高等代數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)及高等反應(yīng)工程試題

高等代數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)行列式的計(jì)算一、高等代數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖行列式的計(jì)算高等代數(shù)線性代數(shù)工具線性方程組中心課題線性典范型研究范圍線性空間行列式矩陣線性方程組向量相關(guān)性行列式的性質(zhì)矩陣的秩矩陣的運(yùn)算與逆 矩陣的初等變換線性方程組的解法及判別定理線性方程組解的結(jié)構(gòu)極大線性無(wú)關(guān)組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)二次型線性流形線性函數(shù)若爾當(dāng)?shù)浞缎曰癁闃?biāo)準(zhǔn)型（配方法，線性方程組法，正交法）對(duì)角化正定性，合同單線性函數(shù)對(duì)稱雙線性函數(shù)J矩陣II-C定理矩陣的可對(duì)角化線性空間歐式空間酉空間線性空間的性質(zhì)與同構(gòu)，子空間的判定線性變換坐標(biāo)變換與基變換特征值與特征向量可對(duì)角化及不變子空間歐式空間的性質(zhì)正交化與正交補(bǔ)的求法正交變換與正交矩陣酉空間的性質(zhì)復(fù)數(shù)域上的正交變換高等代數(shù)線性代數(shù)工具線性方程組中心課題線性典范型研究范圍線性空間行列式矩陣線性方程組向量相關(guān)性行列式的性質(zhì)矩陣的秩矩陣的運(yùn)算與逆 矩陣的初等變換線性方程組的解法及判別定理線性方程組解的結(jié)構(gòu)極大線性無(wú)關(guān)組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)二次型線性流形線性函數(shù)若爾當(dāng)?shù)浞缎曰癁闃?biāo)準(zhǔn)型（配方法，線性方程組法，正交法）對(duì)角化正定性，合同單線性函數(shù)對(duì)稱雙線性函數(shù)J矩陣II-C定理矩陣的可對(duì)角化線性空間歐式空間酉空間線性空間的性質(zhì)與同構(gòu)，子空間的判定線性變換坐標(biāo)變換與基變換特征值與特征向量可對(duì)角化及不變子空間歐式空間的性質(zhì)正交化與正交補(bǔ)的求法正交變換與正交矩陣酉空間的性質(zhì)復(fù)數(shù)域上的正交變換多項(xiàng)式理論整除理論因式分解理論多項(xiàng)式根的理論多元多項(xiàng)式/對(duì)稱多項(xiàng)式最大公因式定理互素與同于因式分解唯一性重因式復(fù)數(shù)域?qū)崝?shù)域有理數(shù)域求法判定（愛紳斯坦因）根的判別式韋達(dá)定理多項(xiàng)式理論整除理論因式分解理論多項(xiàng)式根的理論多元多項(xiàng)式/對(duì)稱多項(xiàng)式最大公因式定理互素與同于因式分解唯一性重因式復(fù)數(shù)域?qū)崝?shù)域有理數(shù)域求法判定（愛紳斯坦因）根的判別式韋達(dá)定理二、高等代數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)容（一）線性代數(shù)：工具：線性方程組1.行列式：1行列式的計(jì)算設(shè)有個(gè)數(shù)，排成行列的數(shù)表，即n階行列式．這個(gè)行列式等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積⑴的代數(shù)和，這里是的一個(gè)排列,每一項(xiàng)⑴都按下列規(guī)則帶有符號(hào)：當(dāng)是偶排列時(shí),⑴帶正號(hào)；當(dāng)是奇排列時(shí),⑴帶負(fù)號(hào)．即=，這里表示對(duì)所有級(jí)排列求和.a.行列式的性質(zhì)：性質(zhì)1.行列互換，行列式不變。性質(zhì)2.一行的公因子可以提出來(lái)（或以一數(shù)乘行列式的一行就相當(dāng)于用這個(gè)數(shù)乘此行列式。性質(zhì)3.如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和，而這兩個(gè)行列式除這一行以外與原行列式的對(duì)應(yīng)行一樣。性質(zhì)4.如果行列式中兩行相同，那么行列式為零。（兩行相同就是說(shuō)兩行對(duì)應(yīng)元素都相同)2.矩陣：a.矩陣的秩：矩陣A中非零行的個(gè)數(shù)叫做矩陣的秩。b.矩陣的運(yùn)算定義同型矩陣：指兩個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)的行數(shù)相等、對(duì)應(yīng)的列數(shù)相等的矩陣．矩陣相等：設(shè),,若,稱.線性運(yùn)算：,加法：數(shù)乘：負(fù)矩陣：減法：矩陣的乘法定義：設(shè),其中元素的列數(shù)=的行數(shù)。的行數(shù)=的行數(shù)；的列數(shù)=的列數(shù)．與的先后次序不能改變．(5)矩陣的初等變換矩陣的等價(jià)變換形式主要有如下幾種：1）矩陣的i行（列）與j行（列）的位置互換；2）用一個(gè)非零常數(shù)k乘矩陣的第i行（列）的每個(gè)元；3）將矩陣的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的對(duì)應(yīng)元上去。3.線性方程組一般線性方程組.這里所指的一般線性方程組形式為式中代表未知量，稱為方程組的系數(shù)，稱為常數(shù)項(xiàng).線性方程組稱為齊次線性方程組，如果常數(shù)項(xiàng)全為零，即.令，,，則可用矩陣乘法表示為，a.線性方程組的解法1)消元法在初等代數(shù)里，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)用代入消元法和加減消元法解簡(jiǎn)單的二元、三元線性方程組.實(shí)際上，這個(gè)方法比用行列式解方程組更具有普遍性.但對(duì)于那些高元的線性方程組來(lái)說(shuō)，消元法是比較繁瑣的，不易使用.2)應(yīng)用克萊姆法則對(duì)于未知個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相等的情形，我們有定理1如果含有個(gè)方程的元線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式，那么線性方程組有唯一解：其中是把矩陣中第列換成線性方程組的常數(shù)項(xiàng)所成的矩陣的行列式，即此外，還可以敘述為，如果含有個(gè)未知數(shù)、個(gè)方程的線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式，則線性方程組一定有解，且解是唯一的.廣義逆矩陣法設(shè).如果存在，使得，則稱為矩陣的一個(gè){1}-廣義逆矩陣，記作.矩陣的{1}-逆總是存在的，但一般不是惟一的[12]，矩陣的{1}-逆的全體記為.若，為的一個(gè){1}-廣義逆矩陣，則對(duì)為任意的矩陣，矩陣的一個(gè){1}-廣義逆矩陣為,同時(shí)還可以表示為.廣義逆矩陣的計(jì)算：設(shè)，且有和階置換矩陣使得則對(duì)任意的，矩陣是的一個(gè){1}-廣義逆矩陣.若存在使得則矩陣的{1}-逆的全體設(shè)，則有惟一{1}逆的充分必要條件是，且，即可逆.這個(gè)惟一的{1}逆就是.4.向量相關(guān)性a.判斷向量組線性相關(guān)的方法1)線性相關(guān)2)的對(duì)應(yīng)分量成比例線性相關(guān)3)含有零向量的向量組是線性相關(guān)的4)向量組線性相關(guān)該組中至少有一個(gè)向量可由其余的向量線性表出5)部分相關(guān)則整體相關(guān)6)設(shè)向量組可由向量組線性表出,如果r>s,則線性相關(guān)；7)n+1個(gè)n維向量必線性相關(guān)(個(gè)數(shù)大于維數(shù))8)該向量組的秩小于它所含向量的個(gè)數(shù)向量組線性相關(guān)9)n個(gè)n維的向量構(gòu)成的行列式=0該向量組是線性相關(guān)的10)線性相關(guān)向量組中每個(gè)向量截短之后還相關(guān)b.判斷向量組線性無(wú)關(guān)的方法1)線性無(wú)關(guān)2)的對(duì)應(yīng)分量不成比例線性無(wú)關(guān)3)向量組線性無(wú)關(guān)該組中任何一個(gè)向量都不能由其余的向量線性表出4)整體無(wú)關(guān)則部分無(wú)關(guān)5)線性無(wú)關(guān)向量組中每個(gè)向量加長(zhǎng)之后還無(wú)關(guān)6)該向量組的秩等于它所含向量的個(gè)數(shù)向量組線性無(wú)關(guān)7)n個(gè)n維的向量構(gòu)成的行列式0該向量組是線性無(wú)關(guān)的(二)中心課題：線性規(guī)范型1.二次型線性流型：二次型及其矩陣表示二次型的定義：以數(shù)域P中的數(shù)為系數(shù)，關(guān)于x1，x2，…，xn的二次齊次多項(xiàng)式f(x1，x2，…，xn)=a11x12+2a12x1x2+…+2a1nx1xn+a22x22+…+a2nx2xn+…(3)+annxn2稱為數(shù)域P上的一個(gè)n元二次型，簡(jiǎn)稱二次型。矩陣的合同關(guān)系：對(duì)于數(shù)域P上的兩個(gè)n階矩陣A和B，如果存在可逆矩陣C，使得B=CTAC則稱A和B是合同的，記為A~B。合同關(guān)系性質(zhì)：1)反身性：A~A；2)對(duì)稱性：A~B，則B~A；3)傳遞性：A~B，且B~C，則A~C。二次型的標(biāo)準(zhǔn)形1)實(shí)數(shù)域R(或復(fù)數(shù)域C)上的任意一個(gè)二次型都可經(jīng)過(guò)系數(shù)在實(shí)數(shù)域R(或復(fù)數(shù)域C)中的非退化線性變換化成平方和形式：d1y12+d2y22+…+dnyn2其中非零系數(shù)的個(gè)數(shù)唯一確定，等于該二次型的秩。上述形式的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。2)任何對(duì)稱矩陣都與一個(gè)對(duì)角矩陣合同。3）復(fù)二次型的規(guī)范形：任何復(fù)系數(shù)二次型都可經(jīng)過(guò)復(fù)數(shù)域C中的非退化線性變換化成如下最簡(jiǎn)形式平方和：y12+y22+…+yr2，其中r唯一確定，等于該二次型的秩。上述形式的復(fù)二次型稱為復(fù)二次型的規(guī)范形。2.線性函數(shù)（三）研究范圍：線性空間1.線性空間簡(jiǎn)單的說(shuō)，線性空間是這樣一種集合，其中任意兩元素相加可構(gòu)成此集合內(nèi)的另一元素，任意元素與任意數(shù)（可以是實(shí)數(shù)也可以是復(fù)數(shù)，也可以是任意給定域中的元素）相乘后得到此集合內(nèi)的另一元素。

1）V對(duì)加法成Abel群，即滿足：（1）（交換律）x+y=y+x；（2）（結(jié)合律）（x+y）+z=x+（y+z）（3）（零元素）在V中有一元素0，對(duì)于V中任一元素x都有x+0=x；（4）（負(fù)元素）對(duì)于V中每一個(gè)元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0；2）數(shù)量乘法滿足：（5）1x=x；（6）k(lx)=(kl)x；3）數(shù)量乘法和加法滿足：（7）（k+l）x=kx+lx；（8）k（x+y）=kx+ky．其中x，y，z為V中任意元素，k，l為數(shù)域F中的任意元素，1是F的乘法單位元。數(shù)域F稱為線性空間V的系數(shù)域或基域，F(xiàn)中元素稱為純量或數(shù)量（scalar），V中元素稱為向量（vector）。當(dāng)系數(shù)域F為實(shí)數(shù)域時(shí)，V稱為實(shí)線性空間。當(dāng)F為復(fù)數(shù)域時(shí)，V稱為復(fù)線性空間。V中零元素（或稱0向量）是唯一的。（2）V中任一向量x的負(fù)元素（或稱負(fù)向量）是唯一的。（3）kx=0（其中k是域F中元素，x是V中元素）當(dāng)且僅當(dāng)k=0或x=0。（4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。2.歐氏空間定義設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的線性空間（或稱為向量空間），若V上定義著正定對(duì)稱雙線性型g（g稱為內(nèi)積），則V稱為（對(duì)于g的）內(nèi)積空間或歐幾里德空間（有時(shí)僅當(dāng)V是有限維時(shí)，才稱為歐幾里德空間）。具體來(lái)說(shuō)，g是V上的二元實(shí)值函1．公因式1．公因式:（1）g(x,y)=g(y,x)；滿足滿足:（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立。22．最大公因式:這里x,y,z是V中任意向量，k是任意實(shí)數(shù)。多項(xiàng)式理論1.整除理論整除：若多項(xiàng)式a：“f（x）”除以多項(xiàng)式b：“g（x）”，商為一個(gè)多項(xiàng)式，且余數(shù)為零多項(xiàng)式。我們就說(shuō)a能被b整除（或說(shuō)b能整除a），記作b|a，讀作“b整除a”或“a能被b整除”．1）最大公因式多項(xiàng)式的最大公因式的定義定義（公因式與最大公因式）定義1若既是的因式，又是的因式，則稱是與的公因式。因所以任意兩個(gè)多項(xiàng)式都有公因式。2）互素如果，那么就說(shuō)，即兩個(gè)多項(xiàng)式只有零次公因式時(shí)，稱為互素。的公因式，就稱這兩個(gè)多項(xiàng)式互素2.因式分解理論1）重因式定義設(shè)p(x)為不可約多項(xiàng)式.如果f(x)能被p(x)的k次方整除而p（x）的k+1次方不能,則稱p(x)是f(x)的k重因式.若k=0,則p(x)不是f(x)的因式.若k=1,則稱p(x)是f(x)的單因式.若k>1,則稱p(x)是f(x)的重因式.也可以定義高階微商的概念,一階微商f'(x)的微商稱為f(x)的二階微商,記為f''(x).一般地,f(x)的k階微商定義為f(x)的k-1階微商的微商:定理如果不可約多項(xiàng)式p(x)是f(x)的k重因式（k≥1),那么它是f'(x)的k-1重因式.注意:該定理的逆定理一般不成立推論1：如果不可約多項(xiàng)式p(x)是f(x)的k(k≥1)重因式,那么p(x)分別是f'(x),f''(x)...f(k-1)(x)的k-1,k-2,...,1重因式,但不是f(k)（x）的因式.推論2：不可約多項(xiàng)式p(x)是f(x)的重因式的充分必要條件是p(x)為f(x)與f'(x)的公因式.推論3：多項(xiàng)式f(x)沒(méi)有重因式的充分必要條件是(f(x),f'(x))=1.2)唯一性理論不可約多項(xiàng)式定義：數(shù)域P上次數(shù)的多項(xiàng)式p(x)稱為不可約多項(xiàng)式，如果p(x)不能表成數(shù)域P上的兩個(gè)次數(shù)比p(x)低的多項(xiàng)式的乘積。唯一性指：數(shù)域P上每一個(gè)次數(shù)1的多項(xiàng)式f(x)均可分解成數(shù)域P上一些不可約多項(xiàng)式的乘積。F[x]中任一個(gè)次數(shù)不小于1的多項(xiàng)式都可以分解為F上的不可約多項(xiàng)式的乘積,而且除去因式的次序以及常數(shù)因子外，分解的方法是惟一的。當(dāng)F是復(fù)數(shù)域C時(shí)，根據(jù)代數(shù)基本定理，可證C[x]中不可約多項(xiàng)式都是一次的。因此，每個(gè)復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式都可分解成一次因式的連乘積。當(dāng)F是實(shí)數(shù)域R時(shí)，由于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的虛根是成對(duì)出現(xiàn)的，即虛根的共軛數(shù)仍是根，因此R[x]中不可約多項(xiàng)式是一次的或二次的。所以每個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式都可以分解成一些一次和二次的不可約多項(xiàng)式的乘積。實(shí)系數(shù)二次多項(xiàng)式αx2+bx+с不可約的充分必要條件是其判別式b2-4αс<0。當(dāng)F是有理數(shù)域Q時(shí)，情況復(fù)雜得多。要判斷一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式是否不可約，就較困難。應(yīng)用本原多項(xiàng)式理論，可把有理系數(shù)多項(xiàng)式的分解問(wèn)題化為整系數(shù)多項(xiàng)式的分解問(wèn)題。一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式如其系數(shù)是互素的,則稱之為本原多項(xiàng)式。每個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式都可表成一個(gè)有理數(shù)及一個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積。關(guān)于本原多項(xiàng)式有下述重要性質(zhì)。高等反應(yīng)工程試題計(jì)算題1.某一級(jí)不可逆氣-固催化反應(yīng),其反應(yīng)速率為當(dāng)時(shí),若要求催化劑內(nèi)擴(kuò)散對(duì)總速率基本上不發(fā)生影響,問(wèn)催化劑歷經(jīng)如何改變。已知De=10-3cm2/s。解：若要求催化劑內(nèi)擴(kuò)散對(duì)總速率基本上不發(fā)生影響，即即2.用直徑為6mm的球形催化劑進(jìn)行一級(jí)不可逆反應(yīng)A→P+R。氣相主體中A的摩爾分率為yA=0.5，操作壓力p=0.10133MPa，反應(yīng)溫度T=500℃。已知單位體積床層的反應(yīng)速率常數(shù)為0.333s-1，床層空隙率為0.5，組分A在顆粒內(nèi)有效擴(kuò)散系數(shù)為0.00296cm2/s，外擴(kuò)散傳質(zhì)系數(shù)為40m1）催化劑內(nèi)部效率因子為多少？?jī)?nèi)擴(kuò)散影響是否嚴(yán)重？2）催化劑外表面濃度為多少？外擴(kuò)散影響是否嚴(yán)重？3）計(jì)算表觀反應(yīng)速率。解：1）顯然內(nèi)擴(kuò)散影響嚴(yán)重。2）表觀反應(yīng)速率為顯然，外擴(kuò)散影響不嚴(yán)重。3）外擴(kuò)散影響是否嚴(yán)重3.在一列管式固定床反應(yīng)器中進(jìn)行鄰二甲苯氧化制苯酐。已知該反應(yīng)器所用列管內(nèi)徑為25mm，反應(yīng)器進(jìn)料氧和鄰二甲苯的摩爾分?jǐn)?shù)分別為21%和1%，反應(yīng)器平均壓力為0.11MPa，熔鹽溫度為375℃反應(yīng)熱（-△H）=1283kJ/mol，床層堆密度ρb=1300kg/m3，徑向有效導(dǎo)熱系數(shù)λer=2.