數(shù)學必修五同步課件第二章數(shù)列2.2等差數(shù)列第一課時等差數(shù)列的概念與通項公式數(shù)理化網(wǎng)

2.2等差數(shù)列第一課時/等差數(shù)列的概念與通項公式

課標要求學法指導(dǎo)1.通過實例,理解等差數(shù)列和等差中項的概念.2.探索并掌握等差數(shù)列的通項公式.3.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.1.要善于通過觀察、分析、歸納、提煉來理解等差數(shù)列的概念,同時,還應(yīng)準確理解等差數(shù)列的關(guān)鍵詞“從第2項起”,“差是同一個常數(shù)”等;要善于用歸納或疊加法探求等差數(shù)列的通項公式.2.利用an+1-an=d(n∈N*

)可以幫助我們判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列.新課導(dǎo)入知識探究題型探究達標檢測新課導(dǎo)入——實例引領(lǐng)思維激活實例:(1)有一座樓房第一層的每級臺階與地面的高度(單位:cm)依次為:16,32,48,64,80,96,112,128,…,320.(2)某次比賽女子舉重共設(shè)置7個級別,其中較輕的4個級別體重(單位:kg)分別為:48,53,58,63.(3)某公司技術(shù)員的工資有5種級別(單位:千元)8,7,6,5,4.想一想1:觀察實例中三個數(shù)列,每個數(shù)列從第2項起,每一項與前一項的差有什么特點?(等于同一常數(shù))知識探究——自主梳理思考辨析1.等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第

項起,每一項與它的前一項的差等于

,那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.思考1:(1)如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于常數(shù),該數(shù)列是等差數(shù)列嗎?請舉例說明.(2)等差數(shù)列的定義用數(shù)學符號怎樣表示?提示:

(1)不一定是.如數(shù)列1,3,7,15,…不是等差數(shù)列.(2)在數(shù)列{an}中,若an-an-1=d(d為常數(shù),n≥2,n∈N*),則數(shù)列{an}是等差數(shù)列.同一個常數(shù)23.等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,則等差數(shù)列的通項公式an=

,通項公式可變形為an=dn+(a1-d),可把an看作自變量n的一次函數(shù).思考2:等差數(shù)列{an}的公差為d,第n項an與第m項am(n>m)有何關(guān)系?提示:an=am+(n-m)d.a1+(n-1)d題型探究——典例剖析舉一反三名師導(dǎo)引:

(1)要證{bn}是等差數(shù)列,只需證bn+1-bn=常數(shù)或bn-bn-1=常數(shù)(n≥2且n∈N*).(2)利用(1)的結(jié)論先求bn,再求an.題后反思

判斷或證明一個數(shù)列為等差數(shù)列的常用方法:(1)定義法:an-an-1=d(d是常數(shù),n≥2且n∈N*),數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(2)等差中項法:在數(shù)列{an}中,2an=an-1+an+1(n≥2且n∈N*),數(shù)列{an}是等差數(shù)列.解:∵c2-c1=-1-1=-2,n≥2時,cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2,∴cn+1-cn(n≥1)不等于同一個常數(shù),不符合等差數(shù)列的定義,∴數(shù)列{cn}不是等差數(shù)列.題型二等差數(shù)列的通項公式【例2】

已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,分別根據(jù)下列條件寫出它的通項公式.(1)a3=5,a7=13;(2)前三項為a,2a-1,3-a.名師導(dǎo)引:要求得通項公式,需要求哪幾個量?(先確定數(shù)列的首項a1與公差d,然后代入an=a1+(n-1)d即可)題后反思

在等差數(shù)列中,首項a1與公差d是兩個最基本的元素;若知道等差數(shù)列中的任意兩項,都可利用方程組的思想求出a1和d.但是,要注意公式的變形及整體求解,以減少計算量.跟蹤訓練2-1:(2013蘭州一中高二期中)已知等差數(shù)列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,則b15等于(

)(A)30 (B)45 (C)90 (D)186題型三等差中項的應(yīng)用【例3】(12分)已知等差數(shù)列{an}滿足a2+a3+a4=18,a2a3a4=66.求數(shù)列{an}的通項公式.名師導(dǎo)引:怎樣利用等差中項使已知等式用兩個未知量表示?(利用等差中項先求出a3或用a3和公差d的代數(shù)式表示a2和a4)題后反思若三個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時,常利用等差中項求出中間項.跟蹤訓練3-1:已知數(shù)列8,a,2,b,c是等差數(shù)列,則a,b,c的值分別為

,

,

.

解析:因為數(shù)列8,a,2,b,c是等差數(shù)列,所以2a=8+2,所以a=5,因為公差d=5-8=-3,所以b=2+(-3)=-1,c=-1+(-3)=-4.答案:5

-1

-4備選例題【例題】(1)三個數(shù)成等差數(shù)列,和為6,積為-24,求這三個數(shù);(2)四個數(shù)成遞增等差數(shù)列,中間兩數(shù)的和為2,首末兩項的積為-8,求這四個數(shù).解:

(1)法一設(shè)等差數(shù)列的等差中項為a,公差為d,則這三個數(shù)分別為a-d,a,a+d.依題意,3a=6且a(a-d)(a+d)=-24,所以a=2,代入a(a-d)(a+d)=-24,化簡得d2=16,于是d=±4,故三個數(shù)為-2,2,6或6,2,-2.法二設(shè)首項為a,公差為d,則這三個數(shù)分別為a,a+d,a+2d,依題意,3a+3d=6且a(a+d)(a+2d)=-24,所以a=2-d,代入a(a+d)(a+2d)=-24,得2(2-d)(2+d)=-24,4-d2=-12,即d2=16,于是d=±4,三個數(shù)為-2,2,6或6,2,-2.(2)法一設(shè)這四個數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差為2d),依題意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,∴d2=1,∴d=1或d=-1.又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列,∴d>0.∴d=1,故所求的四個數(shù)為-2,0,2,4.達標檢測——反饋矯正及時總結(jié)B2.△ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列,則B=

.

解析:由三角形內(nèi)角和定理知A+B+C=π.∵A、B、C成等差數(shù)列,3.在等差數(shù)列{an}中,(1)已知a1=2,d=3,n=10,則an=

;

(2)已知a1=3,d=2,an=21,則n=

;

(3)已知a1=12,a6=27,則d=

;

解析:(1)an=a1+(n-1)d=2+(10-1)×3=29;(2)由an=a1+(n-1)d?21=3+(n-1)×2?n=10;答案:

(1)29

(2)10

(3)3

(4)10課堂小結(jié)1.