【銜接教材】初高中數(shù)學(xué)銜接教材（有詳解）

初高中數(shù)學(xué)銜接教材

｛新課標(biāo)人教A版｝

如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)

-高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)特點(diǎn)的變化

1數(shù)學(xué)語言在抽象程度上突變。不少學(xué)生反映，集合、映射等概念難以理解，

覺得離生活很遠(yuǎn)，似乎很“玄確實(shí)，初、高中的數(shù)學(xué)語言有著顯著的區(qū)別。

初中的數(shù)學(xué)主要是以形象、通俗的語言方式進(jìn)行表達(dá)。而高一數(shù)學(xué)一下子就觸

及抽象的集合語言、以及函數(shù)語言等。

2思維方法向理性層次躍遷。高中數(shù)學(xué)思維方法與初中階段大不相同。初中

階段，很多老師為學(xué)生將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分幾步；

因式分解先看什么，再看什么。即使是思維非常靈活的平面幾何問題，也對線

段相等、角相等，分別確定了各自的思維套路。因此，初中學(xué)習(xí)中習(xí)慣于這種機(jī)

械的、便于操作的定勢方式。高中數(shù)學(xué)在思維形式上產(chǎn)生了很大的變化，數(shù)學(xué)

語言的抽象化對思維能力提出了高要求。當(dāng)然，能力的發(fā)展是漸進(jìn)的，不是一

朝一夕的。這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應(yīng)，故而導(dǎo)致成績下

降。高一新生一定要能從經(jīng)驗(yàn)型抽象思維向理論型抽象思維過渡，最后還需初

步形成辯證型思維。

3知識內(nèi)容的整體數(shù)量劇增。高中數(shù)學(xué)在知識內(nèi)容的“量”上急劇增加了。

有數(shù)學(xué)1、2、3、4、5,還有選修課，加之時間緊、難度大，這樣，不可避免地

造成學(xué)生不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而影響成績的提高。這就要求：

第一，要做好課后的復(fù)習(xí)工作，記牢大量的知識。

第二，要理解掌握好新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，使新知識順利地同化于原有知

識結(jié)構(gòu)之中。

第三，因知識教學(xué)多以零星積累的方式進(jìn)行的，當(dāng)知識信息量過大時，其

記憶效果不會很好，因此要學(xué)會對知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行梳理，形成板塊結(jié)構(gòu)，實(shí)行“整

體集裝如表格化，使知識結(jié)構(gòu)一目了然；類化，由一例到一類，由一類到多

類，由多類到統(tǒng)一；使幾類問題同構(gòu)于同一知識方法。

第四，要多做總結(jié)、歸類，建立主體的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。

二科學(xué)地進(jìn)行學(xué)習(xí)

高中學(xué)生僅僅想學(xué)是不夠的，還必須“會學(xué)”，要講究科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，提

高學(xué)習(xí)效率，才能變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)，才能提高學(xué)習(xí)成績。

1培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。反復(fù)使用的方法將變成人們的習(xí)慣。什么是良好的

學(xué)習(xí)習(xí)慣？良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣包括制定計劃、課前自學(xué)、專心上課、及時復(fù)習(xí)、

獨(dú)立作業(yè)、解決疑難、系統(tǒng)小結(jié)和課外學(xué)習(xí)幾個方面。

(1)制定計劃使學(xué)習(xí)目的明確，時間安排合理，不慌不忙，穩(wěn)扎穩(wěn)打，它是

推動主動學(xué)習(xí)和克服困難的內(nèi)在動力。但計劃一定要切實(shí)可行，既有長遠(yuǎn)打算,

又有短期安排，執(zhí)行過程中嚴(yán)格要求自己，磨煉學(xué)習(xí)意志。

(2)課前自學(xué)是上好新課、取得較好學(xué)習(xí)效果的基礎(chǔ)。課前自學(xué)不僅能培養(yǎng)

自學(xué)能力，而且能提高學(xué)習(xí)新課的興趣，掌握學(xué)習(xí)的主動權(quán)。自學(xué)不能走過場，

要講究質(zhì)量，力爭在課前把教材弄懂，上課著重聽老師講思路，把握重點(diǎn)，突

破難點(diǎn)，盡可能把問題解決在課堂上。

(3)上課是理解和掌握基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)?！皩W(xué)然后

知不足”，課前自學(xué)過的同學(xué)上課更能專心聽課，他們知道什么地方該詳，什么

地方可以一帶而過，該記的地方才記下來，而不是全抄全錄，顧此失彼。

(4)及時復(fù)習(xí)是高效率學(xué)習(xí)的重要一環(huán)。通過反復(fù)閱讀教材，多方面查閱有

關(guān)資料，強(qiáng)化對基本概念知識體系的理解與記憶，將所學(xué)的新知識與有關(guān)舊知

識聯(lián)系起來，進(jìn)行分析比效，一邊復(fù)習(xí)一邊將復(fù)習(xí)成果整理在筆記本上，使對

所學(xué)的新知識由“懂”到“會”。

(5)獨(dú)立作業(yè)是通過自己的獨(dú)立思考，靈活地分析問題、解決問題，進(jìn)一步

加深對所學(xué)新知識的理解和對新技能的掌握過程。這一過程也是對意志毅力的

考驗(yàn)，通過運(yùn)用使對所學(xué)知識由“會”到“熟

(6)解決疑難是指對獨(dú)立完成作業(yè)過程中暴露出來對知識理解的錯誤，或由

于思維受阻遺漏解答，通過點(diǎn)撥使思路暢通，補(bǔ)遺解答的過程。解決疑難一定

要有鍥而不舍的精神。做錯的作業(yè)再做一遍。對錯誤的地方要反復(fù)思考。實(shí)在

解決不了的要請教老師和同學(xué)，并要經(jīng)常把易錯的知識拿來復(fù)習(xí)強(qiáng)化，作適當(dāng)

的重復(fù)性練習(xí)，把求老師問同學(xué)獲得的東西消化變成自己的知識，使所學(xué)到的

知識由“熟”到“活

(7)系統(tǒng)小結(jié)是通過積極思考，達(dá)到全面系統(tǒng)深刻地掌握知識和發(fā)展認(rèn)識能

力的重要環(huán)節(jié)。小結(jié)要在系統(tǒng)復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上以教材為依據(jù)，參照筆記與資料，

通過分析、綜合、類比、概括，揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系，以達(dá)到對所學(xué)知識融

會貫通的目的。經(jīng)常進(jìn)行多層次小結(jié)，能對所學(xué)知識由“活”到“悟

2循序漸進(jìn)，防止急躁。由于同學(xué)們年齡較小，閱歷有限，為數(shù)不少的同學(xué)

容易急躁。有的同學(xué)貪多求快，回囹吞棗；有的同學(xué)想靠幾天“沖刺”一蹴而

就；有的取得一點(diǎn)成績便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同學(xué)們要知道，學(xué)

習(xí)是一個長期地鞏固舊知、發(fā)現(xiàn)新知的積累過程，決非一朝一夕可以完成的。

為什么高中要學(xué)三年而不是三天！許多優(yōu)秀的同學(xué)能取得好成績，其中一個重

要原因是他們的基本功扎實(shí)，他們的閱讀、書寫、運(yùn)算技能達(dá)到了自動化或半

自動化的熟練程度。

3注意研究學(xué)科特點(diǎn)，尋找最佳學(xué)習(xí)方法。數(shù)學(xué)學(xué)科擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)運(yùn)算能力、

邏輯思維能力、空間想象能力以及運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力的

重任。它的特點(diǎn)是具有高度的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，對能力要求較

高。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要講究“活”，只看書不做題不行，只埋頭做題不總結(jié)積累也

不行。對課本知識既要能鉆進(jìn)去，又要能跳出來，結(jié)合自身特點(diǎn)，尋找最佳學(xué)

習(xí)方法。華羅庚先生倡導(dǎo)的“由薄到厚”和“由厚到薄”的學(xué)習(xí)過程就是這個

道理。方法因人而異，但學(xué)習(xí)的四個環(huán)節(jié)（預(yù)習(xí)、上課、作業(yè)、復(fù)習(xí)）和一個

步驟（歸納總結(jié)）是少不了的。

一數(shù)與式的運(yùn)算

知識要點(diǎn)：

1.絕對值的代數(shù)意義，絕對值的幾何意義，兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義。

2.乘法公式：平方差公式：（a+/?）（a-。）=￡一/;平方差公式：（47±Z?）2=a2+2ab+b2.

立方和公式（a+A）（〃2-"+/）=/+/；立方差公式：（a-b）（q2+而+/?2）=片一獷；

三數(shù)和平方公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）;

兩數(shù)和立方公式（a+0）3=/+3/。+3a/+3；

兩數(shù)差立方公式（a-⑥3=/一3。26+3"2一

3.二次根式：二次根式"的意義。分母（子）有理化：都乘以有理化因式

4.分式的意義，繁分式。

自學(xué)評價：

1.如果同+帆=5,且a=-l,則6=;若|l-c|=2,則c=.

2.化簡：|x—51-12x—131(x<5)

3.計算：(x+l)(x-l)(x2-x+l)(x2+x+1).

4.已知。+〃+c=4,ab+bc+ac=4,a2+b2+c2-

5.若J(5-x)(x-3)2=(%-3)\/5-4,則x的取值范圍是;

6.比較大?。?一/木一#(填“>”，或"V”).

精選題型：

1.解下列不等式:(1)|%-2|<1(2)

|X-I|+|X_3|>4.

2.計算：(1)(。+2)(〃一2)(/+4/+16)(2)(x2+2Ay+y2)(x2-xy+y2)2

3.已知3x+l=0,求d+4的值.

4化簡：(1)也-4&;(2)IX2+-^-2(0<X<1).

5.設(shè)%=竺號,y=E，求V+V的值.

2-V3-2+V3

x2+3x4-96x-1

6.化簡：(1)——(2)

l-xX3-279-x26+2x

x+—r

X——

X

記住它，多想它：（a+b）（a-b）=a2-修(a±b)2=a2±2ab+b2.

（。+匕）（。2—+=。3+。3（。一。）（。2+。。+人2）=。3一

拓展練習(xí):

1.解不等式|x+3|+|x-2|<7

6.化簡或計算：

⑴(屈一4小6_足,3

2.設(shè)X=-T2—=—,求代數(shù)式

V3-2'V3+2

22

:士匕的值.

x+y

(2)2?十(2一府+上

3.當(dāng)3a2+ab-2b2=O(a^O,b^O),求

@一2_《1￡的值.⑶xE+x6%++y

baabq-y2xyfx-yy/y

(4)跖+上&(，_+」__鳴

4.［殳X=―,求光4+尤2+2%—1的值.

2&+揚(yáng)兄+b\fab-ayfab

5.計算a+y+zXr+y+z)(i-y+z)(x+y-z)7.(1)已知〃+)+c=0,

求a(-+-)+/?(-+—)+c(—+-)的值.

bccaab

工針111

11.7十算：---+---+---+-??+

1x32x43x59x11

⑵若T

求J九+1-Jx-1+J—+1+yjx-l

s/X+1+>JX—1Jx+1-X—1

12.試證：對任意的正整數(shù)n,有

8.^yj-a-b-ly/ab=4^b-\l^a,則()[+]+…+]v-

1x2x32x3x4〃(〃+1)(〃+2)4

(A)a<b(B)a>b

(C)a<b<0(D)b<a<0

9.計算qg等于

()

(A)4(B)G

(C)(D)-yfci

10.解方程2*2+二)-3(x+g-1=0.

xx

二因式分解

知識要點(diǎn)：

⑴把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把這個多項式分解因

式。

⑵方法：①提公因式法②運(yùn)用公式法③分組分解法④十字相乘法⑤一般二次三

2

項式加+法+。型的因式分解：aya2x+(a,c2+a2c1)x+c,c2=(qx+cjax+c2)⑥其他常

用的因式分解的方法：配方法，拆、添項法

自學(xué)評價：

1.平方差公式完全平方和公式完全平方差公式—

a"+b3=a3-Z?3=

2.分解因式：(1)x-3x+2=(2)%+4x-12

(3)x2-(a+h)xy+aby2(4)xy-l+x-y

3.分解因式：x3+9+3x2+3x(2)2x2+-y2-4x+5j-6

4.分解因式：x2+2x-l

5.分解因式：x2-5x+3

6.分解因式：“2瓜-3

精選題型：

1.分解因式(1)b2+c2+2ab+2ac+2bc；(2)3x2+5xy-2y2+x+9y-4.

2AA6C三邊a,b,c滿足a?+c?=ab+Oc+ca,試判定AA8C的形狀.

3.分解因式(l+X+爐+/)2一%3

4.分解因式：x+X—{a—a).5.分角翠因式a(6a+llb+4)+/3Z?—1)—2

6.分解因式V-3^+4

7.分解因式2丁+3/一5f+3x+28.分解因式-5?1+3乂/”2-5利-2)-36

9.分解因式V+x+l

記住它，多想它：a2-b1=(a+h)(a-b)a2±2ah+h2=(a±b)2.

o'+〃3=(a+h)(a2-ah+b2)/_力=(a-b)(a2+Q〃+〃)

拓展練習(xí)：

1.分解因式-屋)+〃("-b2)

5.分角單因式1一4町a(chǎn)一2^^+8/

2.分解因式元2—4/?優(yōu)+8帆〃-4〃2

6,已知a+b=Z,ab=2,求代數(shù)式

3

a2h+2a2b2+ab2的值.

3.分解因式/+64

7.現(xiàn)給出三個多項式，—x2+x-l,

2

-x2+3x+l,-X2-X,請你選擇其中兩

22

4.分解因式％3-11爐+35_21個進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果因式分解.

8.已知a+Z?+c=O,求證:

+a2c+b2c-ahc+h3=0.11.分角單因式d+9x2+23x+i5

12.分角單因式J一/一5/一6天一4

9.分解因式

（x+y-2Ay）（x+y-2）+（Ay-l）2

10.分解因式

丁+（2。+1）/+（礦+2。—l）x+a~-1

三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

知識要點(diǎn):

1.一元二次方程的根的判斷式2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

自學(xué)評價：

1.一元二次方程or?+Zzx+c=0（a力0）,用配方法將其變形為：

卜=白一4ac,（1）當(dāng)A—。時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根：

（2）當(dāng)40時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根：

（3）當(dāng)卜。時，方程沒有實(shí)數(shù)根.

2.定理：若方程辦之+^x+c=。（a*0）的兩個根為，那么：x,+x2=

此定理稱為“韋達(dá)定理”，其成立的前提是ANO.

3.特別地：對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2+px+q=0,若％,x2

是其兩根，由韋達(dá)定理可知Xi+x2=—p,Xi,x2=q,即p=-（Xi+x2）,

2

q=Xi,x2,所以，方程x?+px+q=O可化為x—（x,+x2）x+x,,x2=0,因此有：

2

以兩個數(shù)X1,X2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是X—（Xi+x2）x+xi?X2

=0.

精選題型：

1.已知關(guān)于X的一元二次方程3￡_2X+Z=0,根據(jù)下列條件，分別求出攵的范圍：

（1）方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根

（3）方程有實(shí)數(shù)根；（4）方程無實(shí)數(shù)根.

2.已知實(shí)數(shù)x、y滿足—+/一孫+2x-y+l=0,試求x、＞的值.

3若和々是方程f+2x—2007=0的兩個根，試求下列各式的值：

(1)X,'+X-,";(2)—I—;(3)(x,—5)(X2—5);(4)I%—x,|.

玉x2

4.若為，X2是關(guān)于x的一元二次方程4〃4-4〃*+〃+1=0的兩個實(shí)數(shù)根.(1)

是否存在實(shí)數(shù)〃，使(2M—X2)(Xy-2X2)=—2成立？若存在，求出〃的值；若

2

不存在，說明理由；(2)求使土+小■—2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)4的整數(shù)值；(3)若

々王

k=-2,4=五，試求4的值.

%

5.已知關(guān)于x的方程f一(加一2)x-￡=0.(1)求證：無論勿取什么實(shí)數(shù)時，這

4

個方程總有兩個相異實(shí)數(shù)根；(2)若這個方程的兩個實(shí)數(shù)根必，X2滿足|x2|=|x|

+2,求加的值及相應(yīng)的x,x2.

6.若關(guān)于x的方程x2+x+a=0的一個大于1、另一根小于1,求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

記住它，多想它：如果ax2+bx+c=0（a手0）的兩根分別是x,X2,那么x,+

X=X1,X=-.這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理.以兩個數(shù)Xi,X2為根的一元

2aa2

二次方程（二次項系數(shù)為1）是《一（Xi+x2）x+xi?X2=0.

拓展練習(xí)：C.m<—,且勿彳0Dom>——,且

44

1.若Xp%是方程2%2一6%+3=0的兩個m豐0

根，則工+工的值為（）4.設(shè)為,々是方程V+px+quO的兩實(shí)根，

&&

s+1,&+1是關(guān)于x的方程J?+qx+〃=0的

A.2B.-2C.1D.-

22

兩實(shí)，艮，則p二,q-

2

2.若r是一元二次方程or+/JX+C=O的

根，則判別式△=〃—4ac和完全平方式

A/=（2G+Z?）2的關(guān)系是（）

A.A=MB.\>M

C.△<〃D.大小關(guān)系不能確定

3.若關(guān)于x的方程〃〃+&牙|_i）x+

5.已知實(shí)數(shù)a,0,c滿足”=6-3儲=命-9,則

m=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)

a-,b-,c-.

R的取值范圍是（）

A.m<—Bo勿>——

實(shí)數(shù)根？沒有實(shí)數(shù)根？

6.已知關(guān)于X的方程f+3x-；?l=()的兩

個實(shí)數(shù)根的平方和等于11,求證：關(guān)

于x的方程(4-3)爐+hnr-m?+6加一4=0

有實(shí)數(shù)根.

7.若西,々是關(guān)于x的方程9.求一個一元二次方程，使它的兩根

/一(無+/+的兩個實(shí)數(shù)根，且

2%+1)1=0分別是方程x—7x—1=0各根的相反

和々都大于1.

數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)Z的取值范圍；

(2)若土=匕求女的值.

X、2

10.已次口Ji+8a+i6+|h—l|=0,當(dāng)"取

8.試判定當(dāng)加取何值時，關(guān)于x的一

何值時，方程kx+ax+6=0有兩

元二次方程/z/x?—(2加+1)x+1=0有

個不相等的實(shí)數(shù)根？

兩個不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個相等的

11.已知方程*2—3*—1=0的兩根為

m和x2,求(乂-3)(X2—3)的值.

四平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、反比例函數(shù)

知識要點(diǎn)：

平面直角坐標(biāo)系函數(shù)圖象

自學(xué)評價：

1.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的對稱點(diǎn)：點(diǎn)(m,n)①關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

②關(guān)于V軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為③關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為④關(guān)于

點(diǎn)(a,b)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為⑤關(guān)于直線x=a對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為⑥

關(guān)于直線y=匕對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為⑦關(guān)于直線y=x對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

⑧關(guān)于直線y=-x對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

2.函數(shù)圖象

(1)一次函數(shù)y=Ax+Z?(k、b是常數(shù)，k中0)特別的，當(dāng)6=0時，稱)，是x

的正比例函數(shù)。

(2)正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)y=kx(k是常數(shù)，k手0)的圖象是

的一條直線，當(dāng)時，圖象過原點(diǎn)及第一、第三象限，v隨x的增大

而;當(dāng)時，圖象過原點(diǎn)及第二、第四象限，y隨x的增大

而.

(3)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)丁=麻+人(k、b是常數(shù)，k右0)的圖象

是過點(diǎn)(0,b)且與直線y-kx平行的一l條直線.設(shè)y-kx+b(k0),則當(dāng)

時，y隨x的增大而;當(dāng)時，y隨x的增大而.

(4)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)>=((kH0)是雙曲線，當(dāng)

X

時，圖象在第一、第三象限，在每個象限中，y隨x的增大而;當(dāng)

時，圖象在第二、第四象限.，在每個象限中，y隨x的增大而.雙

曲線是軸對稱圖形，對稱軸是直線與;又是中心對稱圖形，

對稱中心是.

精選題型：

1.已知A(2,yJ、B(x2,-3)f根據(jù)下列條件，求出A、8點(diǎn)坐標(biāo).

(1)A、8關(guān)于x軸對稱；(2)A、8關(guān)于v軸對稱；(3)A、8關(guān)于原點(diǎn)對稱.

2.已知一次函數(shù)y=kx+2的圖象過第一、二、三象限且與X、卜軸分別交于A、

B兩點(diǎn),0為原點(diǎn)，若△力防的面積為2,求此一次函數(shù)的表達(dá)式。

3.如圖，反比例函數(shù)>=月的圖象與一次函數(shù)

Xy=

B[n)—1)兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)圖象回答：當(dāng)X取何值時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值.

記住它，多想它：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的對稱點(diǎn)

拓展練習(xí)：

1.函數(shù)y=kx+m與y='(/〃H0)在同

x

一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可以是()

的坐標(biāo).

2.如圖，平行四邊形力及M中，力在

坐標(biāo)原點(diǎn)，。在第一象限角平分線上,

又知AB=6,5____,c

AD=2厄,求EBpx

點(diǎn)的坐標(biāo).

3.如圖，已知直線y=與雙曲線

4.如圖，一■次函數(shù)y=--y-x+1的圖象

),=人(%>0)交于A,B兩點(diǎn)、,且點(diǎn)A的

X與x軸、v軸分別交于點(diǎn)A、B,以線

橫坐標(biāo)為4.

段AB□為邊在第一象限內(nèi)作等邊△

(1)求上的值；

ABC.

(2)過原點(diǎn)。的另一條直線/交雙曲

(1)求aABC的面積.

線y=X(A>0)于P,Q兩點(diǎn)、(P點(diǎn)在第

X(2)如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P(a,

一象限)，若由點(diǎn)PBQA為頂點(diǎn)組成的

四邊形面積't為

式子表示四邊形ABPO的面積，□并求(1)求反比例函數(shù)的解析式？

出當(dāng)4ABP的面積與△ABC的面積相等(2)已知A在第一象限，是兩個函數(shù)

時a的值.的交點(diǎn)，求A點(diǎn)坐標(biāo)？

(3)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使AAOP

為等腰三角形？如存在請寫出P點(diǎn)的

坐標(biāo)，如不存在請說明理由.

5.已知反比例函數(shù)y=A和一次函數(shù)

2x

y=2x—1,其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過

(a,b),(a+k,b+k+2)兩點(diǎn)。

五二次函數(shù)

知識要點(diǎn)：

二次函數(shù)yuaV+bx+c的圖像和性質(zhì)分段函數(shù)

圖象

開口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為直線；當(dāng)xV-2時，y隨

2a'

著X的增大而_______；當(dāng)X>―時，y隨著x的增大而_______;當(dāng)X=2時，

2a2a

函數(shù)取最小值y=.

2.當(dāng)a<0時，函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)

為，對稱軸為直線；當(dāng)xV-2時，y隨著x的增大

2a

而____；當(dāng)X>-2時，y隨著x的增大而_______;當(dāng)x=-2時，函數(shù)取最

2a2a

大值y=.

3.二次函數(shù)的三種表示方式：一般式頂點(diǎn)式交點(diǎn)

式________________

注：確定二此函數(shù)的關(guān)系式的一般方法是待定系數(shù)法，在選擇把二次函數(shù)

的關(guān)系式設(shè)成什么形式時，可根據(jù)題目中的條件靈活選擇，以簡單為原則.二

次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)如下三種形式：①給出三點(diǎn)坐標(biāo)可利用一般式來求；②給

出兩點(diǎn)，且其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)時可利用頂點(diǎn)式來求.③給出三點(diǎn)，其中兩點(diǎn)為與x

軸的兩個交點(diǎn)（項,0）.（%,0）時可利用交點(diǎn)式來求.

4.一般地，如果自變量在不同取值范圍內(nèi)時，函數(shù)由不同的解析式給出，這

種函數(shù)，叫作分段函數(shù).

精選題型：

1.求二次函數(shù)y=—3>2—6x+1圖象的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值

（或最小值），并指出當(dāng)x取何值時，V隨x的增大而增大（或減?。坎嫵?/p>

該函數(shù)的圖象.

2.已知函數(shù)y=f,_24x4a,其中2,求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出

函數(shù)取最大值和最小值時所對應(yīng)的自變量x的值.

3.根據(jù)下列條件，分別求出對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式.

(1)某二次函數(shù)的最大值為2,圖像的頂點(diǎn)在直線v=x+1上，并且圖象經(jīng)過

點(diǎn)(3,—1)；

(2)已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(一3,0),(1,0),且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2；

(3)已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(-1,-22),(0,-8),(2,8).

4.在國內(nèi)投遞外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g不超過40g

付郵資160分，超過40g不超過60g付郵資240分，依此類推，每封xg(0<x

W100)的信應(yīng)付多少郵資(單位：分)？寫出函數(shù)表達(dá)式，作出函數(shù)圖象.

記住它，多想它：1.一般式：y=ax2+bx+c(a#=0);2.頂點(diǎn)式：y=a(x+h)2

+k(a=#0),其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(一h,k).3.交點(diǎn)式：y=a(x—xO(x—x2)(a

中0),其中Xi,X2是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

拓展練習(xí)：5.如果拋物線y-x2—6x+c—2的頂點(diǎn)

1下列各式中y是關(guān)于x的二次函數(shù)的到x軸的距離是3,那么c的值等于

是()A.xy+x2=1B.%2+y-4=0()

C.y~-ax=-2D.x2-y2+1=0A.8B.14C.8或14D.-8或

2.把y=3x?先向上平移2個單位，再-14

向右平移3個單位，所得拋物線的解6.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖

析式是()所示，則下列結(jié)論中正確的是：()

A.y=3(x+3)2-2B.y=3(x+2)

，2

C.y-3(x—3)2—2D.y=3(x—3)

2+2

3.函數(shù)y=2x+4z-5中，當(dāng)一3Wx

<2時，則y值的取值范圍是

()

(A)—3WyW1(B)—7Wy

W1

(C)-7WyW11(D)-7WyV

11

7.如圖，△PQA”4P2A也都是等腰直

角三角形，點(diǎn)Pi,P2在函數(shù)y=4(x>0)

4.若二次函數(shù),y=mx2+x+m(m-2)的圖x

象經(jīng)過原點(diǎn)，則機(jī)的值必為()的圖像上，斜邊OAi,A1A2都在x軸上，

A.0或2B.0C.2D.無法確則點(diǎn)A?的坐標(biāo)是.

定8.已知(一2,yj,(一」，丫2),(3,y3)是二

2的面積為y.

次函數(shù)y=x+x+m上的點(diǎn)，則y1，y2,丫3從

小到大用“<”排列是.(1)求函數(shù)y的解析式；

(2)畫出函數(shù)v的圖像；

9.如圖，直線y=2x+2與x軸，y軸分

(3)求函數(shù)y的取值范圍.

別相交于A,B兩點(diǎn)，將AAOB繞點(diǎn)0

順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AQBi

(1)在圖中畫出△AQBi

(2)求經(jīng)過A,k,

10.如圖所示，在邊長為2的正方形

ABCD的邊上有一個動

點(diǎn)P,從點(diǎn)A出發(fā)沿折線

ABCD移動一周后，回到

A點(diǎn).設(shè)點(diǎn)A移動的路程為x,APAC

11.二次函數(shù)丁='%2一°x+6的圖象與

42

x軸從左到右兩個交點(diǎn)依次為A、B,

與v軸交于點(diǎn)c,

(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如果P(x,y)是拋物線上AC之間

的動點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，試求APOA

的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，

并寫出自變量x的取值范圍；

(3)是否存在這樣的點(diǎn)P,使得PO=PA,

若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存

在，說明理由.

六二次函數(shù)的最值問題

知識要點(diǎn)：

次函數(shù)在自變量x取任意實(shí)數(shù)時的最值情況(當(dāng)a>0時，函數(shù)在x=-2處取

2a

得最小值艇二生，無最大值；當(dāng)。<0時，函數(shù)在》=—2處取得最大值也二忙，

4a2a4a

無最小值.

自學(xué)評價：

1.二次函數(shù)最大值或最小值的求法.第一步確定a的符號，a>0有最小值,

aVO有最大值；第二步配方求頂點(diǎn)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為對應(yīng)的最大值或最小

值.

2.求二次函數(shù)在某一■范圍內(nèi)的最值.如：y=ax2+hx+cm<x<n(其中

m<n)的最值.第一步：先通過配方，求出函數(shù)圖象的對稱軸：x=;第二步:

討論：

(1)若Q>0時求最小值或Q<0時求最大值，需分三種情況討論：①對稱軸

小于相即光0<根，即對稱軸在〃的左側(cè)；②對稱軸根《元0?〃，即對稱軸在

加4次工〃的內(nèi)部，③對稱軸大于〃即天>〃，即對稱軸在機(jī)的右側(cè)o

(2)若Q>0時求最大值或4<0時求最小值，需分兩種情況討論：①對稱軸

xo<,即對稱軸在機(jī)的中點(diǎn)的左側(cè)；②對稱軸即對稱軸在

mWxK〃的中點(diǎn)的右側(cè)；

精選題型：

1.求下列函數(shù)的最大值或最小值.

(1)y=2x2-3x-5;(2)y=-x2-3x+4.

2.當(dāng)U〈2時，求函數(shù)丁=-元2_%+1的最大值和最小值.

3.當(dāng)x20時，求函數(shù)y=-1(2-幻的取值范圍.

4當(dāng)KE+1時，求函數(shù)*最小值(其中，為常數(shù))?

5.某商場以每件30元的價格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量

m（件）與每件的銷售價x（元）滿足一次函數(shù)加=162-3x,304xW54.

（1）寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件銷售價x之間的函數(shù)關(guān)

系式；

（2）若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合

適？最大銷售利潤為多少？

記住它，多想它：求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值.如：y=ax2+bx+c在mWxWn

（其中〃7<〃）的最值.第一■步：先通過配方，求出函數(shù)圖象的對稱軸：X=XQ；

第二步：討論

拓展練習(xí)：

1.拋力勿線y=f-Q〃-4)x+2加-3,當(dāng)，〃二

時，圖象的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)初二

時，圖象的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)加二

時，圖象過原點(diǎn).

4.已次口函數(shù),=1+2公+1在-1WXW2上

2.用一長度為/米的鐵絲圍成一個矩的最大值為4,求a的值.

形，則其所圍成的最大面積為

3.設(shè)a〉0,當(dāng)TWxWl時，函數(shù)

,=一彳2-0%+。+1的最小值是-4,最大值

是0,求的值.

5.求函數(shù)y=3-J5x-3f一2的最大值

和最小值.(1)當(dāng)a=T時，求函數(shù)的最大值和

最小值；

(2)當(dāng)a為實(shí)數(shù)時，求函數(shù)的最大

值.

6.已知關(guān)于x的函數(shù)

y=x2+(2r+l)x+r2-1,當(dāng)［取何值時，y

的最小值為0?

8.函基攵y=x?+2x+3在加WxWO上的最

大值為3,最小值為2,求加的取值范

圍.

7.已次口關(guān)于x的函數(shù)y=f+2如+2在

-5<x<5±.

9.求關(guān)于x的二次函數(shù)y=%2一2優(yōu)+1在

-1WXW1上的最大值G為常數(shù)）.

七不等式

知識要點(diǎn)：

一元二次不等式及其解法簡單分式不等式的解法含有字母系數(shù)的一元一次

不等式

自學(xué)評價：

1.一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，

步驟如下：（1）將二次項系數(shù)先化為正數(shù)；（2）觀測相應(yīng)的二次函數(shù)圖象.①

如果圖象與無軸有兩個交點(diǎn)（菁,0）,（%2,0）,（X]<%2）此時對應(yīng)的一元二次方程有兩個

不相等的實(shí)數(shù)根（也可由根的判別式△>（）來判斷）則ar2+/>x+c>0（a>0）?

ax2+bx+c<0（a>0）Q

②如果圖象與x軸只有一個交點(diǎn)（-2,o）,此時對應(yīng)的一元二次方程有兩個相等

2a

的實(shí)數(shù)才艮入=x,=-2（也可由才艮的判另I式△=（）來判斷）貝i|ar2+/zx+c>0（a>0）=____

2a

ax2+/?x+c<0（a>0）0③如果圖象與％軸沒有交點(diǎn)，此時對應(yīng)的一元二次方

程沒有實(shí)數(shù)根（也可由根的判別式A<0來判斷）.則加+加:+c>O（a>0）o

ax2+Z?x+cv0（a>0）0

2.解一元二次不等式的步驟是：（1）化二次項系數(shù)為正；（2）若二次三項

式能分解成兩個一次因式的積，則求出兩根％,4.那么“>0”型的解為

x"或x>z(俗稱兩根之外)；“<0”型的解為西。</(俗稱兩根之間)

3.簡單分式不等式的解法：解簡單的分式不等式的方法：對簡單分式不等

式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為整式不等式，應(yīng)當(dāng)注意分母不為零.

4.含有字母系數(shù)的一元一次不等式最終可以化為公>b的形式，再討論。

精選題型：

1.解下列不等式：(1)X2+%—6>0(2)(%—1)(%+2)>(x—2)(2x+1)

2解下列不等式：(1)%2-2%-8<0(2)%2-4%+4<0(3)x2-x+2<0

3已知對于任意實(shí)數(shù)x,依-2x+左恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

4解下列不等式：⑴主口<0(2)」一43

x+1x+2

5求關(guān)于x的不等式m2x+2>2nvc+m的解.

記住它，多想它：1.三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，是三角形的內(nèi)心.

三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三角形的三邊的距離相等，2.三角形中角

平分線分對邊和角的兩邊對應(yīng)成比例.

拓展練習(xí)：

1.解下列不等式：

⑴2x2+x<02.解下列不等式:

(1)四20

X—1

(2)X2-3%-18<0

(2)把口<2

2x-l

(3)~x+x^.3x4-1

(3)->-1

X

(4)x(x+9)>3(x-3)

⑷祭>°解是一切實(shí)數(shù)，求加的取值范圍.

3.解下列不等式：

(1)x2-2x>2x2+2(2)-x2--x+->0

235

6.若不等式主，2>1+三一的解是x>3,

kK

求女的值.

4.解關(guān)于x的不等式(刃-2)x>l-m.

7.a取何值時,代數(shù)式(a+l)2+2(a-2)-2

的值不小于0?

5.已知關(guān)于x的不等式,加-x+〃z<0的

8.已知函數(shù)y^x2-2ax+\(a為常數(shù))

在

一2WxW1上的最小值為n,試將〃用10.不等式ax?+法+c<0(?J0)的解是

3表示出來?x<2,或x>3求不等式bx2+ox+c>0的

解.

9.解關(guān)于x的不等式x2+2x+1-a2W0

(a為常數(shù)).

專題一、數(shù)與式的運(yùn)算

自學(xué)評價

1、±4;—1或32、x—8;3、x6—1;4、8;5、一3WxW5；6、>

精選題型

1、⑴1VxV3;(2)、x<0或x>4

2、⑴a6-64(2)、x6+2x3y3+y3

3、184、V5-1

5、2702

...x+13—x

6、(1)、——、⑵、-------

x2(x+3)

拓展練習(xí)

1>—4VxV32、-1333、-3或一24、3-V5

6

5、-x4-y4-z4+2x2y2+2x2z2+2y2z2

6.(1)-3(2)嗎3)4+儀4回&

3y

7、⑴一3⑵小

8、D9、C

10、%=2或工11.—12、----------1----=4一1----------------1--------

255〃(〃+1)(〃+2)+(〃+1)(〃+2)

專題二、因式分解

自學(xué)評價

[a2-b2-(a+b)(a-b)a2+lab+b2-(a+b)2a2-lab+b1=(a-/?)2

o'+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b7,=(a-b)(a1+ab+b2)

2、(1)(x—2)(x—1)(2)(x+6)(x—2)(3)(x-ay)(x—by)(4)(x

-1)(y+1)

3、(1)(x+3)(X2+3)(2)(2x—y+4)(x+2y—1)

4(x+1—V2)(x+z+V2)<5+V13..5-V13.

5、(x--12—)(彳-------2-----)

精選題