奧數(shù)中的數(shù)圖形個數(shù)

第三講數(shù)數(shù)與計數(shù)（二）

例1數(shù)一數(shù)，圖3—1中共有多少點？

解：（1）方法1：如圖3—2所示從上往下一層一層數(shù):

第一層1個

第二層2個

第三層3個

第四層4個

第五層5個

第六層6個

第七層7個

第八層8個

第九層9個

第十層10個

第H■"一■層9個

第十二層8個

第十三層7個

第十四層6個

第十五層5個

第十六層4個

第十七層3個

第十八層2個

第十九層1個

總數(shù)1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1)

=55+45=100（利用已學過的知識計算）.

（2）方法2：如圖3—3所示：從上往下，沿折線數(shù)

第一層1個

第二層3個

第三層5個

第四層7個

第五層9個

第六層11個

第七層13個

第八層15個

第九層17個

第十層19個

總數(shù)：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已學過的知識計算）.

（3）方法3：把點群的整體轉(zhuǎn)個角度，成為如圖3—4所示的樣子,

變成為10行10列的點陣.顯然點的總數(shù)為10X10=100（個）.

相—,相.

①數(shù)數(shù)與計數(shù)，有時有不同的方法，需要多動腦筋.

②由方法1和方法3得出下式：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10X10

即等號左邊這樣的一串數(shù)之和等于中間數(shù)的自乘積.由此我們猜測：

1=1X1

l+2+l=2X2

l+2+3+2+l=3X3

l+2+3+4+3+2+l=4X4

1+2+3+4+5+4+3+2+1=5X5

1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6X6

1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7X7

1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8X8

1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9X9

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10X10

這樣的等式還可以一直寫下去，能寫出很多很多.

同學們可以自己檢驗一下，看是否正確，如果正確我們就發(fā)現(xiàn)了一條

規(guī)律.

③由方法2和方法3也可以得出下式：

l+3+5+7+9+ll+13+15+17+19=10X10.

即從1開場的連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)個數(shù)的自乘積.由此我們猜測：

1+3=2X2

l+3+5=3X3

l+3+5+7=4X4

l+3+5+7+9=5X5

1+3+5+7+9+11=6X6

1+3+5+7+9+11+13=7X7

1+3+5+7+9+11+13+15=8X8

1+3+5+7+9+11+13+15+17=9X9

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10X10

還可往下一直寫下去，同學們自己檢驗一下，看是否正確，如果正確，

我們就又發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律.

例2數(shù)一數(shù)，圖3—5中有多少條線段?

解：(1)我們，兩點間的直線局部是一條線段.以A點為共同端點的

線段有：

ABACADAEAF5條.

以B點為共同左端點的線段有：

BCBDBEBF4條.

以C點為共同左端點的線段有：

CDCECF3條.

以D點為共同左端點的線段有：

DEDF2條.

以E點為共同左端點的線段有：

EF1條.

總數(shù)5+4+3+2+1=15條.

(2)用圖示法更為直觀明了.見圖3—6.

總數(shù)5+4+3+2+1=15(條).

想一想：①由例2可知，一條大線段上有六個點，就有：總數(shù)

=5+4+3+2+1條線段.由此猜測如下規(guī)律(見圖3—7)：

還可以一直做下去.總之，線段總條線是從1開場的一串連續(xù)自然數(shù)

之和，其中最大的自然數(shù)比總數(shù)小1.我們又發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律.它說明了點

數(shù)與線段總數(shù)之間的關系.

②上面的事實也可以這樣說：如果把相鄰兩點間的線段叫做根本線段，那

么一條大線段上的根本線段數(shù)和線段總條數(shù)之間的關系是：

線段總條數(shù)是從1開場的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)等

于根本線段的條數(shù)(見圖3—8).根本線段數(shù)線段總條數(shù)

還可以一直寫下去，同學們可以自己試試看.

例3數(shù)一數(shù)，圖3—9中共有多少個銳角？

解：(1)我們知道，圖中任意兩條從0點發(fā)出的射線都組成一個銳

角.

所以，以0A邊為公共邊的銳角有:

ZLAOB,ZAOC,ZAOD,ZA0E,

ZA0F共5個.

以0B邊為公共邊的銳角有：ZBOC,ZBOD,ZBOE,NB0F共4個.

以0C邊為公共邊的銳角有：ZCOD,ZCOE,NC0F共3個.以0D邊

為公共邊的銳角有：ZDOE,ND0F共2個.以0E邊為一邊的銳角有：Z

EOF只1個.

銳角總數(shù)5+4+3+2+1=15（個）.

②用圖示法更為直觀明了：如圖3—10所示，銳角總數(shù)為：5+4+3+2+1=15

（個）.

想一想：①由例3可知：由一點發(fā)出的六條射線，組成的銳角的總數(shù)

=5+4+3+2+1］個），由此猜測出如下規(guī)律：（見圖3—11?15）

兩條射線1個角（見圖3—11）

三條射線2+1個角（見圖3—12）

四條射線3+2+1個角〔見圖3—13）

五條射線4+3+2+1個角（見圖3—14）

六條射線5+4+3+2+1個角（見圖3—15）

總之，角的總數(shù)是從1開場的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然

數(shù)比射線數(shù)小1.

②同樣，也可以這樣想：如果把相鄰兩條射線構(gòu)成的角叫做根本角，那么

有共同頂點的根本角和角的總數(shù)之間的關系是：

角的總數(shù)是從1開場的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)等于

根本角個數(shù).

③注意，例2和例3的情況極其相似.雖然例2是關于線段的，例3是關

于角的，但求總數(shù)時，它們有同樣的數(shù)學表達式.同學們可以看出，一個

數(shù)學式子可以表達外表上完全不同的事物中的數(shù)量關系，這就是數(shù)學的魔

力.

習題三

1.書庫里把書如圖3-16所示的那樣沿墻堆放起來.請你數(shù)一數(shù)這些

書共有多少本？

2.圖3—17所示是一個跳棋盤，請你數(shù)一數(shù)，這個跳棋盤上共有多少

個棋孔？

3.數(shù)一數(shù)，圖3—18中有多少條線段？

4.數(shù)一數(shù)，圖3—19中有多少銳角？

5.數(shù)一數(shù)，圖3—20中有多少個三角形？

6.數(shù)一數(shù)，圖3—21中有多少正方形？

習題三解答

1.解：方法1：從左往右一摞一摞地數(shù)，再相加求和：

10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10

=135（本）.

方法2：把這摞書形成的圖形看成是由一個長方形和一個三角形“尖

頂”組成.

長方形中的書10X11=110

三角形中的書1+2+3+4+5+4+3+2+1=25

總數(shù)：110+25=135］本）.

2.解：因為棋孔較多，應找出排列規(guī)律，以便于計數(shù).

仔細觀察可知，圖中大三角形ABC上的棋孔的排列規(guī)律是（從上往下

數(shù)）：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,另外還有三個小

三角形中的棋孔的排列規(guī)律是1，2,3,4,所以棋孔總數(shù)是：

（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13）+（1+2+3+4）X3=91+10X3=121（個）.

3.解：方法1：按圖3—22所示方法數(shù)（圖中只畫出了一局部）

線段總數(shù):7+6+5+4+3+2+1=28（條）.

方法2：根本線段共7條，所以線段總數(shù)是:

7+6+5+4+3+2+1=28(條).

4.解：按圖3—23的方法數(shù)：

角的總數(shù):7+6+5+4+3+2+1=28］個).

5.解：方法1：(1)三角形是由三條邊構(gòu)成的圖形.

以0A邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：△OAB,AOAC,AOAD,AOAE,

△OAF,AOAG,A0AH,共7個；

以0B邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：△OBC,AOBD,AOBE,A0BF,

△OBG,A0BH,共6個；

以0C邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：△OCD,AOCE,AOCF,A0CG,

△OCH,共5個；

以0D邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：△(?￡,AODF,AODG,A0DH,

共4個；

以0E邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：△OEF,AOEG,A0EH,共3

個；

以OF邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：△OFG,A0FH,共2個;

以0G邊和OH,GH兩邊構(gòu)成的三角形僅有：△OGH1個;

三角形總數(shù):7+6+5+4+3+2+1=28〔個).

(2)方法2：顯然底邊A