據(jù)具體情況進行應(yīng)力疊加，就得到組合變形情況下的應(yīng)力和變形，據(jù)此來確定桿件的危險截面和危險點；(5)強度計算：選擇合適的強度理論進行強度計算。9.1拉伸或壓縮與彎曲的組合當(dāng)桿件同時承受垂直于軸線的橫向力和沿著軸線方向的縱向力時，桿件的橫截面上將同時產(chǎn)生軸力、彎矩和剪力。忽略剪力的影響，軸力和彎矩都將在橫截面上產(chǎn)生正應(yīng)力。如果作用在桿件上的縱向力與桿件的軸線不一致，這種情形稱為偏心加載。首先研究偏心壓縮問題，對圖9-2（a）所示對稱截面桿1，在其縱向?qū)ΨQ面內(nèi)作用一偏心載荷P，該力作用點至截面形心C的距離稱為偏心距e。圖9-2為了研究桿的受力情況，將載荷P平移到截面形心C處，得軸向壓力P與力矩MC＝Pe的力偶。在軸向壓力P作用下，各橫截面的軸力均為FN＝-P，在力偶作用下，各橫截面的彎矩M＝-Pe?？梢?，在偏心壓力作用下，桿件處于壓彎組合變形，在梁的橫截面上同時產(chǎn)生軸力和彎矩的情形下，根據(jù)軸力圖和彎矩圖，可以確定桿件的危險截面以及危險截面上的軸力FN和彎矩M。軸力FN引起的正應(yīng)力沿整個橫截面均勻分布，彎矩M引起的正應(yīng)力沿橫截面高度方向線性分布；橫截面上任一點y處的正應(yīng)力為軸向拉伸與彎曲組合的應(yīng)力分析與偏心壓縮相似，危險點處只有正應(yīng)力，是單向應(yīng)力狀態(tài)。因此拉或壓與彎曲組合作用下桿件的強度條件為9.2彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合機械中的傳動軸通常發(fā)生扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形。由于傳動軸大都是圓形截面，因此，以圓截面桿為例，討論圓軸發(fā)生彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形時的強度計算。9.2.1彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形的內(nèi)力和應(yīng)力如圖9-5（a）所示，一直徑為d的等直圓桿AB,B端具有與AB成直角的剛臂，并承受鉛垂力F作用。將力F向AB桿右端截面的形心B簡化，簡化后得一作用于B端的橫向力F和一作用于桿端截面內(nèi)的力偶矩Me＝Fa（如圖9-5（b））。橫向力F使AB桿產(chǎn)生平面彎曲，力偶Me使AB桿產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，對應(yīng)的內(nèi)力圖如圖9-5（c）、（d）。由于固定端截面的彎矩M和扭矩T都最大，因此AB桿的危險截面為固定端截面，其內(nèi)力分別為M=Fl，T=Fa現(xiàn)分析危險截面上應(yīng)力的分布情況。與彎矩M對應(yīng)的正應(yīng)力分布見圖9-5（e），在危險截面鉛垂直徑的上下兩端的C1和C2

處分別有最大的拉應(yīng)力和最大的壓應(yīng)力。與扭矩T對應(yīng)的切應(yīng)力分布見圖9-5（f），在危險截面的周邊各點處有最大的切應(yīng)力，因此，C1

和C2

就是危險截面上的危險點（對于許用拉、壓應(yīng)力相同的塑性材料制成的桿，這兩點的危險程度是相同的）。9.2.2彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形的強度條件由于危險點是平面應(yīng)力狀態(tài)，故應(yīng)當(dāng)按強度理論的概念建立強度條件。對于用塑性材料制成的桿件，選用第三或第四強度理論。第10章壓桿穩(wěn)定

10.1壓桿穩(wěn)定的概念前面討論軸向壓縮時，認為滿足壓縮強度條件即可保證構(gòu)件安全工作。但這一結(jié)論對于細長桿件不再適用，當(dāng)細長桿受壓時，在應(yīng)力遠遠低于極限應(yīng)力時，會因突然產(chǎn)生顯著的彎曲變形而失去承載能力。例如活塞連桿機構(gòu)中的連桿、凸輪機構(gòu)中的頂桿、支承機械的千斤頂（如圖10-1）、托架中的壓桿（如圖10-2）等，當(dāng)壓力超過一定數(shù)值后，在外界微小的擾動下，其直線平衡形式將轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢问?，從而使桿件或由之組成的機器喪失正常功能。這是一種區(qū)別于強度失效與剛度失效的又一種失效形式，稱為“穩(wěn)定失效”。它和強度、剛度問題一樣，在機械或其零部件的設(shè)計中占有重要地位。構(gòu)件在平衡的前提下，平衡形式可以是穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡和臨界平衡。判斷平衡是否穩(wěn)定，必須加干擾。干擾可以是加一個力；可以是使其振動；甚至是吹一口氣。穩(wěn)定平衡：干擾去掉以后，構(gòu)件可以完全恢復(fù)原有形式下的平衡，稱為穩(wěn)定平衡。不穩(wěn)定平衡：干擾去掉以后，構(gòu)件不能完全恢復(fù)原有形式下的平衡，稱為不穩(wěn)定平衡。臨界平衡：臨界情況。小變形情況下，干擾到哪里，就在哪里保持曲線形式的平衡。細長壓桿在P力作用下處于直線形狀的平衡狀態(tài)（如圖10-3（a）），受外界（水平力Q）干擾后，桿經(jīng)過若干次擺動，仍能回到原來的直線形狀平衡位置（如圖10-3（b）），桿原來的直線形狀的平衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定平衡。若受外界干擾后，桿不能恢復(fù)到原來的直線形狀而在彎曲形狀下保持新的平衡（如圖10-3（c）），則桿原來的直線形狀的平衡狀態(tài)稱為非穩(wěn)定平衡。壓桿的穩(wěn)定性問題，就是針對受壓桿件能否保持它原來的直線形狀的平衡狀態(tài)而言的。圖10-3通過上面的分析，不難看出，壓桿能否保持穩(wěn)定，與壓力P的大小有著密切的關(guān)系。隨著壓力P的逐漸增大，壓桿就會由穩(wěn)定平衡狀態(tài)過渡到非穩(wěn)定平衡狀態(tài)。這就是說，軸向壓力的量變，必將引起壓桿平衡狀態(tài)的質(zhì)變。壓桿從穩(wěn)定平衡過渡到非穩(wěn)定平衡時的壓力稱為臨界力或稱臨界載荷，以Fcr表示。如圖10-3（d）所示，顯然，當(dāng)壓桿所受的外力達到臨界值時，壓桿即開始喪失穩(wěn)定。由此可見，掌握壓桿臨界力的大小是解決壓桿穩(wěn)定問題的關(guān)鍵。10.2臨界力的確定10.2.1兩端鉸支細長壓桿的歐拉公式細長的中心受壓直桿在臨界力作用下，其材料仍處于理想的線彈性范圍內(nèi)，這類穩(wěn)定問題稱為線彈性穩(wěn)定問題。現(xiàn)在以圖10-4所示兩端為鉸鏈支座、長度為l的、中心

受壓的等截面的細長直桿為例，利用去掉干擾后壓桿

在臨界力的作用下可以在微彎曲情況下保持平衡的性

質(zhì)，根據(jù)彎曲變形的理論，由撓曲線的近似微分方程

式，推導(dǎo)出其臨界力的計算公式。上式為理想壓桿兩端鉸支的歐拉臨界力公式。式中，E為彈性模量，EI為彎曲剛度，l為壓桿長度。EI應(yīng)取最小值，在材料給定的情況下，慣性矩I應(yīng)取最小值，這是因為桿件總是在抗彎能力最小的縱向平面內(nèi)失穩(wěn)（稱為失穩(wěn)平面）。歐拉公式中包含了壓桿橫截面的彎曲剛度，也包含了長度，這是壓縮強度條件所沒有的。剛度越小或長度越大，臨界力越小，表明桿件的承載能力越差。桿件壓彎后的撓曲線形式與桿件兩端的支承形式密切相關(guān)。壓桿兩端的支座除同為鉸支外，還可能有其他情況，工程上最常見的桿端支承形式主要有四種，各種支承情況下壓桿的臨界力公式，可以仿照兩端鉸支形式的方式來推導(dǎo)，但也可以把各種支承形式的彈性曲線與兩端鉸支形式下的彈性曲線相對比來獲得臨界力公式，如表10-1所示。從上述比較可見，可把各種支承形式下的歐拉臨界力公式統(tǒng)一表示為式中，μ為長度因數(shù)，它代表壓桿不同支承情況下對臨界力的影響，μl稱為相當(dāng)長度。10.2.2臨界應(yīng)力將壓桿的臨界力Fcr除以桿的橫截面面積A，便得到壓桿橫截面上的應(yīng)力，稱為壓桿的臨界應(yīng)力，用σcr表示，即式中，A為壓桿的橫截面面積。令

代入式(10-3)，則上式為計算細長壓桿臨界應(yīng)力的歐拉公式。式中，i稱為截面的慣性半徑；為壓桿的柔度或細長比，其量綱為1。它反映了壓桿長度、支承情況以及橫截面形狀和尺寸等因素對臨界應(yīng)力的綜合影響。壓桿的臨界應(yīng)力與其柔度的平方成反比，壓桿的柔度值越大，則桿件越細長，其臨界應(yīng)力越小，壓桿越容易失穩(wěn)。所以柔度λ是壓桿穩(wěn)定計算的一個重要參數(shù)。10.2.3歐拉公式的適用范圍因為歐拉公式是在材料服從胡克定律的條件下推導(dǎo)出來的，因此由歐拉公式計算的臨界應(yīng)力也不得超過材料的比例極限，即由此可求得對應(yīng)比例極限時的柔度λp顯然，λp是適用歐拉公式的最小柔度值，表示歐拉公式的適用范圍為λ≥λp，這類桿稱為大柔度桿或細長桿。λp的值取決于材料的性質(zhì)，以低碳鋼Q235為例，其σP＝196MPa，E＝200GPa，代入式（10-4）得這表明用低碳鋼Q235制成的壓桿，僅在柔度λ≥100時，才能應(yīng)用歐拉公式計算其